Пондермоторное воздействие акустического поля на движение газовых пузырьков в проточном резонаторе Текст научной статьи по специальности «Физика»

Акустика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 5 (3), с. 50-56

УДК 534.222.1;551.463.26

ПОНДЕРМОТОРНОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ АКУСТИЧЕСКОГО ПОЛЯ НА ДВИЖЕНИЕ ГАЗОВЫХ ПУЗЫРЬКОВ В ПРОТОЧНОМ РЕЗОНАТОРЕ

© 2011 г. В.А. Тихонов ^ И.Н. Диденкулов 2, Н.В. Прончатов-Рубцов 1

1 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского 2 Институт прикладной физики РАН, Н. Новгород

dm@hydro. appl. sci-nnov. т

Поступила в редакцию 11.05.2011

Численными методами решена задача о траектории движения пузырька в резонаторе с потоком жидкости. Показано, что при равномерном вводе пузырьков в резонаторе формируется неравномерное по длине распределение концентрации пузырьков. Рассмотрена задача о распределении концентрации пузырьков вдоль оси резонатора при учете флуктуаций периода ввода пузырьков, определены параметры флуктуаций, при которых сохраняется периодическая структура распределения концентрации. Найдено распределение пузырьков разных размеров по длине резонатора. Показано, что резонатор с потоком жидкости осуществляет селекцию больших пузырьков - средняя концентрация пузырьков в резонаторе увеличивается с размерами пузырьков.

Ключевые слова: газовые пузырьки, проточный резонатор, радиационная сила.

Введение

Исследования, связанные с изучением поведения газовых пузырьков в акустических полях, ведутся уже давно. Актуальность данного вопроса продиктована обширными возможностями применения газовых пузырьков в различных сферах человеческой деятельности. Так, газовые пузырьки применяются в технологических процессах [1], в методах ультразвуковой очистки оборудования и дезинфицировании загрязненной жидкости, в сонохимических реакциях и при сонолюминесценции [2-6]. Необходимо отметить существенную роль пузырьков в медицинских приложениях - использование методов ультразвуковой диагностики биологических объектов, основанных на контрастных агентах в виде стабильных газовых пузырьков [7], а также способы точной доставки лекарств к нужному органу человека с помощью пузырьков при минимальном воздействии на другие органы.

Отметим, что в известных нам публикациях при рассмотрении задач о движении газовых пузырьков в свободном акустическом поле и в резонаторах [4, 8-10] во всех случаях предполагалось, что жидкость покоится. В настоящей работе рассматривается процесс движения пузырьков в акустическом резонаторе, в котором существует течение жидкости с заданной постоянной скоростью.

В работе численно решается уравнение движения пузырька и рассматривается задача о

распределении концентрации пузырьков вдоль оси резонатора и оцениваются возможности использования функции группировки для описания изменения концентрации при варьировании параметров задачи.

Постановка задачи о движении газовых пузырьков. Траектория пузырька

Рассмотрим плоский акустический резонатор с длиной Ь с акустически абсолютно жёсткими стенками. Пусть в резонаторе возбуждается акустическая стоячая волна р = 2р0 е coskx, где р0 - амплитуда волны, к=т/е - волновое число, с - скорость звука в жидкости.

Далее предположим, что через резонатор протекает поток жидкости с постоянной скоростью V, направленной вдоль оси х (см. рис. 1).

поток .

О I. X

Рис. 1. Поток жидкости в резонаторе

Допустим, что в данную систему равномерно в сечении х=0 запускаются газовые пузырьки одинакового размера Я0. Будем предполагать, что на момент рассмотрения задачи в ре-

зонаторе уже установилась некоторая равномерная концентрация пузырьков по всей длине резонатора. Считаем также, что концентрация по всему объему резонатора такова, что расстояние между пузырьками достаточно велико, что дает возможность пренебречь эффектами взаимодействия между ними.

Известно, что на пузырек радиуса Я0, находящийся в акустическом поле, действует акустическая радиационная сила, обусловленная градиентом интенсивности поля [1]:

Рак =- у Я

(

1 --

3 р

РЯо(ю -юо))

Ур,

(1)

где а - частота акустического поля в резонато-

1 137ро

потока превышает радиационную силу со стороны акустического поля. При этом условии газовый пузырёк будет сноситься потоком вдоль оси резонатора. Тогда уравнение движения пузырька примет вид:

= ^гид+^ак-

где m=(2/3)pжпRo - присоединенная масса для поступательного движения пузырька.

Запишем явное выражение для уравнения движения пузырька в проточном акустическом резонаторе под действием акустической радиационной силы (1) и гидродинамической силы со стороны потока жидкости (2):

І = «їМ (V - X) -

т

ре, р - акустическое давление, ш0 = —

я0)1 Р

резонансная частота малых монопольных колебаний пузырька радиуса Я0, у - показатель адиабаты для газа в пузырьке, Р0 - внешнее статическое давление, р - плотность жидкости.

На пузырек в проточном резонаторе также действует гидродинамическая сила со стороны потока жидкости (силой Архимеда и силой тяжести пренебрегаем). Гидродинамическая сила сопротивления движению пузырька при малых числах Рейнольдса, имеет следующий вид [7]: ргид = 6лЯо"п(^ - Уп) , (Де= р1 У-УпЩ01ч << 1), (2) где Уп - скорость пузырька, п - коэффициент динамической вязкости, V - скорость потока жидкости.

Под действием указанных выше сил происходит движение газового пузырька в резонаторе. Рассмотрим случай, когда сила со стороны

-—Я

Зт

1 --

З р(х, Ї)

рЯо(юо -ю0))

■Ур(х,і).

(3)

Данное уравнение было решено с помощью численных способов на основе метода Рунге-Кутта 4-го порядка для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [10]. На рис. 2 представлена характерная траектория движения пузырька вдоль оси резонатора. Пузырек испытывает периодическое изменение скорости вдоль движения по резонатору. На траектории явным образом заметны области, где пузырек тормозится или ускоряется, что зависит от соотношения действующих на него сил. К достоинствам данного метода можно отнести, что не требуется, чтобы поле в резонаторе должно быть стоячим и постановка задачи предполагает произвольную зависимость акустического поля р(х,?) от времени и координаты.

Изменение концентрации пузырьков флуктуации параметров

Пусть в резонатор запускается некоторое количество одинаковых пузырьков. Рассмотрение большого количества пузырьков позволяет использовать понятие о концентрации пузырьков вдоль оси резонатора. При распространении газовых по резонатору расстояние между ними будет изменяться в процессе их движения, соответственно будет изменяться и концентрация пузырьков вдоль оси резонатора. Данный процесс удобно описывать с помощью функции которая носит название функции группировки. Эта функция имеет «прозрачный» физический смысл: если Д?,х0)<1, происходит группировка пузырьков (увеличение их концентрации), а если Х?,х0)>1, то - дегруппировка или разрежение (уменьшение концентрации).

Функцию группировки X?, х0) удобно представить в следующем виде:

л? Хо) = 1+1 БгафІ2,

(5)

Ах I (?, Хо) = АХп

йхп А

1

йХ) йх) й й ¥п (х = 0) Таким образом, функция группировки, описывающая изменение расстояния между пузырьками при их распространении по резонатору и изменение концентрации, явным образом зависит от производной траектории пузырька ёХу/Ж. Концентрацию пузырьков в данном случае удобно представить в виде явной зависимости от функции группировки:

(4)

п( Х) * Уі«, Хо)’

или через соотношение между акустической и гидродинамической силами:

где 4 = А/ aV — отношение амплитуд акустической и гидродинамической сил.

Следует отметить, при выводе выражений (4) и (5) сделаны предположения, которые на практике в общем случае могут не выполняться. Движение пузырька вдоль резонатора предполагалось квазиравномерным, т.е. мы пренебрегали ускорением пузырька и считали, что равномерное движение устанавливается за времена много меньшие, чем период акустического поля. При усреднении акустической радиационной силы по периоду звукового поля предполагалось, что поле в резонаторе имеет вид строго стоячей волны.

Также считалось, что пузырьки запускаются в проточный акустический резонатор равномерно, и все они имеют одинаковый радиус, т.е. не учитывается разброс пузырьков по размерам. При невыполнении представленных выше предположений встает вопрос о правомерности использования выражения (4) для описания функции группировки пузырьков и их концентрации с помощью производной траектории по координате вдоль оси резонатора.

Учтем тот факт, что пузырьки запускаются в резонатор неравномерно. При этом предположим, что все пузырьки имеют одинаковый размер. Рассмотрим некоторое временное сечение резонатора. В каждом временном сечении пузырьки расположены неравномерно и образуют распределение концентрации в пространстве. На рис. 3 представлены характерная траектория движения пузырька в поле стоячей волны, соответствующая ей производная по координате, а точками отмечены положения пузырьков во

Рис. 3. Характерная траектория движения пузырька в поле стоячей волны и соответствующая ей производная от траектории по координате. (Точками отмечены положения пузырьков во временном сечении резонатора Г = 12 с)

временном сечении резонатора ? = 12 с. Из анализа рис. 3 можно сделать вывод, что скопление пузырьков, т.е. локальное увеличение их концентрации, будет происходить строго периодическим образом и данный период соответствует периоду изменения производной от траектории пузырька.

Далее предположим, что пузырьки вводятся в резонатор с некоторым равномерным периодом со случайной добавкой, распределенной по нормальному закону:

^ввода

П&+ Жлуч.

Очевидно, что в этом случае вид строго периодически меняющейся концентрации пузырьков вдоль резонатора и взаимосвязь концентрации с типичной для данных условий траекторией пузырьков нарушаются. Для описания расхождения концентрации и производной по траектории удобно воспользоваться следующим понятием. Для оценки разброса концентрации пузырьков от производной по траектории была рассчитана нормированная величина среднеквадратичного отклонения (СКО) концентрации пузырьков от производной траектории, взятой в тех же точках:

(n( X) -а )2

ной к равномерному периоду ввода пузырька. Из представленного графика видно, что нормированная величина СКО удовлетворяет условию взаимосвязи между производной и концентрацией пузырьков при случайном разбросе, не превышающем 0.5 от величины периода ввода Ж.

Распределение пузырьков по размерам. «Селективный» эффект проточного резонатора

Теперь учтем тот факт, что пузырьки, запускаемые в резонатор, имеют разброс по размерам. Во многих экспериментальных работах указывается, что разброс пузырьков в обыкновенной водопроводной воде подчиняется закону Л0"3 [9]. Допустим, что в резонатор строго периодически запускаются пузырьки различных радиусов с вероятностью, пропорциональной их доли в распределении Л0"3, и все пузырьки имеют размеры, далекие от резонансных, а собственные частоты пузырьков удовлетворяют неравенству:

®o (Ro) = D ^0

1 pypo

>>ю

p

где Анорм - коэффициент нормировки величины СКО на единицу, n(Xj) - концентрация в соответствующих точках Xi. На рис. 4 представлена зависимость величины СКО концентрации пузырьков и производной траектории от относительного разброса случайной добавки, отнесен-

(частота акустического поля много меньше всех резонансных частот пузырьков, запускаемых в акустический проточный резонатор).

Для описания изменения концентрации пузырьков были получены соответствующие траектории пузырьков различных размеров при их движении в равных условиях по акустическому резонатору (рис. 5).

Относительный разброс времени ввода пузырька

Рис. 4. Нормированная величина СКО между функцией группировки и плотностью пузырьков

Рис. 5. Траектории пузырьков различных размеров при их движении по резонатору (нарастание радиуса пузырька от 10 до 50 мкм на графике идет снизу вверх)

Рис. 6. Производная от траектории движения пузырька и усредненная по 20 реализациям концентрация пузырьков различных размеров

Далее, для рассмотрения влияния разброса пузырьков по размерам было проведено сравнение концентрации, усредненной по нескольким реализациям процесса, с характерной производной от траектории движения пузырька. Это отражено на рис. 6.

Видно, что концентрация пузырьков и производная от траектории пузырьков совпадают с точностью до коэффициента. Из этого можно сделать вывод, что разброс пузырьков по размерам не влияет на изменение концентрации, при условии, что мы используем пузырьки нерезонансных размеров, а следовательно, и на

взаимосвязь между функцией группировки и концентрацией пузырьков.

Анализируя траектории пузырьков на рис. 5, можно сделать вывод, что более крупные пузырьки сильнее «затягиваются» резонатором. Это происходит потому, что акустическая сила (2), действующая на крупные пузырьки, сильнее, чем сила, действующая со стороны акустического поля на мелкие пузырьки. Таким образом, если крупные пузырьки сильнее затягиваются резонатором, то их концентрация по всему объему резонатора по отношению к начальному распределению на входе будет выше. Допустим,

К, ЛЛКЛЛ начальное распределения пузырьков

Рис. 7. «Избирательный» эффект проточного резонатора

в систему запускаются пузырьки, концентрация которых на входе резонатора равномерно распределена по всем возможным радиусам. Из-за наличия акустического поля крупные пузырьки дольше задерживаются в системе, и их доля относительно первоначального распределения во всем объеме резонатора возрастает. Если рассмотреть ту область резонатора, где происходит группировка пузырьков и влияние акустического поля на пузырек максимально, можно предполагать, что в данной области относительная доля пузырьков крупного радиуса будет наибольшей. С другой стороны, в области разряжения крупные пузырьки будут задерживаться всех меньше, и их относительная концентрация будет ниже, чем концентрация на входе резонатора. Данный эффект проиллюстрирован на рис. 7.

Выводы

Численными методами была решена задача о движении пузырька в резонаторе с потоком жидкости. Показано, что при равномерном вводе пузырьков в резонатор формируется неравномерное по его длине распределение концентрации пузырьков. Рассмотрена задача о распределении концентрации пузырьков вдоль оси резонатора при учете флуктуаций периода ввода пузырьков, определены параметры флуктуаций, при которых сохраняется периодическая структура распределения концентрации. Решена задача о распределении пузырьков разных размеров по длине резонатора. Выявлено, что наличие разброса пузырьков по размерам не влияет на взаимосвязь функции группировки и концентрации пузырьков, если резонансные частоты последних много выше частоты поля в резонаторе. Показано, что при вводе

в резонатор пузырьков разных размеров, их движение и, соответственно, группировка происходят по-разному. Наиболее значительно этот эффект проявляется для равномерного распределения пузырьков по размерам. Таким образом, резонатор с потоком жидкости осуществляет селекцию больших пузырьков - средняя концентрация пузырьков в резонаторе увеличивается с размерами пузырьков.

Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009— 2013 гг. (контракт 02.740.11.0565), РФФИ (грант 11-02-00774) и государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-3700.2010.2).

Список литературы

1. Федоткин И.М., Немчин А.Ф. Использование кавитации в технологических процессах. Киев: Вища шк., 1984. 68 с.

2. Физические основы ультразвуковой технологии / Под ред. Л.Д. Розенберга. М.: Наука, 1970. 789 с.

3. Leighton T.G. The acoustic bubble. London: Academic Press, 1994. 613 p.

4. Lauterborn W., Kurz T., Mettin R., Ohl C.D. // Adv. Chem. Phys. 1999. V. 110. P. 295-380.

5. Taleyarkhan R., West C., Cho J., Lahey R.Jr., Nigmatulin R., Block R. // Science. 2002. V. 295. P. 1868-1873.

6. Crum L.A., Eller A.I. // J. Acoust. Soc. Amer. 1970. V. 48. P. 181-188.

7. Matula T.J. // J. Acoust. Soc. Amer. 2003. V. 114. P. 775-781.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

9. Токмаков П.Е., Гурбатов С.Н., Диденку-лов И.Н., Прончатов-Рубцов Н.В. // Вестник ННГУ. 2006. Сер. Радиофизика. Выпуск 1(4). С. 31.

10. Клей К., Медвин Г. Акустическая океаногра- 11. Марчук Г.И. Методы вычислительной мате-фия. М.: Мир, 1984. 582 с. матики. М.: Наука, 1977. 456 с.

PONDEROMOTIVE ACTION OF ACOUSTIC FIELD ON GAS BUBBLE MOTION IN A FLOW-THROUGH RESONATOR

V.A. Tikhonov, I.N. Didenkulov, N.V. Pronchatov-Rubtsov

The problem of a bubble trajectory in an acoustic flow-through resonator has been solved by numerical methods. A uniform introduction of bubbles into the resonator is shown to result in a nonuniform length distribution of the bubble concentration. The problem of the bubble concentration distribution along the resonator axis is considered taking into account the fluctuations of bubble introduction period. The fluctuation parameters have been found for which the periodical structure of the bubble concentration distribution is preserved. The distribution of bubbles of different sizes over the length of the resonator has been found. The flow-through resonator has been shown to select large bubbles: the average bubble concentration in the resonator increases with the size of the bubbles.

Keywords: gas bubbles, flow-through resonator, radiation force.