CC BY
26
УДК 532.5
ДИНАМИКА ПУЗЫРЬКА В КЛАСТЕРЕ С УЧЕТОМ МАССОПЕРЕНОСА
© Е. В. Бутюгина12*, Э. Ш. Насибуллаева2
1Центр «Микро- и наномасштабная динамика дисперсных систем», Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
2Институт механики им. Р. Р. Мавлютова Россия, Республика Башкортостан, 450054 г. Уфа, пр. Октября, 71.
Тел.: +7 (347) 229 96 70.
*Email: ekaterina. butyugina@gmail. com
Исследование диффузионной устойчивости газовых пузырьков в кластере при акустическом воздействии является одним из наименее изученных направлений в теории акустической кавитации. Это обусловлено нехваткой на данный момент экспериментальных данных и невозможностью аналитического решения задачи. Однако, описание явления может быть получено благодаря численному моделированию. Поэтому в данной работе предложена математическая модель, а также разработан и протестирован эффективный численный метод, основанный на консервативной разностной схеме, позволяющей адекватно учитывать влияние мгновенного изменения массы газа в пузырьке в монодисперсном кластере на его динамику. Для вычислений на больших временных масштабах применено приближение данного метода, основанное на предположении квазистационарности колебаний.
Ключевые слова: монодисперсный пузырьковый кластер, направленная диффузия, акустическое поле, динамика газовых пузырьков.
Введение
Одно из важных направлений в понимании фундаментальной природы акустической кавитации - это изучение диффузионной устойчивости газовых пузырьков в скоплениях (кластерах) при акустическом воздействии. Задача диффузии между пузырьком и жидкостью является актуальной в связи с отсутствием четкого представления о механизме данного процесса, в описании которого может помочь компьютерное моделирование. Интерес к этой области возник благодаря экспериментам по акустической кавитации [1-3], в которых наблюдалось, что маленькие газовые пузырьки при наличии акустического поля растут со временем. Это явление объяснялось массопереносом растворенного газа между жидкостью и пузырьком и было названо «направленной диффузией» [4]. С тех пор опубликован ряд экспериментальных и теоретических работ, обзор которых приведен, например, в [5-9]. В этих работах были представлены асимптотические и приближенные диффузионные модели как для одиночного пузырька [10-12], так и для пузырька в кластере [1314]. Однако, изменение массы пузырька в масштабе одного периода колебаний не учитывалось в расчетах динамики пузырька.
Основной целью данной работы является исследование влияния изменения массы газа в пузырьке, который находится в монодисперсном кластере под действием акустического поля, на его динамику, а также исследование диффузионной устойчивости пузырькового кластера и построение эффективного численного метода для решения задачи диффузии. В основу предлагаемого метода положена консервативная разностная схема, вследствие
чего при конечно-разностной аппроксимации уравнения диффузии сохраняется общая масса газа в системе «газ - жидкость». Для того чтобы продемонстрировать влияние направленной диффузии на динамику пузырька, необходимы вычисления на нескольких тысячах или даже миллионах периодов колебаний пузырька. Сложность решения по полной системе уравнений в частных производных состоит в том, что расчеты должны проводиться с большой степенью точности, что требует больших затрат машинного времени. В связи с этим применено и протестировано разработанное авторами приближение [15] для квазистационарных колебаний, предполагающее, что усредненный за один период диффузионный поток мало изменяется от периода к периоду, и скорость изменения усредненной массы пузырька остается постоянной в течение некоторого промежутка времени.
Постановка задачи и основные допущения
Рассматривается диффузионная задача для множества газовых пузырьков, колеблющихся под действием звукового поля в конечном объеме безграничной слабосжимаемой вязкой жидкости. В соответствии с математической моделью пузырькового кластера [16] в жидкости выделяется сферическая область, содержащая множество микропузырьков, граница которой представляет собой условную границу пузырькового кластера (рис. 1). Внутри кластера используется гипотеза о несжимаемой, а вне -о слабосжимаемой жидкой фазе.
Математическое моделирование основывается на следующих допущениях:
1) радиус кластера R много меньше длины волны акустического поля X;
2) выполняется условие неперекрываемости сечений рассеяния пузырьков [17];
3) давление газа внутри пузырьков пространственно однородно;
4) пузырьки являются сферически-симметричными и имеют одинаковый радиус а (случай монодисперсного кластера);
5) в кластере нет фазовых переходов за счет испарения/конденсации, однородное давление газа в пузырьке подчинено адиабатическому закону. Диффузионная задача для кластера не решается, т.е. газ, растворенный в жидкости, переносится только за счет направленной диффузии в пузырьках;
6) за один период колебания пузырек в кластере изменяет массу только за счет диффузии. Следует отметить, что благодаря предположениям 1 и 2, давление жидкости внутри кластера рс можно рассматривать как однородное и зависящее от времени, т.е. рс = рс У).
Рис. 1. Схематические изображения монодисперсного пузырькового кластера: полностью (слева) и увеличенный фрагмент (справа).
Динамика кластера может быть описана уравнением Келлера-Миксиса, учитывающим малую сжимаемость жидкости, в маломаховом приближении [16]:
.. 3 . 2
RR + — R
2
R d
р , с, dt
J,
(1)
где Ра — р0 - д р sin ю t - давление акустического
поля; po - атмосферное давление; AP - амплитуда звукового давления; ю - круговая частота; p¡ - плотность жидкости; c¡ - скорость звука.
Динамика пузырька может быть описана уравнением типа Релея-Плессета для несжимаемой жидкости в предположении высокой концентрации пузырьков в монодисперсном кластере [16] и с учетом изменения массы пузырька [15] в виде
P —
aa + — a —
2а
а
P - Рс
р l
0
m „
v g0 )
- 3r
(2)
2 о 4 ц (3)
---а
а а
Здесь с - коэффициент поверхностного натяжения; у - показатель адиабаты; д - вязкость жидкости; - масса газа в пузырьке. Нижний индекс «0» здесь и далее обозначает физическую величину в начальный момент времени.
Закон сохранения массы жидкости в кластере выражен замыкающим систему уравнений (1)-(3) соотношением т 2 а = к 2 А , где N - число пузырьков. Скорость переноса массы через подвижную границу пузырька определяется через градиент концентрации газа с по следующей формуле
2
-4 пa 2 D
д с д r
где Б - коэффициент диффузии газа в жидкости; г -сферическая координата.
Уравнение диффузии растворенного в жидкости газа в сферических координатах имеет вид:
д с a á д с -+--= D
д t
д r
—-{г2 дс 1,
r 2 д r у д r )'
(4)
где (а 2 а)/ г2 - радиальное поле скоростей. Граничное условие на поверхности пузырька зависит от времени и вычисляется по закону Генри:
н
■ р
g 0
V
- 3 Y
v mg 0 )
где н = с0 /р0 - константа Генри; со - концентрация насыщения жидкости газом, р ^ - давление
газа в пузырьке в начальный момент времени.
Предполагается, что пузырьки образовались в жидкости, которая изначально имела однородную концентрацию газа с„. Для того чтобы вывести граничные условия вдали от пузырька, введем еще одно ограничение. Предположим, что выполняется следующее условие:
l п << l,
(5)
где l
Id /f - характерное расстояние проникно-
вения диффузии; f - частота акустического поля;
Рс - Р
+
р
3
2
m
a
g
Р 0 +
v a 0 )
v
g
r — a
2
r
m
a
g
с
с
a
r — a
a
0
v
/
1 = аа П /(3а) - среднее расстояние между пузырьками; а = ма 3 /д3 - концентрация пузырьков в кластере.
Для того чтобы найти поток массы, притекающей в пузырек из жидкости, воспользуемся методом ячеек [18]. Согласно этому методу каждый пузырек помещается в центр сферической ячейки радиуса тъ (рис. 1), который находится следующим образом. Объем жидкости внутри кластера является постоянной величиной, т.е.
V = const
4/3 п (R
п [ь
Na
:)=
4/3п[r 3 - Na 3
) •
Этот объем разбивается на N частей и растягивается до сферы вокруг пузырьков V / N = 4/3 П (г3 - а3), откуда найдем радиус ячейки
как
т, = a / а
Поскольку среднее расстояние между пузырьками 1 ~ 2 Гь, то условие (5) означает, что существенные изменения концентрации газа из-за диффузии между пузырьком и жидкостью происходят в пределах ячейки. Т.е., диффузионный процесс в одном пузырьке не влияет на диффузию в соседнем пузырьке. Следовательно, диффузионную задачу достаточно рассматривать только от стенки пузырька (т = а) до границы окружающей его ячейки (т = тъ). Таким образом, на границе ячейки значение концентрации считаем равным с| = с .
1г = г, »
ь
Результаты численных исследований
Проводилось решение полной диффузионной задачи в частных производных для кластера с учетом влияния мгновенно изменяющейся массы газа в пузырьке на его динамику. Численное решение системы уравнений (1)-(3) реализовано с помощью метода Дормана-Принса 8-го порядка точности с адаптивным шагом по времени. Метод протестирован с помощью процедуры ode45, предназначенной для решения ОДУ в системе МаНаЪ. Моделирование переноса массы через стенку пузырька проводилось с применением полунеявной схемы Кранка-Николсон и выполнением условия консервативности разностной схемы. Подробное описание предложенного метода для случая одиночного пузырька можно найти в работе [15]. Максимальная относительная погрешность расчетов с выполнением допущения (5) и без него составила 5 ~ 10-6, что подтверждает корректность данного ограничения. Для случая одиночного пузырька в [15] было проведено сравнение результатов расчетов по представленной в данной работе методике с результатами экспериментов, описанных в [19], которое показало хорошее соответствие.
Моделирование проводились для пузырькового кластера с начальным радиусом К0 = 103 м при следующих параметрах: N = 104; у = 1.4; с = 0.0725 Н/м; р0 = 105 Па; с = 1500 м/с; ю = 2п 20 кГц; В = 210-9 м2/с; со = 2.510-5; АР = 1.5105 Па.
Рис. 2. Безразмерная масса пузырька в кластере те/ше0 в зависимости от периода колебаний Т при: а п =5 мкм,
(-) и
; „ = 2 МКМ, c
0 да
7 ■ 10
о)
b)
Рис. 3. Достижение равновесия пузырьками с различными начальными радиусами: а 0 = 7 мкм и а 0 = 8 мкм (а); а 0 = 10 мкм и а 0 = 12 мкм (Ъ) при С^ = 1 .25 • 10 -1 .
На рис. 2 показано изменение нормированной массы пузырька в кластере в зависимости от периода колебаний для двух пузырьков с различными начальными радиусами и концентрацией газа вдали от кластера. На графике сплошной линией показано изменение от времени массы пузырька с начальным
3
0
- 2
4
c =2 ■ 10
радиусом а 0 = 5 мкм и концентрацией вдали от кла-
стеРа с„ = нией - с а
с „ / с 0 = 2 • 10
2 МКМ и с
4, а пунктирной ли-7 . 10 "2 . Отметим, что
характер изменения массы на рис. 2 соответствуют результатам, полученным в работе [16] с помощью асимптотической теории [20]. А именно, пузырек с а = 2 мкм растет, в то время как пузырек с
а = 5 мкм сдувается.
Однако, достоинство предлагаемого подхода в том, что он позволяет отследить мгновенное изменение массы пузырька. Несмотря на это преимущество, значительное изменение массы можно увидеть только при моделировании процесса в течение большого временного промежутка - порядка нескольких тысяч периодов, что требует значительных затрат машинного времени. В связи с этим реализовано почти периодическое приближение для диффузионной задачи [15].
На рис. 3 показано изменение со временем размеров четырех пузырьков с различными начальными радиусами: ао =7 мкм и ао =8 мкм (рис. 3(а)), а также а = 10 мкм и ао =12 мкм
(рис. 3(Ь)) при = 1.25 • 10 1 . Кривые черного цвета обозначают линии, полученные с помощью почти периодического приближения (Арргох1). Серым цветом обозначены расчеты по приближенным формулам для скорости изменения массы [16] (Арргох2), которые используются в данной работе с целью проверки предложенного метода. Видно, что при достаточно большом значении появляются
два равновесных радиуса, при которых масса газа в пузырьке за период не меняется (обозначены черными кругами на рис. 3). Данный результат также согласуется с результатами работы [16]. Для большей наглядности такие данные, как период Тед и время ^ достижения равновесного радиуса оц, сам равновесный радиус оц, а также относительная ошибка между значениями равновесных радиусов 5 по отношению к меньшему значению, полученные по двум упомянутым методам, указаны в таблице.
Отметим, что почти периодическое приближение дает более точный результат, поскольку расчет профиля концентрации газа в уравнении (4) проводится полностью, в то время как в [16] рассматривается асимптотическое приближение.
На рис. 4 показана зависимость равновесного радиуса одиночного пузырька и пузырька в кластере от амплитуды давления при с = 10 ~4. Для одиночного
пузырька эта зависимость монотонная. Более того, при амплитудах давления АР > 3 • 105 Па равновесный радиус значительно увеличивается, что может привести к разрушению пузырька из-за неустойчивости поверхности до достижения им равновесия. В кластере же наблюдается немонотонная зависимость равновесного радиуса от амплитуды звукового давления. Даже при больших значениях амплитуды равновесный радиус остается небольшим, так что пузырек не разрушается из-за неустойчивости поверхности. Таким образом, пузырек в кластере диффузионно более устойчив, чем одиночный пузырек.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Д Р, атм
Рис. 4. Зависимость равновесного радиуса аеф]ШЬгшт одиночного пузырька и пузырька в кластере от амплитуды давления.
Заключение
В данной работе разработан и протестирован численный метод для исследования динамики сферических газовых пузырьков в монодисперсном кластере под действием акустического поля с учетом массопереноса через подвижную стенку пузырька. Проведено сравнение результатов расчета с опубликованными ранее работами, использующими асим-тотическое приближение и не учитывающими влияние изменения массы пузырька на его динамику. Показано, что асимптотические теории дают достаточное точное значение равновесного радиуса, однако, в этих теориях отсутствует возможность определения мгновенного изменения массы газа в пузырьке.
С помощью предложенных методов найдены значения равновесных радиусов пузырьков в кластере; подтверждено наличие двух равновесных радиусов; оценено время достижения равновесия; исследована зависимость равновесного радиуса оди-
Таблица
Сравнение результатов расчетов по двум различным приближениям_
Рис. 3 Тед, х105 Гед, С аед, мкм 5
Арргох1 | Арргох2 Арргох1 | Арргох2 Арргох1 | Арргох2
(а) 3.2 4 16 20 7.46 7.56 0.013
(Ь) 5.5 9.4 27.5 47 11.71 11.76 0.0043
ночного пузырька и пузырька в кластере от амплитуды давления и показано, что пузырек в кластере диффузионно более устойчив.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 14-01-97019-р_поволжье_а, №14-01-31369-мол_а) и гранта Министерства образования и науки РФ (11.G34.31.0040).
ЛИТЕРАТУРА
1.
Barber B. P., Putterman S. J. Observation of synchronous picosecond sonoluminescence // Nature. 1991. Vol. 352. P. 318— 320.
2. Barber B. P., Putterman S. J. Light scattering measurements of the repetitive supersonic implosion of a sonoluminescing bubble // Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 69. P. 3839.
3. Gaitan D. F., Crum C. C., Church C. C., Roy R. A. Sonolumi-nescence and bubble dynamics for a single, stable, cavitation bubble // J. Acoust. Soc. Am. 1992. Vol. 91. P. 3166-3183.
4. Hsieh D.-Y., Plesset M. S. Theory of rectified diffusion of mass into gas bubbles // J. Acoust. Soc. Am. 1961. Vol. 33. No. 2. P. 206-215.
5. Fyrillas M. M., Szeri A.J. Dissolution or growth of soluble spherical oscillating bubbles // J. Fluid Mech. 1994. V. 277. P. 381-407.
6. Насибуллаева Э. Ш., Ахатов И. Ш. Исследование диффузионной устойчивости пузырьков в кластере // ПМТФ. 2007. Т. 48. №4. С. 40-48.
7. Cole R. H. Underwater Explosions. Princeton: Princeton University Press, 1948.
8. Akulichev V. A. Acoustic cavitation in low-temperature liquids // Ultrasonics. 1984. Vol. 24. P. 8-18.
9. Koch P., Kurz T., Parlitz U., Lauterborn W. Bubble dynamics in a standing sound field: The bubble habitat // J. Acoust. Soc. Am. 2011. Vol. 130. P. 3370-3378.
10. Hiller R., Weninger K., Putterman S. J., Barber B. P. Effect of noble gas doping in single-bubble sonoluminescence // Science. 1994. Vol. 266. P. 248.
11. Eller A. I. Effects of diffusion on gaseous cavitation bubbles // J. Acoust. Soc. Am. 1975. Vol. 57. P. 1374-1379.
12. Gould R. K. Rectified diffusion in the presence of, and absence of, acoustic streaming // J. Acoust. Soc. Am. 1974. Vol. 56. P. 1740-1746.
13. Arora M., Junge L., Ohl C.-D. Cavitation cluster dynamics in shock-wave lithotripsy: Part 1. Free field // Ultrasound Med. Biol. 2005. Vol. 31. P. 827-839.
14. Hatanaka S., Yasui K., Kozuka T. et al. Influence of bubble clustering on multibubble sonoluminescence // Ultrasonics. 2002. Vol. 40. P. 655-660.
15. Бутюгина Е. В., Насибуллаева Э. Ш., Гумеров Н. А., Ахатов И. Ш. Численное моделирование динамики газового микропузырька в акустическом поле с учетом процесса направленной диффузии // Вычислительная механика сплошных сред. 2014. Т. 7. №>3. С. 234-244.
16. Nasibullaeva E. S., Akhatov I. S. Bubble cluster dynamics in an acoustic field // J. Acoust. Soc. Am. 2013. Vol. 133. No. 6. P. 3727-3738.
17. Foldy L. L. The multiple scattering of waves. I. General theory of isotropic scattering by randomly distributed scatterers // Phys. Rev. 1945. Vol. 67. P. 107-119.
18. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.
19. Crum L. A. Measurements of the growth of air bubbles by rectified diffusion // J. Acoust. Soc. Am. 1980. Vol. 68. No. 1. P. 203-211.
20. Akhatov I., Gumerov N., Ohl C.-D., Parlitz U., Lauterborn W. The role of surface tension in stable single-bubble sonolumi-nescence // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. No. 2. P. 227-230.
Поступила в редакцию 13.11.2014 г. После доработки - 27.02.2015 г.
DYNAMICS OF A BUBBLE IN A CLUSTER WITH MASS TRANSFER TAKEN INTO ACCOUNT
© E. V. Butyugina1'2*, E. Sh. Nasibullaeva2
1Center for Micro and Nanoscale Dynamics of Dispersed Systems
Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
2Mavlutov Institute of Mechanics 71 Oktyabrya Ave., 450054 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
Phone: +7 (347) 229 96 70. *Email: ekaterina. butyugina@gmail. com
The study of diffusion stability of gas bubbles in a cluster under the influence of the acoustic field is one of the least explored areas in the theory of acoustic cavitation. This is caused by the lack of experimental data and inability to solve the problem analytically at the moment. Hence the detailed description of the diffusion process between the gas bubble and the liquid can be obtained through numerical modeling. In this regard the mathematical model is proposed and efficient numerical method is developed and tested. The proposed method is based on a conservative discrete scheme which allows one to take into account the effect of an instantaneous mass change of the gas bubble in the monodisperse cluster on its dynamics properly. For calculations on large time scales the approximation of the described method based on the assumption of quasi-stationarity of the oscillations is applied. To verify calculations, the comparison of computational results with previously published work is made and a good agreement is obtained. Also the equilibrium radii of bubbles and the time of reaching the equilibrium state are found. The presence of two equilibrium radii is confirmed. The dependence of the equilibrium radius of the pressure amplitude is detected. The diffusion stability of bubble in a monodisperse cluster is studied in comparison with the case of a single bubble.
Keywords: monodisperse bubble cluster, rectified diffusion, acoustic field, dynamics of gas bubbles. Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Barber B. P., Putterman S. J. Nature. 1991. Vol. 352. Pp. 318-320.
2. Barber B. P., Putterman S. J. Phys. Rev. Lett. 1992. Vol. 69. Pp. 3839.
3. Gaitan D. F., Crum C. C., Church C. C., Roy R. A. J. Acoust. Soc. Am. 1992. Vol. 91. Pp. 3166-3183.
4. Hsieh D.-Y., Plesset M. S. J. Acoust. Soc. Am. 1961. Vol. 33. No. 2. Pp. 206-215.
5. Fyrillas M. M., Szeri A.J. J. Fluid Mech. 1994. Vol. 277. Pp. 381-407.
6. Nasibullaeva E. Sh., Akhatov I. Sh. PMTF. 2007. Vol. 48. No. 4. Pp. 40-48.
7. Cole R. H. Underwater Explosions. Princeton: Princeton University Press, 1948.
8. Akulichev V. A. Ultrasonics. 1984. Vol. 24. Pp. 8-18.
9. Koch P., Kurz T., Parlitz U., Lauterborn W. J. Acoust. Soc. Am. 2011. Vol. 130. Pp. 3370-3378.
10. Hiller R., Weninger K., Putterman S. J., Barber B. P. Science. 1994. Vol. 266. Pp. 248.
11. Eller A. I. J. Acoust. Soc. Am. 1975. Vol. 57. Pp. 1374-1379.
12. Gould R. K. J. Acoust. Soc. Am. 1974. Vol. 56. Pp. 1740-1746.
13. Arora M., Junge L., Ohl C.-D. Ultrasound Med. Biol. 2005. Vol. 31. Pp. 827-839.
14. Hatanaka S., Yasui K., Kozuka T. et al. Influence of bubble clustering on multibubble sonoluminescence. Ultrasonics. 2002. Vol. 40. Pp. 655-660.
15. Butyugina E. V., Nasibullaeva E. Sh., Gumerov N. A., Akhatov I. Sh. Vychislitel'naya mekhanika sploshnykh sred. 2014. Vol. 7. No. 3. Pp. 234-244.
16. Nasibullaeva E. S., Akhatov I. S. J. Acoust. Soc. Am. 2013. Vol. 133. No. 6. Pp. 3727-3738.
17. Foldy L. L. Phys. Rev. 1945. Vol. 67. Pp. 107-119.
18. Nigmatulin R. I. Osnovy mekhaniki geterogennykh sred [Basics of mechanics of heterogeneous media]. Moscow: Nauka, 1978.
19. Crum L. A. J. Acoust. Soc. Am. 1980. Vol. 68. No. 1. Pp. 203-211.
20. Akhatov I., Gumerov N., Ohl C.-D., Parlitz U., Lauterborn W. Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. No. 2. Pp. 227-230.
Received 13.11.2014. Revised 27.02.2015.
