ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ: РАЗЛОЖЕНИЕ ПО БАЗИСУ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.5.032 DOI: 10.15350/17270529.2021.1.3

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ: РАЗЛОЖЕНИЕ ПО БАЗИСУ

1ВАСЬКИН В. В., 1,2ЛЕБЕДЕВ В. Г., 1ИВАНОВА Т. Б., 1БОВИН В. П.

1 Удмуртский государственный университет, 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1

2 Удмуртский федеральный исследовательский центр Уральского отделения РАН, 426067, г. Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

АННОТАЦИЯ. Проблемы построения точных решений для уравнений Навье-Стокса связаны не только с нелинейностью уравнений гидродинамики, но и с их векторной природой. В работе предложен способ систематического построения точных решений линеаризованных уравнений Навье-Стокса в случае вязких течений методом разложения по собственным функциям эрмитовых операторов. В качестве примера построен соответствующий базис для течения во внутренней области круг. Для наглядности приведены выражения и графики функций тока для отдельных мод. Полученные решения могут быть использованы в качестве тестовых при компьютерном моделировании течений вязкой жидкости.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: вязкие течения, векторные уравнения, разложение по базису.

ВВЕДЕНИЕ

Точные решения дифференциальных уравнений математической физики [1, 2] играли и продолжают играть, несмотря на широкое внедрение численных методов на компьютерах, важнейшую роль в формировании правильного понимания качественных особенностей многих явлений и процессов в различных областях науки и техники [3 - 5]. Привлекательной стороной точных решений является возможность исследования зависимости решений от параметров задачи, что невозможно при численном решении. На современном этапе развития науки тточные решения наиболее полезны в качестве "тестовых" задач, позволяющих проверить корректность и оценить точность различных численных методов.

Точные методы решения линейных уравнений математической физики стали возможны благодаря теории симметрии [6] и методу разделения переменных [7], или более конкретно — методу разложения по базису [2]. Метод разложения по базису основан на том, что линейные самосопряженные операторы, действующие в подходящем пространстве функций, обладают полной ортогональной системой собственных функций, которая может быть использована в качестве базиса для построения решения.

В однородной изотропной среде таким оператором обычно является оператор Лапласа Д, с помощью собственных функций которого строятся решения для уравнения теплопроводности, скалярного уравнения Пуассона, уравнения Шредингера и других. Однако среди уравнений математической физики нередко встречаются уравнения, решения которых являются векторными функциями координат, а используемые операторы - более сложные, по сравнению с лапласианом, конструкции дифференциальных операторов. К таким уравнениям относятся уравнения линейной теории упругости, уравнения Максвелла в электродинамике, линеаризованные уравнения Навье-Стокса в гидродинамике.

Один из известных подходов к построению решений векторных задач состоит в том, что векторная задача с помощью аналитических преобразований сводится к решению скалярного уравнения (например, к уравнению теплопроводности), а затем решение скалярной задачи строится разложением по базису [8, 9]. Такое многоступенчатое построение заведомо не удобно для использования точных решений в качестве теста при компьютерном моделировании. Непосредственное построение базиса для векторных

переменных, с последующим разложением решения по данному базису, представляется более конструктивным и физическим подходом, по сравнению с методом разделения переменных [7] и подходом [8, 9].

Целью данной работы является построение векторного базиса для линеаризованных уравнений Навье-Стокса вязкой несжимаемой жидкости. Отметим, что несмотря на линейность задачи, ее известные аналитические решения можно пересчитать по пальцам и практически все они перечислены в давно уже ставших классическими учебниках [10 - 12]. Поэтому поиск точных решений уравнений гидродинамики не теряет своей актуальности и в настоящее время [13, 14]. Предлагаемый подход позволяет существенно расширить круг подобных решений и получить их наглядное представление при помощи компьютерной визуализации.

ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА И ОБОБЩЕННАЯ ЗАДАЧА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

Поиск точных решений уравнений Навье-Стокса всегда оставался некоторым видом искусства в области интегрирования уравнений в частных производных [8 - 12]. Хотя во многих физически важных случаях можно ограничиться их "линеаризованным" приближением [6]. Под "линеаризованными" уравненими Навье-Стокса обычно понимают уравнения, в которых отброшено конвективное слагаемое. Действительно, уравнения Навье-Стокса для несжимаемой жидкости в безразмерном виде могут быть записаны как

д¥ -Л - - -

— + Re• ПУ-Г)=-Чр + ЛУ + /, ,1Ч

дtУ; (1)

У • V = 0,

где коэффициент при конвективном слагаемом - число Рейнольдса Re = У0L0 /у (у - кинематическая вязкость жидкости, Ь0 - характерный размер области, в которой ищется решение, V, - масштаб скорости, / - плотность объемной силы). Когда Re << 1 (или V)L0 << у ), то роль конвекции существенно мала по сравнению с вязким трением и конвективные слагаемые могут быть отброшены, так что линеаризованные уравнения Навье-Стокса будут иметь вид:

'дV - - -

ддТ = "Ур ^ + (2)

У • V = 0,

Рассмотрим вязкое течение жидкости в некотором замкнутом объеме О, на границе 5 которого скорость обращается в ноль (условия прилипания):

V

= 0 (3)

а начальное распределение скорости определяется некоторой функцией У0 (г):

V (Г ,0) = ^(г). (4)

Проблемы, возникающие при аналитическом решении линеаризованных уравнений Навье-Стокса для течения вязкой жидкости, осложняются не только векторной природой уравнений, но и наличием давления. Физически, давление в уравнениях Навье-Стокса играет роль мгновенно действующего регулятора, обеспечивающего несжимаемость жидкости. Поэтому давление не является динамической переменной, а играет роль некоторого компенсирующего поля. Математически это проявляется в том, что давление и скорость входят в единую конструкцию, связывающую их - тензор напряжений, который (с учетом выбранных масштабов) равен

5

1 ./

так что, с учетом несжимаемости, в линеаризованные уравнения Навье-Стокса входит свертка

д д ЛТЛ

д^ =-^Р + • (6) 1 ./

Таким образом, поскольку скалярная функция давления явным образом входит в уравнения для динамики скоростей, а определяется неявным образом из условия бездивергентности, попытка разложить векторное поле скоростей по базису оператора Лапласа не приводит к успеху. По этой причине обобщенная задача Штурма-Лиувилля должна быть записана для полной конструкции с тензором напряжений, входящих в уравнения. Но замыкаться уравнение на собственные значения должны только на динамические степени свободы.

Предположим, что существуют такие базисные вектора жк (г), Ек (г), что скорости и давление могут быть разложены по этому базису с одними и теми же коэффициентами Ск (г), позволяющими разделить переменные в уравнениях:

ад

V(Гг) = ^Ск (г)Ек (г),

к=0 (7)

Р(Г,г) = ^ Ск (гК (Г).

к

к =0

Выбор одинаковых коэффициентов Ск (г) в (7) связан с определением давления,

которое играет роль мгновенного компенсатора дивергенции скоростей в каждый момент времени.

Кроме того, предположим, что на комбинацию выбранных базисных функций могут быть записаны уравнения на собственные значения вида (6) такие, что действие оператора градиента приводит к проектированию выбранной комбинации к базису динамических степеней свободы, умноженному на собственное значение к2 :

-Ужк (г) + АЕк (Г) + к2Ек (Г) = 0, (8)

V-Ек = 0, (9)

Ек

= (10)

Дополнительное слагаемое Vлк в выражении (8) как раз определяется наличием поля давления в уравнениях Навье-Стокса, играющего роль компенсирующего поля, обеспечивающего бездивергентность поля скоростей.

Покажем, что собственные функции Ек с различными к ортогональны, а собственные значения действительны. Определим скалярное произведение как

{Ек, Ек ) = \{Е1, Ек)т.

= к,~к. о (11)

о

Умножая (8) на Е;, имеем

{(е; - v жк )ю+{(е; - дек }/о+к2 {(е; - ек }ю=0, ^

о о

интегрируя которое по частям (расписав для ясности по компонентам слагаемые от лапласиана и предполагая суммирование по повторяющимся индексам), получаем:

5

о

/(¿¡ж*+ /{жкУ-Ек,}1П + $Е* -

5 О 5 дх'

'дЁЦ дЕ* 4

ш -Ег Ок2 Е* О 0,

О\дх' дх У О

С учетом того, что в объеме выполнены условия бездивергентности

У-Ек = 0, У-Е ш^Н- = 0. (14)

дх' к дх' а на границе заданы однородные условия

- - дЕ' - - дЕ*'

У• Ек = 0, У-Е*= 0. (15)

к ^ ' 5 к ^ ' 4 7

дх дх

Ек

= 0, Е*

5 к

= 0, (16)

приходим к условию

к2 = /дЕ*; дЕк, ^

О1дх7 дх7' у

^^/(Е;.- Ек )/О, (17)

О

Таким образом, собственные значения к2 являются действительными и неотрицательными.

Чтобы показать ортогональность собственных векторов, соответствующих различным собственным значениям к и квыпишем уравнения для собственных векторов Ек и Е* :

-УЖк (Г) + ЛЕ; (г-) + к2Е; (Г) = 0, (18)

= 0, У-Е; = 0, (19)

- Уж'* (Г) + ЛЕ(г-) + к'2 Е* (г-) = 0, (20)

Ек

Е *

5

—► —► ^

= 0, У- Е*'= 0. (21)

Умножая уравнение (18) на Е*,, а уравнение (20) на Ек, вычитая полученные

соотношения друг из друга, после интегрирования по пространству, с учетом соотношений (19) и (21), получаем

(;2 - *'2 )/(Е*' - Ек )т = 0. (22)

О

Следовательно, собственные функции для различных собственных значений к Ф к' ортогональны между собой.

Таким образом, решение задачи (2) действительно можно искать в виде (7) с одинаковыми коэффициентами Ск (£).

Раскладывая внешний источник в уравнениях (2) по базису жк (г), Ек (г), находим

ад

/(Г,') = Е /; «)Е; (Г), (23)

к=0

где коэффициенты разложения равны /к (¿) = ^Ек, .

5

Подстановка разложений (7) и (23) в уравнения (2) приводит к системе уравнений

вида

йг

к =-к С + fk (г),

с общим рещением

Ск (г) = С0 ехр(-к2г) + { ехр(-к2(г - г' (г'й'

(24)

(25)

где, с учетом начальных условий (4), решение однородных уравнений определяется

коэффициентами С° ={Ек

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В КРУГЕ

В качестве примера построим базис для векторных уравнений вязкой жидкости во внутренней области круга г < 1. В полярной системе координат (г, р) обобщенная задача Штурма-Лиувилля будет иметь вид:

дж 1 д ( дЕ, Л 1 д2Е, Е, 2 дЕ(

--+--1 г-

+ -

г г

. . 2 2 2 2 р + к 2Ег = 0, дг г дг \ дг ) г др г г др

1 дж 1 д( дЕЛ 1 д2Ер Ег 2 дЕ

■ + -

г др г дг

дг

+ -

2 а„2 „2 ■ _ 2 + к "ЕР= 0

р - + .

г др г г др

1)+1 0,

г дг г др

с граничными условиями

Е„ (1,р) = 0, Ер (1,р) = 0. Из уравнений (26) - (28) следует, что п(г, <р) удовлетворяет уравнению

1 д(г дж)+ 1 д 2ж

= 0,

г дг V дг ) г2 др2 решения которого можно искать в виде

ж(г, р) = жт (г) ехр ( ш р). Тогда вводя новые функции

Ег (г) + Ер (г) = ит (г) еХР ( т р), Ег (г) - Ер (г) = ^ (г) еХР ( Ш P),

получаем

1 _д(г дитк2_ (т +1)

г дг I дг

+

2 Л

I А(г дкк(т -1)

г дг

дг

+

)

2 Л

( д т Л

ит -| Д---Г'" = ^

V дг г )

)

( д т Л А

V--|тг + -|ж,и = 0,

V дг г )

' д ^ т +1 Ли +(д т -1 _0 чдг г ) т ^дг г ) т

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

г

2

г

2

г

Из выражений (30) - (31) находим

^ \Сыгт + С2тг-'п, т > 0, жт (г) = \ 1т 2т (36)

тУ' { Сю + С201п(г), т = 0.

Для внутренней задачи ( г < 1) из условия ограниченности следует

С2т = 0, т > 0, (37)

или

Жт(г) = Сыгт, т > 0. (38)

Из уравнения (33), с учетом ограниченности решения в нуле, находим

ит (г) = АтЗт+1(;гХ (39)

а из уравнения (33) аналогично получаем

^ (г) = Вт/т_х(*г) + 2тСЬп—г • (40)

Уравнение (35) приводит к равенству коэффициентов

Ат = Вт, т > 1. (41)

Граничные условия определяют дисперсионное соотношение

) = 0, (42)

и значения коэффициентов С1т :

к 2

С 1т =-!^АтЗт_х(к), (43)

2т

так что окончательно имеем:

ит (г) = ЛЛ+^Х

(г) = Ат (/-,(*) - Зт_х(к )гт-1), к 2

Ж (г) = -2-АтЗт_(к )гт. 2т

(44)

Пусть *тп - собственные значения *, полученные из условия (42) (где т = 1,2,... - номер моды, а п = 0,1,2,... - номер корня при заданном т )

^(кт,) = 0, (45)

тогда нумеруя двойным индексом (тп) базисные функции, находим

итп (г) = ДппЛП+^Х

Vтп (г) = Атп (/-1 (*) - (*)г--1 ),

к 2

жпт (г) = - *^АтпЗтЛ(; )г-.

(46)

2т

Коэффициенты Атп находятся из условия нормировки

1

/(и |2 + | V |2 = 1, (47)

0

или

А,1 [(/т+1(*тпг)2 +(/т-!(*тпг) - г-"1 /--^-П ))2 \сг = 1. (48)

Необходимые вычисления корней функций Бесселя и нормировочных коэффициентов выполнено в системе Maple. Вид рассчитанных базисных функций

Emn = 2/^Т Amn (er (Umn (r) + Vnnn (r)) " <p (Urnn (r) " Vnnn (r)))eXP (П Ф) (49)

приведен на рис. 1. Полученные базисные функции удовлетворяют условию ортогональности

1

{ k„n (r )uml (r) + vmn (r)vml (r ))rdr = Sn,. (50)

0

Линии тока для базисных решений, построенные в системе Maple, приведены на рис. 2, 3 для случаев: m = 1, n = 1,2; m = 2, n = 1; m = 3, n = 2.

Рис. 1. Радиальные части базисных функций Егтп (г) = итп (г) + Утп (г) и

Ерп (г) = итп (г) - утп (г) при различных значениях т, п

Рис. 2. Линии тока, построенные по базисным функциям: (слева) при т = 1, п = 1; (справа) при т = 1, п = 2

-1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.5 0 0.5 1

Рис. 3. Линии тока, построенные по базисным функциям: (слева) при т = 2, п = 1; (справа) при т = 3, п = 2

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предложена систематическая процедура построения аналитических решений линеаризованных уравнения Навье-Стокса с помощью разложения по базису обобщенной задачи Штурма-Лиувилля. Показана ортонормированность базисных функций обобщенного базиса и рассмотрен конкретный пример, иллюстрирующий построение такого базиса для плоской задачи движения вязкой жидкости внутри круга. Предложенный формализм может быть использован для изучения переходных режимов течений вязкой жидкости в задачах, где безразмерная величина плотности объемных сил / преобладает над конвективными процессами

Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке РФФИ и Правительства Удмуртской Республики в рамках научного проекта № 18-42-180002.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. 3-е изд. M.: Наука,

1966.

2. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. В двух томах. Том 1. М.: Издательство иностранной литературы, 1958. 930 с.

3. Алексенко Е. А., Горшков А. В., Просвиряков Е. Ю. Слоистая конвекция Марангони при учете теплообмена по закону Ньютона-Рихмана. Сообщение 1. Исследование поля скоростей // Химическая физика и мезоскопия. 2018. Т. 20, № 1. C. 15-27.

4. Kharchandy S. Exact Solution for Unsteady Flow of Viscous Incompressible Fluid Over a Suddenly Accelerated Flat Plate (Stokes' First Problem) Using Laplace Transforms // International Journal of Engineering and Technology, 2018, vol. 7, no. 3.6, pp. 267-269.

5. Privalova V. V., Prosviryakov E. Yu., Simonov M. A. Nonlinear Gradient Flow of a Vertical Vortex Fluid in a Thin Layer // Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 15, no. 3, pp. 271-283.

6. Миллер У. Симметрия и разделение переменных / пер. с англ. Г. П. Бабенко, под ред. К. И. Бабенко. М.: Мир, 1981. 342 с.

7. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Метод разделения переменных в математической физике. Учебное пособие. СПб.: Книжный Дом, 2009. 92 с.

8. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970. 288 c.

9. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М.: Наука, 1989. 413 c.

10. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Том VI. Гидродинамика. 3-е изд., перераб. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1986. 736 с.

11. Хаппель Дж., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольса / пер. с англ. В. С. Бермана, В. Г. Маркова, под ред. Ю. А. Буевича. М.: Мир, 1976. 630 c.

12. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Часть 2. М.: Физматгиз, 1963. 728 с.

13. Zhang М.-J., Su W.-D. Exact solutions of the Navier-Stokes equations with spiral or elliptical oscillation between two infinite planes // Physics of Fluids, 2013, vol. 25, no. 7, pp. 073102(1-17).

14. Kumar M., Kumar R. On some new exact solutions of incompressible steady state Navier-Stokes equations // Meccanica, 2014, vol. 49, no. 2, pp. 335-345.

Exact Solutions for Incompressible Viscous Fluid: Basis Decomposition

Vaskin V. V., 1,2Lebedev V. G., 'ivanova T. B., 'Bovin V. P.

1 Udmurt State University, Izhevsk, Russia

2 Udmurt Federal Research Center, Ural Branch of the RAS, Izhevsk, Russia

SUMMARY. The problems of constructing exact solutions for the Navier-Stokes equations are related not only to the nonlinearity of the hydrodynamic equations but also to their vector nature. In this paper, we propose a method for systematically constructing exact solutions of the linearized Navier-Stokes equations in the case of viscous flows by the eigenfunction decomposition of Hermitian operators. As an example, the corresponding basis for the flow in the inner region of the circle is constructed. For clarity, expressions and graphs of current functions for individual modes are given. The obtained solutions can be used as test solutions for computer modeling of viscous fluid flows.

KEYWORDS: viscous flow, vector equations, the expansion by the basis.

REFERENCES

1. Tikhonov A. N., Samarskiy A. A. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of mathematical physics]. 3-e izd. Moscow: Nauka Publ., 1966.

2. Mors F. M., Feshbakh G. Metody teoreticheskoy fiziki. V dvukh tomakh. Tom 1 [Methods of theoretical physics. In two volumes. Volume 1]. Moscow: Izdatel'stvo inostrannoy literatury, 1958. 930 p.

3. Aleksenko E. A., Gorshkov A. V., Prosviryakov E. Yu. Sloistaya konvektsiya Marangoni pri uchete teploobmena po zakonu N'yutona-Rikhmana [Layered Marangoni convection during heat transfer according to the Newton's law of cooling. Part 1. Investigation of the velocity field]. Soobshchenie 1. Issledovanie polya skorostey. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2018, vol. 20, no. 1, pp. 15-27.

4. Kharchandy S. Exact Solution for Unsteady Flow of Viscous Incompressible Fluid Over a Suddenly Accelerated Flat Plate (Stokes' First Problem) Using Laplace Transforms. International Journal of Engineering and Technology, 2018, vol. 7, no. 3.6, pp. 267-269. http://dx.doi.org/10.14419/ijet.v7i3.6.15000

5. Privalova V. V., Prosviryakov E. Yu., Simonov M. A. Nonlinear Gradient Flow of a Vertical Vortex Fluid in a Thin Layer. Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2019, vol. 15, no. 3, pp. 271-283. http://dx.doi.org/10.20537/nd190306

6. Miller Williard. Symmetry and Separation of Variables. London etc.: Addison-Wesley Publishing,

1977.

7. Zaytsev V. F., Polyanin A. D. Metod razdeleniya peremennykh v matematicheskoy fizike [The method of separation of variables in mathematical physics]. Uchebnoe posobie. St. Petersburg: Knizhnyy Dom Publ., 2009. 92 p.

8. Ladyzhenskaya O. A. Matematicheskie voprosy dinamiki vyazkoy neszhimaemoy zhidkosti [Mathematical problems in the dynamics of a viscous incompressible fluid]. Moscow: Nauka, Gl. red. fiz.-mat. lit., 1970. 288 p.

9. Kopachevskiy N. D., Kreyn S. G., Ngo Zuy Kan. Operatornye metody v lineynoy gidrodinamike: Evolyutsionnye i spektral'nye zadachi [Operator methods in linear hydrodynamics: evolution and spectral problems.]. Moscow: Nauka Publ., 1989. 413 p.

10. Landau L. D., Lifshits E. M. Teoreticheskaya fizika: Tom VI. Gidrodinamika [Theoretical physics. Volume VI. Hydrodynamics]. 3-e izd., pererab. Moscow: Nauka, Gl. red. fiz-mat. lit. Publ., 1986. 736 p.

11. Happel J., Brenner G. Low Reynolds number hydrodynamics. Prentice-Hall, 1965.

12. Kochin N. E., Kibel' I. A., Roze N. V. Teoreticheskaya gidromekhanika. Chast' 2 [Theoretical hydromechanics. Part 2]. Moscow: Fizmatgiz Publ., 1963. 728 p.

13. Zhang M.-J., Su W.-D. Exact solutions of the Navier-Stokes equations with spiral or elliptical oscillation between two infinite planes. Physics of Fluids, 2013, vol. 25, no. 7, pp. 073102(1-17). https://doi.org/10.1063/1.4813629

14. Kumar M., Kumar R. On some new exact solutions of incompressible steady state Navier-Stokes equations. Meccanica, 2014, vol. 49, no. 2, pp. 335-345. https://doi.org/10.1007/s11012-013-9798-4

Васькин Владимир Васильевич, кандидат физико-математических наук, профессор кафедры теоретической физики ИМИТИФ УдГУ, тел. 7(3412)916-130, e-mail: vaskinvv@gmail.com

Лебедев Владимир Геннадьевич, кандидат физико-математических наук, заведующий кафедрой теоретической физики Института математики, информационных технологий и физики (ИМИТИФ) УдГУ; старший научный сотрудник НЦМеталлургической физики и материаловедения УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: lvg@udsu.ru

Иванова Татьяна Борисовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики ИМИТИФ УдГУ, тел. 7(3412)916-130, e-mail: tbesp@rcd.ru

Бовин Владимир Павлович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической физики ИМИТИФ УдГУ, тел. 7(3412)916-130, e-mail: bovinvp@gmail.com