Аналитический и поисковый методы параметрической оптимизации технических систем по критерию запаса работоспособности Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

преобразователями переменного тока с одними характеристиками в переменный ток с другими характеристиками. Трехфазный матричный преобразователь состоит из 9 двунаправленных ключей, связывающих выходные фазы с соответствующими входными фазами.

Матричные преобразователи имеют несколько преимуществ по сравнению с традиционными преобразователями частоты выпрямительно-инверторного типа:

— обеспечение синусоидального входного и выходного сигнала с минимальными гармониками высокого порядка и субгармониками;

— способность проводить поток энер-

гии в двух направлениях;

— возможность полного контроля коэффициента мощности.

Недостатком матричного преобразователя является то, что его аппаратная реализация и алгоритмы управления намного сложнее, чем у традиционного. Для его построения требуется гораздо большее число силовых модулей, и эта проблема будет решена только тогда, когда промышленность начнет выпускать интегральные управляемые АС-ключи. Необходимо также отметить, что матричный преобразователь чрезвычайно чувствителен к искажениям и перекосу фаз входного напряжения.

Список литературы

1. Matteini M. Control Techniques for Matrix Converter Adjustable Speed Drives: PhD Thesis / M. Matteini. — Italy: University of Bologna, 2001.

2. Климов В. Двунаправленные ключи в матричных структурах преобразователей / В. Климов, С. Климова // Силовая электроника. — 2008. — № 4.

3. Сидоров С. Матричный преобразователь частоты — объект скалярного управления / С. Сидоров // Силовая электроника. — 2009. — № 3.

4. Колпаков А. Технология построения силовых модулей IGBT-NPT, Trench, SPT... Что дальше? / А. Колпаков // Силовая электроника. — 2006. — № 3.

5. http://www.power-e.ru/ — официальный сайт журнала «Силовая электроника».

6. http://www.gaw.ru/html.cgi/txt/publ/igbt/index.htm — статьи по силовой электронике.

УДК 658.512 А. В. Саушев,

канд. техн. наук, доцент, СПГУВК

АНАЛИТИЧЕСКИЙ И ПОИСКОВЫЙ МЕТОДЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО КРИТЕРИЮ ЗАПАСА РАБОТОСПОСОБНОСТИ

ANALYTICAL AND SEARCH METHODS OF PARAMETRICAL OPTIMIZATION OF TECHNICAL SYSTEMS BY CRITERION OF THE WORKING CAPACITY MARGIN 427

Рассматриваются аналитический и поисковый методы параметрического синтеза технических систем, для которых известна информация о границе области работоспособности в виде совокупности граничных точек. Методы основаны на использовании механической и электрической аналогий и позволяют получить решение по критерию запаса работоспособности системы.

Выпуск 3

Analytical and search methods ofparametrical synthesis of technical systems for which the information on border of area of working capacity in the form of set of boundary points is known are considered. Methods are based on use of mechanical and electric analogies and allow to receive the solution by criterion of working capacity margin of the system.

Ключевые слова: параметрический синтез, техническая система, запас работоспособности, методы оптимизации.

Key words: parametrical synthesis, technical system, a working capacity margin, optimization methods.

П

PO

Ш

|2e>

РОЕКТИРОВАНИЕ технических систем (ТС) на этапе параметрического синтеза сводится к решению двух основных задач — определению номинальных значений внутренних параметров системы и допустимых пределов их изменения. К внутренним параметрам ТС относятся переменные состояния — токи, напряжения, угловые скорости вращающихся масс, моменты в упругих связях и первичные параметры — постоянные времени, коэффициенты усиления динамических звеньев их систем управления, а также параметры силовых элементов, например индуктивности обмоток, коэффициенты жесткости упругих связей и т. п. Поскольку эффективность работы любой ТС определяется, как правило, не одним, а несколькими показателями качества, то решение этих задач необходимо вести в условиях многокритериальности.

В общем случае процесс функционирования любой ТС во времени может быть формально описан в виде оператора FS, который преобразует независимые переменные Ц, V, X, Z в зависимые переменные Y в соответствии с соотношениями вида:

.(О = Fs(U, V, X, Z, ^.

Здесь Ц, V, X, Z — соответственно векторы управляющих входных воздействий, возмущающих воздействий, первичных параметров ТС и их переменных состояний, Y(t) — вектор выходных переменных, к которым относятся функциональные показатели, характеризующие назначение системы, а также показатели параметрической надежности и экономичности. Показателем параметрической надежности при ограниченных статистических данных о законах распределения первичных параметров ТС во времени является запас работоспособности, под которым

понимается степень приближения вектора Xt фактического состояния ТС к его предельно допустимому значению Хг [1]. Множество предельно допустимых значений вектора Хг определяется границей области работоспособности С, а степень приближения вектора Xt — расстоянием от его конца до ближайшей граничной точки этой области. Конфигурация области С определяется условиями работоспособности ТС, которые устанавливаются при ее проектировании на стадии технического задания и в общем случае имеют вид

Tj^£Tj=FjOOSrjm,j=l,m-, Xjmm — Xj ^-Afjmax, 1—1, И,

(1)

где Y (2 ” ), Y . ^ ” . ), Y (£ ”) — соответ-

7шах 4 7шах7’ 7шт 4 J 4 J 7

ственно максимально допустимое, минимально допустимое и текущее значение 7-го выходного (внутреннего) параметра ТС.

Первое неравенство в формуле (1) является внешним условием работоспособности и с геометрической точки зрения определяет допусковую область ^ пространства выходных параметров. Второе неравенство является внутренним условием работоспособности, которое в пространстве переменных состояния Z определяет допусковую область Бг, а в пространстве первичных параметров X допусковую область М2 [1].

Третье неравенство также является внутренним условием работоспособности, определяющим допусковую область Б%, которая, как и области DY и Бг, имеет форму бруса:

°х ={х еЯ" ^ ^ X, < Х!ти, г = 1,и|. Область работоспособности в = Бх П Мг П М¥, являющаяся пересечением областей DX, Мг и М., определяет множество допустимых значений первичных параметров, при которых выпол-

няются все требования, предъявляемые к ТС.

В качестве целевой функции при оптимизации ТС выбран минимальный запас работоспособности, который необходимо максимизировать. Методологическое обоснование выбора предлагаемой целевой функции приводится в работах [1; 2, с. 79-81]. Такой критерий оптимизации актуален для ТС водного транспорта, которые характеризуются разнообразием, а также тяжелыми и изменчивыми условиями эксплуатации.

Выбор метода решения задачи определяется наличием или отсутствием информации о границе области работоспособности ТС. Для случая, когда такая информация имеется и она задана в виде массива граничных точек [1], разработаны аналитический и поисковый методы параметрической оптимизации ТС, использующие соответственно механическую и электрическую аналогию. Более простой аналитический метод может быть использован лишь в случае выпуклой формы области работоспособности, а поисковый метод — для общего случая. Рассмотрим эти методы.

Аналитический метод

Введем в рассмотрение прямоугольную «-мерную систему координат и направим по ее осям единичные векторы. Тогда вектор X в данной системе координат арифметического пространства Я" может быть задан как

Х = Ё*Л. (2)

у=1

где X — проекция вектора X нау-ю ось координат, у = 1,и; йj — единичный вектору-й оси координат.

Предположим, что совокупность точек {X}, определяющих границу области работоспособности С, а также некоторая точка X расположенная внутри этой области, являются единичным материальными точками. Предположим также, что между точками из совокупности {X} и точкой Ха имеется упругая связь в виде однородной растяжимой нити. Сила натяжения нити между точкой Ха и точкой Хр е {X} определяется по известной из механики формуле

где Zap — абсолютная деформация нити, равная расстоянию между точками X и Хр; у — коэффициент, характеризующий материал, из которого изготовлена нить.

Если коэффициент у для всех нитей одинаков, то точка Xa займет положение, равноудаленное от граничных точек {Xr }. В равновесном состоянии равнодействующая всех сил Fa будет равна нулю. При этом координаты точки Xa будут определять координаты оптимальной точки X.

н

Пусть N — общее количество граничных точек области G. Тогда условие равновесия всех сил будет иметь вид

F н = FH1 + FH2 + ... +FhP + ... + FHn = .

Каждый вектор FHp относительно начала координат может быть представлен как разность двух векторов:

.Рнр = Fon - Fop, Р =l,iV,

где F0h, Fop — вектора сил натяжения между материальной точкой, закрепленной в начало координат, и точками Хн и Хр соответственно. Таким образом

(Foe —Foi) + (Foh —Fo2) + ...+

+ (Foh — Fop ) + ... + (Foh + Fon ) = 0.

Откуда

FaP = JL

ap’

(З)

— Iм —

.

Используя формулу (2), получим

_ ^ N

^он =Т7Х(^ор“і +-^РМ2 +••• + F0pM/. + ...+і^рмл)

М р=і

или в соответствии с формулой (3)

— 1 ЛГ _ _ _ _

.

Р=1

Из последнего выражения следует, что координаты искомой точки Хн для у-й оси будут определяться формулой

. (4)

1У1 Р=1

Аналогичным образом определяются координаты оптимальной точки по другим осям координат.

Аналитический метод отличает простота использования и высокое быстродействие. Однако, как отмечалось, он может быть ис-

Выпуск 3

Выпуск 3

пользован лишь для выпуклых областей работоспособности, что ограничивает его применение для оптимизации ТС.

Поисковый метод

Предположим, что каждая граничная точка, определяющая границу области работоспособности ТС, имеет электрический заряд, причем заряды ^1, ^2, ..., qN всех граничных точек равны по величине и имеют одинаковый знак. Рассмотрим случай, когда п < 3, то есть число первичных параметров не превышает трех. Заряды др ^2, ..., qN будут создавать электрическое поле, которое будет пронизывать весь объем области работоспособности. Введем в рассмотрение арифмети-

п"

ческое п-мерное пространство Я и определим для него векторную функцию

Е(Х) = Е (Х1 ,Х2,Х„)=^4к10к/Ц

1ь

(5)

к=1

где qk — электрический заряд к-й граничной точки; Ь0к — единичный вектор, направленный от заряда qк к заряду q0, помещенному в некоторую внутреннюю точку Я0 области работоспособности С; Ь0к — наикратчайшее расстояние между зарядами qk и q0.

Будем считать, что введенная векторная функция по аналогии определяет электрическое поле в пространстве Яп. На основании закона Кулона можно вычислить результирующую силу, действующую на заряд q0, помещенный в электрическое поле Е^)

N ^

Р0 = ^^ЯкЧо^ак/['Ок. (6)

к=1

Умножение на единичный вектор означает, что сила параллельна линии, соединяющей заряды.

Предположим, что заряды q q2, ..., qN и заряд q0 являются одноименными. В этом случае они будут отталкиваться. Наименьшее значение силы Е0 будет иметь место в такой внутренней точке Я0 области С, которая в наибольшей степени удалена от зарядов q1, q2, ..., qN и, как следствие, от границы области работоспособности. Рассмотрим последнее обстоятельство более подробно. Учитывая, что в знаменателе формулы (6) стоит квадрат расстояния, а все заряды имеют одну и ту же

величину, можно заключить, что наибольший вклад в значение силы Е0 будут оказывать заряды, расположенные в непосредственной близости от заряда q0.

Перейдем от точечных зарядов к их непрерывным распределениям. Объемное распределение заряда описывается скалярной функцией, плотностью заряда р и зависит от положения точки в области работоспособности. Для записи электрического поля в уравнении (5) следует заменить сумму соответствующим интегралом. Интеграл дает значение электрического поля в точке Я0, которое создано зарядами, непрерывно расположенными по поверхности области С.

Рассмотрим двумерный случай и предположим, что реальная граница области работоспособности аппроксимирована отрезками прямых линий. Каждый такой отрезок можно рассматривать как заряженный проводник, который можно характеризовать количеством электричества на единицу длины, то есть линейной плотностью заряда X. Как следует из закона Гуасса, электрическое поле такого проводника определяется выражением Ег = 2Х/Ь, где Ег — напряженность поля на поверхности. Таким образом, поле проводника с однородной плотностью заряда обратно пропорционально расстоянию от него.

Обобщая на произвольный случай, можно заключить, что поле в некоторой внутренней точке Я0 области С обратно пропорционально наикратчайшему расстоянию от этой точки до границы области работоспособности. Таким образом, условие Е0^шт, равно как и условие Е^)^^^ будет определять внутреннюю точку области С, в наибольшей степени удаленную от границы этой области. В большинстве случаев с минимальной погрешностью эта точка будет определять центр гиперсферы наибольшего объема, вписанной в область С.

Этот вывод справедлив для любой, в том числе и для неодносвязной, формы области работоспособности. Действительно, в окрестности реального точечного заряда электрическое поле по мере приближения к граничной точке, как это следует из уравнения (5), возрастает и стремится к бесконечности. Отсюда следует, что наименьшее значение

Е^) всегда будет в точке, находящейся внутри области С. При этом следует иметь в виду, что при задании области работоспособности в виде множества граничных точек на точность решения задачи будет оказывать влияние степень равномерности расположения этих точек на поверхности области. Кроме того, наибольшее расстояние между двумя любыми граничными точками не должно превышать величину, равную удвоенному шагу поиска оптимума. В противном случае для областей, имеющих сложную форму, при поиске возможен выход изображающей точки за пределы области работоспособности. Устранить последнее замечание можно введением ограничений, однако проверка условий работоспособности (1) при поиске требует дополнительных временных затрат.

К недостаткам целевой функции, вычисляемой по формуле (5) или (6), для поиска оптимума следует отнести:

— необходимость определения направления вектора , что ведет к дополнительным временным затратам и снижению эффективности поиска;

— при симметричных формах области работоспособности решение неоднозначно, поскольку возможно наличие нескольких локальных минимумов;

— возможны ситуации, когда глобальный оптимум не будет определять центр гиперсферы наибольшего объема, вписанной в область С.

Например, если область С имеет форму, как показано на рис. 1, то при оптимизации по критерию Е0^шт имеют место три локальных экстремума, причем глобальный экстремум расположен в точке В, которая не является оптимальной по условию .

" ХЕв

Исключить основные из перечисленных выше недостатков можно переходом от векторной к скалярной форме записи выражения (6). Действительно, в этом случае не будет происходить взаимоисключения противоположно направленных векторов силы с большим модулем. Силы взаимодействия между зарядами будут складываться скалярно и удаленность точки с помещенным в нее единичным зарядом от границы области С будет уменьшать общую, суммарную силу.

На основании вышеизложенного можно заключить, что целевой функцией при параметрическом синтезе ТС по критерию запаса работоспособности и задании области С в виде множества граничных точек может являться функция вида

1=1

(7)

Рис. 1. Возможный гипотетический вид области работоспособности

где N — общее число заданных граничных точек области работоспособности; п — число первичных параметров.

Функция (7) гарантирует получение субоптимального решения по критерию

ХЕв ХеС ]ф.,т] •/Ч '

Для случаев, когда область С является выпуклой или имеет более сложный вид для нахождения оптимума по критерию F, может быть использован любой поисковый метод оптимизации, например разработанный автором адаптивный алгоритм симплексного поиска [3, с. 58-69]. При этом исключается зацикливание алгоритма или определение локального, а не глобального оптимума. Вместе с тем, например, для области, представленной на рис. 1, при использовании целевой функции F возможно получение двух локальных оптимумов (в точках А и С).

Рассмотрим практическое применение предлагаемой целевой функции для поиска оптимального решения при произвольной форме области работоспособности. Здесь также следует выделить два возможных варианта.

В случае небольшой размерности пространства первичных параметров (« < 10) для решения задачи можно воспользоваться методом статистических испытаний. Случайная точка, принадлежащая области работоспособ-

С]

Выпуск 3

Выпуск 3

ности, для которой целевая функция (7) принимает наименьшее значение, и принимается в качестве оптимального решения.

В случаях, когда объем области работоспособности С по отношению к допусковой области Бх мал, а также при большом числе первичных параметров (« > 10) разработан быстродействующий алгоритм целенаправленного поиска оптимальной точки путем последовательного сужения исходной области С по критерию Х(Х), в котором в

качестве целевой функции F используется выражение (7).

Как отмечалось, это выражение скалярно определяет суммарную электрическую силу F, появляющуюся в результате взаимодействия единичного электрического заряда, помещенного в область С, и одноименных единичных электрических зарядов, равномерно расположенных на ее поверхности и пространственно определяемых координатами ее граничных точек.

Предлагаемый алгоритм реализует для рассматриваемого случая метод сужающихся областей. Принципиальное отличие этого метода, впервые опубликованного автором в работе [4, с. 103-111], от всех известных к настоящему времени методов параметрического синтеза ТС по критерию максимума минимального запаса работоспособности заключается в том, что метод сужающихся областей в полной мере учитывает информацию о границе области работоспособности и позволяет найти оптимальное решение для общего случая. При реализации метода сужающихся областей происходит последовательное сужение исходной области в направлении оптимума до тех пор, пока любая точка, принадлежащая области на некотором шаге итерации, с заданной погрешностью не будет определять координаты оптимальной точки. Такой подход, реализующий принцип «оптимизации множеством», впервые позволил решить рассматриваемую задачу для технических систем, у которых форма области работоспособности является произвольной.

Введем следующие обозначения:

ф(Х) — аналитическое описание области С на основе Я-отображения [5, с. 34-41];

И. = Як,к=1,Ы — исходный массив гранич-

ных точек при их общем числе N; А/х — первоначальный шаг сужения области G; R0 — искомая оптимальная точка; Rr с R — совокупность граничных точек области G, определяемая вписыванием гиперсферы S0 наибольшего объема в область работоспособности с центром в точке R0. Точки R1' расположены на расстоянии l = max min X.(X) от точки R'

J 0

Точки R0 и R 0 расположены в непосредственной близости друг от друга. Степень близости определяется конфигурацией области G и заданной погрешностью поиска оптимального решения.

Сформулируем и докажем следующую теорему.

Теорема. Целевая функция F является монотонно убывающей при перемещении из любой точки множества R1' в направлении градиента функции ф(Х) в пределах расстояния l.

Доказательство. Выберем произвольно одну из точек Rre R1^ соединим ее с точкой R0 и построим диаметральную плоскость а, перпендикулярную к прямой линии R0Rr. Разложим силу F на две аддитивные составляющие: F = Fj + F2, где Fj и F2 — силы, определяемые действием всех зарядов Qj и Q расположенных на поверхности области G соответственно по одну и другую стороны от плоскости а.

При перемещении заряда из точки Rr в направлении градиента функции ф(Х), то есть по прямой линии к точке R'0, сила Fj будет монотонно уменьшаться, а сила F2 монотонно увеличиваться. Монотонность функций Fj и F2 определяется непрерывным увеличением и непрерывным уменьшением расстояний от перемещаемого заряда до зарядов Qx и Q2 соответственно, что, в свою очередь, следует из отсутствия граничных точек и расположенных в них зарядов внутри гиперсферы S Поскольку F(Rr) = max, а F(R0) = min и, кроме того, F = Fj + F2 , можно заключить, что функция F, определяемая суммой двух монотонных функций и изменяющаяся от своего максимального значения к минимальному значению, также является монотонной функцией. Теорема доказана.

Последовательность действий при реализации алгоритма сводится к следующим основным этапам.

1) Из массива граничных точек Я произвольно выбирается первая точка Я1 и по формуле

х,п

gradOw(X)

^0). (»OT(x)/ayt)M

|X(SO(0)(X)M)2

(8)

i=i

где ЭФ(0)(Х) — уравнение поверхности, на которой расположена точка Я1, рассчитываются

координаты точки Я^ , которая располагается на расстоянии Д/1 по градиенту к уравнению области С от исходной точки Я1 [4, с. 103-111]. Далее для точки Я1 по формуле (7) вычисляется значение целевой функции Е. Необходимым условием является то, что первая точка

Я11 выбирается в непосредственной близости от исходной точки Я1.

Поскольку в большинстве практических случаев гиперповерхности , со-

ставляющие границу области С на основе Я-отображения [5, с. 34-41], аналитически описываются в результате использования П-отоб-ражений полиномиальными моделями [6], которые для ТС, как правило, имеют порядок не выше второй степени, получим следующие расчетные формулы, которые конкретизируют уравнение (8).

Для полинома первой степени:

п г-1

ф<»>(х)=40+Yfi,x,+'L'Lb,x,xr

i=i

/=2 7=1 п i-1

дФ^(х)/ах,.=бг.+ХЕ«,

«=2у=1

хР = х(0) +

п г-1

Д/,

I^+ilW2

i=1 V 1=2 у=1 ^

Для полинома второй степени:

и i-1

г-1

i=l

i=2 j=1

я i-1

(x)/sx; = ьг + ад+ZZ ь9хг

i=27-=1

х(1) = х(0) +

г

и г-1

Л

ъ+ад+ЕЕМО

. '=2 У=1 у

All

( » г-1 Y

.

I ^ г=2 7=1

В тех случаях, когда вид модели Ф(0)(Х) заранее неизвестен, первоначально следует использовать линейное приближение. Если модель окажется неадекватной, следует перейти к построению полинома второй степени.

2) Аналогичным образом определяются координаты точки R2, расположенной в том же направлении на расстоянии Д12 > Alj от исходной точки Rj, и вычисляется значение целевой функции F Если F(Rj2) < F(Rj), то процесс отображения точки Rj внутрь области G продолжается. Это происходит до тех пор, пока выполняется условие монотонности: F(Rjl) < F(Rjlj). В результате определяются координаты точки RJ , которой соответствует наибольший запас работоспособности Al = Alj = l^(RJ). Выбор шага (l - l ) на каждом этапе поиска осуществляется в соответствии с изложенными в работе [4, с. 103-111] рекомендациями. Для этой цели может быть, например, использован алгоритм, реализующий метод половинного деления. При этом max l^ = 1 и все точки Rj проверяются на принадлежность области G.

3) Из массива граничных точек R выбирается вторая точка R2 и по формуле (8) рассчитываются координаты точки R^, которая располагается на расстоянии Alj по градиенту к уравнению области G от исходной точки R2. В том случае, если F(R2 ) < F(Rj ), точка проверяется на принадлежность области G и аналогично п. 2 определяется наибольший запас работоспособности Al = Al2 относительно точки R2. В противном случае Al = Al

4) Аналогично п. 3 последовательно выполняется анализ всех граничных точек Rk,k=\,N. В результате анализа определяются координаты субоптимальной точки R0 и соответствующий ей максимальный запас работоспособности технической системы.

5) При необходимости производится уточнение координат точки R0. Для этой цели могут быть реализованы разработанные автором алгоритмы симплексного поиска [3,

Выпуск 3

Выпуск 3

с. 58-69] или спиральной развертки [1]. Целевой функцией при поиске может являться функция К В том случае, если точность задания этой границы области работоспособности недостаточно высока, целевая функция должна определяться критерием [2]:

1 1 1 (X).

,7У ,

Ниже приведена программа, реализую-

щая рассмотренный алгоритм параметрического синтеза ТС методом электрической аналогии для тестового примера в интегрированной среде МаШса^ Исходные данные — граничные точки области работоспособности и аппроксимирующие их гиперповерхности.

а) реализация метода статистических испытаний

ьН

-0.9-0.8 -0.8 -0.7 -0.7-0.6 -0.6-0.5 -0.5 -0.4 -0.4 -0.3 -0.3 -0.2 -0.2 -0.1 -0.1

-0.4-0.33-0.05 -0.275 0.2 -0.225 0.4 -0.19 0.54 -0.16 0.66 -0.135 0.75 -0.12 0.83 -0.11 0.9

0 0 0.1 0.1 0.2 0.2

-0.1 0.64 -0.1 0.45 -0.10.3

0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7

0.7 0.8

-0.4 0.17 -0.12 0.75 -0.14-0.01 -0.16-0.08-0.175 -0.15-0.2.

А(Х1,Х2)

ДХ1,Х2)

В(Х1,Х2)

= 0.267X1 - 0.22X2 - 0.159X1-Х2 + 0.21

= -0.431X1 - 0.325X2 - 0.437X1-Х2 + 0.21

ч2

СЖЮШ:= 1

= 0.933(Х1Г + 4X2 + 1.233X1-Х2 + 0.4 А2(Х1,Х2) :=0.5-(П(Х1,Х2) + £2(Х1,Х2) - |П(Х1, Х2) - І2(Х1, Х2)|) <3(Х1,Х2) := 0.5-(П2(Х1,Х2) + £3(Х1,Х2) - |П2(Х1,Х2) - £3(Х1,Х2)|)

Р(Л) :=

в <- 34

а <- 1010 ґог к є 1..К

XI <- 2-тс1(1) - 1 Х2 <- 2-тс1(1) - 1 XI ЧХ2У ІГ (3(Х1, Х2) > 0 ґог j є 1.. в

в

( п ,

Ь

р(юооо> =

яо<-

і\

^-0.25245л V 0.3065 у

ґ

и

;)1 і = і

іґ Ь < а

ШЮ <- ЯО а ^— 1_/

коо

Оптимальные значения параметров: Х1 = -0,2525 и Х2 = 0,3065. При этом целевая функция Б = 3,3862.

Ь) реализация алгоритма целенаправленного поиска оптимума

Исходные данные те же, кроме того, задаются отдельно граничные точки поверхностей А, f2, f3, составляющие область работоспособности.

Я3:=

-0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

-0.4 -0.33 -0.275 -0.225 -0.19 -0.16 -0.135 -0.12 -0.11 -0.1 -0.1 -0.1 -0.11 -0.12 -0.14 -0.16 -0.175 -0.2

W :=

q <- 1

а <- 1010 for j є 1.. m if q <— 1

IRss <- R1

A <-A1

if q <— 2

Rss <- R2

A <-A2

if q «- 3

Rss <— R3

A <- A3

for к є 1.. A.

4

fl)<- io10

L <— 5 P<~ 1 XI s <- Rss

X2s <- Rss.

Rl:=

R2:=

f -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.14

V-0.4 -0.05 0.2 0.4 0.54 0.66 0.75 0.83 0.9 j

Ґ-0Л 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ^

40.9 0.65 0.45 0.3 0.17 0.75 -0.01 -0.08 -0.15 -0.2,

ORIGIN := 1

8 := 0.01

s := 34

A1 :=

f 0.267 ^ -0.22 -0.159

A2 :=

f -0.431 л -0.325 -0.437

V

10

A3 :=

m := 3

f 0.933 ^ 4

1.233

\

18

/

1,K

2,к Д1<-5 while p > 0

Aj <- Aj if q < 3

Aj <- 2-Aj-Xls otherwise

Здесь 5 — шаг поиска; 8 — общее число граничных точек; т — число поверхностей, определяющих область С.

Векторы А1, А2 и А3 — определяют коэффициенты уравнений П(Х1, Х2), f2(X1, Х2), 0(Х1, Х2) и число граничных точек на каждой поверхности.

Є

XI <- Xls + fAj + A3-X2s

L <- L + Д1 XI X2

if G(X1,X2) > 0

X2 <- X2s + (A, + A3-Xls

X s

k =

if f <f0 R00 ^— R|i ffl<- f

otherwise p<—1 if fD < a a <- Ю

R0 <- R00

p <----1 otherwise

q<— q+ 1

Оптимальные значения параметров: Х1 = -0,2173 и Х2 = 0,3197. При этом целевая функция Б = 3,4015.

Для получения большей точности следует уменьшить шаг поиска. При этом выбранное значение шага поиска должно соответствовать заданной точности координат граничных точек области работоспособности.

W =

R0

-0.2173

0.3197

Выпуск 3

Выпуск 3

Алгоритм назначения допусков на параметры технических систем

После того как определена граница области работоспособности и найдены номинальные значения Хн внутренних параметров ТС, задача назначения допусков на эти пара-

С

Начало

метры сводится к вписыванию в область С бруса наибольшего объема, центр которого совпадает с оптимальной (номинальной) точкой = {*,(* н)> * =1."}.

Рассмотрим алгоритм решения задачи назначения допусков (рис. 2), предполагающий «выращивание» бруса 8єС максимально

Ввод исходных данных X =ІХ X X

Н І. НІ’ 9 ш 9 9 нп) 9

і = 1,и;у = 1,2л; г=1; р„, и

Г~

Вычисление

V = р1/п

Формирование матриц Ац и Сц

Х,. = (-1)Хг.

Фиксирование коорданат допуска

%Х) = Б{Хи1,...,Хш...,Хнп}-, ______§Х1:..., , ...,

Рис. 2. Алгоритм назначения допусков на параметры технической системы

возможного объема из исходного гиперкуба, определяемого номинальным запасом работоспособности рн и координатами номинальной точки Я .

н

1) В память ЦВМ вводятся данные: Х;(і?н), г'=1,и; рн и вычисляются координаты вершин исходного гиперкуба 8н. Для представления результатов в компактной форме записи воспользуемся рекуррентым алгоритмом построения исходной матрицы координат 8 .

Пусть п = 2. В этом случае

=А2 =

А, -В/ А, В,

-V

V

В,=

= Рн'/».

На основе метода индукции, учитывая, что -А^_1Вв_1 + А^_1Вя_1 =0, следует:

в11 =

Ап_1

Л-1

вг

1-І

В

п-1 ,

, где К-Х =

*п-2

п-2

-В

п-2

В

п-2

В,,-! =[у,У,Ь, у]т — вектор размерностью (п - 1).

Для областей С, имеющих сложную конфигурацию, дополнительно формируется матрица С , определяющая координаты цен-

тров граней гиперкуба 8н. Используя принципы декомпозиции, матрицу Сп удобно представить в виде двух матриц С1п и С2п , где Сп = у[1], СП = -у[1], [1] — единичная матрица размерностью п.

2) Осуществляется трансформация гиперкуба 8н в брус 81 путем удлинения его ребра по координате Х1 симметрично относительно номинальной точки Я на величин

ну 2 АХ где ДХ1 — заданный шаг изменения параметра Х1. Определяется принадлежность или непринадлежность (2п + 2п) точек вершин и центров граней бруса 81 области работоспособности по условию (1). В том случае, если для всех исследуемых точек условие выполняется, они записываются в память ЦВМ вместо исходных точек. Процесс повторяется до тех пор, пока хотя бы для одной вновь сформированной точки условие (1) перестанет выполняться. Фиксируется значение координаты X которое имело место на предыдущем шаге поиска.

3) Аналогичные операции выполняются для всех остальных координат Х2, Х3, ..., Хп бруса 8н. В результате образуется брус 8, который своими координатами окончательно и определяет назначенные допуска на первичные параметры ТС.

Список литературы

1. Саушев А. В. Методы управления состоянием электротехнических систем / А. В. Сау-шев. — СПб: СПГУВК, 2004. — 126 с.

2. Саушев А. В. Целевая функция в задачах синтеза судовых и береговых электромеханических систем / А. В. Саушев, В. А. Шошмин // Речной транспорт. — 2010. — № 5.

3. Саушев А. В. Сеточный метод построения областей работоспособности технических объектов на основе алгоритма симплексного поиска / А. В. Саушев // Журнал университета водных коммуникаций. — СПб.: СПГУВК, 2010. — Вып. 1 (5).

4. Саушев А. В. Оптимизация судовых электротехнических устройств на максимум запаса работоспособности / А. В. Саушев // Сб. науч. тр. Ленингр. ин-та водного транспорта. — Л.: ЛИВТ, 1984.

5. Саушев А. В. Аналитическое описание областей работоспособности электротехнических систем / А. В. Саушев // Журнал университета водных коммуникаций. — СПб.: СПГУВК, 2009. — Вып. 4.

Выпуск 3