А-устойчивые канонические численные методы для расчета переходных процессов электротехнических комплексов

Ковалёв Александр Юрьевич; Савченко Антон Анатольевич

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

УДК 621.313.321

А. Ю. КОВАЛЁВ А. А. САВЧЕНКО

Нижневартовский филиал Омского государственного технического университета, г. Нижневартовск

Академический институт прикладной энергетики, г. Нижневартовск

А-УСТОЙЧИВЫЕ

КАНОНИЧЕСКИЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ

Разрабатываются проблемно-ориентированные канонические численные методы типа Розенброка для расчета переходных процессов в электротехнических комплексах. Исследуются численные методы типа Розенброка, обладающие свойством Д-устойчивости. Производится оценка точности А-устойчивых и L-устойчивых численных методов при расчете переходных процессов в электротехнических комплексах.

Ключевые слова: численные методы типа Розенброка, канонические численные методы, переходные процессы, установки электроцентробежных насосов, Д-устойчивость.

В работе авторов А. А. Савченко, А. Ю. Ковалёва «Канонические численные методы типа Розенброка для расчета переходных процессов элементов электрооборудования электротехнических комплексов» рассматривалось построение L-устойчивых методов типа Розенброка [1] для расчета переходных процессов электротехнических комплексов серии КОСА, которые обеспечивали не только расчет с заданной точностью не ниже 10-3 при р = 3 но и L-устойчивость на обычно используемом интервале интегрирования переходных процессов. Вместе с тем дальнейшее исследование показывает, что точность рассматриваемых методов может быть повышена путем построения данного типа методов, обладающих свойствами А-устойчивости и имеющих другой набор его коэффициентов. В данной статье именно таким методам посвящается основное внимание. Схема метода при это выглядит следующим образом

С^С+^СА + с^+с^), г(0) =

= Г0, ^МконЬ (1)

к-1=[Ащ — ЬаЛ(1 п, ^ + Ла')]-Щг п^ + Ла^, (2)

А2=[Ау„- йаЛ(1 п, ^ + Ла')]-1/х

х(г"п+ ^в21^1,^п + Ла2^ (3)

^Лп-^^^ ^+Ла')]-1/х

х (Гп + ЛРзА + лРз2А2, к + Лаз)

(4)

число шагов; А({, £) — матрица Якоби правых частей дифференциальных уравнений; ^, ^он — интервал рассмотрения переходных процессов; Л — шаг расчета; С1, С2, С3, а, а1, а2, а3, а', Р21, Р31,Р32 — коэффициенты численного метода.

Для А-устойчивости данного метода, как известно, необходимо, чтобы параметр а удовлетворял ус-1

ловию [2], а остальные параметры

мы будем находить из условий согласования и их оптимизации на трех тестовых задачах.

Тестовая задача 1.

, (5)

(2?

№ =

ит

№

г2

-СО Ь

Ф = агсщ <в—

—(

вт(ю( - ф) + вт(ф)е 1

г'(0) = 0, Ь е [0,0,1],

(6)

(7)

где 1 = 0,1, г = 10, [7ш = 220л/2, ю = 10071.

Результаты решения тестовой задачи 1 представлены на рис. 1.

Тестовая задача 2.

,

сИ

(8)

в котором I — переменная состояния, рассматриваемая в переходном процессе электротехнического комплекса; Л^п — матрица динамических параметров, рассчитываемая на каждом шаге расчета Л или на некотором интервале, включающем некоторое

, (9)

(И

Ф = агЫд

ш! —

шС

(10)

т

Г

I /

1

I

Рис. 1. Результат решения тестовой задачи 1. ------точное решение, о — метод КОСА 3А-16

Рі

Р2

у/с(Сг2 -41) Сг 2 2

СІ

УІС(Сг2-4Ц Сг

2_________2_

С1

№

ит

г2+(ш! *

5Іп(ю£-ф)

шС

+Аіер‘*+А2ер2*, г'(0) = 0, (є [0,0,2],

(13)

(14)

(15)

ад

\ /

II 0, 31 ($ п 0, * \ 35 Я, Эб> 0, >7 \0, 38/ 0, )9 9 0

Рис. 2. Результат решения тестовой задачи 2. ------точное решение, о — метод КОСА 3А-16

Рис. 3. Результат решения тестовой задачи 3. ------точное решение, о — метод КОСА 3А-16

где 1 = 0,02, С = 0,9, г = 0,3, (Ут = 220-\/2, ю = 100я.

Результаты решения тестовой задачи 2 представлены на рис. 2.

Тестовая задача 3.

I ^ = -гі - ис + ит біп (ш£ + у)

сіис

со I-

юС

Ф = агсід

А1=к_ Сцсо +

2 4с2г2-АСЬ

С/шб іп(ф) Сг'оГ

2.1г2+^ + 2^ С2 г2 -АСЬ

С со С

СгІІт зііі(ф)

2лІС2г2-40.1 г2 + *+1:

V С со

' /- л2 чи-

2 2 2І Ю---------

С

СШта

т]с2т2-4С1.]г2+^-^ + 1?т2 - 21 Сю

(16)

, (17)

сії

(18)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(19)

Л =

ит біті (ф)7с2г2-4С1 !л/с^?

X

+ СгІІт віп (ф) - 2С1со [/ш соб (ф)

2 1 т2 2

х

С со с

С/лїзііі(ф)7с2г2 -АСЬ -

2 —-------.

Ъ\С2т2-АСЬ*

2 1 х2 2 21,

Х. Г + 9 9+1- Ю ~ —

С со С

(11)

(12)

С/ш8іп(ф)л/с2г2-4СІ

Л2 =

у- ч2

V ІСю

2л/с2ґ2-4СІ1|г2+[^—1ю

2СиСл

!^2-4с42+й>-і<йі

+Сі‘оЛ

с со с

ь/с’г*-4а^ + (±-Ьву

г

-

>

-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА

211

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА. ЭНЕРГЕТИКА ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

Рис. 4. Оценка точности расчета переходного процесса.

■ — точное решение, ▲ — метод КОСА 31А-5, ♦ — метод КОСА 3А-16

2CXcoltacos((p)

Ссо

-Leo

чем метод КОСА 3ЬА-5. Следовательно, в задачах, (20) при решении которых не требуется обеспечение методом свойства L-устойчивости, целесообразнее применять метод КОСА 3А-16.

Pi-

Р2-

д/с(Сг^4Ї[_Сг 2____________2

CL

2____________2_

CL

i(t) =

Um

г2+1 юI— 1

^sin(<0f-cp) +

ю C, +Alep,t+A2ep'lt, i(0) = -8, uc(0) = -162, t є [0,0,3],

(21)

(22)

(23)

где і = 0,1, С = 0,01, г = 6,3333, гЛп = 110л/2, со = 100я.

Результаты решения тестовой задачи 3 представлены на рис. 3.

Тестовая задача 4.

В качестве тестовой задачи 4 представлена оценка точности математической модели переходных процессов погружного асинхронного электродвигателя в фазных координатах с заторможенным ротором [3]. Точным решением установившегося режима является статическая модель погружного асинхронного электродвигателя [4].

Результаты решения тестовой задачи 4 методами КОСА 3ЬА-5 и КОСА 3А-16 представлены на рис. 4.

Применительно к решению тестовых задач 1 — 4 метод КОСА 3А-16 показал меньшую погрешность,

Библиографический список

1. Rosenbrock, H. H. Some general implicit processes for the numerical solution of differential equations / H. H Rosenbrock // Computer J. — 1963 — vol. 5, pp. 329 — 330.

2. Артемьев, С. С. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений : моногр. / С. С. Артемьев ; под ред. Г. А. Михайлова. — Новосибирск : [б. и.], 1993. — 156 c.

3. Савченко, А. А. Электромеханические переходные процессы в установках электроцентробежных насосов / А. А. Савченко, А. Ю. Ковалёв, Ю. З. Ковалёв // Промышленная энергетика. - 2012. - № 1. - С. 58-61. - ISSN 0033-1155.

4. А. Ю. Ковалёв, Моделирование погружных асинхронных электрических двигателей в составе установок электроцентробежных насосов : дис. ... канд. техн. наук : 05.09.01 : защищена 17.03.10 / Александр Юрьевич Ковалёв. - Омск, 2010. -157 с.

КОВАЛЁВ Александр Юрьевич, кандидат технических наук, директор Нижневартовского филиала Омского государственного технического университета.

САВЧЕНКО Антон Анатольевич, ассистент кафедры энергетики Академического института прикладной энергетики, г. Нижневартовск.

Адрес для переписки: e-mail: [email protected]

Статья поступила в редакцию 04.06.2012 г.

А-устойчивые канонические численные методы для расчета переходных процессов электротехнических комплексов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ковалёв Александр Юрьевич, Савченко Антон Анатольевич

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Ковалёв Александр Юрьевич, Савченко Антон Анатольевич

A-stable canonical numerical methods for calculation of transient processes in electrical systems

Текст научной работы на тему «А-устойчивые канонические численные методы для расчета переходных процессов электротехнических комплексов»