CC BY
12
108
Прикладная дискретная математика. Приложение
УДК 519.72 Б01 10.17223/2226308X715/25
СЕРИЯ ФОРМУЛ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ БХАТТАЧАРИЯ В ТЕОРИИ ПОЛЯРНЫХ КОДОВ1
С. Г. Колесников, В. М. Леонтьев
В теории полярных кодов для определения позиций замороженных и информационных битов используются параметры Бхаттачария. Они характеризуют скорость
(г)
поляризации каналов ШД , где 1 ^ г ^ N и N = 2П, п = 1, 2,..., — длина кода, специальным образом построенных из исходного канала Ш. Предполагается, что г-й бит сообщения передаётся по каналу шД , а параметр Бхаттачария 2(шД) можно интерпретировать как степень зашумлённости шД. Ш является моделью физического канала передачи. В случае, когда Ш есть классический двоичный симметричный канал без памяти, известные в настоящее время формулы для параметров Бхаттачария содержат порядка слагаемых. Для серии каналов 2 +1), к = 0,1,..., п — 1, найдены формулы, которые содержат порядка 2(п-к+1)2к слагаемых. Также высказан ряд предположений о том, как ещё можно упростить полученные формулы.
Ключевые слова: полярный код, параметр Бхаттачария.
Пусть Ш — двоичный симметричный канал без памяти с входным алфавитом X = = {0,1}, выходным алфавитом У = {0,1} и переходными вероятностями Ш(у | х) = р,
если х = у, иначе Ш (у | х) = 1 — р. Через Шд, N = 2П, п = 1, 2,..., обозначим
(г)
^ю декартову степень Ш. Для каждого г, 1 ^ г ^ N, определим канал ШД : X ^ ^ Уд х Xг-1 с переходными вероятностями
Ш«(уУ | «г) = Е (у | иСд),
2 «"ех
где у € Уд; и' Е Xг-1; и = и'иги" — конкатенация векторов и', (иг),и''; — порождающая матрица полярного кода с ядром Арикана
Тогда
10 01
яКг)) = Е Е (у,и 10) Ш«(у,и 11). (1)
уеУк « ех4-1
Таким образом, формула для вычисления параметра Бхаттачария содержит
2 N
слагаемых. Более того, суммы под знаком корня содержат по 2 Д-г слагаемых. Поэто-следующей:
му расчёт Я(Щ^) невозможен уже при N ^ 32. В [1, 2] формула (1) упрощена до
Я(Ш«) = 2Д-1 Е ^Ш(г)(у,и | 0) Ш«(у, и | 1),
уеь
где Ь есть система представителей некоторого фактор-множества и |Ь| = 2г. Там же установлено равенство
Я (Ш^2г)) = (я (Ш$2))2
1 Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ
(соглашение №075-02-2022-876).
Прикладная теория кодирования и графов
109
с учётом которого достаточно найти эффективные формулы для нечётных i. Доказана следующая
Теорема 1. Пусть n,k е N, k < n, N = 2n, m = 2k, M = N/m - 1. Тогда
Z (Wf-2k+1)) = £ ■ ■ ■ M (M) ■■■(M) VQl(Sl,...,Sm)Q2(Si,...,Sm), (2)
si=0 »m=n SlJ \smJ
где
Qi(s1? . . . , sm)
y^ pU(y)N/rn+(yi-yi)si+...+(ym-ym)sm (1 _ p)N-w(y)N/m+(yi-Vi)si+...+(ym-ym)s„
У& т,
Здесь ш(у) = у1 + ... + ут — вес Хэмминга вектора у, 0 = 1, 1 = 0.
Замечание 1. Для различных наборов чисел 51,... , вт произведения
^1(^1, . . . ,8т)<^2(в1, ...
могут быть равны (как полиномы от р). Поэтому интересно найти условия на в1,... , вт и ... ,$'т, при которых
^1(^1, . . . , вт^2^1,. . . , вт) = Ql(s'l, . . . , 8'т)<^2($'1, . . . ,в'т), что, возможно, существенно упростит полученную формулу.
Замечание 2. Выражение для Qi в общем случае является полиномом от р следующего вида:
N
Qi(Sl, . . . , $т) = Е «5 ($1, . . . , $т)Р (1 - P)N-, 1 =1, 2.
5=0
Явное вычисление коэффициентов ($1,..., $т) также значительно упростит (2). Легко видеть, что
а5 ($1, ...,$т) =
= |{у € Ут : ш(у) € 1 + г + 2Z, ш(у)(Ы/ш) + (У1 - у^1 + ... + (Ут - Ут)$т = 3 }|.
Следующая формула (не из указанной в теореме 1 серии) найдена с учётом замечаний 1 и 2:
Z (W™) = 2
\
(I ©Р*(1 _ P)N""") (1 U- J"^1 _ P)N-2k+1
ЛИТЕРАТУРА
1. Arikan E. Channel Polarization: A Method for Constructing Capacity-Achieving Codes for Symmetric Binary-Input Memoryless Channels. https://arxiv.org/abs/0807.3917. 2009.
2. Arikan E. Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels // IEEE Trans. Inform. Theory. 2009. V. 55. No. 7. P. 3051-3073.
