Метод конечных суперэлементов в задачах о вязких несжимаемых течениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

Механика жидкости и газа Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (3), с. 1137-1139

УДК 519.634

МЕТОД КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ В ЗАДАЧАХ О ВЯЗКИХ НЕСЖИМАЕМЫХ ТЕЧЕНИЯХ

© 2011 г. Л.Г. Страховская

Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Москва

strakh@kiam.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Построены схемы высокого порядка точности методом конечных суперэлеменов на треугольной неструктурированной сетке для расчета течений вязкой несжимаемой жидкости с преобладанием конвективного переноса. Проведены расчеты стандартных тестовых задач для уравнений конвекции-диффузии и уравнений Навье - Стокса.

Ключевые слова: метод конечных суперэлеменов, уравнение Навье - Стокса, треугольная неструктурированная сетка, схема высокого порядка.

Метод конечных суперэлементов (МКСЭ) был предложен в 1976 году для решения краевых эллиптических задач, в которых локальные сингулярности сконцентрированы в узких подобластях рассчитываемой области. Он применялся для численного моделирования нейтронно-физических процессов в ядерных реакторах [1] и для решения задач теории упругости. МКСЭ — это проекционный метод, использующий идеи МКЭ, но отличающийся от стандартных конструкций МКЭ следующим: 1) требуется выполнение вариационного уравнения в пространстве следов искомого решения на пространственной сетке; 2) базисные функции строятся как решение исходного уравнения со специальными краевыми условиями; 3) используются сетки с относительно большим шагом И по пространству, но расчет базисных функций учитывает мелкомасштабные неоднородности внутри ячейки, которые играют важную роль в рассчитываемых процессах. Увеличение точности решения делается за счет повышения степени аппроксимирующих функций (р-аппроксима-ция).

В настоящее время метод развивается для решения задач гидродинамики с большими числами Рейнольдса. Сложности приближенного решения таких задач связаны с наличием пограничных слоев, ударных волн и тангенциальных разрывов. Интерес представляют двухфазные течения, пока без перемешивания, с движущимся интерфейсом, его положение определяется методом функции уровня [2].

В двумерной области О течение вязкой не-

сжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье - Стокса:

— + (и-V) и =-1 Ур + У-т(и) + g,

дг р

V - и = 0,

(1)

и - вектор скорости, р - плотность, р - давление, Ц - коэффициент кинематической вязкости, g - вектор ускорения свободного падения, т(и) = Ц(Уи + УиТ ) - тензор вязких напряжений. Задаются начальные условия, краевые условия Дирихле на основной части внешней границы дО' с дО и тензор напряжений на выходной части границы дО\дО':

и(х, у,0) = ио(х, у), и 30' = ио(х, У)|дО', та - рп = р0п на 30 \ 30'.

В области О вводится треугольная неструктурированная сетка. Нестационарная система (1) решается по неявной схеме. Для решения нелинейной задачи на верхнем слое делается линеаризация. Линеаризованную дифференциальную систему запишем в дивергентной форме:

£(е)и = д11( и) + 3Г2(и)

- + -

= Г.

(2)

дх ду

Обобщенное решение определяется из уравнений

В( и, -те) = (Г, -те),

где

В(и, -те) =

=- ^Г |х + ^ 1Хх 1 ^+ ^ ^х + Г2Пх ) ^

ЭЮк

Здесь w = , ^2 , ^3) - произвольная гладкая

вектор-функция с носителем с О без требования обращения в ноль на d%, n = (nx , ny) -внешняя нормаль к .

B каждой треугольной ячейке T вводится локальная сетка и рассчитываются векторные базисные функции, которые должны удовлетворять системе (2) в «классическом» смысле. На dT задаются краевые условия — полиномы степени N = 1, 2, З, 4, 5, образующие полиномиальный или иерархический базис на dT,

Цє)ф j = ф; |3t = ф, j =1,2,...,J;

Х(е)ф0 = f, ф0І dT = 0,

u( x, y)=z zum ф" в T •

m=1 j

Так же, как в MKЭ, формируется матрица жесткости, система линейных алгебраических уравнений разрешается относительно неизвестных um. Делается несколько итераций по нелинейным членам и переход на следующий шаг по времени.

MKCЭ применялся для расчета многих задач гидродинамики. Проведена серия расчетов модельных задач для уравнения конвекции-диффузии [З], в которых конвективный перенос преобладает: задача Прандтля, задача с разрывными граничными данными, задача с криволинейным внутренним слоем, задача с точным экспоненциальным решением. Использовался вариант MKCЭ по конструкции, близкий методу RFB (Residual-free Bubbles). Он показал результаты (точность, устойчивость) такие же, как и другие стабилизированные методы (GLS, SUPG, RFB).

Boзмoжнocти MKCЭ изучались на стандартных тестах для уравнений Навье—Стокса [4]: задача о течении в канале за ступенькой, течение в каверне с движущейся верхней стенкой, течение в распределительной камере с тремя выходными отверстиями, задача о тепловой конвекции, модельная задача с известным точным решением. B этих задачах существуют подобласти, в которых решение сингулярное, возникают локальные вихри и внутренние слои при больших числах Рейнольдса. Bo всех случаях MKCЭ позволял выбирать шаг сетки в ~50 раз крупнее, чем в конечно-разностных методах или стабилизированных MKЭ, используемых другими авторами.

B задачах о течении в канале за уступом и

течении в распределительной камере с тремя выходными отверстиями изучалось влияние на решение краевых условий на выходных границах [5]. Моделировалось 3 типа условий: 1) условие Дирихле, 2) условие Неймана, 3) условие на тензор напряжений. Для первой задачи подходят условия 2) и 3), для второй — лучше условие 3).

Выполнены расчеты течения двухфазной жидкости в одножидкостной модели, которая в стационарном варианте сводится к задаче Стокса с разрывными коэффициентами [6]. В нестационарных задачах к уравнениям Навье — Стокса добавляется уравнение переноса функции уровня

[7].

Численные эксперименты показали, что с помощью МКСЭ построены схемы высокого порядка точности для расчета неоднородных течений вязкой несжимаемой жидкости на неструктурированных неразнесенных сетках с «шагом» в 20—50 раз большим, чем в стабилизированных МКЭ. Специальное построение трехкомпонентных (две скорости и давление) векторных базисных функций как решений линеаризованной системы Навье — Стокса позволяет использовать общую сетку для скорости и давления, учитывает сложное поведение решения внутри ячейки, позволяет преодолеть условие LBB и стабилизирует метод, уменьшая число обусловленности матрицы жесткости. Метод хорошо распараллеливается: расчет базиса в ячейке может осуществляться на отдельном процессоре.

Список литературы

1. Страховская Л.Г., Федоренко Р.П. // Ж. вычислит. матем. и математич. физ. 1979. Т. 19, №4. С. 950—960.

2. Osher S.J., Fedkiw R.P. Level set method and dynamic implicit surfaces. N.Y.: Springer, 2003. 273 p.

3. Жуков В.Т., Страховская Л.Г., Федоренко РП., Феодоритова О.Б. // Ж. вычислит. матем. и математич. физ. 2002. Т. 42, №2. С. 223—235.

4. Страховская Л.Г. // Ж. вычислит, матем. и математич. физ. 2009. Т. 49, №1. С. 123—136.

5. Страховская Л.Г. // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: Междунар. науч. конф., посвящен. памяти акад. А.А. Самарского в связи с 90-летием со дня рождения. Москва, 16—18 июня 2009 г.

6. Милютин Д.С., Страховская Л.Г. Препринт №81. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 2009.

7. Страховская Л.Г. Препринт №83. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. М., 2010.

A FINITE SUPERELEMENT METHOD IN THE PROBLEMS OF VISCOUS INCOMPRESSIBLE FLOWS

L.G. Strakhovskaya

High-order schemes are constructed for analyzing viscous incompressible convection-dominated flows on a triangular unstructured mesh by the finite superelement method (FSEM). The standard test problems for the convection-diffusion equation and Navier - Stokes equation have been analyzed.

Keywords: finite superelement method, Navier-Stokes equation, triangular unstructured mesh, high-order scheme.