CC BY
12
УДК 519.6, 532.5.032
А. Н. Хорин
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Семейство точных решений уравнений Навье^Стокса для верификации компьютерных программ
Найдено линейное по скорости семейство осесимметричных решений уравнений Навье-Стокса. Любая линейная комбинация полей скорости этого семейства является полем скорости некоторого решения уравнений Навье-Стокса, входящего в найденное семейство. Разные решения, вообще говоря, имеют различные картины линий тока, которые меняются со временем. В отличие от известных винтовых решений, нелинейные и вязкие члены уравнений Навье-Стокса не равны нулю. Поэтому новые решения соответствуют невырожденным уравнениям Навье-Стокса. Полученные точные решения предлагаются для верификации различных приближенных методов и комплексов программ, предназначенных для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости.
Ключевые слова: точные решения уравнений Навье-Стокса, осесимметричные течения.
А. N. Khorin
Moscow Institute of Physics and Technology
A Family of Exact Solutions of the Navier-Stokes Equations for the Verification of Computer Programs
A family of axisymmetric solutions to the Navier-Stokes equations, of linear in rate, is found. Any linear combination of the rate fields of this family is the rate field of some solution to the Navier-Stokes equations, which is included in the found family. Generally speaking, different solutions have different streamline patterns that change with time. Unlike the well-known screw solutions, the nonlinear and viscous terms of the Navier-Stokes equations are not equal to zero. Therefore, the new solutions correspond to nondegenerate Navier-Stokes equations. The obtained exact solutions are proposed for the verification of various approximate methods and software complexes intended for calculating the flows of a viscous incompressible fluid.
Key words: exact solutions of the Navier-Stokes equations, axisymmetric flows.
1. Введение
Решением уравнений Навье-Стокса называют пару полей: поле давления и поле скорости, удовлетворяющие этим уравнениям. Говорят, что поле скорости удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса, если существует поле давления, составляющее вместе с этой скоростью решение уравнений Навье-Стокса. При заданном поле внешних сил не для всякого поля скорости можно «подобрать» соответствующее поле давления. Поэтому не всякое поле скорости является решением уравнений Навье-Стокса.
Ниже, для краткости, будем иногда опускать слово поле перед словами давление и скорость, понимая при этом, что речь идет о полях давления и скорости.
Если поле внешних сил потенциально, то сумма VI + V2 скоростей, удовлетворяющих уравнениям Навье-Стокса, будет скоростью некоторого решения уравнений Навье-Стокса,
© Хорин А.Н., 2020
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2020
если и только если поле вектора Vi х rot V2 + V2 х rot Vi является градиентом скалярного поля. Это условие выполнено, например, для семейства винтовых (Q = rot V = AV = 0, где A = const) течений, в которое входят все винтовые течения с одинаковым коэффициен-A
являются течения Громеки-Бельтрами [1-2] и ABC-течение [3]. Любая винтовая скорость удовлетворяет уравнениям Эйлера - соответствующее поле давления существует. Но в общем случае эта скорость не удовлетворяет уравнениям Навье-Стокса (невозможно «подобрать» поле давления). Однако, как показал в 1919 году В. Тркал [4], скорость винтового течения, умноженная на exp(-at) , где t — время, будет удовлетворять уравнениям Навье-Стокса при надлежащем выборе параметра а. Такая возможность получать точные нестационарные решения уравнений Навье-Стокса из стационарных решений уравнений Эйлера имеет место для всех винтовых течений [4]. В качестве решений, допускающих сложение скоростей, исследовались и такие решения, в которых Q = AV, а коэффициент A может зависеть от координат и времени [4-5]. При этом решения, для которых поле вектора Vi х rot V2 + V2 х rot Vi не равно нулю, но сложение скоростей возможно (поскольку это поле является градиентом некоторого скалярного поля), не были известны. Если говорить точнее, то не были известны решения, которые после сложения скоростей дают новое решение с другой картиной течения (например, новую картину линий тока, не совпадающую с картинами линий тока исходных решений). При этом решения, дающие после сложения те же линии тока, были известны. Например, к известным решениям, для которых поле вектора Vi х rot V2 + V2 х rot Vi является ненулевым градиентом скалярного поля, относятся решения Куэтта [6] и Пуазейля [7]. Но в результате сложения скоростей различных решений Куэтта получается «новое» решение Куэтта с теми же линиями тока. Аналогичная ситуация имеет место и для решений Пуазейля. Поэтому следует уточнить, что до сих пор известно очень мало решений с различными картинами линий тока, допускающие сложение скоростей при ненулевом поле вектора Vi х rot V2 + V2 х rot Vi. Во всяком случае, такие решения не упоминаются в работах [4, 5, 8]. Не упоминаются они ни в классических учебниках [9-10], ни в монографиях [11-14], ни в обзорах [15-17]. Нет таких решений и среди результатов [18-22], полученных после опубликования обзоров [15-17]. Заметим, что решения [22] допускают сложение скоростей, но эти решения винтовые, и в них вектор Vi х rot V2 + V2 х rot Vi равен нулю. Автору данной статьи удалось найти лишь два примера. Это цилиндрические (радиальная скорость равна нулю) решения [23] и некоторые из плоских решений [24].
В данной работе представлено семейство осесимметричных невинтовых (V х rot V = 0) точных решений уравнений Навье-Стокса (в отличие от [23] радиальная скорость найденных решений отлична от нуля), скорости которых можно складывать, получая в итоге скорость некоторого другого решения уравнений Навье-Стокса, входящего в представленное семейство. Это свойство скоростей названо линейностью по скорости. Само семейство названо Q/r-семейством, поскольку во всех его решениях отношение завихренности к радиусу постоянно по пространству.
Другие заслуживающие внимания свойства решений Q/r-семейства представлены в седьмом разделе данной работы.
2. Уравнения движения
Рассмотрим осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости в потенциальном поле массовых сил. Далее будут использоваться следующие безразмерные переменные: V — скорость; П ^ ^^^ V — завихренность; р — давление, отнесенное к плотности; П — потенциал объемных сил; Ые — число Рейнольдса, t — время. Движение жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса в форме Громеки-Ламба [9-10]. С учетом равенства ДУ = —rot П, верного для несжимаемой жидкости, их можно представить в виде
д 1
—V + Q х V = -—rot Q - V
ot Re
2
Р + ^ + П
(1)
сЦуУ = 0. (2)
Введем цилиндрическую систему координат г,е,х с началом в точке О так, чтобы ось Ог совпала с осью симметрии течения. Параметры осесимметричного течения не зависят от окружной координаты е. Пусть ег,е£,ег — правая тройка единичных векторов в радиальном, окружном и осевом направлениях соответственно. Вектор скорости имеет вид
V = Угег + Уеее + У^е^, а функции Уг, У£, Уг,р и П зависят только от переменных г,х и Ниже будем отождествлять скорость и набор функций Уг,УЕ,УХ. В частности, будем говорить, что функции Уг,Уе,Уг являются решением уравнений Навье-Стокса, если скорость
V = Угег + Уеее + Ухех удовлетворяет уравнениям (1), (2).
3. Основное точное решение
Для произвольной константы V = Угег + Уеее + Vzez и давления:
Л рассмотрим стационарные поля скорости
Уг = Лгг, У£ = 0,VZ = -Лг2
2 Л
Р = Po -
Re
Л2г4
2
- п,
(3)
(4)
где константа ро > 0 обеспечивает положительность давления в рассматриваемой ограниченной области. Покажем, что эти поля удовлетворяют уравнениям Навье-Стокса. В цилиндрических координатах, с учетом независимости параметров течения от окружной координаты е, уравнение неразрывности (2) упрощается: (гУг) + д^Ух = 0. Подстановка выражений (3) превращает последнее уравнение в тождество. Поэтому поле (3) соленои-дально - удовлетворяет уравнению неразрывности (2).
Завихренность поля скорости, вычисленная в цилиндрических координатах, равна
0=(-е -+(
-Уг - -vz
dz дг
ЬЧ1! <г у->
= Лге£
(5)
Отсюда получаем векторное произведение OxV = (- Л2гz2 входящее в левую часть (1). Вязкое слагаемое уравнений Навье-Стокса представляется в виде ^ 0 = 0 ^г + 0 • е£ + |^eZ = V (Щ-г). Поэ^^^ проверка уравнения (1) сводится к
ег+(-Л2г2г) ez= Vf-
V-
X2r2z2
-V(rn*) -V
р + ^ +п
, которое выполнено в силу
(3) и (4).
Итак, функции (3) и (4) представляют собой точное решение уравнений Навье-Стокса. Будем называть его основным точным решением. Поскольку Уг и Уг можно представить
в виде Уг = 1JZ ,
У = 1
1 д X2r2z2
гдг ^ —2— ^ линии тока основного решения лежат на гиперболах г г = сопв^ В этом решении можно рассмотре ть две зоны г < 0 и г > 0. В каждой зоне основное решение описывает взаимодействие струи со сложным профилем скорости со стенкой, расположенной в плоскости г = 0. Течения по разные стороны от плоскости г = 0 не симметричны относительно этой плоскости. Но для обоих течений скорость (3) на плоскости г = 0 равна нулю (рис. 1).
Поэтому по обе стороны от плоскости г = 0 решение (3) и (4) дает решение двух разных задач. В каждой задаче струя взаимодействует со стенкой, на которой выполнено условие прилипания. Но в одной задаче (справа) струя направлена к стенке, а в другой (слева) -от стенки. Условия на поверхностях, выбранных в качестве остальной части границы, для этих задач можно взять из самого решения (3) и (4).
На плоскости г = 0 давление постоянно и жидкость покоится. Но этого недостаточно для рассмотрения задачи о течении вязкой жидкости со свободной поверхностью. Дело в том, что тангенциальная составляющая завихренности на свободной поверхности вязкой жидкости должна быть равна нулю. Однако для решения (3) и (4) это не так.
е
2
пш / / {(i / / /1 i /' / / /1 #' / / t t >' / / / / /V/ /7
» f * * /
¿iypj»«? S
-1.0
t ш
o.o
Л \ \ Ч л t \ \ \ \
* \ ч к
x ч *
». » )| Ц 4 iKi Sii
.4- - -*. - . - -
1.0
Рис. 1. Поло скорости основного решения. Размер стрелок пропорционален величине скорости
В случае невязкой жидкости требование о равенстве нулю тангенциальной составляющей завихренности может быть снято. Несложно проверить, что если положить
р = ро — ^rf--П (случай Re = го), то в каждой из зон z < 0 и z > 0 скорость (3)
будет решением задачи со свободной поверхностью для уравнений Эйлера.
Основное точное решение представляет собой однопараметрическое (параметр Л) семейство решений. Но различные решения могут быть получены не только выбором различных значений параметра Л. «Сдвинутое» вдоль оси симметрии решение останется решением уравнений Навье-Стокса (1), (2). То есть для произвольной константы zo функции
Vr = Лг (z — Zo) ,Ve = 0,Vf = —Л (z — Zo)2 , (6)
P = ро — (* — -о) — Л (Z— Zo)4 — П(Г, z) (7)
также будут решением уравнений Навье-Стокса. Скорость (3) отличается от скорости (6) на вектор b = Лг z0e г + (—2Лг z0 + Л г2) ef. Поле этого соленоидального вектора потенциально. То есть скорость точного решения (6), (7) получается сложением скорости основного решения и скорости b некоторого потенциального течения несжимаемой жидкости. Оказывается, что вектор b в этом смысле не уникален. Это будет показано в следующем разделе.
4. Добавление скорости нестационарного потенциального течения
Для любого гладкого оеееимметричного потенциального соленоидального поля вида
U = Ur(г, z, t)eг + (А/г)ее + Uz(г, z, t)ef, (8)
где А = const, существуют функция тока ф = ф(r,z, t) и потенциал радиально-осевой скорости p = p( г, z, t) такие, что Ur = 1 ¡¡¡ф, Uz = —1 ¡¡:ф, Ur = ¡¡¿p, Uz = -¡ftp.
Обозначим: V* = V*(Л, r, z) и р* = р*(Л, r, z) — основное решение (3), (4). И пусть (8) — гладкое потенциальное соленоидальное векторное поле, а ф = ф(г, z, t) и p = p(г, z, t) — функция тока и потенциал, соответствующие функциям Ur и Uz. Покажем, что сумма скоростей V* + U является скоростью некоторого решения уравнений Навье-Стокса.
*
Векторное произведение, входящее в левую часть (1), записывается в виде rot (V* + U) х (V* + U) = rot V* х V*+Л re£xU = rot V* х V* + (—Л¡¡¿ф) ег + {—Л£ф) еz =
= rot V* х V* + V (—Лф). Добавление потенциальной старости U не меняет вязкое слагаемое уравнений Навье-Стокса j^rotrot (V* +U) = V (Ц^). Таким образом, давление р нужно подобрать так, чтобы выполнялось равенство
2
V^^p) +rotV* xV* + V(—Лф) = —V( ^z) — V
\Rc'
(V * + U) ^
(9)
Но V* - решение уравнения rotV* х V* = —V (Цz) — V р* + ^^ +П . Поэтому (9) будет выполнено, если положить
р=р*+Л,—к—sr^. m
Искомое поле давления найдено. Следовательно, скорость V* +U является скоростью некоторого решения уравнений Навье-Стокса.
Заметим, что, согласно (5), отношение завихренности основного решения к расстоянию г до оси симметрии постоянно и равно Л. Поскольку ротор потенциального поля U равен нулю, это отношение останется равным Л и для решения V* + U.
Определение. Множество всех точных решений уравнений Навье-Стокса, у которых скорость представляется в виде суммы скорости основного решения (3), взятого при каком-либо значении параметра Л, и скорости U = U(г, z, t) некоторого потенциального течения несжимаемой жидкости вида (8), будем называть Q/r-семейством решений. Такое название представляется естественным, поскольку в этом семействе отношение завихренности к радиусу постоянно во всем течении.
Несложно проверить, что решения Пуазейля входят в Q/r-семейство. Поэтому можно считать Q/r-семейство решений обобщением решений Пуазейля.
Замечание. Для течений, в которых жидкость достигает оси симметрии, необходимо рассматривать только такие решения Q/r-семейства, в которых А = 0.
5. Линейность по скорости
Пусть V* ( А1,г, г) + и-! (г, г, £) и V* ( х) + и2 (г,х, ¿) — два поля скорости из О/г-семейства решений. Их линейная комбинация равна к! {V * (\!,г, г) + и! (г, г, *)} + ^ {V * (А2, г, г) + и 2 (г, г, *)} = V * ((Л1А1 + ^2) ,г, г) + + к^1 (г, х, ¿) + к^и2 (г, х, ¿), то есть представляется суммой скорости основного решения V* = V* ( А, г, г), взятого при значении параметра А = к!А1 + к2А2, и некоторой соленои-дальной потенциальной скорости вида (8). Следовательно, линейная комбинация скоростей принадлежит О/г-семейству решений уравнений Навье-Стокса. То есть О/г-семейство является линейным по скорости.
6. Построение примеров точных решений для верификации численных алгоритмов
Следует заметить, что решения О/г-семейства соответствуют течениям, которые трудно реализовать в эксперименте или наблюдать в реальной обстановке. Это связано со сложностью создания граничных условий (которые должны быть взяты из самих решений). Но если речь идет о верификации, то есть о проверке точности численного алгоритма, не обязательно иметь техническую возможность реализовать краевые условия в эксперименте. Большинство численных алгоритмов работают с любыми граничными условиями. При этом верификация требует наличия точных выражений для функций иг , их и для соответствующих им функций тока ф и потенциалов (р. Основой для построения таких точных решений может служить набор частных решений уравнения Лапласа (для потенциала р), записанного в цилиндрической системе координат, и полученных «стандартным» методом разделения переменных. Такие решения можно найти в разделе 8.1.2-1 справочника [25]. Однако в выражение для давления (10) входит функция тока, не представленная в упомянутом справочнике. Нахождение этой функции по известному потенциалу является несложной задачей. Тем не менее (для удобства использования данной работы в целях верификации численных алгоритмов) приведем некоторые линейно независимые варианты осесимметричной соленоидальной и потенциальной скорости и = игег + 0 • е£ + игег, а также соответствующие этим вариантам функции тока ф и потенциалы р.
1. иг = р^(рг) ехр(рг), их = —р.10(рг) ехр(рг), ф = гЗ\(рг) ехр(рг ),<р = — (рг) ехр(р,г);
2. иг = —рЗ\(рг) ехр(— рг), их = —р30(рг) ехр(— рг),
ф = гЗ\(рг) ехр(—рг), <р = 30(рг) ехр(— рг);
3. иг = р1\(рг) еов(рг), их = —р10(рг) 8т(р,г),
ф = г 1\(рг) 8т(р,г), <р = 1о(рг) еов(рг);
4. иг = — р 1\(рг) 8т(р,г), их = —р10(рг) еов(рг),
ф = г 1\(рг) сов(рг), <р = — 10(рг) 8т(р,г);
5. иг = 0,и = — 2,ф = г2,<р = —2,г;
6. иг = г, и = —2г ,ф = г г2,р = — ,г2 + г2/2;
где р — произвольная положительная константа; <7о,<1\ — функции Бесселя нулевого и первого порядков; 1о, 1\ — цилиндрические функции мнимого аргумента нулевого и первого порядков. Каждый из вариантов 1-4 представляет бесконечное множество линейно незави-
на оси симметрии г = 0 ограниченные значения их и нулевые значения иг. Поэтому их линейные комбинации соответствуют течениям, в которых жидкость может достигать оси симметрии. Как замечено выше, для таких течений в формуле (8) константа А должна быть равна нулю.
Коэффициенты линейной комбинации этих функций могут зависеть от времени. Кроме того, масштабирующие коэффициенты при пространственных аргументах могут также зависеть от времени. В итоге получится нестационарная потенциальная со-леноидальная скорость. Поясним это на примере линейной комбинации двух стационарных потенциальных соленоидальных скоростей и"г(г, г) = и\г (г, г)ег + и^(г, г)ех и и2( г, г) = 112г(г, г)ег + ^(г, г)е?. Пусть фг = ф!(г, г), ф2 = ф2(г, г) и <р\ = <р\(г, г), Р2 = Р2(т, %) — функции тока и потенциалы, соответствующие этим скоростям. Тогда для любых четырех гладких функций времени
Н = т ¡2 = т дг = 91(1) > 0,92 = 92(1) > 0 (11)
линейная комбинация и(г, г, ¿) = /г(£)и 1(д1^)г, дг^)г) + /2(£)и2(д2({)г, д2^)г) будет соле-ноидальной потенциальной скоростью. То есть для любого значения параметра А скорость А, г, г)+ и(г, г, ¿) будет принадлежать О/г-семейству решений уравнений Навье-Стокса.
Поле давления можно будет вычислить по формуле р = р* + Аф — ^^— ^ ^) ' в к0~ торой функция тока ф(г, г, ¿) = (/г(^)/дг(£)) фг(дг(£)г, дг^)г) + (/2^)/д2(£)) ф2(д2(1)г, д2^)г) и потенциал ¡р(г, г^) = (/1^)/д1(1)) <рг(дг(£)г, дг^)г) + (/2(£)/д2(£)) р2(д2(1)г, д2^)г) соответствуют скорости и( г, г, £ ).
Выбирая различные функции (11), можно получать разнообразные картины течения с меняющейся во времени формой линий тока и со скоростями, зависящими от времени. В частности, функции (11) могут быть периодическими, и периодической во времени будет картина течения. Для получения стационарных решений следует в качестве функций (11) выбирать константы.
Если рассматривается течение, в котором жидкость не достигает оси симметрии, то к приведенным выше шести решениям для потенциала можно добавить еще пять осесиммет-ричных линейно независимых решений уравнения Лапласа, имеющих особенность на оси
А
Представляется, что сведения, приведенные в данном разделе, позволяют создавать разнообразный и достаточный для целей верификации запас точных решений уравнений Навье-Стокса.
7. Некоторые свойства Q/r-семейства
Кроме линейности по скорости решения Q/r-семейства также обладают двумя интересными свойствами, отличающими эти решения от решений Тркала.
Под нелинейным слагаемым уравнения Навье-Стокса в зависимости от формы записи понимают либо вектор (V ■ V) V, либо вектор rot VxV. В любом из этих смыслов нелинейные слагаемые для решений из Q/r-семейства не равны нулю. Это одно из отличий от
x
Нестационарные решения уравнений Навье-Стокса, полученные Тркалом из стационарных решений уравнений Эйлера с помощью умножения скорости на exp(-at), сами по себе в общем случае не удовлетворяют нестационарным уравнениям Эйлера. То есть в общем случае решения Тркала являются только нестационарными решениями уравнений Навье-Стокса. В отличие от этого скорость любого решения (как стационарного, так и нестационарного) из Q/r-семейства удовлетворяет и уравнениям Эйлера, и уравнениям Навье-Стокса (с различным распределением поля давления).
8. Заключение
В рамках уравнений Навье-Стокса рассмотрены осесимметричные течения вязкой несжимаемой жидкости в потенциальном поле внешних сил. Получено семейство точных решений, среди которых есть как стационарные, так и нестационарные решения. У некоторых нестационарных решений картина линий тока меняется во времени. Любая линейная комбинация скоростей из найденного семейства является скоростью некоторого решения уравнений Навье-Стокса. И это «новое» решение также входит в полученное семейство точных решений. «Новое» поле давления не является суммой давлений «исходных» решений, но несложным образом рассчитывается через параметры «исходных» решений. У разных решений этого семейства линии тока в общем случае не совпадают. Исключение составляют лишь такие решения, поля скоростей которых переходят друг в друга при умножении на функцию времени (например, на константу). При этом для всех решений семейства
x
обстоятельство представляется особенно интересным, поскольку обычно линейная комбинация решений нелинейного уравнения не является решением такого уравнения.
Полученные точные решения могут использоваться для верификации численных схем и других приближенных методов. А также для иллюстраций различных закономерностей вязких течений.
Литература
1. Громека И. С. Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости. Собрание сочинений. Москва : Изд-во АН СССР, 1952. С. 76-148.
2. Beltrami Е. Considerazioni Idrodinamiche // Rend. Inst. Lombardo Acad. Sei. Lett. 1889. V. 22. P. 122-131.
3. Arnold V.l. Sur la Topologie des Écoulements Stationnaires des Fluides Parfaits // С. R. Acfd. Sei. Paris. 1965. V. 261, N 1. P. 17-20.
4. Trkal V. Poznámka k Hydrodynamice Vazkych Tekutin // Casopis pro Pestováni Matematiky a FVsikv (Praha). 1919. V. 48, I. З.'р. 302-311.
5. Ballabh R. Self Superposable Motions of the Type ( = Xu etc // Proc. Benares Math. Soc. (N.S.). 1940. V. 2. P. 85-89.
6. Couette M. Études Sur le Frottement des Liquids // Ann. Chim. Phvs. 1890. V. 21. P. 433510.
7. Poiseuille J. Recherches Expérimentelles Sur le Mouvement des Liquides Dans les Tubes de Très petits Diamètres // Comptes Rendus. 1840. V. 11. P. 961-967, P. 1041-1048.; 1841. V. 12. P. 112-115.
8. Bellabh R. Superposable Motions in Heterogeneous Fluids // Pros. Benares. Math. Soc. 1941. N 3. P. 1-9.
9. Бэтчелор Док.. Введение в динамику жидкости. Москва : Мир, 1973.
10. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Ч. 1. Москва : Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.
11. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. Москва : Мир, 1975.
12. Серрин Док.. Математические основы классической механики жидкости. Москва : Издательство иностранной литературы, 1963.
13. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Москва : Наука, 1970.
14. Гольдштик М.А., Штерн В.Н., Яворский Н.И. Вязкие течения с парадоксальными свойствами. Новосибирск : Наука, 1989.
15. Юдович В.И. О проблемах и перспективах современной математической гидродинамики // Успехи механики. 2002. Т. 1, № 1. С. 61-102.
16. Пухначев В.В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. 2006. № 6. С. 3-76.
17. Aristov S.N., Knyazev D. V., Polyanin A.D. Exact Solutions of the Navier-Stokes Equations with the Linear Dependence of Velocity Components on Two Space Variables // Theor. Found, of Chem. Eng. 2009. V. 43, N 5* P. 642-662.
18. Аристов С.H., Просвиряков Е.Ю. Крупномасштабные течения завихренной вязкой несжимаемой жидкости // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2015. Т. 58, № 4. С. 50-54.
19. Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю. Нестационарные слоистые течения завихренной жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2016. № 2. С. 25-31.
20. Коробков М.В., Пилецкас К., Пухначёв В.В. Задача протекания для уравнений Навье-Стокса // Успехи математических наук. 2014. Т. 69, вып. 6(420). С. 115-176.
21. Пухначёв В.В. Точечный вихрь в вязкой несжимаемой жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 2014. Т. 55, № 2. С. 180-187.
22. Ковалев В.П., Просвиряков Е.Ю., Сизых Г.Б. Получение примеров точных решений уравнений Навье-Стокса для винтовых течений методом суммирования скоростей // Труды МФТИ. 2017. Т. 9, № 1. С. 71-88.
23. Сизых Г.Б. Расщепление уравнений Навье-Стокса для одного класса осесимметричных течений // Вести. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 24, № 1. С. 163173.
24. Prosviryakov Е. Yu. Exact Solutions to Generalized Plane Beltrami-Trkal and Ballabh Flows // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sei.]. 2020. V. 24, N 2. P. 319-330.
25. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. Boca Raton : CRC Press, 2012. P. 1856.
References
1. Gromeka I.S. Nekotorve sluchai dvizhenija neszhimaemoj zhidkosti. Sobranie sochinenij. Moscow : Akad. Nauk SSSR. 1952. P. 76-148. (in Russian).
2. Beltrami E. Considerazioni Idrodinamiche. Rend. Inst. Lombardo Acad. Sei. Lett. 1889. V. 22. P. 122-131.
3. Arnold V.l. Sur la Topologie des Écoulements Stationnaires des Fluides Parfaits. C. R. Acfd. Sei. Paris. 1965. V. 261, N 1. P. 17-20.
4. Trkal V. (1919) Poznâmka k Hydrodynamice Vazkvch Tekutin. Casopis pro Pëstovâni Matematiky a Fysikv (Praha). V.' 48, L 3. P. 302-311.
5. Ballabh R. Self Superposable Motions of the Type £ = Xu etc. Proc. Benares Math. Soc. (N.S.). 1940. V. 2. P. 85-89.
6. Couette M. Études Sur le Frottement des Liquids. Ann. Chim. Phvs. 1890. V. 21. P. 433-510.
7. Poiseuille J. Recherches Expérimentelles Sur le Mouvement des Liquides Dans les Tubes de Très petits Diamètres. Comptes Rendus. 1840. V. 11. P. 961-967, P. 1041-1048.; 1841. V. 12. P. 112-115.
8. Bellabh R. Superposable Motions in Heterogeneous Fluids. Pros. Benares. Math. Soc. 1941. N 3. P. 1-9.
9. Batchelor G.K. An Introduction to Fluid Dynamics. Moscow : Mir, 1973. (in Russian).
10. Koch/in N.E., Kibel I.A., Roze N.V. Teoreticheskaja gidromehanika. Ch. 1. Moscow : Gosudarstvennoe izdatel'stvo fiziko-matematicheskoj literatury. 1963. P. 583. (in Russian).
11. Truesdell C. A First Course in Rational Continuum Mechanics. Moscow : Mir, 1975. (in Russian).
12. Serrin J. Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics. Berlin-GöttingenHeidelberg : Springer-Verlag. 1959. P. 148.
13. Ladyzhenskaya O.A. Matematicheskie voprosv dinamiki vjazkoj neszhimaemoj zhidkosti. Moscow : Nauka. 1970. P. 288. (in Russian).
14. Goldshtik M.A., Shtern V.N., Yavorsky N.I. Vjazkie techenija s paradoksal'nvmi svojstvami. Novosibirsk : Nauka. 1989. (in Russian).
15. Yudovich V.l. O problemah i perspektivah sovremennoj matematicheskoj gidrodinamiki. Usp. Mekh. 2002. V. 1, N 1. P. 61-102. (in Russian).
16. Pukhnachev V.V. Simmetrii v uravnenijah Nav'e-Stoksa. Usp. Mekh. 2006. N 6. P. 3-76. (in Russian).
17. Aristov S.N., Knyazev D. V., Polyanin A.D. Exact Solutions of the Navier-Stokes Equations with the Linear Dependence of Velocity Components on Two Space Variables. Theor. Found, of Chem. Eng. 2009. V. 43, N 5. P. 642-662.
18. Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu. Large-scale Flows of Viscous Incompressible Vortical Fluid. Russian Aeronautics. 2015. V. 58, N 4. P. 50-54. (in Russian).
19. Aristov S.N., Prosviryakov E.Yu. Unsteady Layered Vortical Fluid Flows. Izv. RAS.MGG. 2016. V. 2. P. 25-31. (in Russian).
20. Korobkov M. V., Pileckas K., Pukhnachev V. V., Russo R. The Flux Problem for the Navier-Stokes Equations. Russian Mathematical Surveys. 2014. V. 69, I. 6(420). P. 180-187. (in Russian).
21. Pukhnachev V. V. Point Vortex in a Viscous Incompressible Fluid. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2014. V. 55, N 2. P. 345-351.
22. Kovalev V.P., Prosviryakov E.Yu., Sizykh G.B. Obtaining Examples of Exact Solutions of the Navier-Stokes Equations for Helical Flows by the Method of Summation of Velocities. Proceedings of MIPT. 2017. V. 9, N 1. P. 71-88. (in Russian).
23. Sizykh G.B. The Splitting of Navier-Stokes Equations for a Class of Axisvmmetric Flows. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phvs. Math. Sci.]. 2020. V. 24, N 1. P. 163-173. (in Russian).
24. Prosviryakov E. Yu. Exact Solutions to Generalized Plane Beltrami-Trkal and Ballabh Flows. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phvs. Math. Sci.]. 2020. V. 24, N 2. P. 319-330.
25. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Second Edition. Boca Raton : CRC Press. 2012. P. 1856.
Поступим в редакцию 06.08.2020
