Семейство экономичных алгоритмов для авиационной бесплатформенной инерциальной навигационной системы Текст научной статьи по специальности «Математика»

А.Д.Кивокурцев

Семейство экономичных алгоритмов для авиационной бесплатформенной инерциальной навигационной системы

В последние годы в авиационном приборостроении находят все более широкое применение инерциальные навигационные системы (ИНС) в бесплатформенном исполнении, Возможность построения реальных конструкций БИНС обусловлена современным уровнем развития цифровой вычислительной техники, поскольку для реализации в реальном масштабе времени сложных и точных алгоритмов функционирования требуются высокопроизводительные ЦВМ с хорошим быстродействием [1,2],

Бесплатформенные инерциальные навигационные системы (БИНС) характеризуются жестким закреплением чувствительных элементов на борту ДА. Это приводит к необходимости аналитического построения расчетной системы координат (СК) на основе информации первичных датчиков, Математические расчеты по реализации аналитической расчетной СК проводятся в бортовой ЦВМ или специализированных вычислителях, Блок гироскопов необходим для решения задач ориентации, а блок акселерометров - как для ориентации так и навигации,

Исследования, проводимые отечественными и зарубежными специалистами показали, что 80% погрешностей БИНС обусловлены погрешностью аналитического построения расчетной СК, т.е. системы ориентации [1-4]. Поэтому особую важность и актуальность приобретает проблема разработки экономичных алгоритмов вычисления параметров ориентации, предъявляющих наиболее "жёсткие" требования к характеристикам БЦВМ.

Синтез экономичных, алгоритмов ориентации, Одним из путей вычисления параметров ориентации связанного базис маневренного объекта является интегрирование кинематических дифференциальных уравнений известными классическими численными методами - Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса, но этот способ приемлем для БИНС на гироскопах, измеряющих угловую скорость, Современные же БИНС используют датчики на новых физических принципах (лазерные и твёрдотельные волновые гироскопы), которые являются интегрирующими датчиками, измеряющими в момент времени |к интегралы от проекций абсолютных угловых скоростей на соответствующие оси чувствительности (квазикоординаты):

'к

, , „ й)'(1)'-=\о) СО СО _ Г

где 1К - предыдущий и текущии моменты времени выдачи сигнала датчиком; 1 х у -л - про-

екции вектора абсолютной угловой скорости вращения связанной СК на соответствующие оси чувствительности.

Дифференцирование выходного сигнала (1) гироскопического блока по времени с последующим решением кинематических уравнений для параметров ориентации приводит к быстрому накоплению погрешностей ориентации, счисляемой в БИНС. Эта проблема привела к необходимости разработки специализированных алгоритмов ориентации БИНС, использующих в качестве сигналов первичной инерциальной информации квазикоординаты,

Наиболее эффективным решением задачи определения ориентации является разбиение процесса вычислений на циклы (сверхбыстрые) с решением в каждом из них кинематического уравнения для промежуточного параметра (рис.), В качестве таковых необходимо выбрать параметры, полностью или частично удовлетворяющие следующим требованиям [2, 3, 4]: невырождаемость при малых значениях; наименьшее число кинематических дифференциальных уравнений, требующих решения в реальном времени; наиболее простая связь с матрицей направляющих косинусов.

Быстрый цикл

Сверхбыстрый цикл <-

г

т -1

I

к-1 к Циклы вычислений алгоритмов ориентации

т

Для уменьшения методических погрешностей следует продолжительность сверхбыстрого цикла вычисления промежуточного параметра принять равной величине дискретности снятия сигнала с блока гироскопов, поскольку за этот промежуток времени угловая скорость и ориентация изменятся незначительно.

Частота съема информации у современных гироскопических датчиков составляет 100-200 Гц. Это позволяет предположить, что за период дискретности т угол поворота связанной СК не превысит значения В этом случае в качестве промежуточных параметров можно применять векторы ориентации, не опасаясь их вырождения. Снижение количества дифференциальных уравнений до трех вместо шести для матрицы направляющих косинусов позволит снизить вычислительные нагрузки БЦВМ. Переход к матрице направляющих косинусов можно осуществлять с меньшей частотой (быстрый цикл), которая, однако, также должна быть достаточной для требуемой точности решения задач ориентации и навигации[2,3].

Примем в качестве промежуточного параметра вектор ориентации Эйлера ^ Ф е . Он представляет собой

ось е , вокруг которой необходимо совершить поворот на угол ^, чтобы связанная СК из положения в начальный момент переместилась в следующее положение. Этот процесс может быть описан матричным уравнением

где

) . некоторый оператор вращения, переводящий связанную СК из начального положения ^ ^

щи

(2)

в сле-

дующее, описываемое матрицей направляющих косинусов Промежуток времени т "т~> между двумя по-

следовательными вычислениями матрицы направляющих косинусов называется быстрым циклом. Для вектора ориента-

лю

ции Эйлера оператор поворота

может быть получен по формуле

Ф(г ) =

V т /

О

<Р,(*т)

~<Ру(*т)

<РЮ

<РгЮ <РуЮ

(3)

о

<РМт)

<РхЮ

о

<Р( ) = .(Рх От) + <Ру(*т) + <Рг(*т)

где • 7 - угол поворота (модуль вектора ориентации)

симметрическая матрица, составленная из координат вектора ориентации.

Кинематическое дифференциальное уравнение для вектора Эйлера имеет вид

(4)

ФП )

1 тУ - косо-

г

2

1-

(р-зтср

\

(р\ 2( 1 — С08 (р)

(5)

где & ( ) - локальная производная вектора ориентации.

Решение данного уравнения при интегральном характере выходных сигналов датчиков составляет основную трудность определения промежуточного параметра ориентации. В [2, 4] получено аналитическое решение уравнения (5), на основе которого предложены различные методики, позволяющие синтезировать алгоритмы различной структуры и степени точности. В них промежуточные параметры ориентации вычисляются по одношаговым и многошаговым алгоритмам. Можно получить семейство разнотипных алгоритмов, имеющих различную структуру (по организации вычислительного цикла, т.е. разгонные и без разгонные) и как следствие различное быстродействие и различную степень точности, Приведём примеры таких алгоритмов,

1) Безразгонные алгоритмы. - одношаговый второго порядка точности [алгоритм 1]:

Ф

(я 1 У= я

- двухшаговый четвертого порядка точности [алгоритм 2]:

ф2 (я! ) = 41 + 42 + Х Я2 ] ,

- трехшаговые четвертого порядка точности [алгоритм 3]:

(6)

(7)

9,

Фз 1 (qpq2 5q3)=qi+я2 + Яз + - hiх Яз ],

(8)

[алгоритм 3.1]:

Фзг^ЯгЛзЬч! +СЬ +Яз (Я] "Яз)х Яз +~Я2

2С

3

2

- четырехшаговый четвертого порядка точности [алгоритм 4]:

2

Ф4(ЯрЯ2,Яз>Я4) = Я1 + Я2 +Яз + Я4 +-[(Я1 +Я2)х(Яз + Я4)],

- четырехшаговый повышенной точности [алгоритм 4+]:

Ф,

(Я1 >Я2 >Яз 'Я4) = Я2 + Я2 + Яз + Яз + ~[(Я1 х Яз) + (я2 х Яз) + (я2 х я4)],

- пятишаговый четвертого порядка точности [алгоритм 5];

1375

Ф5 (ят Л2 ?Яз >Я4,4s)= Я1 + Я2 + Яз + я4 + Я5 - ™~~[я2 х q 4 ] ~

(9)

(10)

(П)

432'

х q5 ] +-^([q2 х q5 ] + [q, х q4 ])

(12)

864

216

(13)

(14)

2) Разгонные алгоритмы.

- двухшаговый (с одним шагом разгонки) 3-го порядка точности [алгоритм 6]:

Ф 2 = Я 2 + (я 1 X q 2 ),

- трёхшаговый (с двумя шагами разгонки) 4-го порядка точности [алгоритм 7J:

Фз = Яз + 7(я2 X Яз)- —(qi X Яз). о 24

Соотношения (2), (3), (4) для приведённых выше алгоритмов будут иметь одинаковый вид.

Таким образом, Соотношения (2), (3), (4), а так же одно из выражений из семейства (6)-(14) образуют алгоритм для определения ориентации ДА в инерциальном пространстве по показаниям гироскопических датчиков интегрирующего типа.

Преимущества синтезированных алгоритмов: повышенная точность; значительное снижение вычислительных нагрузок на 5ЦВМ по причине отсутствия дифференциальных уравнений; не требуется предварительное дифференцирование выходных сигналов гироскопических датчиков; инвариантность к проблеме некоммутативности конечных поворотов; возможность решения в реальном масштабе времени.

Библиографический список

1, Бабич О.А, Обработка информации в навигационных комплексах. - М,: Машиностроение, 1991, - 512 с,

2. Панов А,П. Математические основы теории инерциальной ориентации, - Киев: Иаукова думка, 1995, - 280 с,

3, Bortz J.E, A new mathematical formulation for strapdown inertia! navigation, IEEE Transactions on aerospace and electronic systems, Vol, AES-7 № 1, 1971,

4. Savage P.G, Strapped-down system algorithms, Document LS-133, Pt.3, Apr. 1984.