CC BY
9
УДК 621.313.321
А.Ю. Ковалев, *А.А. Савченко
Нижневартовский филиал ОмГТУ, г. Нижневартовск * Академический институт прикладной энергетики, г. Нижневартовск
СЕРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ КОСА ДЛЯ РАСЧЕТА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ
На основании многолетних разработок и исследований с участием авторов последнее время подведен итог создания численных методов третьего порядка типа Розенброка, которые адекватно подходят для решения смешанных дифференциально-алгебраических систем уравнений, моделирующим электротехнические комплексы [1, 2, 4, 5]. В данной статье эти методы систематизируются на единой основе оптимизации их параметров и коэффициентов.
В ОмГТУ, как альтернатива явным численным методам интегрирования смешанных дифференциальных систем уравнений и неявным методам Батчера, были разработаны полу-явные численные методы интегрирования смешанных дифференциальных уравнений типа Розенброка [3]. От явных методов типа Розенброка их отличает наличие свойства Ь- и А-устойчивости, от неявных - отсутствие неявных процедур решения алгебраических уравнений. Структура таких методов строится по следующей схеме:
1^=1 +h(C k + C k + C k), I (0)=1 , te[t ^
], (1)
п 1 1 2 2 3 3
0 0 кон
k1=[Aw - haA(i*n, ^ + ha’)]~1f(i*n,tn + ha1), (2)
Серия методов КОСА Таблица 1
Название Сі С2 Сз аі а2 аз Р21 Рзі Рз2 а’ а
КОСА 3ЬЛ-1 0.3508075 0.4143974 0.2347951 0.2857222 0.8417907 0.2169153 0.6330115 -0.3110652 -0.5330101 0.405813 4 0.43586 6522
КОСА 3ЬЛ-2 0.638222 0.2225371 0.1392409 0.7049452 0.0120655 0.3404404 -0.5689437 0.3698887 1 0.444246 9
КОСА 3ЬЛ-3 0.6252398 0.2321851 0.1425751 0.7129853 0.0326926 0.3270032 -0.5556385 0.3546852 1 0.450464 1
КОСА 3ЬЛ-4 0.1586933 0.4280344 0.4132723 0.9471032 0.1868355 0.6526667 -0.5377186 0.3556226 0.356487 8 0.356402 7
КОСА 3ЬЛ-5 0.1887926 0.4161343 0.3950731 0.991278 0.2073673 0.5734674 -0.5407627 0.3611135 0.370810 4 0.396082 7
КОСА 3ЬЛ-6 0.6880698 0.1858968 0.1260334 0.6725949 -0.0764323 0.4079574 -0.6285654 0.4359823 1 0.418486 2
КОСА 3ЬЛ-7 0.7160735 0.165632 0.1182945 0.6514982 -0.1350933 0.4721707 -0.6696866 0.4798241 1 0.399293 3
КОСА 3ЬЛ-8 0.2861485 0.471113 0.2427385 0.2923966 0.801573 0.1594289 0.5760873 -0.2873647 -0.566512 0.376961 6
КОСА 3ЬЛ-9 0.5037468 0.3241825 0.1720707 0.786193 0.1952272 0.2363477 -0.4603935 0.2401008 1 0.509581 3
КОСА 3ЬЛ-10 0.1 0.5102708 0.3897292 0.2653463 0.7820559 0.1909149 0.5994632 -0.2812289 -0.3390866 0.334912 1
КОСА 3ЬЛ-11 0.3098332 0.4368789 0.2532879 0.2842886 0.8258699 0.2017978 0.6173354 -0.3049543 -0.5066409 0.391045 3
КОСА 3ЬЛ-12 0.3443711 0.4036902 0.2519387 0.2783007 0.8504353 0.2415227 0.655786 -0.3167396 -0.4794893 0.410485 7
КОСА 3ЬЛ-13 0.08 0.541 0.379 0.2708611 0.7648321 0.1703349 0.5701299 -0.2779831 -0.3666258 0.328964 9
КОСА 3Л-14 0.3333748 0.4163273 0.2502979 0.7472196 0.1582155 0.7392256 -0.2641522 0.2589624 0.843618 8 0.311020 4 0.334
КОСА 3Л-15 0.688414 0.1390631 0.1725229 0.6068006 -0.2170653 0.6518297 -0.4547004 0.6176786 0.7 11026 0.326154 7
КОСА 3Л-16 0.5 0.3600233 0.1399767 0.2165712 0.7351174 0.907686 0.7971282 -0.3644315 -0.4998889 0.843422 4
КОСА 3Л-17 0.51 0.3539702 0.1360298 0.2202578 0.7527258 0.8911725 0.804953 -0.3648956 -0.5093931 0.814685 5
КОСА 3Л-18 0.514 0.3392778 0.1467222 0.2201949 0.7741708 0.8462307 0.8377042 -0.3518955 -0.4538071 0.774360 3
Printed with FinePrint 2000 - purchase at http://www.fineprint.com
оо
00
Исследование точности методов серии КОСА. Таблица2
Название метода Тестовая задача 1 Тестовая задача 2 Тестовая задача 3
Ь=0.001 Ь=0.0001 Ь=0.00001 Ь=0.001 Ь=0.0001 Ь=0.00001 Ь=0.001 Ь=0.0001 Ь=0.00001
КОСА 3ЬЛ-1 5.382* 10-4 5.598*10-7 8.866*10-10 1.474*1 0-3 1.453* 10-6 1.016*10-9 2.107*1 0-4 2.13* 10-7 4.609*10-10
КОСА 3ЬЛ-2 9.791* 10-4 1.024*10-6 4.727*10-9 3.755*1 0-3 3.534* 10-6 1.999*10-8 3.475*1 0-4 3.3 59* 10-7 2.157*10-9
КОСА 3LA-3 9.172*10-4 9.596*10-/ 1.536*10-9 3.294*1 0-3 3.341* 10-6 7.182*10-9 2.989*1 0-4 3.0 48* 10-/ 7.712*10-10
КОСА 3LA-4 1.313*10-3 1.397*10-6 8.974*10-10 6.269*1 0-4 5.994*10-/ 1.811*10-9 2.644*1 0-4 2.6 93 * 10-/ 1.148*10-10
КОСА 3LA-5 1.726* 10-3 1.797*10-6 1.158*10-9 2.342*1 0-3 2.199* 10-6 1.313*10-8 4.533*1 0-4 4.4 73 * 10-7 1.132*10-9
КОСА 3LA-6 1.345* 10-3 1.37* 10-6 1.61*10-9 5.814*1 0-3 5.798* 10-6 3.416*10-9 5.68*10-4 5.6 87* 10-7 5.553*10-10
КОСА 3LA-7 1.641* 10-3 1.663*10-6 1.584*10-9 7.233*1 0-3 7.264*10-6 9.347*10-9 7.206*1 0-4 7.2 39* 10-7 8.44* 10-10
КОСА 3LA-8 3.026* 10-4 3.511*10-/ 3.537*10-9 3.877*1 0-4 4.484*10-/ 1.76*10-8 1.098*1 0-4 1.1 91 * 10-/ 1.78*10-9
КОСА 3LA-9 9.677*10-4 1.054*10-6 1.822*10-9 3.593*1 0-5 6.326* 10-8 3.978*10-9 1.586*1 0-4 1.7 24* 10-7 5.636*10-10
КОСА 3LA-10 1.381* 10-4 1.563*10-7 4.598*10-10 3.394*1 0-4 3.047* 10-7 3.629*10-9 5.514*1 0-5 5.07* 10-8 3.427*10-10
КОСА 3LA-11 4.403* 10-4 4.424*10-7 2.023*10-9 1.037*1 0-3 9.04*10-7 1.232*10-8 1.67*10-4 1.6 03*10-7 1.238*10-9
КОСА 3LA-12 5.72* 10-4 5.874*10-7 3.996*10-10 1.734*1 0-3 1.701* 10-6 1.621*10-9 2.308*1 0-4 2.3 11*10-7 2.329*10-10
КОСА 3LA-13 4.61* 10-5 7.132*10-8 5.215*10-10 8.359*1 0-4 7.824*10-7 1.312*10-9 6.948*1 0-5 5.86* 10-8 2.047*10-10
КОСА 3A-14 3.755* 10-4 3.8* 10-7 4.561*10-9 1.445*1 0-3 1.695* 10-6 2.69*10-8 9.986*1 0-5 1.16*10-7 2.575*10-9
КОСА 3A-15 2.173* 10-3 2.173*10-6 3.353*10-9 9.076*1 0-3 8.88*10-6 1.26*10-8 9.691*1 0-4 9.5 82* 10-7 1.531*10-9
КОСА 3A-16 7.108* 10-5 9.811*10-8 2.478*10-9 4.858*1 0-4 6.264*10-7 1.333*10-8 4.026*1 0-5 5.8 83 * 10-8 1.314*10-9
КОСА 3A-17 3.925* 10-5 5.647*10-8 3.927*10-10 4.732*1 0-4 4.851* 10-7 8.994*10-10 3.665*1 0-5 4.28* 10-8 2.368*10-10
КОСА 3A-18 6.204*10-6 2.406*10-8 5.205*10-10 3.286*1 0-4 3.536* 10-7 3.127*10-9 2.328*1 0-5 2.9 64* 10-8 3.114*10-10
Рунге - Кутты 3 8.889* 10-4 8.198*10-/ 8.134*10-10 1.611*1 0-4 8.073* 10-8 7.773*10-11 1.531*1 0-4 1.4 21 * 10-/ 1.41* 10-10
Printed with FinePrint 2000 - purchase at http://www.fineprint.com
кз=[А¥п - haA(i*n, tn + ha ’)]~1f(i*n + h взк + h $32^2,^ + has), (4)
и является адекватной электротехническим комплексам и, в частности, УЭЦН. Эту задачу решали Розенброк, Мерцель, Ковалев В.З., Ковалев Ю.З., Ковалев А.Ю., Савченко А.А. и др. [1, 2, 3, 4, 5]. В данной статье, на основании методов оптимизации параметров численных методов, введена новая серия, состоящая из 18 методов и дополняющая два ранее опубликованных метода [4, 5].
Данная серия методов получила название КОСА, характеристики этих методов представлены в таблице 1.
Оптимизация параметров и сравнение методов серии КОСА осуществлялись на основании точности решения трех тестовых задач из работы авторов [5]. Расчет производился со значениями шага h=0.001, h=0.0001, h=0.00001. Результаты исследования точности методов серии КОСА и сравнение с точностью метода Рунге-Кутты третьего порядка представлены в таблице 2. Среди методов серии КОСА, обладающих свойствами L- и A-устойчивости, наивысшую точность решения на трех тестовых задачах, на выбранном диапазоне значений шага h показал метод КОСА 3LA-10. Средиметодов серии КОСА, обладающих свойством A-устойчивости, наивысшую точность решения на трех тестовых задачах, на выбранном диапазоне значений шага h показал метод КОСА 3А-18.Из результатов исследования точности методов серии КОСА можно сделать следующие выводы:
- решение задач численными методами серии КОСА показывает точность не ниже, чем точность при решении явным методом Рунге-Кутты третьего порядка;
- решение задач численными методами серии КОСА не требует выполнения неявных процедур решения алгебраических уравнений;
- численные методы серии КОСА обладают свойствами L- и A-устойчивости. Благодаря этим свойствам методы серии КОСА пригодны для решения жестких систем дифференциальных уравнений, имеющих сильно различающиеся постоянные времени, которые обычно входят в состав математических моделей электротехнических комплексов.
Методы серии КОСА являются проблемно-ориентированными методами, предназначенными для расчета переходных процессов в электротехнических комплексах и элементах электрооборудования.
Библиографический список
1. Копылов, И. П. Расчет переходных процессов электрических машин при автоматизированном проектировании / И. П. Копылов, Ю. З. Захаров. - Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. - 1980. - № 3.
2. Ковалев, Ю. З. Методы решения динамических задач электромеханики на ЭЦВМ : учебное пособие. - Омск : ОмПИ, 1984. - 84 с.
3. Rosenbrock, H. H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations / Rosenbrock, H. H. // Computer J. - 1962. - Vol. 5. - Р. 329-330.
4. Савченко, А. А. Канонические численные методы типа Розенброка для расчета переходных процессов элементов электрооборудования электротехнических комплексов / А. А. Савченко, А. Ю. Ковалев // Омский научный вестник. - 2012. - № 3(112).
5. Ковалев, А. Ю. А-устойчивые канонические численные методы для расчета переходных процессов электротехнических комплексов / А. Ю. Ковалев, А. А. Савченко // Омский научный вестник. - 2012. - № 3(112).
