Селективное взаимодействие акустического поля с пузырьками в резонаторе с потоком жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Радиофизика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 6 (1), с. 56-62

УДК 534.222.1;551.463.26

СЕЛЕКТИВНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ С ПУЗЫРЬКАМИ В РЕЗОНАТОРЕ С ПОТОКОМ ЖИДКОСТИ

© 2012 г. В.А. Тихонов1, И.Н. Диденкулов2, Н.В. Прончатов-Рубцов1

'Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

2

Институт прикладной физики РАН, Н. Новгород &п@Ьу&о. аррі. sci-nnov. т

Поступила в редакцию 23.08.2012

Выполнено численное исследование взаимодействия газовых пузырьков с акустическим полем в проточном резонаторе. Получено решение задачи о распределении концентрации пузырьков разных размеров по длине резонатора. Исследовано влияние пузырьков и скорости движения среды на структуру поля в резонаторе и на пространственное распределение концентрации самих пузырьков.

Ключевые слова: пузырьки, проточный резонатор, радиационная сила, скорость и затухание звука в пузырьковой среде, распределение концентрации пузырьков.

Введение

Исследования, связанные с изучением движения газовых пузырьков в акустических полях, ведутся уже более века [1, 2]. В различных задачах рассматривались линейные и нелинейные колебания пузырьков под действием акустического поля, изменение параметров среды в присутствии газовых пузырьков, методы диагностики пузырьковых сред [3-5]. Данному вопросу посвящено множество работ, все их перечислить не представляется возможным. Широкий обзор работ представлен в монографии Лейтона [6]. Актуальность проблемы взаимодействия акустического поля с газовыми пузырьками связана с обширными возможностями применения газовых пузырьков в различных сферах деятельности. Г азовые пузырьки применяются в методах ультразвуковой очистки оборудования и дезинфицировании загрязненной жидкости [7], в сонохимических реакциях и при изучении явления сонолюминесценции [8]. Необходимо отметить все более возрастающую роль пузырьков в медицинских приложениях.

Ранее при рассмотрении задач о взаимодействии газовых пузырьков с акустическим полем предполагалось, что жидкость покоится [6, 9]. В данной работе рассматривается ряд эффектов, связанных с движением газовых пузырьков в резонаторе, в котором существует поток жидкости с заданной постоянной скоростью.

В работе [10] рассматривалась упрощенная задача о движении газовых пузырьков в резонаторе с потоком жидкости постоянной скорости. Для рассмотрения более реалистичных условий нами были использованы численные методы

решения уравнения движения пузырьков [11]. Однако в [10, 11] предполагалось, что движение жидкости не оказывает заметного влияния на формирование поля в резонаторе. В данной работе на основе разработанного численного метода решается задача о движении пузырька с учетом влияния движения жидкости в резонаторе на формирование акустического поля, рассматриваются случаи изменения некоторых параметров задачи.

Постановка задачи

В нашей задаче рассматривается идеальный плоский резонатор длиной L с акустически абсолютно жёсткими стенками. Пусть в резонаторе возбуждается акустическая стоячая волна: р = 2ро е coskx, где р0 - амплитуда волны, к=га/с - волновое число, с - скорость звука в жидкости. Будем считать, что через резонатор протекает поток жидкости со скоростью V, направленной вдоль оси х (см. рис.1). Считаем, что в начальный момент по всему объему резонатора уже существует установившееся акустическое поле и связанная с ним средняя концентрация пузырьков.

Допустим, что в данную систему равномерно в сечении х=0 запускаются газовые пузырьки радиуса R0. Будем считать, что при рассматриваемой концентрации пузырьков по всему объему резонатора расстояние между пузырьками таково, что можно пренебречь эффектами взаимодействия.

Со стороны акустического поля, в котором находится пузырек радиуса R0, действует акустическая радиационная сила, обусловленная градиентом интенсивности поля [12]:

ПОТОК

Рис. 1. Резонатор с потоком жидкости

I, сек

х, м

Рис. 2. Характерная траектория пузырька в поле стоячей волны

Р =-—Ё

ак 3 0

1 --

3 Р

рЁ0(ю -ю0)

Ур,

(1)

где ю - частота акустического поля в резонато-

1 '

ре, р - акустическое давление, ю 0 =

3у^0

р

- резонансная частота малых монопольных колебаний пузырька радиуса R0> у - показатель адиабаты для газа в пузырьке, Р0 - внешнее статическое давление, р - плотность жидкости.

Также в потоке жидкости на пузырек действует гидродинамическая сила со стороны потока (мы пренебрегаем силой Архимеда и силой тяжести). Гидродинамическая сила сопротивления движению пузырька при малых числах Рейнольдса имеет следующий вид [13]:

Fгид = 6л^,Г|(^ - Уп) (Де= Р1 ^пЩ(М << 1), (2)

где Уп - скорость пузырька, п - коэффициент динамической вязкости, V - скорость потока жидкости.

Под действием этих двух сил происходит движение газового пузырька в резонаторе. Будем считать, что сила со стороны потока превышает радиационную силу. Радиационная сила стремится задержать пузырек в резонаторе, тогда как гидродинамическая сила будет сносить пузырек вдоль потока. При этом условии газовый пузырёк будет двигаться с потоком вдоль

оси резонатора, испытывая задержки в тех местах, где влияние акустической силы максимально. Уравнение движения пузырька под действием данных двух сил примет вид:

та Ргид+Рак,

где т=2/3ржпЁ0 - присоединенная масса для поступательного движения пузырька.

Явное выражение для уравнения движения пузырька в проточном акустическом резонаторе:

блЁи'Л

4к

3^ Ых-Л (3)

^- Х) - ~3~Ё)|1 - п2Ґ 2 2ч

т 3т ^ Рл0(ю -ю0)

Данное уравнение было решено численными методами на основе метода Рунге-Кутта 4-го порядка для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [14]. На рис. 2 представлена характерная траектория движения пузырька вдоль оси резонатора. Видно, что пузырек испытывает периодическое изменение скорости вдоль движения по резонатору. На траектории явным образом заметны области, где пузырек тормозится или ускоряется, что зависит от соотношения действующих на него сил. Следует отметить, что при решении данной задачи численными методами не предполагалось, что поле в резонаторе будет стоячим. Постановка задачи допускает произвольную зависимость акустического поля р(х,і) от времени и координаты, что

является преимуществом для воссоздания более реалистичной картины.

Учет распределения пузырьков по размерам

До этого предполагалось, что все пузырьки имеют одинаковый радиус. Однако в реальности пузырьки, запускаемые в резонатор, имеют разброс по размерам. Распределение пузырьков по размерам в обыкновенной водопроводной воде подчиняется закону R0-3 [15]. Допустим теперь, что в резонатор периодически запускаются пузырьки различных радиусов с вероятностью, пропорциональной их доле в распределении R0-3. Также будем считать, что все пузырьки имеют размеры далекие от резонансных, а собственные частоты пузырьков удовлетворяют неравенству:

Ю 0 (Ё0 ) г.

1 3ур,

Ё0 \| Р

>> ю

предположить, что в данной области относительная доля пузырьков крупного размера будет наибольшей. Данный эффект проиллюстрирован на рис. 4.

Учет изменения скорости звука и затухания в среде с пузырьками

Широко известно, что наличие пузырьков в жидкости оказывает существенное влияние на изменение скорости звука в среде [15]:

1 -

3Ш2

Y2 -1

2Я2к2 ^2 - і)2 + 52 _

(частота акустического поля много меньше всех резонансных частот пузырьков, запускаемых в акустический проточный резонатор). Это необходимо для возможности наблюдения коллективных эффектов изменения концентрации пузырьков, т.к. если размер пузырька превышает резонансный, то радиационная сила действует на него в противоположную сторону и картина изменения концентр ации пузырьков в целом

будет «замываться».

Для описания изменения концентрации пузырьков были получены соответствующие траектории пузырьков различных размеров при их движении по акустическому резонатору при равных прочих условиях (рис. 3).

Можно увидеть, что траектории пузырьков на рис. 3 различаются временем пролета пузырька по резонатору. Крупные пузырьки дольше задерживаются в резонаторе. Это связано с тем, что акустическая сила (1), действующая на пузырьки, зависит от размера пузырька. Тем больше пузырек, тем интенсивнее идет взаимодействие акустического поля с ним. Таким образом, крупные пузырьки сильнее затягиваются резонатором. Предположим, что в резонатор запускаются пузырьки, равномерно распределенные по некоторым возможным размерам (от 5 до 50 мкм). Согласно нашему предположению, их концентрация по всей длине резонатора по отношению к начальному распределению на входе будет выше. Если рассмотреть ту область резонатора, где влияние акустического поля на пузырек максимально (т.е. место группировки пузырьков), можно

где U=n0(4/3)лR0 - объемная доля пузырьков в жидкости, Y=ю0/ю - отношение резонансной частоты пузырька к частоте внешнего поля, 5 -коэффициент затухания, с0 - скорость звука в среде без пузырьков, kr - волновое число звука в жидкости на резонансной частоте пузырька, п0 -средняя концентрация пузырьков. Данная формула работает в низкочастотном диапазоне, когда частота акустического поля меньше резонансных частот пузырьков, и поэтому скорость звука зависит только от объемного содержания газа, сосредоточенного в пузырьках.

В предположении низкой частоты ю<<ю0 выражение для скорости звука перепишется в виде: с=с0(1-цл0), где ц=2^0/^2.

Пузырьки в среде также определяют затухание. Сечение ослабления для пузырьковой среды определяется как [15]:

"8/

4%Я2

ст* =7

кЛ

у

-1

+ 82

V 4 ' У

Очевидно, что в присутствии пузырьков поле в резонаторе нельзя представить в виде незатухающей стоячей волны, и надо рассматривать более реалистичную картину. Допустим, резонатор возбуждается источником в точке х=0 на частоте ю. Излучаемая волна будет испытывать многократные отражения от стенок резонатора. Из-за наличия затухания количество отраженных волн будет конечным, а из-за изменения скорости звука по сравнению с жидкостью без пузырьков будет наблюдаться дополнительный набег фаз. То есть сложение отраженных волн будет происходить не в фазе, поэтому амплитуда результирующего поля меньше, по сравнению со случаем стоячей волны. Вследствие этого акустическая радиационная сила уменьшается.

с = с

0

2

ю

X, м

Рис. З.Траектории пузырьков различных размеров при их движении по резонатору (Нарастание радиуса пузырька от 10 до 50 мкм на графике идет снизу вверх)

Рис. 4. Нормированное начальное распределение пузырьков по размерам на входе резонатора (1). Нормированная концентрация пузырьков в зависимости от размера вдоль резонатора (2). Нормированная концентрация пузырьков в зависимости от размера в сгустке (3)

Поэтому можно ожидать изменения графиков движения пузырьков по сравнению с графиками в поле чисто стоячей волны. Поле в пузырьковой среде можно представить как сумму бегущих навстречу друг другу волн. С учетом затухания и изменения скорости звука сумма запишется в виде:

Pсум = X Poe W/^п(ю/ - (-1)И-1 кх - 2пЩ .

п

Численными методами были получены графики движения пузырьков при учете зависимости скорости и коэффициента затухания звука от концентрации пузырьков. Изначально предполагалось, что источник звуковой волны настроен на собственную частоту резонатора. При изменении концентрации пузырьков звуковая

волна отстроится от точного резонанса, и амплитуда стоячей волны существенно упадет, т.е. на пузырьки практически не действует акустическая радиационная сила. Тем не менее концентрация пузырьков может измениться таким образом, что в резонаторе возникнет следующая резонансная мода. На рис. 5 представлена зависимость максимальной скорости пузырька при движении по резонатору от концентрации пузырьков. Видно, что скорость имеет явные максимумы, соответствующие случаям резонанса. Уменьшение величины пиков говорит об увеличении затухания в среде при повышении концентрации пузырьков. Все промежуточные значения скорости близки к скорости потока жидкости по резонатору, т.к. акустическая сила на

Vn, М/С

П0, 1/М3 т

Рис. 5. Зависимость максимальной скорости пузырька от средней концентрации пузырьков в резонаторе

Рис. 6. Подробно просчитанный максимум скорости пузырька в зависимости от концентрации пузырьков

данные пузырьки действует значительно слабее. На рис. 6 изображена подробно просчитанная зависимость максимальной скорости пузырька в зависимости от концентрации вблизи одного из пиков. Видно, что она имеет резонансный характер вблизи некоторого значения концентрации.

Учет влияния скорости потока

Скорость потока жидкости влияет на условия распространения пузырьков в резонаторе. То есть при наличии потока жидкости скорости звука в прямом и обратном направлениях по резонатору будут различаться, а именно - скорость звука по направлению движения запишется в виде с1=с0(1-и0ц)+Г, а против направления движения с2=с0(1-п0ц)- V. Рассмотрим своеобразный случай «резонанса», т.е. подберем параметры так, чтобы звуковая волна, прохо-

дящая в прямом и противоположном направлении, «набегала» целое число полуволн с разницей в одну половину волны, т.е. k1L=Nп, ^=(N+1)^, где ^=ю/сь ^=ю/с2. Решая эти уравнения, можно найти выражения для «резонансной» скорости потока и концентрации пузырьков

Я

V =—-----------, f =—,

N (N +1) 2%

(

1-

fL_ c, N

(2 -Т7^)

Л

N +1

У

Далее был рассмотрен случай, когда скорость потока изменяется от своего «резонансного значения» на некоторую величину, т.е. отстраивается от «резонанса». Для количества полуволн N=50 скорость звука и концентрация принимают следующие значения: К=4.575 м/с; и=25.51х103 см-3. При этих параметрах были

(V-Vn)/Vn

.зтФ

Рис. 7. Зависимость относительной скорости пузырька от скорости потока жидкости

просчитаны графики движения пузырьков. Максимальное отклонение скорости пузырька от скорости потока соответствует случаю резонанса. При изменении скорости потока отклонение скорости пузырька становится меньше. То есть при расстройке от резонанса поле в резонаторе перестает быть стоячим и взаимодействует с пузырьком значительно слабее, при этом скорость пузырька сравнивается со скоростью потока. На рис. 7 показан график зависимости относительной скорости пузырька от скорости потока. Видно, что он также имеет вид резонансной кривой.

Выводы

Численными методами была решена задача о движении пузырька в резонаторе с потоком жидкости. Решена задача о распределении пузырьков разных размеров по длине резонатора. Показано, что движение и, соответственно, группировка пузырьков разных размеров происходят по-разному: резонатор с потоком жидкости осуществляет селекцию пузырьков - средняя концентрация пузырьков в резонаторе увеличивается с размерами пузырьков. Показано, что учет движения жидкости и изменения скорости звука и поглощения звука в среде с пузырьками существенным образом влияют на поле в резонаторе и группировку пузырьков. Выявлен резонансный характер зависимости графика движения пузырьков от концентрации. Показано, что изменение концентрации пузырьков и скорости потока резонансным образом влияет на характер движения пузырьков.

Список литературы

1. Bjerknes V.F.K. Fields of Force. New York: Columbia U.P., 1906.

2. Westervelt P.J. The overall visibility of the objects in the tissue // J. Acoust. Soc. Amer. 1951. V. 23. P. 312-315.

3. Crum L.A. Acoustic force on a liquid droplet in an acoustic stationary wave // J. Acoust. Soc. Amer. 1971. V. 50. P. 157-163.

4. Eller A.I. Force on a bubble in a standing acoustic wave // J. Acoust. Soc. Amer. 1968. V. 43. P. 170-171.

5. Федотовский В.С., Верещагина Т.Н. Низкочастотная резонансная дисперсия звука в пузырьковых средах // Акустический журн. 2009. Т. 55. № 6. С. 712-718.

6. Leighton T.G. The acoustic bubble. London: Academic Press, 1994. 613 p.

7. Федоткин И.М., Немчин А.Ф. Использование кавитации в технологических процессах. Киев: Вища шк., 1984. 68 c.

8. Маргулис М.А., Маргулис И.М. О механизме свечения при акустической и лазерной кавитации // Акустический журн. 2006. Т.52. № 3. С. 340-350.

9. Диденкулов И.Н., Кустов Л.М., Мартьянов А.И., Прончатов-Рубцов Н.В. Акустическая диагностика пузырьковых объектов в жидкости // Акустический журн. 2011. Т.57. № 2. С. 246-251.

10. Токмаков П.Е., Гурбатов С.Н., Диденкулов И.Н., Прончатов-Рубцов Н.В. О влиянии акустического поля на пространственное распределение газовых пузырьков в резонаторе // Вестник ННГУ. Сер. Радиофизика. 2006. Вып. 1(4). С. 31.

11. Тихонов В.А., Диденкулов И.Н., Прончатов-Рубцов Н.В. Пондеромоторное воздействие акустического поля на движение газовых пузырьков в проточном резонаторе //Вестник ННГУ. 2011. №5. Ч. 3. С. 50-56.

12. Физические основы ультразвуковой технологии / Под ред. Л.Д. Розенберга. М.: Наука, 1970. 789 с.

13. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

14. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977. 456 с.

15. Клей К., Медвин Г. Акустическая океанография. М.: Мир, 1984. 582 с.

SELECTIVE INTERACTION OF ACOUSTIC FIELD WITH BUBBLES IN A RESONATOR

WITH FLOWING LIQUID

V.A. Tikhonov, I.N. Didenkulov, N. V. Pronchatov-Rubtsov

A numerical investigation of the interaction between gas bubbles and an acoustic field in a resonator with flowing liquid has been carried out. The solution to the problem of different bubble size concentration distribution along the resonator length has been found. The influence of bubbles and the liquid velocity on the field structure in the resonator and on the spatial distribution of the bubble concentration has been studied.

Keywords: bubbles, flow-through resonator, radiation force, sound velocity and attenuation in bubbly liquid, bubble concentration distribution.