CC BY
20
УДК 519.833.5
СБАЛАНСИРОВАННЫЕ МНОЖЕСТВА КОАЛИЦИЙ КЛАССИЧЕСКОЙ КООПЕРАТИВНОЙ ИГРЫ
© 2008 г. А.Б. Зинченко, И.Е. Тенищев
This paper is devoted to cooperative games Gn =<N,v>, N={\,...,n}, V : 2^ \ 0 —» R , with nonempty core. New characteristics
of sets of coalitions, be used in conditions of availability of core are defined. The attitude, allowing to get balanced sets of the game Gn from balanced of games less dimensionality is offered.
Классические кооперативные игры О" =<Х.\>>.
N={1,...,«}, V \ 2М \ 0 —>Я, позволяют прогнозировать исходы конфликтных ситуаций, возникающих в экономике, политике, социологии и других областях. Статья посвящена сбалансированным играм, т.е. играм с непустым ядром С. Описаны новые свойства наборов коалиций, использующихся в условиях существования ядра. Предложен подход, позволяющий получать сбалансированные множества игры п лиц из сбалансированных множества игр с меньшим числом игроков.
Пусть - характеристический вектор коали-
ции 5"; М" - многогранник пространства Я^, с? = 2" - 2, определенный условиями
Е^ЛЮхО?) = Х(Ю, ЦБ)>О,(1) Сбалансированным множеством игры О" назовем такое семейство Рп ={ Р",...,Р" } подмножеств множества N что существует крайняя точка
Х= (Я(5))5(-дг еЛ многогранника М", у которой Л(5)=0, I'". и /,(Л')>0. Л'е Рп (в литературе имеются другие названия). Вектор а( 1>п )=(/.( ¡\")...../,(1>",))
назовем весом сбалансированного множества Р п . Сбалансированные множества были введены для формулировки критерия существования ядра [1]: &0 тогда и только тогда, когда игра сбалансирована, т.е. выполняется условие
■ <у{Щ. (2)
ЯеЛ
Известны следующие свойства сбалансированных множеств: перестановка игроков не влияет на сбалансированность; целочисленные вершины многогранника М" соответствуют разбиениям N (коалиционным структурам) и являются вершинами ^-мерного единичного куба; вершины М", соответствующие сбалансированным множествам с пересекающимися коалициями, являются частично или полностью нецелочисленными, каждому сбалансированному множеству
Рп={Р" ,...,Рр } с весом а(Рп)=(аь...,ар) соответствует дополнительное сбалансированное множество р" ={К\Р",...,К\Рр} [2] с весом
а(Р") = (а, /(I-1),...,ар /(^ц -1)). (3)
Сбалансированные множества принято считать эквивалентными, если они отличаются перестановкой игроков или являются дополнительными [3]. Такая классификация не всегда оправдана, так как дополнительные множества могут иметь разные свойства. Будем считать сбалансированные множества эквивалентными, если они отличаются перестановкой игроков.
Семейство всех сбалансированных множеств игры п лиц содержит известное подмножество К = = Кп и Кп , где Кп - множество коалиционных
структур 3й, Кп - дополнений 3" ё К" ккоалицион-
Таблица 2
Сбалансированные множества игры 4 лиц
ным структурам. Заметим, что
Kn
К1
при разбиении N на две части 3й ={ 3", МЗ"} дополнительное сбалансированное множество 3 й совпадает с л .
-1 з
Для игры трех лиц ЭТ =%_ (табл. 1). Во всех таблицах используется запись (3й), для обозначения /-й
коалиционной структуры игры п лиц и (Рп),■ для обозначения 1-го сбалансированного множества, не являющегося коалиционной структурой. Через (3 й),,
(Р"), обозначены дополнительные к (3й),-, {Рп), множества. Коалиционные структуры и дополнения к коалиционным структурам игры О приведены во
2-й и 3-й строках табл. 2. Для игры О5 - во 2-й и 3-й строках табл. 3. Уже для игры 5 лиц доля сбалансированных множеств, принадлежащих К, намного
меньше их общего количества
\ I 7£51 >1000.
Некоторые подмножества сбалансированных множеств Рп е Ч.Н"\'К," получены в [4], метод порождения новых сбалансированных множеств с помощью известных предложен в [5], но описания всего семейства 5ЯИ пока нет.
Таблица 1
Сбалансированные множества игры 3 лиц
Класс Порождающие элементы Мощность
K 3 (33Х = {{1},{2},{3}}, (З3)2 = {{1,2},{3}} 4
K 3 (З3)1 1
Класс Порождающие элементы Мощность
K 4 (34)i = (3\u {4}, Р4)2 = (З^и {4}, (34)з ={{1,2},{3,4}}, (34)4={{1;2,3}Д4}} 14
K 4 (3%, (34)2 7
L4 (P 4)i = (33)iu {4} 4
L4 (Р4) 1 4
F 4 (P4)2 ={{1,2,4}, {1,3},{2,3},{4}} 12
так как
Запишем (2) в виде
Е^сЛ^М^) < у(Л/), ХеЛ. (4)
Для элементов К можно дать следующую содержательную интерпретацию условий сбалансированности.
Таблица3
Сбалансированные множества игры 5 лиц
Класс Порождающие элементы Мощность
K 5 (35)i = (34)iu {5}, (35)2 = (34)2 u{5}, ^5)3 = (34^u {5}, (35)4 = (З4)^ {5}, (35)5={{Ш}Д4,5}}; (35)6={{1ДЛ4},{5}} 51
K5 (35)i - ^5)4 36
iL (P5)l = (3%и {5},P25 = (34^u {5}, P35 = (P{5}, P45 = (P {5}, i355=(P4)2u{5};P65 =(33)1u{4;5} 135
L5 (P5)i - (P5)6 135
(P5)7 ={{1,2,3,5},{1,4},{2,4},{3,4},{5}},
(P5)8 ={{1,2,3,5},{1,4},{2,4},{3},{5}},
F 5 (P5)9 ={{1,2,3},{1,4,5},{2,4,5},{3,4},{5}}, (P5)io ={{1,3,4)},{2,4,5},{1,2},{2,3},{5}}, ( P5)ii={{1,2,5},{1,3,4},{2,3},{4},{5}}, (P5)i2 ={{1,2,3},{1,4},{2,5},{3,4},{5}}, ( P5)i3={{1,2,3},{1!2,4},{3,4,5},{5}}, (P5)i4 ={{1,2,3,5},{1,2,4},{3,4},{5}} 380
F5 (P5)7 - (P5)i3 320
H 5 (P 5 )i5 ={{1,2,3},{1,4,5},{2,4},{3,5}} 30
Утверждение 1. Если игра сбалансирована, то:
а) сумма кооперативных прибылей коалиций
любой коалиционной структуры 3"={ 3",..., 3" } не больше прибыли максимальной коалиции
£/.1КЗг)<у(Л0;
б) кооперативная прибыль каждой собственной коалиции 5 не больше суммы маргинальных вкладов ее агентов
(5)
Доказательство. Коалиционные структуры 3 й соответствуют вершинам ХеЛ с единичными ненулевыми компонентами, следовательно, первая часть
утверждения справедлива. Пусть 3й ={{1},...,{к}, {к+\,...,п}}, \<к<п. Если к= 1, то соответствующее 3й условие (4) эквивалентно (5), т.е. (5) выполняется для 5={1}, а следовательно и любой другой одноэлементной коалиции. Если к>1, то множество 3" = {М{1},...,М{&},{1,...,&}} имеет вес а=(1/к,...,Щ), определенный формулой (3). Из (4) получаем у(1,2,...,к) , т.е. для
коалиций 5 ={1,.,к}, 1<к<п, условие (5) тоже выполняется. После перестановки игроков получаем, что (5) справедливо и для других собственных коалиций.
Подигрой С/у =<Т. ут > игры О" , определенной
коалицией ТаМ, называют игру |'/| лиц с характери-
Т
стической функцией ут ■Л1 \0 —> Р , полученной
усечением V до множества коалиций, содержащихся в Т. Не ограничивая общности, предположим, что элементы коалиционных структур 3" ={ 3",..., 3" } упорядочены по невозрастанию их мощностей. Следующие утверждения позволяют понять, почему количество сбалансированных множеств так «сильно» возрастает при увеличении числа игроков.
Утверждение 2. Пусть 3"={ 3",..., 3" } - такая
Сп
, что
т^>Ъ, 1 <1<к, 1 <к<], а I'"'1 - сбалансированное множество подигры с весом а(Рт'). Тогда на-
бор коалиций
к „ J
p«={(Ujpm¡)u( из»)}>
i=1 i=k+1 где рт'=рт* или Рт' =
ванное множество игры G" с весом а(Р") =
весу коалиции в Р" и /.(Л')=0 для Б<£ Р". Матрица, столбцами которой являются характеристические векторы % (5) коалиций Se 1'". имеет блочно-диагональную структуру, поэтому при подстановке X в систему (1) она распадается на подсистемы, соответствующие множествам Р™1 , З'т.....3". Справед-
(6)
i -1, к есть сбалансиро-
\а{Рт>), Рт>=Рт>
= (а1 ,...,ак, где а1 =
[(1,...,1), Рт> = 3*.
Доказательство. Пусть к =1, т. е. в коалиционной
структуре ^ все коалиции, кроме первой, содержат
менее 3 игроков. Если Р™1 е Кт', то Рп - коалиционная структура и утверждение справедливо. Пусть
рЩ = рЩ £Кщ Для 8еРп положим Ц5) равным
ливость этих систем вытекает из сделанных предположений. Линейная независимость векторов % (S),
Se Р" следует из линейной независимости % (S),
S е Р'"] , поэтому X - вершина многогранника М", а
Pn - сбалансированное множество игры Gn с весом
а(Рп). Случай к >1 доказывается аналогично.
Обозначим через Ln семейство сбалансированных множеств (6), не являющихся коалиционными струк-
t-Í/2 nr П ~г~П «
турами P , а через L - семейство дополни-
тельных к Pn сбалансированных множеств. Множества lL , L4 игры 4 лиц приведены в 4-й и 3-й строках
5 —5
табл. 2, множества L и L - в табл. 3.
Из утверждения 2 вытекает, что каждая коалиционная структура 3"={ 3",..., 3" }, первые к коалиций
которой содержат не менее 3 игроков, порождает следующую последовательность сбалансированных
множеств Рп е L" : полученные из 3" заменой любой коалиции 3" , 1 < / < к. любым сбалансированным множеством Рту г Кт' ; полученные из Р" заменой любых двух коалиций 3" и 3" , 1 < i,e < к, 1Фе, любыми сбалансированными множествами I'1"' г Кт',
I'1"'1 <t К"1'' . И так далее, пока не будут построены сбалансированные множества, получающиеся заменой всех коалиций 3f,...,3¿ сбалансированными множествами соответствующих размерностей. Кроме полученных сбалансированных множеств Pn , коалиционная структура ^ порождает также множества I'" ф I'". принадлежащие I." .
Утверждение 3. Пусть Р"~] = ¡ '.....P¡' ' ! -
сбалансированное множество игры (n-1) лиц с весом а(Р"-1)=(аъ...,ар). Если <1, то Р"={{п},
РГ1 и{«},..., РГ1 u{«}, Р& ,..., PnfX } (7)
есть сбалансированное множество игры n лиц с весом а{Рп)={\-Ък1=хаг,аъ...,ар). (8)
Доказательство. Как и при доказательстве утверждения 2, определим вектор Хе Rd , соответствующий множеству Рп. Линейная независимость % (S),
S е Р", очевидна. Следовательно, для доказательства утверждения достаточно показать, что X - решение системы (1). Подставляя X в (1) и учитывая соотношение х(РГ1 u {"» = Ж"-1) + . получаем
+ Ъ1к+1а1Х{Рг"~1) = Х({п}) + Ц&хЮ"'1) = Х({п}) + + Х({\,...,п-\}) = х(М) .
Утверждение 4. Пусть 1>"~] ={ '.....I''/, ' ! -
сбалансированное множество игры (и-1) лиц с весом а(Р"~1 )=(«!,...,ар). Если =1, то
р" ={ РГ1 и {«},..., рк"-1 и{«}, /й,..., р;-1} (9)
есть сбалансированное множество игры п лиц с весом
а(Р")=а(Р"-1).
Доказательство аналогично доказательству утверждения 3.
Семейство определенных (7) сбалансированных
множеств 1>п где £,"= I" и I". обозначим через
/•'" , а семейство дополнительных множеств Р" /•'" -
через Еп. Аналогично введем обозначения и для множеств (9) и их дополнений. Заметим, что из (7),
(8) следует, что £" п7С=0. Для игры 4 лиц '.К4 =
=7С4и£4 и^4 (табл. 2). Порождающие множества рассматриваемых классов игры 5 лиц приведены в табл. 3.
Каждое множество Р" е ЧЯп определяет необходимое условие сбалансированности игры. Сбалансированные множества можно использовать для получения условий устойчивости ядра [6] и в других приложениях, поэтому полезно иметь явное описание
подмножеств семейства 5?". Следующие утверждения определяют сбалансированные множества
Утверждение 5. Пусть Л'с.У. 2 < |Л'| < я 2. (7],...,Т) - разбиение 5"; ) - разбиение N8,
тогда =
есть сбалансированное множество игры п лиц с весом
а( Pn )= (
d-1 d-1 /-1
/-1
г) •
td-1 /а?-1 /а?-1 /¿/-Г
Утверждение 6. Пусть Л'сЛ'. |Л'| > 4. С1].....7,) -
разбиение 5", \Т± \ > 3 , Т = {гь...,гк} , тогда
Рп = { Р1п,..., Рп } = = (Д \ {/!» и (ЛГ \ 5),... Д\ \ и (ЛГ\ 5), Т2 ^(Л^\ 5'),(М\ }, есть сбалансированное множество игры п лиц с весом а(Р") =
= (<х (Р"1
^ «(РГ) =
..,а(Р;)),где
/ (k-1)- k + 2 / (k - 1) +1 ' i
/ (k -1) + Г k- 1
/ (k -1) + Г
P"= (Ti\{ij })u( N \ 5 ),1< j<k, Pln=T], 2< j</.
Утверждения 5 и 6 доказываются аналогично утверждению 3.
Литература
1. Бондарева О.Н. // Проблемы кибернетики. 1963. Вып. 10. С. 119-139.
2. РозенмюллерИ. Кооперативные игры и рынки. М., 1974.
3. Меньшикова О.Р. Методы поиска ядер кооперативных игр и их приложения: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1977. С. 1-12.
4. Зинченко А.Б., Оганян Л.С. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2007. № 1. С. 21-23.
5. Зинченко А.Б. // Теория конфликта и ее приложения: Материалы IV Всерос. науч.-техн. конф. Воронеж, 2006. С. 183-186.
6. Бондарева О.Н. // Вестн. Санкт-Петербургского университета. 1992. Сер. 1. № 3. С. 9-13.
Южный федеральный университет
3 июля 2007 г.
Pn =S
