Модель троичного канала передачи данных с использованием декодера мягких решений кодов Рида - Маллера второго порядка Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ INFORMATICS, COMPUTER ENGINEERING AND CONTROL

УДК 519.876.5+519.725 DOI: 10.17213/0321-2653-2015-1-3-10

МОДЕЛЬ ТРОИЧНОГО КАНАЛА ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ДЕКОДЕРА МЯГКИХ РЕШЕНИЙ КОДОВ РИДА - МАЛЛЕРА ВТОРОГО ПОРЯДКА

THE MODEL OF THE TERNARY COMMUNICATION CHANNEL WITH USING THE DECODER OF SOFT DECISION FOR REED - MULLER

CODES OF THE SECOND ORDER

© 2015 г. В.М. Деундяк, Н.С. Могилевская

Деундяк Владимир Михайлович - канд. физ.-мат. наук, доцент, кафедра «Алгебра и дискретная математика», Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. Тел. (863) 297-51-13 (добавочный 204). E-mail: vlade@math. rsu.ru

Могилевская Надежда Сергеевна - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Кибербезопасность информационных систем», Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Россия. Тел. (863)2-738-716. E-mail: [email protected]

Deundyak Vladimir Michaylovich - Candidate of Science in Physics and Maths, associate professor, Department «Algebra and Discrete Mathematics», Southern Federal University, Rostow-on-Don, Russia. Ph. (863) 297-51-13 (additional 204). E-mail: [email protected]

Mogilevskaya Nadezhda Sergeevna - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Cybersecurity Information Systems», Don State Technical University, Rostow-on-Don, Russia. Ph. (863)2-738-716. E-mail: [email protected]

Построена общая модель помехоустойчивого троичного канала передачи данных с использованием декодера мягких решений; рассмотрен вариант модели, в котором помехоустойчивость обеспечивается применением кодов Рида - Маллера второго порядка, заданных над полем F3. На основе декодера Сидельникова - Першакова для двоичных кодов Рида - Маллера разработан новый декодер для троичных кодов, который позволяет исправлять ошибок больше, чем гарантируется минимальным кодовым расстоянием. Приведен пример, иллюстрирующий работу алгоритма, и представлены краткие результаты имитационных экспериментов по исследованию эффективности построенного декодера. Областью применения разработанного декодера являются каналы связи низкого качества, используемые, однако, для передачи ценных сообщений.

Ключевые слова: троичный канал связи; q-ичные коды Рида - Маллера; декодер Сидельникова - Першакова; математическая модель канала связи.

Built a general model of ternary error-correcting data transmission channel with using the decoder of soft decision; a variant of model in which robustness is achieved by using Reed-Muller codes of the second order presents. Based decoder Sidelnikov-Pershakov for binary Reed-Muller developed to the new decoder for ternary codes, which allows to correct errors more than the minimum code distance ensures. In this work we present an example to illustrate the algorithm, and presents a summary of the results of simulation experiments to study the effectiveness of the constructed decoder. The designed decoder suitable for use in the communication channels of low quality with invaluable data.

Keywords: the ternary communication channel; the q-ary Reed-Muller codes; Sidelnikov-Pershakov decoder; the mathematical model of the communication channel.

Введение

Использование помехоустойчивого кодирования в каналах связи является распространенной практикой

для обеспечения должного качества передаваемых данных [1, 2]. Большинство систем связи работают с помехоустойчивыми кодами, построенными над полями Галуа характеристики 2. Однако существуют

каналы, где сообщения на физическом уровне передаются сигналами, мощность алфавитов которых отличается от значений 2p (см., например, [3, 4]). В связи с этим представляется перспективной задача разработки новых кодеков для таких каналов.

В последние годы для обеспечения помехоустойчивости актуально применение декодеров мягких решений (ДМР), особенность которых состоит в том, что принятые из канала данные вводятся в декодер, минуя демодулятор [5, с. 201 - 202]. К декодерам такого типа можно отнести, например, обладающий значительной корректирующей способностью декодер классических кодов Рида - Маллера второго порядка В.М. Сидельникова и А.С. Першакова [6], который исследовался в работах [7, 8]. Обычно использование ДМР дает лучшие результаты по сравнению с декодированием жестких решений, когда на вход декодера поступают значения с выхода демодулятора, преобразующего данные из канала в слова над фиксированным конечным алфавитом. Эффективность ДМР основана на том, что в отсутствии демодулятора не накапливаются ошибки квантования, однако обычно декодеры с технологией ДМР обладают большей сложностью (см., например, [1, с. 357 - 360]).

В данной работе построена общая модель принципа действия троичного канала передачи данных с использованием канального ДМР и представления поля Галуа F3 комплексными числами. Для применения в построенной модели разработан новый декодер

мягких решении, распространяющий алгоритмы декодирования кодов Рида - Маллера второго порядка над полем Галуа F2 из [6, 7] на случай поля Галуа F3. Областью применения разработанного декодера являются каналы связи низкого качества, используемые, однако, для передачи ценных сообщений. Существенное отличие построенного декодера от декодеров из [6, 7], в которых поле F2 представлялось вещественными числами, состоит в использовании новых функционалов на комплексных функциях, специально спроектированных для троичного канала связи.

Общая модель принципа действия троичного канала передачи данных с использованием канального ДМР

Опишем функциональную схему модели принципа действия помехоустойчивого троичного канала передачи данных с использованием канального декодера мягких решений. Пусть моделируемый канал связи идеально синхронизирован, а действующие в линии связи шумовые процессы независимы от источника сообщений и от передаваемых данных.

Функциональная схема моделируемого помехоустойчивого троичного канала передачи данных представлена на рис. 1. Источник сообщений выдает информационные векторы т = (т1, т2,...,тк) из линейного к-мерного пространства Fзk над полем Галуа F3.

Chn = D ■ rcv lins ■ snd ■ С: F^ F.*

Рис. 1. Функциональная схема моделируемого канала передачи данных

Для исправления ошибок, возникающих из-за присутствия шума в линии связи, используется некоторый линейный блочный код длины п размерности k(< п), заданный над полем р , для которого известен ДМР. Информационные векторы т поступают на вход кодера канала, задача которого состоит во внесении избыточности в данные, и на выходе кодера канала формируются кодовые векторы с е . Тем самым задается оператор кодера канала:

Cod: F3k ^ F3n.

(1)

Из кодера данные поступают на вход передатчика, который служит интерфейсом к линии связи и преобразует символы кодовых векторов в сигналы, совместимые с требованиями, налагаемыми каналом связи. В рассматриваемой функциональной схеме передатчик преобразует кодовые векторы с е в векторы 2 = (г1, 22,...,2п)(еСП), где сигналы 25, 5 = 1,...,п , принадлежат мультипликативной группе

Г 1—ч ]

С3 = <е 3 > корней третьей степени из единицы

I J ч=0,1,2

(рис. 2), с помощью естественного изоморфизма аддитивной группы поля Рз на мультипликативную группу С3 : ф: Р3 ^ С3, который определяется по формуле

ф( j) = e 3 , j £ F3.

(2)

Отметим, что для произвольного 2 е С3 вы-

12)

полняется равенство 2 = е 3 . Оператор передатчика определим как биективное отображение snd: Р3п ^ С3 по формуле snd(а) = (ф^),...,ф(ап)),

а = (а1,..., ап) е Р3п .

Сформированные векторы 2 = (21, 22,..., 2п) передатчик на физическом уровне отправляет в линию связи. Физический аналог сигнала 2 ^ можно получить, например, с помощью частотной модуляции с непрерывной фазой (см. [1] с. 170); диаграмма пространства таких сигналов (фазовая траектория) иллюстрируется рис. 2.

4m

Re

Рассматриваемая в функциональной схеме линия связи является дискретной по входу и непрерывной по выходу, в том смысле, что на ее вход поступают дискретные сигналы из алфавита С3, а в силу искажений, действующих в линии связи, на выходе формируются символы из поля комплексных чисел С . Таким образом, определен оператор линии связи 1те: С3п ^ Сп . Выделим два базовых вида искажений элементов вектора 2 е С3п в линии связи, а именно, искажения «по фазе» и искажения «по амплитуде». Под искажением по фазе будем понимать сдвиг сигнала 2 ^ по

единичной окружности. В этом случае модуль искаженного сигнала остается равным единице, а значение его аргумента изменяется. Искажением по амплитуде будем называть ситуацию, когда в результате преобразования сигнал смещается с единичной окружности по радиусу, т.е. аргумент сигнала не меняется, а меняется только его модуль. Будем предполагать, что под воздействием шума координаты вектора 2 подвергаются различным комбинациям базовых искажений и формируется вектор 2 е Сп .

Вектор 2' е Сп поступает на вход приемника, который фильтрует амплитуду каждого сигнала 2\

таким образом, чтобы значение сигнала у5 на выходе приемника принадлежало допустимой области Не={|е С | е<| 1|< 1/ е}, где е(е (0;1]) - параметр приемника. После фильтрации на выходе приемника формируется вектор у = (у1,...,уп) еНп . Таким образом, определен оператор приемника:

(3)

Проиллюстрируем действие фильтра. На рис. 3 черные точки соответствуют сигналам из алфавита С3 , а белые - примеры искаженных значений сигнала.

Рис. 2. Диаграмма пространства сигналов

Рис. 3. Схема фильтрации сигнала приемником

Допустимая область Не заштрихована. Будем считать, что если сигнал по амплитуде искажается за пределы этой области (перечеркнутые точки), то приемник переводит его в сигнал, лежащий в области допустимых значений, смещая по радиусу к ближайшей точке на границе области Не.

п

Совокупное воздействие передатчика, линии связи и приемника на сигналы назовем оператором канала chn = гс\> ■ line ■ snd: F" —>■ Е", (знак «'» означает

композицию операторов). Разумеется, оператор канала не обязан быть линейным.

Вектор y (е En) из приемника направляется в декодер мягких решений, который должен восстановить информационный вектор m е F3k, посланный ранее источником сообщений. Тем самым задается оператор декодера: Dcd : En ^ F3k . Результат декодирования поступает получателю сообщения. Отметим, что успешность работы декодера канала зависит как от используемого алгебраического кода, так и от уровня шума, действующего в канале связи. Предусмотренный схемой канала передачи данных декодер должен безотказно выдавать некоторый результат всегда, вне зависимости от уровня повреждения вектора z в канале связи. Но, если вектор z сильно зашумлен в канале, то результат декодирования может отличаться от исходного вектора, поэтому на рис. 1 для векторов на выходе источника сообщений и на входе получателя сообщений используются различные обозначения m и v (е F3k) соответственно. Очевидно, что при успешном декодировании m = v .

Аналогично chn, определим оператор помехоустойчивого канала:

Chn = Dcd • rcv • line • snd • Cod : F3k ^ F3k .

Ясно, что Chn = Dcd • chn • Cod .

Замечание 1. Изменение алфавита F3, используемого на входе и выходе кодера, на алфавит Ее на выходе приемника делает возможным использование декодера мягких решений, что, в свою очередь, позволяет повысить качество декодирования.

Замечание 2. В реальных линиях связи потоки ошибок могут обладать сложной структурой (например, [2, 9, 10]), знание которой можно использовать для повышения качества декодирования, но в построенном ниже декодере структурные свойства потока ошибок не используются.

Замечание 3. Описанную выше общую модель принципа действия троичного канала передачи данных с использованием канального ДМР легко модифицировать на случай цифровых каналов передачи данных с использованием канального декодера жестких решений. Очевидно, что в общем случае значение искаженного сигнала на выходе из линии связи может как принадлежать, так и не принадлежать группе C3.

В случае, когда искаженное слово принадлежит C3n , можно говорить о дискретных ошибках. Рассмотрим описанный выше канал в предположении, что все ошибки дискретные. Это, например, означает, что в приемнике стоит фильтр, который полученному сигналу из C приписывает одно из значений группы C3, выбирая его по какому-либо критерию, например с

помощью решающих областей [1]. Тогда на выходе приемника вместо вектора у е е" будет получен у е С" . Рассмотрим оператор ц = (snd): С3" ^ F3n, действующий по формуле ц(а) = (ф_1(а1),...,Ф_1(а„)), а е С" (см. (2)) и применим его к у е С" . В результате получим вектор из F3n , как и в случае классического описания канала связи (см., например, [2]). Не теряя общности, в таком случае можно считать, что на выходе приемника и входе декодера обрабатываются векторы из F3n . При таком построении модели будет реализован аддитивный цифровой канал связи. Определим соответствующий оператор дискретного канала: chnd = ц • сЫ: F3n ^ F3n . В приложениях в дискретных каналах обычно имеет смысл рассматривать аддитивные ошибки [1, 5].

Коды Рида - Маллера ЕМ3 (г, т).

Основные определения и свойства

Рассмотрим F3 [х1,...,хт] - кольцо полиномов от т переменных над полем Fз. Не теряя общности, будем далее полагать, что в полиномах из F3 [х1,...,хт] все мономы имеют вид ф = х!у1 ...х"" ,

0 < У) < 2 .

Сумму координат вектора а е F3m, как натуральных чисел, будем обозначать р(а). Для всех точек векторного пространства F3m произвольным образом зафиксируем упорядочение

{ai,...,ап} (а; = (ал,...,а]т)) .

(4)

Полагая при этом, что элементы упорядочены следующим образом: по целочисленной сумме координат р(а) от меньшего к большему, а при одинаковых суммах - обычное лексикографическое упорядочение слева направо от большего к меньшему. В частности, а1 = 0 . Таким образом, полиномы из

F3 [х1,...,хт] будем записывать в каноническом виде

f(*) -ZaeF-,m/a х a

(5)

где х а= х1а1...х"т , а порядок слагаемых в сумме соответствует упорядочению (4). Полная степень ненулевого монома ф = х1У1...х"т = ахУ определяется равенством deg(ф) = р(у). Степень deg(f) полинома /, записанного в каноническом виде (5), определяется как максимальная степень составляющих его ненулевых мономов.

В работах [3] и [11] определены д-ичные коды Рида - Маллера ЯМд (г, т). Напомним необходимые

конструкции в случае д = 3. Используя упорядочение (4) для нумерации элементов кодового слова, опреде-

лим троичный код Рида - Маллера ЯМз(г,т) с параметрами г, т , где т > г > 1, т > 2, следующим образом:

ЯМз(г,т) = {(/(а!),..., f (а„)) | f е Fъ[xu...,Хт],

(6)

deg(/) < г} е Fзn,

где п = 3т - длина кода. Параметр г называют порядком кода. Полиномы из р [х1,...,хт] степени не выше г будем называть информационными полиномами кода RMз(r, т), обозначим множество таких

полиномов через Fз [ Х1,..., Хт ]. Информационный полином /(Х) е F3(г) [х1,..., хт ] будем записывать в

каноническом виде (5), представляя его в виде суммы однородных полиномов степеней от нуля до г :

/ (Х ) = 2р<а)<г/а Х а=а0 Х а + +2р(а)=1 /аХ + ... + Ер(а)=г/аХ .

Вектор, составленный из коэффициентов информационного полинома, называется информационным вектором; при этом предполагается, что для нумерации элементов информационного вектора, как и кодового, используется упорядочение (4). Если у(х1,...,хт) -информационный полином, то соответствующий ему информационный вектор будем обозначать V. Известно, что V е F3k , где к - размерность кода, вычисляемая по формуле

г 1г/3] 1 1 т-\

к = 2 2 (_1) 1 СгпС1-^]+т-1 .

1=0 ]

Минимальное кодовое расстояние троичного кода Рида - Маллера удобно вычислять, используя параметры дуального кода [11]. Код ЯМ3(г1, т) является дуальным к ЯМ3(г, т), если г 1= 2т - г -1. Пусть р - остаток от деления г1 +1 на 2: г1 +1 = 2ст + р , где р < 2 , тогда минимальное кодовое расстояние d кода ЯМ3(г1,т) задается выражением d=3°(р+1).

Пример 1. Рассмотрим код ЯМ3(1, т). В этом

случае п = 3т, к = 1 + т , d = 2 • 3т-1, информационные полиномы имеют вид

f (x ) = 2p(a)<1 fä x а = a0 x a + 2p(s)=1 aä x C

В силу четности d число гарантированно исправляемых ошибок для этого кода вычисляется по формуле t = (d/2) -1 = 3т-1 -1. •

Пример 2. Рассмотрим ЯМ3 (2, т). В этом случае п = 3т, к = 1 + т + С2т+1, d = 3т-1, информационные полиномы имеют вид

f (Х) = 2p(ä)<2 fäxa = a0xa + +2p(a)=1 aäx + 2p(a)=2 aäx

В силу нечетности d число гарантированно исправляемых ошибок для этого кода вычисляется по формуле t = (^ -1) / 2) -1 = (3т-1 -1) / 2 .•

Кодирование информационного вектора можно осуществлять путем вычисления значений соответствующего информационного полинома в точках пространства F3m, упорядоченного в соответствии с (4). Тогда если /(х) е Fз(2) [х1,...

] - информационный

полином, / - соответствующий информационный вектор, то кодовый вектор имеет вид:

с (/) = (/(ад..., /(а п)), (7)

(см. (6)). Таким образом, получаем оператор кодирования:

С: F/[xi_ xm ] ^ F3".

(8)

Легко видеть, что в случае применения кодов RM3(r, m) в рассмотренной выше модели канала, оператором кодера канала (1) и оператор кодирования (8) связаны равенством: Cod(f) = C(f), где f и

f — информационные полином и вектор соответственно.

Пример 3. Рассмотрим код RM3 (2,2). Для всех 2

точек из F3 зафиксируем упорядочение (4) в следующем виде {(00), (10), (01), (20), (11), (02), (21), (12), (22)}. Зададим коэффициенты информационного полинома f(Xj, x2) вектором f = (1,0,1,2,1,2), т.е. f (x1, x2) = 1 + x1 + x2 + Xj2 + x1 x2 + x^ . По формуле (7) вычислим кодовое слово C(f) = (1,0,1,0,1,2,2,0,2). •

ДМР для кодов RM 3(2, m)

Рассмотрим код RM3(2, m), n = 3m, k = 1+m+C^.

Вход: параметры m , n , k кода RM3(2, m) и полученный из канала зашумленный кодовый вектор Y = (Ущ ,...,Y„n ) e ^n(c Cn), элементы которого занумерованы в соответствии с (4).

Выход: восстановленный информационный вектор f .

Шаг 1. По принятому из канала зашумленному кодовому вектору Y еЕ'П для множества всех векторов у e F3m, упорядоченного в соответствии с (4), построим набор векторов из Cn :

{ V7 (Y) = rcv(Уу+щ Ущ1,...,Уу+щ Ущ 1)} m , (9)

1 yV ' v у+Щ Щ ' ' у+щп щп" yeF3m, 7^0 v '

где Y^s - число, сопряженное к YR, оператор rcv определен (3).

Шаг 2. Рассмотрим все значения у е F3m, у Ф 0 и для фиксированного у введем обозначение

P = (Ра,,-., Pän ):=Vy (Г

(10)

где индексы вектора Р упорядочены в соответствии с (4). Среди множества всех векторов Р = (Р1;...,РИ) е F3m и значений Р0 е F3 найдем те, которые минимизируют значение положительного функционала:

A(P, ß) = Е

s=1

Р - е

2 m(ßo +(ß,ä ^)

(е R), (11)

У2'

In'

Шаг 3. Построим двумерный массив © :

(

©(ä) =

©(ä 2);

0i,i 0

1,n

0„

0„

T (Ф) = zn=1A

i 2 л(2ф(а^ )-0 /s)

е

-1

(е R). (12)

Минимальное значение функционала для текущего фиксированного значения у обозначим dj, а полином ф, на котором достигается минимум, обозначим ю(;)(х) = Ет=1ю(д;}хч .

Построим квадратичную часть X) = Ер(а)=2 аа х а искомого информационного полинома по формуле:

х) = Е;<}аухдх] , где х е Fз'П , ас] е F3,

у е[1,...,m], ау = ан и

где ^Р,а^(е- скалярное произведение. Минимальное значение функционала для текущего фиксированного значения у обозначим Ау, а вектор Р, на котором достигается минимум, обозначим Ву. Если наименьшее значение функционала однозначно не определено, то значение Ау и, связанное с ним, Ву следует выбирать случайно из всех минимальных значений, полученных для текущего вектора Р .

Найдем значения Ау и Ву для каждого Уу (У).

Воспользуемся упорядочением (4) и сформируем два упорядоченных набора значений

В = (Щу = 0, Ву2,..., В^) и А = (Ау = 0, Ау,,..., Ау,).

I ю^, если dq < dj; | <), если dq > dj.

Шаг 5. Среди множества векторов С = (С1,...,Ст) е F3m и значений С0 е F3 найдем те, которые минимизируют значение функционала:

Ф(Г, С) = Е

s=1

^ - е

i з л(Со +(С ,as >+V(a s))

(е R), (13)

строки которого инициализируем значениями из набора В : ©(а,) = Вах = (01Д,,...,0-д,) е Fзm, далее у-й столбец полученного массива будем обозначать © у,

у = ' .

Уточним значения элементов массива © : для каждого а ж е F3m и всех Р у е F3m таких, что Р у Ф а ж, вычислим

©(а, ):= Мау(©(а, +р;)-©(р; у .а, •

где Мау - функция, возвращающая элемент, встречающийся наибольшее число раз. В зависимости от ах в формуле могут участвовать как исходные элементы массива ©, так и уже уточненные.

Шаг 4. Для каждого у = 1,..., m на множестве всех линейных однородных полиномов вида

ф(х) = Е-ЦФ;^ , Фq е Fз вычислим:

где (С,а^ (е F3) - скалярное произведение. Из найденных значений составим полином ф(X) = Е'm=1c]x] + с0 , где коэффициенты ск,

к = 0,..., m соответствуют значениям С и С0, на которых достигается минимум (13).

Результат декодирования строим в виде полинома f (X) = у (X) + ф( X), который определяет искомый информационный вектор f.

Отметим, что построенный мягкий декодер подходит для использования в модели троичного помехоустойчивого канала передачи данных в качестве оператора декодирования Dcd в случае использования в кодере канала кодов Рида - Маллера второго порядка КМ3(2, m).

Иллюстративный вычислительный пример работы алгоритма

Для наглядности в примере используем следующие краткие обозначения для элементов группы

12^1 г- 2л 2

: 1= е , е+= е 3 , е-= е 3 . Рассмот-

1 ;=0,1,2

рим код КМ3 (2,2) и информационный вектор / = (1,0,1,2,1,2) из примера 3. Отметим, что данный код гарантированно позволяет исправить одну ошибку на кодовое слово. На выходе из передатчика получаем: г =(е ,1,е ,1,е ,е-,е-,1,е-). Предположим, что из приемника получен вектор Y =(1,1,е ,1,е-,е-,е-,1,е-), содержащий две дискретные ошибки (выделены жирным шрифтом).

В результате выполнения первого шага алгоритма, согласно (9), получим следующий набор векторов:

с =V - q

s

s

s

v0c) = (Y

(00)+(10)Y(00)

Y(nn),...,Y(

(22)+(10)J (22)

iY(22) )

(^(10)^(00)'...'^(02)^(22)) С1,1,6 ,е ,е ,0) ,

У(02) = (е+,е-, е+'е-'е+'е+'0'0'е+)' У(22) = (е-,е-, е-'2'е+'0'е+'е+'0).

Результат выполнения второго шага алгоритма представим в виде четверок (у, Ат1П(Р, Р), Р, Р0), где

у(е ^32) указывает на вектор Р = Уу^) (см. (20)), Ат1П(Р, Р) - минимальное значение функционала (00), вычисленное для текущего вектора Р , Р(е F32) и Р0(е F3) - значения, на которых было достигнуто Ащт(Р,Р) : ((00), 0, (00), 0); ((20), 6.93, (20), 0); ((02), 6.93, (00), 0); ((20), 6.93, (02), 0); ((00), 5.20, (22), 0); ((02), 6.93, (22), 0); ((20), 6.93, (20), 0); ((02), 6.93, (20), 0); ((22), 5.20, (00), 0). На выходе этого шага формируем упорядоченный набор В = ((00), (00), (00), (02), (22), (22), (20), (20), (00)).

После уточнения набора В на третьем шаге получаем © =((00), (00), (00), (22), (22), (22), (00), (00), (00)).

На четвертом шаге минимум функционала (02) d0 = d2 = 0 достигнут при использовании полиномов

ю(0)(X) = ю(2)(X) = 2х0 + 2х2 . Для квадратичной части искомого информационного полинома найдены коэффициенты у20 = ^ /ю = ^ /п = 2 .

На последнем шаге алгоритма определены оставшиеся коэффициенты искомого информационного полинома: /00 = ^ /0 = ^ /02 =

В результате работы алгоритма информационный вектор восстановлен в виде / = (0,0,0,2,0,2), таким

образом, обе допущенные ошибки исправлены. Отметим, что рассмотренный код позволяет гарантированно исправлять только одну дискретную ошибку.

Проведен краткий эксперимент по тестированию корректирующей способности построенного в данной работе нового декодера. В ходе эксперимента случайные информационные слова кодировались, в кодовые слова вносилось t дискретных независимых ошибок, и результат декодирования сравнивался с исходным кодовым словом. Для каждого набора параметра кода RM3(2'т) и числа ошибок t было проведено по 200 экспериментов. Так, в случае кода RM3 (2,2), гарантированно исправляющего одну ошибку на кодовое слово, построенный декодер показал следующие результаты экспериментов: при t = 0 и t = 0 верно восстановлено 200 % кодовых слов; при t = 2 верно восстановлено 62 % кодовых слов; при t = 3 - 40 %. В случае кода RM3 (2,3), гарантированно исправляющего три ошибки на кодовое слово, построенный декодер показал следующие результаты экспериментов: при 0 < t < 6 верно восстановлено 200 % кодовых

слов; при увеличении t до 9 доля верно восстановленных слов монотонно убывает до 87 %, далее при росте t происходит резкое уменьшение количества верно восстановленных кодовых слов, так при t = 03 верное восстановление происходит только в 49 % случаев.

Заключение

Построенная общая модель помехоустойчивого троичного канала передачи данных с использованием декодера мягких решений позволяет использовать ее с различными помехоустойчивыми кодеками. Для варианта этой модели с использованием троичных кодов Рида - Маллера второго порядка создан новый декодер мягких решений троичных кодов Рида - Маллера второго порядка, позволяющий исправлять ошибок больше, чем гарантируется минимальным кодовым расстоянием. Предварительное тестирование построенного декодера подтвердило корректность его работы. Дальнейшее развитие данной работы связано с построением имитационной модели, которая позволит экспериментально оценить корректирующую способность разработанного декодера по отношению к различным типам ошибок и сравнить его характеристики с параметрами других декодеров недвоичных кодов Рида - Маллера. Математическое обоснование корректности построенного декодера основано на применении теории квадратичных форм над полями Галуа и методов дифференциального исчисления для кольца полиномов Fз ^ Х0,..., Хт ]; обоснование связано с большим объемом выкладок и публикуется отдельно.

Литература

1. Прокис Дж. Цифровая связь. М., 2000. 800 с.

2. Деундяк В.М., Могилевская Н.С. Математическое моделирование источников ошибок цифровых каналов передачи данных: учеб. пособие. Ростов н/Д., 2006.

3. Santhi N. On Algebraic Decoding of q-ary Reed-Muller and Product-Reed-Solomon Codes // Cornell University Library. 2007. URL: http://arxiv.org/pdf/0704.2811v1.pdf (дата обращения 28.08.2014).

4. Paterson K.G., Jones A.E. Efficient Decoding Algorithms for Generalised Reed-Muller Codes // IEEE Transactions on Communications, 2000. Vol. 48 (8). P. 1272 - 1285.

5. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. М., 2005. 320 с.

6. Сидельников В.М., Першаков А.С. Декодирование кодов Рида - Маллера при большом числе ошибок // Проблемы передачи информ. 1992. Т. 28. № 3. С. 80 - 94.

7. Loidreau P., Sakkour B. Modified version of Sidel'nikov-Pershakov decoding algorithm for binary second order Reed-Muller codes // Ninth International Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding theory, ACCT-9., Kranevo, 2004. Р. 266 - 271.

8. Могилевская Н.С., Скоробогат В.Р., Чудаков В.С. Экспериментальное исследование декодеров кодов Рида -Маллера второго порядка // Вестн. Донского гос. техн. ун-та. 2008. Т. 8, № 3. С. 231 - 237.

9. Деундяк В.М., Могилевская Н.С. Математическое моделирование источника ошибок q-ичного канала передачи данных // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Техн. науки. 2008. № 1. С. 3 - 7.

10. Деундяк В.М., Могилевская Н.С. О некоторых экспериментальных исследованиях помехоустойчивых кодеков с помощью имитационной модели канала // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Техн. науки. 2003. № 4. С. 7 - 11.

11. Pellikaan R., Wu X.-W. List decoding of q-ary Reed-Muller Codes // IEEE Trans. On Information Theory. 2004. Vol. 50 (4). P. 679 - 682.

References

1. Prokis Dzh. Cifrovaya svyaz' [Digital communication]. Moscow, Radio i svyaz', 2000, 800 p.

2. Deundyak V.M., Mogilevskaya N.S. Matematicheskoe modelirovanie istochnikov oshibok cifrovyh kanalov peredachi dannyh: ucheb. posobie [Mathematical modeling error sources in digital channels for data transmission: manual]. Rostov n/D, Izdatel'skij centr DGTU, 2006.

3. Santhi N. On Algebraic Decoding of q-ary Reed-Muller and Product-Reed-Solomon Codes . Cornell University Library. 2007. Available at: http://arxiv.org/pdf/0704.2811v1.pdf (accessed 28.08.2014).

4. Paterson K.G., Jones A.E., Efficient Decoding Algorithms for Generalised Reed-Muller Codes. IEEE Transactions on Communications, vol. 48 (8) (2000), pp. 1272-1285.

5. Morelos-Saragosa R. Iskusstvo pomehoustojchivogo kodirovaniya. Metody, algoritmy, primenenie [The Art of error correcting coding. Methods, algorithms, applications.]. Moscow, Tehnosfera, 2005, 320 p.

6. Sidel'nikov V.M., Pershakov A.S. Dekodirovanie kodov Rida-Mallera pri bol'shom chisle oshibok [Decoding reed-Muller codes with a large number of errors]. Probl. peredachi inform, 1992, vol. 28, no. 3, pp. 80-94.

7. Loidreau P., Sakkour B. Modified version of Sidel'nikov-Pershakov decoding algorithm for binary second order Reed-Muller codes. Ninth International Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding theory, ACCT-9. Kranevo, 2004, pp. 266-271.

8. Mogilevskaya N.S., Skorobogat V.R., Chudakov V.S. 'Eksperimental'noe issledovanie dekoderov kodov Rida-Mallera vtorogo poryadka [Experimental study of decoders for reed-Muller codes of the second order]. VestnikDonskogo gos. tehn. un-ta, 2008, vol. 8, no. 3, pp. 231-237.

9. Deundyak V.M., Mogilevskaya N.S. Matematicheskoe modelirovanie istochnika oshibok q-ichnogo kanala peredachi dannyh [Mathematical modeling of the source of the error q-ary channel data // proceedings of higher educational institutions]. Izves-tiya vysshih uchebnyh zavedenij. Sev.-Kav. region. Seriya: Tehn. Nauki, 2008, no. 1, pp. 3-7.

10. Deundyak V.M., Mogilevskaya N.S. O nekotoryh 'eksperimental'nyh issledovaniyah pomehoustojchivyh kodekov s pomosch'yu imitacionnoj modeli kanala [Some experimental studies of error-correcting codec using the simulation model of the channel]. Izvestiya vysshih uchebnyh zavedenij. Sev.-Kav. region. Seriya: Tehn. Nauki, 2003, no. 4, pp. 7-11.

11. Pellikaan R., Wu X.-W. List decoding of q-ary Reed-Muller Codes. IEEE Trans. On Information Theory, 2004, vol. 50 (4), pp. 679-682.

Поступила в редакцию 8 октября 2014 г.