Модель погрешностей бесплатформенной инерциальной навигационной системы Текст научной статьи по специальности «Физика»

Список литературы

1. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная навигация. М.: Наука, 1976. 672 с.

2. Ривкин С.С. Стабилизация измерительных устройств на качающемся основании. М.: Наука, 1978. 320 с.

3. Пельпор Д.С., Колосов Ю.А., Рахтеенко Е.Р. Расчёт и проектирование гироскопических стабилизаторов. М.: Машиностроение, 1972. 325 с.

4. Фабрикант Е.А., Журавлев Л.Д. Динамика следящего привода гироскопических стабилизаторов. М.: Машиностроение, 1984. 248 с.

5. Неусыпин А.К. Гироскопические приводы. М.: Машиностроение, 1978. 191 с

6. Родионов В. И. Гироскопические системы стабилизации и управления. Тула: Изд-во ТулГУ, 2000. 192 с.

V.I. Rodionov, D.A. Veterkov

GEOMETRY OF TARGET SEEKER WITH INCLINED CARDAN SUSPENSION

The geometiy two-axis stabilization system and control (SSaC) of target seeker is researched. There are results of the angular coordinate conversion. Ability of inclined SSaC to carry out homing in a forward hemisphere is shown.

Key words: homing head, target seeker, geometry.

Получено 3.12.12

УДК 629.7

В.В. Матвеев, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-19-59, [email protected] (Россия, Тула, ТулГУ)

МОДЕЛЬ ПОГРЕШНОСТЕЙ БЕСПЛАТФОРМЕННОЙ ННЕРЦНАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ

Получена модель погрешностей бесплатформенной инерциалъной навигационной системы (БИНС), включающая уравнения погрешностей в определении скорости координат и ориентации. Приведена обобщенная структурная схема формирования погрешностей БИНС.

Ключевые слова: бесплатформенная инерциальная навигационная система, модель погрешностей.

Введение

Решение уравнений погрешностей позволяет предъявить требования к характеристикам гироскопов и акселерометров бесплатформенной инерциалъной навигационной системы (БИНС), если она должна обеспечить

заданную точность или рассчитать точность определения навигационных параметров, если характеристики элементов заданы. Изучение уравнений погрешностей позволяет обоснованно провести выбор алгоритма работы БИНС. Без анализа этих уравнений невозможно строгое обоснование допустимости тех или иных упрощений. Наконец, лишь на основании изучения свойств уравнений погрешностей можно судить о необходимости коррекции БИНС, а также ее эффективности [1].

Если структура БИНС неизменна, то ее погрешности могут быть сведены к некоторым эквивалентным погрешностям первичной информации, т.е. к погрешностям чувствительных элементов. В качестве таких характерных в БИНС обычно принимают инструментальные погрешности акселерометров и гироскопов.

Системы координат

Введем в рассмотрение следующие системы координат: i - инерциальная система координат (inertial frame), начало которой совпадает с центром Земли, а плоскость O'X'Y' лежит в плоскости экватора Земли. Ось O'X' - направлена в точку весеннего равноденствия, ось O'Z' направлена к северному полюсу, а ось O'Y1 дополняет две предыдущие до правой системы координат;

e - земная система координат, центр которой помещен в центр Земли, причем плоскость OeXeYe совпадает с плоскостью экватора. Ось OeXe направлена в плоскости Гринвичского меридиана, ось OeZe - вдоль оси вращения Земли к северному полюсу, а ось OeYe дополняет две предыдущие до правой системы координат. Система координат OeXeYeZe вращается относительно инерциальной системы O1 XlYlZl с угловой скоростью суточного вращения Земли. Проекции вектора угловой скорости суточного вращения Земли на оси инерциальной земной систем координат определяются следующим равенством:

ю^ = ю% = ||о о u||t .

Здесь и далее для обозначения векторов будет применяться индексная форма записи [2], при которой верхний индекс обозначает наименование системы координат, в которой заданы проекции данного вектора, а два нижних соответственно определяют движение одной системы координат (второй индекс) по отношении к другой (первый индекс). Обозначим символом C e матрицу направляющих косинусов при переходе от системы координат i к системе координат е.

Географическая система координат (другие названия: нормальная система координат, в англоязычной литературе Local Navigation Frame) OXgYgZg ориентирована по сторонам света: ось OXg направлена по касательной к меридиану на север, OYg - вдоль истинной вертикали вверх, OZg

- по касательной к параллели на восток. Начало системы координат О совпадает с центом масс подвижного объекта, поэтому такую систему координат называют также сопровождающей. Географическую систему координат обозначим символом g.

Матрица перехода от земной системы координат е к географической g имеет вид

sin В cos L -sin В sin L cos В

Cg =

cos В cosL -sin L

cos В sin L cos L

sin В 0

где В, L - широта и долгота соответственно.

Связанная система координат OXYZ является подвижной системой координат, осями которой являются продольная ось ОХ, нормальная ось OY и поперечная ось OZ, фиксированные относительно подвижного объекта. Связанной системе координат присвоим символ Ъ (от английского термина «body»). Матрицу перехода от географической системы координат к связанной обозначим символом С

g

Схема переходов между системами координат иллюстрируется на

рис.1.

со = О

cot

со

W

gb

Рис. 1. Схема переходов

В соответствии с рис. 1 имеют место следующие равенства:

/ е

™l=Ce™ie> = Cg™eg>

<4 = CgCe<*l>

А = ctdcoi + ct col + coi

(1)

Последнее из равенств (1) характеризует показания идеальных гироскопов.

Погрешности ориентации

Решение задачи ориентации в БИНС часто осуществляется на основе матричного уравнения Пуассона или его кватернионного аналога [3,4]

+ (2)

где [<4х], [со^х] - кососимметрические матрицы, соответствующие проекциям векторов абсолютной угловой скорости связанной Ъ и географине-

190

скои g систем координат, которые имеют вид:

0 ъ Ъ <Ъ, у 0 _ю Ъ 'Ъ, 7 юЪ 'Ъ, у

ь <Ъ = ь 0 Ъ _<iЪ, х юЪ = <ЪЪ, 7 0 _юЪ 'Ъ, х

ь _<'Ъ, у ъ <'Ъ, X 0 _юЪ Щ, у юЪ 'Ъ, х 0

(3)

Параметры ориентации подвижного объекта определяются из соответствующих элементов матрицы направляющих косинусов:

_ СЪ _ СЪ

#1,3 • ^Ъ СЪ 3,2 у = аг^—ъ-' ^ = arcsm^12, У = arctg—Ъ-

С

(4)

С

'ЪМ Ъ 2,2

В основе алгоритма БИНС лежит пересчет данных, измеренных в связанной системе координат в нормальную. Этот пересчет возможен,

когда матрица перехода СЪ известна. Матрицу СЪ5 можно найти из решения обобщенного уравнения Пуассона:

5 (5)

С Ъ = _[<ъ х]С5 + сЪ к x],

где [юъъ х], [^Ъь х] - кососимметрические матрицы, соответствующие проекциям векторов абсолютной угловой скорости связанного и нормального трехгранников на свои ребра.

При решении уравнения (5) на компьютере используется информация об абсолютных угловых скоростях связанного и нормального трехгранников, содержащая погрешности. Вместо точных значений [юЪъ х] используют данные [<% ^ х], представляющие собой выходные сигналы

гироскопов с их погрешностями [АюЪъ х]. Таким образом, выходные сигналы гироскопов принимают вид

Ъ (6)

[<% Ъъ х] = [<Ъ х] + [А<Ъъ х].

Что касается матрицы [ю^ х], то вместо нее в алгоритмах использу-

ют матрицу

[<% Ъ х] = [<Ъ х] + [А<Ъ х],

(7)

которая соответствует вектору угловой скорости географического трехгранника, вычисленного с погрешностями [Аю^ х] посредством навигационного алгоритма БИНС. В результате в БИНС реализуется уравнение Пуассона вида [3,4]

СЪ = СЪ [<%ЪЪ х] _ [%Ъ х]СЪ, (8)

где ~ - расчетная географическая система координат, которая не совпадает с истинной географической системой ъ. Положение системы координат ~

относительно g зададим посредством углов Эйлера а, р, % и матрицы направляющих косинусов С^ (рис. 2).

Рис. 2. Взаимное положение систем координат

На основании рис. 2 следует матричное равенство [3,4]

С| = С|С^ (9)

связывающее матрицу преобразования при «идеальной» работе с расчетной, которая используется в алгоритмах БИНС. Дифференцируя по времени равенство (9), имеем

С|=С*<^ + С*С£. (10)

Подставляя в полученное равенство правые части уравнений (5) и (8), получим

= С*[о&х]С* - [й§х]С*С* - С|[4х]С* + С|С*[со§х].

Принимая во внимание соотношение (10), имеем

С| = С|С|[4х]С| - [&§х]С| - С* С# [о&х]с£ + С|[со|х].

Учитывая соотношение для выходных сигналов гироскопов [й^х], приведенное уравнение упрощается:

С| = С|С|[Дсо^х]С^-[а)|х]С| + С|[со|х]. (11)

В уравнении (11) матрица погрешностей гироскопов [Дсо^х] умножена слева и справа на две взаимно обратные матрицы, что является подобным преобразованием кососимметрических матриц, а это эквивалентно преобразованию вектора Лсо|, из системы Ь в систему координат g. В этом случае уравнение (11) с учетом (7) приобретает вид

С| = С|[Л со*х] - [Дсо|х]С| + С| [<и§х] - [<а|х]С|. (12)

Полученное уравнение характеризует динамику погрешностей алгоритма ориентации БИНС при любых значениях погрешностей инерциаль-ных чувствительных элементов, в том числе микромеханических гироскопов и акселерометров.

Рассмотрим вариант малого отклонения расчетной системы координат £ от g для случая применения инерциальных чувствительных элементов высокой и средней точности, но на ограниченном интервале времени.

192

В этом случае углы а, в, х отклонения системы координат ~ относительно о имеют малые значения, что позволяет приближенно представить матрицу С|% в виде разности единичной и кососимметрической матриц:

1 0 0 0 -в а

с! « Е - [Фх] = о 0 1 0 - в 0 -х

0 0 1 -а х 0

Пренебрегая в уравнении (12) величинами второго порядка малости, получим линеаризованное матричное уравнение погрешностей ориентации БИНС в виде

[Ф х] = -[Аю* х] + [Аю§ х] + [Фх]^ х] - ^ х][Фх]. (13)

Если ввести вектор конечного поворота

Ф = ||х а в Г,

(14)

то разность матриц в правой части (13) [Фх][ю! х] - [ю^ х][Фх] эквива-

щ

лентна векторному произведению Ф х юг!. Тогда векторное уравнение относительно погрешностей построения вертикали и азимутальной погрешности представляется в виде

Ф = - Аю! + Аю!о + Ф х ю!

Ш 1° 1°

или

Ф = Фхю* + Аю| - С!ДюЬь. (15)

Полученное уравнение показывает скорость изменения вектора конечного поворота, характеризующего положение системы координат ~ по отношению к системе о. Причиной изменения вектора Ф является погрешности гироскопов Аю;Ь, выраженные в проекциях на оси координат о и погрешности в определении угловой скорости географической системы координат АюЬь.

Если погрешности ориентации рассматривать по отношению к земной и инерциальной системе координат, то уравнение (15) принимает вид

Ф = Фхю^ -САю?ь, (16)

Ф = -СЬ АюЬь. (17)

В уравнении (16) отсутствует член Аю;ее, так как угловая скорость вращения Земли может быть учтена без ошибки.

Уравнение погрешностей в определении скорости координат

Скорости и координаты в БИНС определяются путем интегрирования сигналов акселерометров, пересчитанных в географическую систему

координат о. В соответствии с теоремой Кориолиса абсолютное ускорение объекта в географической системе координат имеет вид

а! = а° + а% + , (18) где а! = [ю£ х][юО, х]?о - переносное ускорение, = ^ + [ю!ох]у!0 - относительное ускорение, с0 = 2[ю! х]у0 - кориолисово ускорение, - вектор линейной скорости географической системы координат, заданный своими проекциями в географической системе координат, г! - радиус-вектор вершины системы координат о.

Переносное ускорение а!е складывается с ускорением силы тяготения Земли о'0, в результате чего образуется вектор ускорения силы тяжести

= а!е + 00 •

Складывая векторы абсолютного ускорения и ускорения силы тяжести, получим вектор кажущегося ускорения в географической системе координат

П°о = + [Юе0о х]у°о + 2[Ю! х]уе0о + О0 . (19)

Направление отклонения чувствительного элемента вертикального акселерометра под действием положительно направленного вверх ускорения движения и ускорения силы тяжести совпадают, отсюда и совпадение знаков у абсолютного ускорения ЛА и ускорения силы тяжести. Если пренебречь уклонением отвесных линий, то вектор ускорения силы тяжести направлен вдоль геодезической вертикали, и его проекции имеют вид:

Г

0 о! 0

gg

У

Из соотношения (19) выражаем производную по времени от линейной скорости перемещения вершины географического трехгранника g относительно земной системы координат e:

vgg = Cgng - (Kgg x] + 2[(g x])Vegg - gg. (20)

Перепишем уравнение (20), принимая во внимание, что входящие в него величины вычисляются с погрешностями:

V&egg = Cgb nig - ([&ggx] + 2[(Dgex])Vgg - gg . (21)

Вычитая из уравнения (21) алгоритм идеальной работы (20), получим

AVg, = Cgng - Cgng - ([A(gx] + 2[A(g x])vg, -

-([(gg x] + 2[fflg x])AVegg - Agg

Если принять во внимание соотношение (9), то уравнение (21) принимает вид

Д1>4 = (С| - Е) л * + с|Ди§ - Ди^, (23)

где Ди^ - вектор погрешностей компенсации скоростных членов и ускорения силы тяжести, Ап^ - погрешности акселерометров, пересчитанные в

географическую систему координат.

Полагая отклонение расчетной системы координат £ от истинной g

малым, когда допустимо приближенное равенство С^ « Е - [Ч'х], получаем уравнение (23) в виде

Лт>4 = -[^х]п| + Д4 - Дм^.

Пренебрегая погрешностями компенсации скоростных членов и ускорения силы тяжести, окончательно получаем векторное уравнение погрешностей БИНС в определении скорости

Дт>|=4х^ + С|Д4. (24)

Записываем уравнение погрешностей БИНС по координатам местоположения объекта в виде

Дг* =

где Дг^ - вектор погрешностей БИНС в счислении координат.

Блок-схема формирования погрешностей БИНС приведена на рис. 3.

её

Рис. 3. Блок-схема формирования погрешностей БИНС

Приведенная схема характеризует формирование погрешностей БИНС с географическим опорным трехгранником, которая может быть преобразована для любого опорного трехгранника. Ветвь «А» характеризует влияние погрешностей ориентации, на точность в определении линей-

ных скоростей и координат местоположения объекта. Наличие в блок-схеме векторов угловой скорости rag и кажущегося ускорения ng, а также

матрицы Cg говорит о том, что величина погрешностей БИНС зависит от динамики движения объекта.

Заключение

Знание модели погрешностей БИНС позволяет оценить общую погрешность БИНС по заданным погрешностям гироскопов и акселерометров либо решать обратную задачу: предъявить требования к инерциальным чувствительным элементам из условия заданной точности БИНС. Кроме того, модель погрешностей необходима при разработке структуры фильтра Калмана для решения задач комплексирования БИНС с другими навигационными устройствами.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ №10-08-00230а «Научные основы построения малогабаритных систем ориентации и навигации для беспилотных вращающихся по крену летательных аппаратов».

Список литературы

1. Инерциальные навигационные системы морских объектов /Д.П. Лукьянов [и др.]; под. ред. Д.П. Лукьянова. Л.: Судостроение, 1989.184 с.

2. Groves P.D. Principles of GNSS, Inertial, and Multisensor Integrated Navigation Systems /Artech Hous. 2008. 505 p.

3. Матвеев В.В. Инерциальные навигационные системы: учеб. пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2012.199 с.

4. Матвеев В.В, Распопов В.Я. Основы построения бесплатформенных инерциальных навигационных систем: учеб. пособие. СПб.: ГНЦ РФ ОАО «Концерн «ЦНИИ «Электроприбор», 2009.280с.

V. V. Matveev

MODEL OF ERRORS STRAPDOWN INERTIAL NAVIGATION SYSTEM

A model errors of strapdown inertial navigation system (SINS), including the equation of error in determining the speed of the coordinates and orientation. The generalized block diagram of SINS errors.

Key words: Strapdown inertial navigation system, model errors

Получено 3.12.12