Об условиях корректности декодера мягких решений троичных кодов Рида - Маллера второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 4, С. 23-33

УДК 519.725

ОБ УСЛОВИЯХ КОРРЕКТНОСТИ ДЕКОДЕРА МЯГКИХ РЕШЕНИЙ ТРОИЧНЫХ КОДОВ РИДА - МАЛЛЕРА ВТОРОГО ПОРЯДКА

В. М. Деундяк, Н. С. Могилевская

Теоретически изучаются условия корректности работы нового декодера мягких решений кодов Рида — Маллера второго порядка над полем Е3, экспериментальное исследование которого показало, что по корректирующей способности он значительно превосходит декодер по минимальному кодовому расстоянию Хемминга. Для дискретного канала передачи данных выделено условие гладкости, при выполнении которого доказано, что исследуемый декодер гарантировано исправляет все ошибки, число которых не превышает допустимое количество ошибок, предусмотренное конструкцией кода.

Ключевые слова: коды Рида — Маллера, мягкий декодер, доказательство корректности декодера.

Введение

Рассмотрим схему прохождения данных в моделях помехоустойчивых каналов связи с дискретным входом: источник сообщений, кодер канала, передатчик, линия связи с шумом, приемник, декодер канала и получатель сообщений [1]. При этом если приемник выдает дискретные данные, то говорят о дискретных каналах и жестких решениях приемника, а если приемник выдает аналоговые сигналы, то говорят о полунепрерывном канале и мягких решениях приемника [2]. В последнем случае имеет смысл использовать декодер мягких решений (ДМР), который обычно дает лучшие результаты по сравнению с декодированием жестких решений; эффективность ДМР основана на том, что в отсутствии демодулятора не накапливаются ошибки квантования. Обычно ДМР обладают большей сложностью [2, с. 357]. К декодерам такого типа относится обладающий значительной корректирующей способностью декодер двоичных кодов Рида — Маллера второго порядка с вещественным входом, предложенный В. М. Сидельниковым и А. С. Першаковым [3], который исследовался в работах [4, 5]. В [6] построен новый ДМР с входными данными из поля комплексных чисел, распространяющий алгоритмы декодирования из [3, 4] на случай кодов Рида — Маллера второго порядка над полем Галуа

В настоящей работе исследуются условия корректности работы декодера из [6]. Математическая суть этого декодера состоит в том, что для поиска верного кодового слова с, соответствующего информационному полиному нескольких переменных /, декодер по полученному из канала зашумленному слову с строит зашумленные версии кодовых слов для всех производных полинома /, а затем декодирует их в ^-метрике, пропорциональной метрике Хемминга, и на основе полученных результатов восстанавливает слово с. Таким образом, поиск по слову с ближайшего по метрике Хемминга слова с

© 2016 Деундяк В. М., Могилевская Н. С.

происходит в некотором смысле на основе применения аналога соболевской нормы [7]. Для дискретного канала передачи данных выделено условие гладкости, при выполнении которого сформулирована и доказана теорема о корректности работы этого декодера в ситуации, когда число ошибок в кодовом слове не превосходит половину минимального кодового расстояния.

Отметим, однако, что этот декодер может исправлять часть ошибок и за границей половины минимального кодового расстояния, что подтверждается проведенными экспериментами [8]. Таким образом, естественной областью применения разработанного декодера являются каналы связи низкого качества, используемые для передачи ценных сообщений, какими являются, например, отводные каналы утечки информации [9-11].

1. Коды ДМз(2,т) и разностные операторы

Над полем Галуа Кз рассмотрим алгебру полиномов от т переменных Кз [жх,..., хт],

при этом, не теряя общности, будем полагать, что все мономы имеют вид ах]1 ...х^Т, 0 ^ ^ 2. Для произвольного а = (ах,..., ат) из линейного пространства через р(а) обозначим сумму координат как сумму натуральных чисел. В пространстве К™ мощности п = 3т зафиксируем линейное упорядочение

{ах;...; а„} (а] = (аз!, аз2 ,..-,азт)), (!)

по параметру р(а) от меньшего к большему, а при одинаковых значениях р(а) предполагается лексикографический порядок слева направо от большего к меньшему. Полиномы из Кз [хх,..., хт] будем записывать в каноническом виде

/ (Ж)= ^ / Жа,

где а = (ах,...,ат), Ж = (хх,...,хт), Жа = ха1 . ..ж™", а порядок слагаемых в сумме соответствует упорядочению (1). Для ненулевого монома аха степень определяется как р(а), а степень deg(/) полинома / определяется как максимальная степень составляющих его ненулевых мономов. Множество полиномов из Кз[хх,..., хт] степени не выше г

(г)

обозначим через [хх,... , хт]. По аналогии с определением производной в булевом случае (см. [12, с. 89]) определим оператор дифференцирования по направлению Ь (е К™)

з

правилом

В- : ^^ [х х,..., хт ] ^ Кзг х)[хх,...,хт]

(£>-ь/)(х) = /-(х) - /(х), /-(х) = /(х + Ь). (2)

Легко видеть, что этот оператор определен корректно и является линейным. Приведем необходимые сведения о кодах Рида — Маллера над полем Кз:

ДМ з (г, т) = {(/(ах),..., / (а„)) : / е Кзг) [хх,..., хт ]}

см., например, [13]). Параметр г (^ т) называется порядком кода ДМз(г,т). Рассмот-)им оператор кодирования С : Кзг) [хх,... , хт] ^ К™, определяемый равенством

С(/) = (/(ах),..., /(а™)), / е Кзг)[хх,..., хт]. (3)

аег"

Полиномы из , жт] назовем информационными, а вектор, составленный из ко-

эффициентов информационного полинома /, будем называть информационным вектором и обозначать через / . Далее будем рассматривать коды Рида — Маллера порядка 1 и 2. Опишем параметры кода ДМз(1,ш): длина кода п = 3™, размерность к = 1 + ш, минимальное кодовое расстояние й = 2 ■ 3™-1, число гарантированно исправляемых ошибок £ = 3™-1 — 1, информационные полиномы кода имеют вид

а(ж) = ад + ^ аажа.

р(«)=1

Опишем параметры кода ДМз(2,ш):

п = 3™, к = 1 + ш + Ст+1, й = 3™-1, £ =

™-1

1

информационные полиномы кода имеют вид

/(ж) = ад + ^ а«жа + ^ а«жа.

р(а)=1 р(а)=2

В этом равенстве полином /(ж) является суммой скаляра, линейной формы и квадратичной формы, поэтому далее будем его записать следующим образом:

где а = (/ю...оо,/01...00,

А =

( ^200..00 2/110...00 2/101...00

/ (ж) = а0 + (ж, а) + жАжт,

...01(.,.) — знак скалярного произведения в Щ™ и

\

(4)

2/110...00 2/101...00 ^020..00 2/011...00 2/011...00 /002..00

2/100...10 2/010...10 2/001...10

2/100...10 2/010...10 2/001...10 2/100...01 2/010...01 2/001...01

0..20 2/000...11

2/100...01 2/010...01 2/001...01

2/000...11 0..02

Отметим, что в поле Кз выполняется равенство 2-1 = 2.

/

произвольного вектора Ь (е К™)

(Я/)(ж) = 2жА Ь 1 + / ( Ь) — /00...00.

(5)

Чтобы ввести в пространстве ЩП аналог опера тора рассмотрим сначала для Ь е оператор сдвига т ь : Щ™ ^ Щ™, определяемый равенством

т Ь(а) = (а«1 +Ь, . . . , аап+Ь),

(6)

где а = (аа1, ...,аап) е ЩП (см. (1)). Отметим, что т ь является перемешивающим биективным отображением. Разностный оператор Д^ : Щ™ ^ Щ™ определим формулой

Дь(а) = ть(а) — а-

Далее Дь(а) будем называть производным вектором вектора а то направлению Ь. Установим связь между введенными выше операторами.

2

Лемма 1. Пусть / е Кз[хх,... ,хто], Ь е Кз™. Тогда

Ч (С (/)) = С (/-), С (Я-/) = Л-- (С (/)).

< Для проверки первого равенства следует использовать (3) и (6), а второе вытекает из линейности оператора кодирования С и равенств (2), (7). >

2. Помехоустойчивый канал на кодах ДМз(2,т).

Гладкость канала

Рассмотрим стандартную схему прохождения данных над алфавитом Кз в математической модели помехоустойчивого канала связи, основанного на применении описанных выше [п, к,^]з-кодов ДМз(2,т): источник сообщений (ИС), кодер канала (КК), передатчик, линия связи с шумом (ЛСШ), приемник, декодер канала (ДК) и получатель сообщений (ПС) (см. [6]). Из ИС па вход КК поступают информационные векторы т е на выходе КК формируются кодовые векторы с е ИМз(2, т) (с К?). Чтобы описать работу передатчика рассмотрим мультипликативную группу Сз = {ег~-? 12^ ^ корней третьей степени из 1, изоморфизм р групп ы Сз на аддитивную групп у поля Кз, который определяется равенством р-1^') = ] £ Кз, и соответствующее отображение пространств векторов

р„ : СП ^ 1?. (8)

Передатчик на физическом уровне конвертирует элементы поля Кз в комплексные числа Сз

ные на выходе КК кодовые векторы с е ЯМз(2, т) (с К?) преобразует в с = р?(с) е С?. Эти векторы передатчик отправляет в ЛСШ, где в силу искажений они модифицируются в векторы С е С? с ненулевыми координатами. Векторы С = (с!,..., с?) поступают на вход приемника, который в зависимости от настроек может выдавать мягкие или жесткие решения о принятом сигнале.

В случае мягких решений приемник преобразует значение каждого сигнала г'8 е С \

{0}

с : С\{0}^ ~е = {£ е С : е < |£| < е-х} , (9)

с параметром е е (0; 1], которая определяется по следующему правилу: если е ^ |£| ^ е-х, то С(0 = 6 если 0 < < е, то ((6 = если е"1 < то ((6 = ¿КГ1^-1^

В случае жестких решений приемник преобразует вектор г' € С° в вектор У £ С™, используя, например, для каждой координаты принцип решающих областей [2]. В этом случае преобразованный вектор У также принадлежит 5?, так как С? с 5?.

Отметим, что вне зависимости от настроек с выхода приемника вектор 7 6 5™ направляется в декодер мягких решений, конструкция которого представлена ниже. Этот декодер вычисляет некоторый информационный вектор т! е Кд и передает его в ПС. Очевидно, что с учетом искажений в ЛСШ вектор т! может отличаться от исходного т

В зависимости от настроек приемника можно вести речь о помехоустойчивом полунепрерывном или дискретном канале передачи.

Внутри описанного выше помехоустойчивого канала связи можно выделить внутренний непомехоустойчивый канал, свойства которого влияют на корректирующую способность кодека исходного канала. Действительно, если в описанной выше модели помехоустойчивого канала связи убрать блоки КК и ДК, то в режиме жестких решений приемника реализуется дискретный непомехоустойчивый канал, а в режиме мягких решений

приемника — полунепрерывный непомехоустойчивый канал. Тогда схема прохождения данных по каналу следующая: ИС, передатчик, ЛСШ, приемник и ПС. В отсутствии кодека канала предполагается, что ИС формирует векторы, а ПС получает векторы дли-п

связи и приемника на сообщения назовем оператором внутреннего непомехоустойчивого полунепрерывного канала, который обозначим

сИп: ^

ЧП

В случае жестких решений приемника на вход ПС помехоустойчивого канала поступают элементы из пространства С?. Соответствующий оператор внутреннего непомехоустойчивого дискретного канала обозначим

с^ : Ж? ^ СП.

Оператор сИп^ и породивший его дискретный помехоустойчивый канал будем называть гладкими, если зашумление вектора С(/) (е ИМз(2, т)) в канале тесно связано с зашумлением векторов С(Щ/) (е ИМз(1, т)) для всех Ь е Ж™, а именно, если

Д-ьЫсЬп^С (/)))) = ЫсЬпа(С (Щ/))). (10)

Разностный оператор Д- является дискретной версией оператора дифференцирования Щ, поэтому условие (10) — это некоторый аналог свойства преобразования касательных расслоений, индуцированных гладким отображением многообразий (см., например, [14, с. 29]).

/е

жз2)[жь...,жт], Ь е жт,

е = МсИ^ (С (/))) — С (/), ё = МсЬп^Щ/))) — С(Щ/).

Тогда, если вес Хемминга ошибки е не превосходит число ошибок, гарантированно исправляемых кодом ИМз(2,ш), т. е.

^ь(ё) < ¿яМ3(2,т) = \ (З™-1 - 1) ,

то вес Хемминга ошибки е не превосходит число ошибок, гарантированно исправляемых кодом ИМз(1, т) т. е.

^ь(ё) ^ ¿ямз(1,т) = 3™-1.

< Отметим, что значения ¿ям3(2,т) и ¿ям3(1,т) предъявлены в разделе 1. Используя

Д

МсЬпа(С(Щ/))) = Д-ь(МсЬпй(С (/)))) = Д-(С (/) + е) = Д-Ь(С (/)) + Д-(е) = С (Щ/) + т- (е ) — е .

Таким образом,

е = сЬп^С(Щ/)) — С (Щ/) = т-(е) — е.

По условию леммы

^ь(ть(ё)) = < ^ (З™"1 - 1).

Следовательно,

wth(ё) = wth(т-(е) — е) < wth(т-(е)) + wth(е) < (3т-1 — 1). >

3. Конструкция ДМР для кодов ДМз(2,т)

Опишем в усовершенствованном виде конструкцию ДМР для кодов ДМз(2,т) из работы [6]. Для этого в пространстве по аналогии с (2), (7) введем операторы

а :

-¡П _. 2"

V- • 2" V 2" УЬ • 2е ^ 2е ,

которые действуют по правилам

= (Ш+аг,- ■ ■ М+ап) , ^(Г) = (( {щ+^Уа!) , С {УЪ+апУ )

(11)

соответственно, где У = (уа1,..., уап) £ 2", С — фильтрующая функция (9).

Алгоритм. Вход: [п,к,^]з-код ДМз(2, то), полученный из капала зашумленный кодовый вектор У = (Уа1,..., Уап) £ 2" (С С").

Выход: восстановленный информационный вектор /. Шаг 1. Построим упорядоченный в соответствии с (1) набор векторов из

где £ — фильтрующая функция (9), У" — число, сопряженное к Уаа.

Шаг 2. Рассмотрим в соответствии с (1) все 7 £ К™, 7 = 0, и для фиксированного 7 определим

Среди всех в(ж) = во + в1Ж1 + • • • + втЖто из

к31} [ж 1,... , жт] найдем полином, который

минимизирует функционал:

Ф(Р, /3) = ^ Раа - е^з^(^) (£ Ж).

5=1

Минимальное значение функционала для текущего значения 7 обозначим через Ф7, а вектор, на котором достигается минимум — через В7 = (в7,..., вт)•

Найдем значения Ф7 и В7 для каждого 7 £ К™, 7 = 0- Сформируем упорядоченный в соответствии с (1) набор Ф = (Фа1 = 0, Фа2, Фаз,..., Фап) и двумерный массив

В =

( Ба-1 \ Б,

а2

0

а

V Б«„ /

0

ва2 ... вт

в

1

вт /

Шаг 3. Пусть © = В:

©

а1

©

©а

^ #11 ■ ■ ■ ^ \ $1го ' ' ' /

При необходимости ^'-й столбец полученного массива будем обозначать через ©^ ] = 1,... ,то. Пусть Ма] {X} — функция, возвращающая элемент, встречающийся наибольшее число раз в множестве X. Обновим строки массива ©:

©а =Ма]{©аз +в. -

теЕ^ ,7=0

71

П

Шаг 4. Восстановим квадратичную часть ^(ж) искомого информационного полинома / (ж), построив матрицу А (см. (4)).

Шаг 4.1. Для каждого ] £ {1,..., т} па множестве всех линейных однородных полиномов вида

т

Ь(ж) = ^ ж?, Ьч £ Жа, (12)

9=1

находим минимум функционала, определенного в соответствии с весовой ^-нормой:

п

Щ5) = + 1) _ 1 (13)

5=1

Минимальное значение функционала для текущего фиксированного значения ] обозначим через а полином, на котором достигается минимум — через

9=1

Шаг 4.2. Симметрическую матрицу А построим в виде

А = .....т],

где

I, ^^, I^^ ^.

Сформируем квадратичную часть ^(ж) искомого полинома по формуле

^(ж) = ^ еа?, ж? ж,, ж = (ж1 ,Ж2 ,...,Жт) £ Жт, £ Жз, £ [1,...,т],

где е = 1, если д = ^ е = 2, если д =

Шаг 5. Среди множества всех полиномов £(ж)(£ ж31)[ж1 ,...,жт]) найдем полином, который минимизирует значение функционала

ф(г> о = ^\Уаа - (е Ж)

5 = 1

который обозначим через ф(ж) = Со + ^т=1 с,ж, • Результат декодирования строим в виде полинома /(ж) = ^(ж) + ф(ж), который определяет искомый информационный вектор / .

4. Достаточное условие корректности работы ДМР

В следующей теореме показано, что алгоритм мягкого декодирования из раздела 3 корректен в случае применения его в гладком дискретном канале в ситуации, когда число ошибок не превышает половины кодового расстояния на одно кодовое слово. Но, проведенные в [8] эксперименты показали, что в действительности ДМР исправляет также и часть ошибок за пределами половины кодового расстояния. Таким образом, в целом, по корректирующей способности разработанный декодер превосходит декодер по минимальному расстоянию Хемминга. Из этого следует, что естественной областью применения

разработанного декодера являются каналы связи низкого качества, которые тем не менее приходится использовать на практике для легальной или нелегальной передачи важных сообщений.

Теорема. Рассмотрим гладкий дискретный помехоустойчивый канал передачи данных, построенный на кодах Рида — Маллера ДМ3(2,т). Пусть / £ — информационный вектор, а / , жт] — соответствующий ему информационный полином. Предположим, что по каналу передано кодовое слово С(/) £ ДМз(2,т), а приемником из канала получен вектор У = сЬп^(С(/)) £ С™, причем

^/г(С(/) — Ц,П(У)) ^ ^ (З™-1 — 1) .

/

< Рассмотрим работу алгоритма декодирования по шагам.

На первом шаге по полученному из дискретного канала вектору У = еИп^С (/)) £ Сд(с 2") для каждого 7 £ 7 ф 0, строится У~((У) = У-^сЬп^С^/))) £ 2™. Для произвольного Ь £ Кт обозначим через

: СП ^ СП, V- : СП ^ СП

ограничения на СП отображений V- соответственно. Непосредственно проверяется, что (см. (6)—(8), (И))

т- ■ ^п = > Д- ■ ^п = ^-• (14)

При определении дискретного канала пространство СП отождествлялось с изоморфным ему пространством ЕП, поэтому для построенного на первом шаге алгоритма вектора У-у(К) получаем, используя (14) и условие гладкости (10), что

м^у (у)) = = м^сьп^са))))

= Ду (М^па (С (/)))) = МсИпа(С /))). Таким образом, на первом шаге по полученному из канала вектору

У = еИпа(С(/)) £

СП фактически построено множество векторов еИп^С(^/)) £ СП, 7 £ Е™, 7 = 0. Согласно лемме 1 С(Лу/) £ ДМз(1,т). В силу леммы 2 из условия теоремы получаем,

(С/) - сИпа(С(Лу/)) < 3т-1 - 1,

т. е. в построенных векторах еЬпа(С(Ву£)) код ЯМз(1,т) исправляет все ошибки.

На втором шаге для каждого из векторов = сЬп¿(С(£Ьу/)), 7 £ К™,

7 / 0, с использованием функционала Ф(Р,/3) отыскивается такой линейный полином (х) = во + в1х1 + ••• + который в закодированном виде С(ву(X)) = (е^з71"^71*"5),...; ^ а^™) близок к У-у(К) по метрике Ь\. Как было отмечено выше, код ДМз(1,т) позволяет гарантированно исправить все ошибки в = сИпа(С(^/))• Метрика ¿1 пропорциональна метрике Хемминга, поэтому на шаге 2 происходит декодирование производных по минимуму расстояния Хемминга и, следовательно,

(х) = во + ву Х1 + • • • + вт х™ = ^ / (х). (15)

В силу (5)

ву (Х) = 2ХА7т + /(7) - /00...00,

поэтому

B = (в? ) = (2A7T )T = 2yA. (16)

Таким образом, в строках матрицы B находятся верные значения коэффициентов однородной части L^ /производной D /, 7 G F™. Иначе говоря,

Bj = L~f. (17)

Элементы Ф^ набор а Ф можно назвать коэффициентами недоверия к найденному значению B^: чем точнее найдено B^, тем меньше пара метр Ф^. При отсутствии ошибок в декодируемом кодовом слове элементы Ф^ принимают пулевые значения.

B

B

шаге не изменяются. Именно, в основе уточняющих преобразований лежат следующие соображения: из (16) вытекает, что для произвольных в? G F^ имеет место равенство

2äsA + 2в? A = 2(а + в? )A,

следовательно, естественно требовать выполнение условия

Ba + Bßj = Bas .

Однако выше было показано, что векторы B^ найдены верно, следовательно, после процесса обновления строк матрицы © = B, эта матрица не изменяется.

На вход четвертого шага поступает матрица © = B, строки которой имеют вид (17). Воспользуемся равенством

Las / = Das (S (/)), (18)

где S(/) — однородная квадратичная часть / (см. (4)), и отметим, что матрица © = B в качестве строк содержит коэффициенты правильно найденных производных квадратичной части информационного полинома. Строки матрицы © = B, соответствующие производным по базисным направлениям

Vi = (1, 0, 0,..., 0, 0), /2 = (0,1, 0,... , 0, 0), ..., г/т = (0, 0, 0,... , 0,1),

2A

равенством (16), получаем

( BT| ... | Bfm ) = ( 2A/T| ... |2Avm ) = 2A ( /f| ... | г™ ) = 2A.

Итак, в случае гладкого дискретного помехоустойчивого канала передачи данных,

A

уже построена, но декодер, спроектированный для более сложной ситуации, продолжает работать: на шаге 4.1 он строит вспомогательные полиномы (ж), а на шаге 4.2 формирует матрицу A из коэффициентов полиномов (ж), производя при этом ее симметризацию, которая может потребоваться в случае большого количества ошибок в канале связи. В заключение этого шага по матрице A определяется квадратичная часть п(ж) искомого информационного полинома /(ж). Теперь рассмотрим вспомогательные утверждения и покажем, что ни полиномы (ж), найденные на шаге 4.1, ни последующий

A

Утверждение 1. Пусть ¿(ж) — линейный однородный полином вида (12). Для каждого ] £ {1,..., т} функционал 1} (¿) принимает нулевое значение при

25(ж) = (^. / )(ж).

< Из (17) следует, что элементы } матрицы © = В вычисляются по формуле } = Тогда

\т _ ^ /тзТ \ _ о л,-/г

25(âs) = (^./)(<хя) = âa(L*.f) = äs(B= as2 Aûj = 2 äsAüJ = BâavJ = L~JuJ = 9js.

В силу определения функционала Tj(¿) (см. (13)) это завершает доказательство. >

Утверждение 2. Рассмотрим базисные векторы j j = 1,... , m, пространства F™. Для столбца ©j матрицы © справедливо

(©j)T = C(Lvjf) = C(D*. (S(f))),

где C — оператор кодирования (3). < Сначала покажем, что (см. (1))

Das (S(f ))(/ )= Dp. (S(f ))(âs ). (19)

Используя (16), (18), преобразуем обе части равенства:

Das (S(f ))(/ ) = (Las f )(/ ) = (Bas> = Bas j = 2äsAj,

Dp (S(f ))(äs) = (Lvjf )(as) = 2/jAaT.

В силу симметричности матрицы A получаем (19).

Из (15) вытекает, что ßY = Dp (S (f ))(/), где j £ F™ (см. (1)). По определению матрица ©, которая в условиях теоремы совпадает с матрицей B, формируется из n строк вида By = (ßY,..., ßm)• Воспользуемся (19), тогда j-й столбец матрицы © имеет вид

(©j)T = (ßf,..., j)T = (Dvj (S(f ))(Ö1 ),..., Dvj (S(f ))(ä„))T = C(Dj (S(f ))). >

Таким образом, с учетом условий теоремы, а также сформулированных утверждений, на шаге 4.1 найдены полиномы ¿j(ж) = 2DPj.(S(f)), j = 1,...,m, которые после

©=B

A

квадратичной формы (см. (4)), для которой A = 2(В^11 ... IB^J.

A

пая часть ф искомого информационного полинома f кода RM3(2,m).

Ha вход пятого шага алгоритма подается полином ф. В ходе выполнения этого шага перебором отыскивается линейная часть ф полинома f = ф + ф таким образом, чтобы вектор C (f ) по Li-метрике, пропорциональной метрике Хемминга, был ближайшим к полученному из канала вектору Y. В силу условия теоремы, ограничивающего число ошибок в зашумленном кодовом векторе Y половиной минимального кодового расстояния кода Рида — Маллера RM3(2,m), такой полином ф, а, следовательно, и полином f

>

Литература

1. Деундяк В. М., Маевский А. '-).. Могилевская Н. С. Методы помехоустойчивой защиты данных: Учеб.—Ростов н/Д.: Изд-во Южного федерального ун-та, 2014.—309 с.

2. Прокис Дж. Цифровая связь.—М.: Радио и связь, 2000.—800 с.

3. Сиделъников В. М., Першаков А. С. Декодирование кодов Рида — Маллера при большом числе ошибок // Проблемы передачи информации.—1992.—Т. 28, № 3.—С. 80-94.

4. Loidreau P., Sakkour В. Modified version of Sidel'nikov-Pershakov decoding algorithm for binary second order Reed-Muller codes // Ninth International Workshop on Algebraic and Combinatorial Coding theory, ACCT-9, Kranevo.-2004.-P. 266-271.

5. Могилевская H. С., Скоробогач В. P., Чудаков В. С. Экспериментальное исследование декодеров кодов Рида — Маллера второго порядка // Вести. Донского гос. тех. ун-та.—2008.—Т. 8, № 3.— С. 231-237.

6. Деундяк В. М., Могилевская Н. С. Модель троичного канала передачи данных с использованием декодера мягких решений кодов Рида — Маллера второго порядка // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки.—2015.—№ 1 (182).—С. 3-10.

7. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы.—М.: Мир, 1985.—25 с.

8. Могилевская Н. С. Корректирующая способность декодера мягких решений троичных кодов Рида — Маллера второго порядка при большом числе ошибок // Вести. Донского гос. тех. ун-та.— 2015—№ 1.-С. 121-130.

9. Деундяк В. М., Косолапов К). В. О стойкости кодового зашумления к статистическому анализу наблюдаемых данных многократного повторения // Модел. и анализ информ. систем.—2012.— Т. 19, № 4.-С. 110-127.

10. Вукашкин С. А. Метод случайного кодирования // Радиотехника.—2014.—№ 4.—С. 30-36.

11. Косолапов К). В. Коды для обобщенной модели канала с подслушиванием // Проблемы передачи информации.—2015.—Т.51, № 1,—С. 23-28.

12. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и крипто-логии.-М.: МЦНМО, 2004.-470 с.

13. Pellikaan R., Wu X.-W. List decoding of q-ary Reed-Muller codes // IEEE. Trans. Infor. Theory.— 2004.-Vol. 50 (4).-P. 679-682.

14. Хирш M. Дифференциальная топология.—M.: Мир, 1979.—280 с.

Статья поступила 11 октября 2015 г.

Деундяк Владимир Михайлович Южный федеральный университет, доцент кафедры алгебры и дискретной математики РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: vl. deundyakOgmail. com

Могилевская Надежда Сергеевна

Донской государственный технический университет,

доцент кафедры кибербезопасности информационных систем

РОССИЯ, 344000, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1

E-mail: broshkaOnm. com

ON CORRECTNESS CONDITIONS OF A SOFT-DECISIONS DECODER FOR TERNARY REED-MULLER CODES OF SECOND ORDER

Deundyak V. M., Mogilevskaya N. S.

We study theoretically conditions of correct operation of a new soft decisions decoder of Reed-Muller second order codes over the field F3, whose experimental research showed that its corrective ability exceeds that of the decoder of the minimum Hamming's distance. For discrete data channel allocated we indicated the smoothness condition under which the decoder guarantees correction of all errors, the number of which does not exceed the permissible number of errors referred to the code design.

Key words: Reed-Muller codes, soft decoder, decoder correctness proof.