СЕРИЯ КОРОТКИХ ТОЧНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ПАРАМЕТРА БХАТТАЧАРЬИ КООРДИНАТНЫХ КАНАЛОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Minder L. and Shokrollahi A. Crvptanalvsis of the Sidelnikov cryptosvstem // LNCS. 2007. V. 4515. P. 347-360.

6. Степанов С. А. О нижних оценках сумм характеров над конечными полями // Дискретная математика. 1991. Т. 3. Вып. 2. С. 77-86.

7. Глухое М. М. Нижние оценки сумм характеров от многочленов над конечными полями // Дискретная математика. 1994. Т. 6. Вып.З. С. 136-142.

8. Ozbudak F. and Glukhov М. Codes on superelliptic curves // Turkish J. Math. 1998. V. 2. No. 2. P. 223-234.

9. Pankov K. N. and Glukhov M. M. Estimation of the power of algebraic geometric codes designed to construct a post-quantum algorithm for ensuring information security of on-board systems // 2023 Systems of Signals Generating and Processing in the Field of On-board Communications. Moscow, 2023. P. 1-5.

УДК 621.391:519.725 DOI 10.17223/2226308X/16/35

СЕРИЯ КОРОТКИХ ТОЧНЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ ПАРАМЕТРА БХАТТАЧАРЬИ КООРДИНАТНЫХ КАНАЛОВ1

С. Г. Колесников, В. М, Леонтьев

Пусть W — симметричный канал с двоичным входом и конечным выходным алфавитом. В 2007 г. Э. Ариканом обнаружено явление поляризации каналов, которое позволяет выделить из множества координатных каналов W(\ построенных W

из инструментов, позволяющих произвести разделение каналов на «плохие» и «хорошие», — это параметр Бхаттачарьи Z (W^). Однако его вычисление затруднено из-за большого числа требуемых операций сложения — порядка 22N, где N — длина кода. В работе И. Тала и А. Варди 2013 г. предложен метод оценки сверху и снизу вероятностей ошибок в каналах W(\ 1 ^ i ^ N, имеющий сложность порядка O(N у2 logу), где у > у0, а число у0 не зависит от длины N. Однако число у может быть достаточно большим и зависит, в частности, от требуемой

W

без памяти, построены две серии точных формул для параметров Бхаттачарьи, требующих всё ещё экспоненциального, но много меньшего числа операций, чем в формулах из оригинальной статьи Э. Арикана. В настоящей работе для всякого N = 2n удалось построить серию из n(n — 1)/2 точных формул, которые не содержат суммирования по переменным.

Ключевые слова: полярный код, двоичный симметричный канал без памяти, параметр Бхаттачарьи.

Пусть W — канал с двоичным входным алфавитом X = {0,1}, конечным выходным алфавитом Y = {yi,..., ys} и переходными вероятностями W(yj | x¿), 1 ^ j ^ s, 1 ^ ^ i ^ 2. Выражение

z(W) = Е Vw(y | о) w(y 11)

ver

называется параметром Бхаттачарьи канала W. Число Z(W) даёт верхнюю границу вероятности принятия ошибочного решения по методу максимального правдоподобия.

i

1 Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ

(Соглашение №075-02-2023-936).

Прикладная теория кодирования и автоматов

135

N = 2n, где n £ N передаётся то координатном у каналу wN : X ^ YN х Xг 1,

1 ^ i ^ N, с переходными вероятностями

1

-1

u"ex N-

W«(y,u' | = E WN(y | uGn),

где и = и'(мг)и'' — конкатенация век торов и', (м^) и и''; См — поляризационная матрица с ядром Арикапа; Щм — декартова степень канала Щ. Согласно определению,

Z (W«) = Е Е ^wNi)(y,u' 10) wNi)(y,u' | 1). (1)

v 7 yeYu'ex

При построении полярного кода мы вычисляем параметры Z ^WN^ или находим их верхние и нижние оценки для того, чтобы принять решение о возможности использования капала WN для передачи по нему информационных бит. Однако здесь возникают трудности, поскольку правая часть (1) требует порядка 22N операций сложения,

W

ятноети ошибки в каналах WN с вычислительной сложностью порядка O(N^2 log где ^ > ^о, а копстанта зависит от пропускной способности канала, скорости и вероятности блоковой ошибки кода, но не зависит от длины кода N. 0( величины ^ зависит также точность вычислений. Но, например, при p = 0,1 имеем Z ^W^o ^ ~ 6,7 • 10- 228 и, чтобы достигнуть такой точности, потребуется достаточно большое

W

установлено равенство

Z (w№) = E 2VQi(y, 0) Qi(y, 1),

У=(У1,...,Уг-1)

где

= Е рш(У°К®и-Ом)(1 _ р)М_т(уСмфйОм), £ = 0, 1.

Здесь и>(Ь) — вес Хеммпнга вектора Ь, а у и И — Ж-мерные векторы, получающиеся из векторов у и и дополнением пулями справа и слева соответственно. Векторы уСм и МСм порождают подпространство в пространстве V всех строк длины N над полем Z2. Удачные характерпзации этих под пространств позволили авторам в [4] получить две серии точных формул для параметров Z при % = N _ 2к + 1,

0 ^ к ^ п, и % = N/2 _ 2к + 1 1 ^ к ^ п _ 2. Формул ы первой серии требуют

+ 2к _ Л о2* „ /2п-к-1 + 2к _ Л"о2к

122 операции сложения, а для второй — I 122 ,

Исследуя свойства поляризационной матрицы См, удалось описать подпространство и, порождённое последними N _ 2т строками матрицы См, и два его подмножества: подпространство и0, порождённое последними N _ 2т _ 1 строками матр ицы См, и подмножество и1, состоящее го всех линейных ко мбинаций 2т-й строки матр ицы С м с векторами из и0. Оказалось, что

и = {(И1, . . . , Им) £ V : М(г_1)2"-т+1 Ф ... Ф Иг2"-т =0, % = 1, . . . , 2т} ,

{2^ 2П — т — 1 |

и =(М1,...,Мм) £ и :0 0 М(г_1)2т+^ = с>, с = 0,1.

г=1 ¿=1

Это позволило для любых целых неотрицательных чисел ¿1,... , ¿2™ определить в ис количества векторов с ^ единицам и в г-м блоке координат г = 1, 2,..., 2т. Оно выражается суммой

2m /ога—m _ i\ 2m /ога—m—1 _ 1

П 2t + (-1)^+-+^ п .

k=1 \ 2tk J k=1 \ lk

Как следствие, удалось доказать следующую теорему:

Теорема 1. Пусть т,п Е N т < п и р Е [0,1]. Справедливо равенство

z (w2T+1))

где

(l - p)—2m ((A + B)2- - B2m) + W ( 1 + (1 .2p)2"'^2 - ((i - p)2 - p2)2n

A — p(1 - p) (1 + (1 - 2p)2n-m—1) + (l - (1 - 2p)2n-m—L)

(l + (1 - 2p)2n-m—1) .

B — i o„\2n-m —1

Ввиду теоремы 1 и равенства Z ^W^J — Z ^W^J (см., например, [1]), можно

говорить о серии из n(n - 1)/2 точных формул. Численные эксперименты показывают,

()

где j,m,n € N и m < n, близки к единице,

ЛИТЕРАТУРА

1. Arikan Е. Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memorvless channels // IEEE Trans. Inform. Theory. 2009. No. 7. P. 3051-3073.

2. Tal I. and Vardy A. How to construct polar codes // IEEE Trans. Inform. Theory. 2013. No. 10. P. 6542-6582.

3. Трифонов П. В. Основы помехоустойчивого кодирования. СПб.: Университет ИТМО, 2022.

4. Колесников С. Г., Леонтьев В. М. Серии формул для параметров Бхаттачарьи в теории полярных кодов // Проблемы передачи информации. 2023. Т. 59. Вып. 1 (в печати).

УДК 519.17 DOI 10.17223/2226308Х/16/36

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАР, ИСПРАВЛЯЮЩИХ ОШИБКИ, ДЛЯ АЛГЕБРОГЕОМЕТРИЧЕСКОГО КОДА1

К. С. Малыгина, А, А, Кунинец

Для произвольного алгеброгеометрического кода и дуального к нему явно вычислены пары, исправляющие ошибки. Такая пара состоит из кодов, которые необходимы для эффективного алгоритма декодирования заданного кода. Вид пар

НО

2

1 Работа поддержана грантом РНФ, проект №22-41-0441.