CC BY
25УДК: 378.14
Курдубова В.В.
Старший преподаватель кафедры «Математика и инженерная графика» Военная академия связи, г. Санкт-Петербург, Россия
Шахвердова Е. О.
Старший преподаватель кафедры «Математика и инженерная графика» Военная академия связи, г. Санкт-Петербург, Россия DOI: 10.24411/2520-6990-2019-10626 САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ УЧЕБНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ОБУЧАЮЩИХСЯ ВОЕННЫХ ВУЗОВ. ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ
Kurdubova V.V.
Senior Lecturer of the Department «Mathematics and Engineering Graphics»
Shakhverdova E.O.
Senior Lecturer of the Department «Mathematics and Engineering Graphics» Military Academy of Communications, St. Petersburg, Russia
INDEPENDENT EDUCATIONAL ACTIVITIES OF STUDENTS IN MILITARY UNIVERSITIES.
OPERATIONS ON COMPLEX NUMBERS
Аннотация.
В работе представлена модель организации самостоятельной учебной деятельности для обучающихся военного технического вуза. Приведен пример реализации этой модели для изучения математики (комплексные числа, операции над ними). Описана основная (содержательная) компонента предложенной модели.
Abstract.
The paper presents a model of organization of independent educational activities for students in a military technical university. An example of the implementation of this model for studying mathematics (complex numbers and operations on them) is given. The main (substantial) component of the proposed model is described.
Ключевые слова: военный вуз, самостоятельная деятельность, курсанты, операции над комплексными числами.
Keywords: military university, independent activity, cadets, operations on complex numbers
Самостоятельная учебная деятельность обучающихся военных технических вузов, как было показано авторами в [1], рассматриваемая как полноценный и целостный элемент образовательного процесса, может быть описана с помощью двухком-понентной модели: организационной и содержательной. Организационная компонента описывает порядок проведения и способы организации самостоятельной деятельности; содержательная - содержание самостоятельной работы, выполняемой обучающимися, в рамках определенной темы.
Ранее было показано [1], что самостоятельной учебной деятельностью в рамках определенной темы называется комплекс учебных мероприятий, состоящий из самостоятельной работы обучающегося при подготовке к практическому занятию после лекции по данной теме и самостоятельной работы обучающегося после проведения практического занятия по той же данной теме.
Продолжим описание применения указанной выше модели к изучению теории комплексных чисел. Отметим, что организационная компонента модели, подробно описанная авторами в [2], применительно к вопросам, которым посвящена данная работа, останется прежней. Опишем содержательную компоненту модели, реализуя ее в изучении операций над комплексными числами, проводимых в различной форме.
Итак, представим порядок проведения и содержание самостоятельной учебной деятельности в применении к теме «Операции над комплексными числами».
По завершении лекционного занятия по теме «Операции над комплексными числами» обучающиеся получают задание на самостоятельную работу (приложение 1). По завершении практического занятия по теме «Операции над комплексными числами», обучающиеся получают задание на самостоятельную работу (приложение2).
Напомним, что задания на самостоятельную работу являются ядром содержательной компоненты модели самостоятельной учебной деятельности обучающихся. Задание на самостоятельную работу после лекционного занятия преследует цель закрепления теоретического материала и подготовку к практическому занятию по изученной теме, задание на самостоятельную работу после практического занятия - закрепление практических навыков решения задач в рамках изучаемой темы.
Следует отметить, что качественное проведение самостоятельной учебной деятельности, заключающееся в эффективном и рациональном использовании времени, отводимого на этот компонент образовательного процесса, существенно повышает результаты обученности.
б) Im(el 3)
7. Найти z =
(i+í)1
а)
3-(eos(-5r)+ísín(-5r)K з
V3-(eos(-f)+¿s¿n(-f)) í
/ philological sciences
Приложение 1
Задание на самостоятельную работу при подготовке к практическому занятию после лекции по данной теме.
Тема: Операции над комплексными числами.
I. Вводная часть
Тема: Операции над комплексными числами в различных формах.
Учебные вопросы:
1. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
2. Операции над комплексными числами в показательной форме.
Список литературы:
I. Шипачев В.С. Высшая математика. Полный курс в 2 т. Том 1: учебник для академического бакалавриата/ В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. - 4-ое изд., испр. и доп. - М.:Издательство Юрайт, 2016. - 288с.
II. Основная часть
Основные понятия:
1. Множество комплексных чисел.
2. Изображение комплексных чисел на плоскости.
3. Модуль и аргумент комплексного числа.
4. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Эйлера.
5. Операции над комплексными числами в различных формах.
Контрольные вопросы:
1. Как изображаются комплексные числа на плоскости?
2. Сформулировать определение модуля и аргумента комплексного числа.
3. Записать тригонометрическую форму комплексного числа.
4. Как в тригонометрической форме выполняются операции умножения, деления, возведения в степень и извлечение корня натуральной степени из комплексных чисел?
5. Записать формулу Эйлера и показательную форму комплексного числа.
6. Как выполняются операции над комплексными числами в показательной форме.
Практические задания:
1. Найти модуль и аргумент комплексных чисел, представить в тригонометрической форме и изобразить на комплексной плоскости:
а) -1
4. Найти решение уравнения: |г| — г = 2
5. На комплексной плоскости построить области, заданные следующими соотношениями:
а) Де г > 1
б) /ш г < 0
в) |г| < 4
г) 1 < |г + ¿| < 5
6. Комплексные числа = 1 — I и г2 = -/3 — I представить в тригонометрической форме. Найти ■ —. Результат записать в показательной форме.
Z2,
(/3-1)50'
8. Найти все значения и изобразить их на комплексной плоскости.
9. Выполнить указанные действия, результат представить в алгебраической форме.
+ -
б) 2¿
в) -4¿
г) -2 + 2¿
д) V3 - i
е) -1-V3Í
2. Найти модули и аргументы комплексных чисел:
п .
а) z = e3 + 2 1
б) z = е-2ni
ч —2--l
в) z = е 2
3. Найти:
' Г
а) fie (е' 4)
б) 4V2-e7¿-(f+¿f)
Дополнительные (реферативные) вопросы:
1. Пояснить преимущества и недостатки различных форм комплексного числа.
2. Сформулировать геометрическую интерпретацию операции умножения/деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме.
3. На основании формулы
wfc = Vz = V|z| (cos---+
. . argz+2nrfc\ ,
i sin-) , к = 0,1, ...,n - 1
n /
сформулировать геометрическую интерпретацию извлечения корня натуральной степени из данного комплексного числа.
Приложение 2
Задание на самостоятельную работу после проведения практического занятия по данной теме.
Тема: Операции над комплексными числами.
I. Вводная часть
Тема: Операции над комплексными числами в различных формах.
Учебные вопросы:
1. Операции над комплексными числами в тригонометрической форме.
2. Операции над комплексными числами в показательной форме.
Список литературы:
I. Шипачев В.С. Высшая математика. Полный курс в 2 т. Том 1: учебник для академического бакалавриата/ В.С. Шипачев; под ред. А.Н. Тихонова. - 4-ое изд., испр, и доп. - М.:Издательство Юрайт, 2016. - 288с.
II. Основная часть
Теоретическая часть
1. Множество комплексных чисел.
2. Изображение комплексных чисел на плоскости.
3. Модуль и аргумент комплексного числа.
4. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Формула Эйлера.
5. Операции над комплексными числами в различных формах.
Контрольные вопросы:
1. Как изображаются комплексные числа на плоскости?
2. Сформулировать определение модуля и аргумента комплексного числа.
3. Записать тригонометрическую форму комплексного числа.
4. Как в тригонометрической форме выполняются операции умножения, деления, возведения в степень и извлечение корня натуральной степени из комплексных чисел?
5. Можно ли сложить/вычесть два комплексных числа в тригонометрической форме?
6. Записать формулу Эйлера и показательную форму комплексного числа.
7. Как выполняются операции над комплексными числами в показательной форме.
Практическая часть
• Дифференцированные по сложности задания в закрытой форме (тестовой, с предлагаемыми вариантами ответов):
1. Комплексное число —i можно записать в виде, укажите не менее двух вариантов ответа:
.п
а) е-'2
б) cos(— |) + ¿sin(— |)
в) cos(|) + isin(|)
Ж
г) — е-12
2. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = —V3 — i
а) |z| = V3, argz = 1
б) |z| = 1,argz = 7
в) |z| = 2,argz = -г) |z| = 2, argz = -у
в) 4(cos^+¿ sin^)
г) 4(cosH)+¿sin(-?))
4. Записать в показательной форме комплексное число z = 7
а) 7 е'0
б) 7 е™
в) V7 е'0
Ж
г) 7 е'2
5. Найти все значения корня ^
í V3+¿
а) + -;-
7 2 4
¿ V3+¿
б) -;-
7 2 4
+V3+Í
в) --;
' 2 2 I 73+;
г) ±-;-
22
6. Возвести в степень комплексное число (3 - ¿73) 6
а) 1
б) -1728
в) 73 + 21
г) 1728
7. Выяснить геометрический смысл соотношения /ш г = -2:
а) Прямая х = —2
б) Прямая х + у = —2
в) Прямая х — у = 2
г) Прямая у = — 2
• Ответы к указанным выше заданиям для самопроверки:
Номер задания 1 2 3 4 5 6 7
Ответ а, б г а а в б г
3. Записать в тригонометрической форме комплексное число z = 2 + 2V3i
а) 4 (cos ^ + i sin
б) 2 (cos^ + i sin^)
Список литературы
1. Курдубова В. В., Шахвердова Е. О. Модель самостоятельной учебной деятельности обучающихся военных вузов // Colloquium-journal. 2019. №14 (38), 2019. - C.216-217
2. Курдубова В. В., Шахвердова Е. О. Самостоятельная учебная деятельность обучающихся военных вузов. Комплексные числа: основные понятия //Colloquium-journal. 2019. №16 (40), 2019. -C.36-39
