Канонические численные методы типа Розенброка для расчета переходных процессов элементов электрооборудования электротехнических комплексов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

*

УДК б21-313-321 А. а. САВЧЕНКО

А. Ю. КОВАЛЁВ

Академический институт прикладной энергетики, г. Нижневартовск

Нижневартовский филиал Омского государственного технического университета, г. Нижневартовск

КАНОНИЧЕСКИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ТИПА РОЗЕНБРОКА ДЛЯ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕМЕНТОВ ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ

Разрабатываются проблемно-ориентированные канонические численные методы типа Розенброка для расчета переходных процессов в электротехнических комплексах. Исследуются свойства Д- и L-устойчивости численных методов. Исследуется адекватность численных методов при решении жестких задач.

Ключевые слова: численные методы типа Розенброка, канонические численные методы, переходные процессы, установки электроцентробежных насосов, Д-устойчивость, L-устойчивость.

Начиная с первых уравнений переходных процессов, введенных Парком и Горевым, практически повсеместно использовали математические модели электрических машин и элементов электрооборудования электротехнических комплексов различного назначения в так называемой нормальной форме Коши. Вместе с тем специалистам стало ясно, что ограничивать математические модели только нормальной формой Коши, в ущерб применению других появляющихся на практике форм, оказывается неверно. И за рубежом, и в отечественной теории широко стали применяться иные формы записи математических моделей и, прежде всего, — запись математических моделей в форме смешанной дифференциально-алгебраической системы уравнений. В работе [1] отмечается: «...следуя принципу «пользователь всегда прав», необходимо признать, что алгебро-дифференциальные уравнения — необходимая форма записи моделей, и программное обеспечение должно справляться с такими задачами.». Более того, в указанной работе отмечается следующее: «.есть и радикальное предложение — построить численный метод, который справлялся бы с исходной системой и не требовал бы ни ручного преобразования, ни отдельного модуля для решения алгебраической системы.». Таким образом, современное моделирование технических систем, в том числе и электротехнических комплексов включает в себя мощное средство построения математических моделей в форме смешанных дифференциальноалгебраических систем уравнений. Заметим также, что устоявшаяся терминология в данном направлении до сих пор отсутствует, в зарубежной литературе используют термин — differential-algebraic equations (DAE) [2], в отечественной литературе этот термин также широко применяется (ДАУ), применяется он и в данной статье.

Таким образом, анализ отечественной и зарубежной литературы в направлении расчета переходных процессов в электротехнических комплексах ставит как минимум три проблемы: первая — подбор адекватной формы математической модели, вторая — подбор численного метода, адекватного применяемой математической модели, третья — создание проблемно-ориентированных методов, отражающих своей структурой и своими параметрами теоретические свойства адекватности выбранных схем численных методов.

Применительно к первой проблеме, она в значительной степени решена в работах Фильца Р. В., Мартынова В. А., Нурбосынова Д. Н., а также в классических трудах Беспалова В. Я., Вольдека А. И., Важ-нова А. И. В систематизированном виде уравнения электротехнических комплексов разработаны в трудах Ковалева Ю. З., Ковалева В. З., Ощепкова В. А. и др. [3, 4]. В связи с определенной проработанностью данный вопрос в предлагаемой статье не рассматривается. Основное внимание уделяется построению канонических численных методов типа Розенброка [5], соответствующих принятой схеме моделирования: «метод — алгоритм — программа».

Анализируемый ниже канонический метод типа Розенброка, применительно к порядку аппроксимации порядка р = 3, имеет следующую схему

i^n+i = i^n+h(Cikl + C2k2 + C3k3), /•(О^^ (1)

к = [\п — ЬаЛ(Сп, ^ + ка')]-ЩСп^п + ка1), (2)

к2=[А¥„-лаА(г*п, ^ + Ла')]-1/(г'*п + Л р^к^ + Ла^, (3)

^ + Ла')]-1/(/*п + ЛРз1к1 +

+ hP32k2,tn + Ла3), (4)

где I — переменная состояния, рассматриваемая в переходном процессе электротехнического комплекса; Л^п — матрица динамических параметров, рассчитываемая на каждом шаге расчета h или на некотором интервале, включающем некоторое число шагов; А(Г, £) — матрица Якоби правых частей дифференциальных уравнений; ^, tкон — интервал рассмотрения переходных процессов; Л — шаг расчета; С1, С2, С3, а, а1, а2, а3, а', Р21, Р31, Р32 — коэффициенты численного метода.

Основными достоинствами метода (1)-(4), которые и делают его действительно проблемно-ориентированным к задачам расчета переходных процессов электротехнических комплексов, являются: отсутствия необходимости решения нелинейных алгебраических уравнений; соответствие по физическому смыслу матриц динамических параметров и Якоби — одна из них характеризует алгебраические уравнения (динамические параметры и ферромагнитные цепи), вторая — характеризует свойства правых частей дифференциальных уравнений (то есть свойства электрических систем).

Для построения численного метода (1)-(4) фактически необходимо определить его коэффициенты исходя из некоторых условий оптимальности. В качестве таковых рассматриваются обеспечение методом А-устойчивости, L-устойчивости, минимальной глобальной ошибки метода в заданном диапазоне изменения шагов, другие значения параметров улучшающих свойства метода и его применимость в реальных условиях.

Область значений параметра а, при которых численный метод будет А-устойчивым либо L-устойчивым, как известно, определяется свойствами модуля функции роста R(z) и для р = 3 принимает следующее значение [6]:

1

—для А-устойчивости ,

—для L-устойчивости а = 0,4358665215.

Остальные параметры определяются из условий согласования и условий оптимизации, указанных выше:

С1 = 0,3508075, С2=0,4143974, С3 = 0,2347951,

а1 = 0,2857222, а2 = 0,8417907, а3=0,2169153, Р21 = = 0,6330115, Р31= —0,3110652, Р32= —0,5330101, а' = 0,4058134, а = 0,4358665215.

Эти коэффициенты приводят к методу КОСА 3LA-5, который относится к серии методов КОСА, разрабатываемых в настоящее время автором.

В качестве тестовой задачи рассматривается классическая задача Кертисса и Хиршфельдера [7].

(5)

df

Применительно к явному методу Рунге — Кутты порядка р=3 и рассматриваемого канонического численного метода типа Розенброка (КОСА 3ЬА-5) имеем (рис. 1—3).

Решение задачи (5), так же как и в других случаях, наглядно демонстрирует практическую непригодность применения явных численных методов для жестких систем дифференциальных уравнений, то есть тех систем, у которых различается в значительной степени локальная постоянная времени. В данном случае дело усугубляется еще и тем, что такая картина в электротехнических комплексах является обычной — поскольку сам электротехнический комплекс состоит из системы взаимодействующих

Рис. 1. Результаты решения задачи (5) на интервале (кш1=1,5 с.

--------точное решение, -о----метод Рунге-Кутты р=3,

х — метод канонический р=3

Рис. 2. Результаты решения задачи (5) на интервале ^он=12 с.

-------точное решение, -о-----метод Рунге-Кутты р=3,

х — метод канонический р=3

Рис. 3. Глобальная ошибка метода Рунге-Кутты на интервале ( =12 с

элементов электрооборудования (электронных, трансформаторных, двигательных, механических) имеющих сильно различающиеся постоянные времени. Метод данной работы и разрабатываемая автором серия методов КОСА являются серьезным средством противодействия данному явлению. Отметим также — максимум модуля глобальной ошибки метода КОСА 3ЬА-5 составляет величину 5*10—2.

Таким образом, построенный в данной статье метод удовлетворяет основным требованиям, предъявляемым к методам расчета переходных процессов электротехнических комплексов и систем.

Библиографический список

1. Колесов, Ю. Б. Моделирование систем. Практикум по компьютерному моделированию : учеб пособие / Ю. Б. Колесов,

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

*

Ю. Б. Сениченков. — СПб. : БХВ-Петербург, 2007. — 352 с. — ISBN 5-94157-580-7.

2.Brenan, K. E. Numerical solution of initial-value problems in differential-algebraic equations / K. E. Brenan, S .L. Campbell, L. R. Petzold. — Philadelphia : SIAM, 1996. — 256 p.

3.Ковалёв, Ю. З. Разработка алгоритмов исследования динамики обобщенного электромеханического преобразователя энергии на ЭЦВМ : дис. ... д-ра техн. наук : 05.09.01 / Юрий Захарович Ковалёв. — Москва, 1980. — 415 с.

4.Ковалёв, В. З. Моделирование электротехнических комплексов и систем как совокупности взаимодействующих подсистем различной физической природы : дис. ... д-ра техн. наук : 05.09.03 / В. З. Ковалёв. — Омск, 2000. — 370 с.

5.Rosenbrock, H. H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations / H. H Rosenbrock // Computer J. — 1963 — vol. 5, pp. 329 — 330.

6.Артемьев, С. С. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений : моногр. / С. С. Артемьев ; под ред. Г. А. Михайлова. — Новосибирск : [б. и.], 1993. — 156 c.

7.Хайрер, Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер : пер. с англ. — М. : Мир, 1999. — 685с. - ISBN 5-03-003117-0.

САВЧЕНКО Антон Анатольевич, ассистент кафедры энергетики Академического института прикладной энергетики, г. Нижневартовск.

Адрес для переписки: e-mail: [email protected] КОВАЛЁВ Александр Юрьевич, кандидат технических наук, директор Нижневартовского филиала Омского государственного технического университета.

Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 04.06.2012 г.

© А. А. Савченко, А. Ю. Ковалёв

уДК 621318 М. В. СЕМЕНЯК

В. К. ФЁДОРОВ

Омский государственный технический университет

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕСИНУСОИДАЛЬНОСТИ НАПРЯЖЕНИЯ

В данной статье отражены канонические гармоники напряжения. Здесь определили коэффициенты несинусоидальности и пульсаций. Кроме того, в статье рассмотрены неканонические гармоники и энтропия.

Ключевые слова: канонические гармоники, математическое ожидание, дисперсия, неканонические гармоники, энтропия.

Тенденция к широкому внедрению управляемых преобразователей УП определяется потребностями увеличения экономической эффективности производства. В то же время проявляется отрицательное влияние применения УП на электрические параметры СЭОУ (наличие высших гармоник в кривых напряжения и тока).

Искажение синусоидальности кривой напряжения характеризуется коэффициентом гармоник

ТР1

, (1)

щ

где и, и — соответственно действующее значение у-ой и основных гармоник напряжения.

В соответствие с Г0СТ-13109-2007 на качество электроэнергии коэффициент гармоник не должен превышать 5%. Но как показали многочисленные экспериментальные исследования [1-3] в электрических сетях со значительным удельным весом статических преобразователей несинусоидальность напряжения значительно превышает допустимые 5 %.

Канонические гармоники. В установившемся режиме a = const УВП может быть представлен как некоторый генератор, дающий на входе постоянную и переменную составляющую ЭДС. Постоянная составляющая определяется выражением [4]

ЛЬ

(2)

П П

----+а

2 т

где Е^0) — максимальная выпрямленная ЭДС, равная

(3)

я т

где Ефм— амплитудное значение фазной ЭДС, т — число фаз преобразователя, ю0 — круговая частота питающего напряжения.

Переменная составляющая ЭДС Е(а), играющая роль помехи, имеет гармонические колебания, зависящие от угла а

00

^(а) = X Емк (а) +фх ) (4)

к=1

где Емк(а) — амплитуда К-й гармоники, равная

(5)

(кт) -1

Фк — фазовый сдвиг К-й гармоники относительно момента открывания вентиля