CC BY
38
УДК 378
САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ СТУДЕНТОВ МЛАДШИХ КУРСОВ КАК НЕОТЪЕМЛЕМАЯ ЧАСТЬ УЧЕБНО-ВОСПИТАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА, НАПРАВЛЕННАЯ НА ПОВЫШЕНИЕ КАЧЕСТВА ПОДГОТОВКИ БАКАЛАВРОВ ИНЖЕНЕРНОГО ПРОФИЛЯ
© 2013
Е.А. Энбом, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики В.А. Иванова, студентка второго курса факультета информационных систем и технологий
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Самара (Россия)
Аннотация: В данной статье рассматривается важный и перспективный вид учебной деятельности студентов младших курсов - выполнение, оформление и представление самостоятельной исследовательской работы под руководством преподавателя.
Ключевые слова: учебно-исследовательская деятельность студентов, научная работа студентов младших курсов.
Учебно-исследовательская работа студентов - одна из важнейших форм учебного процесса, для которой характерно удачное сочетание обучения и практики. В рамках этой работы студент приобретает сначала основные навыки исследовательской работы, а затем начинает воплощать теоретические знания при решении практических задач. В процессе исследовательской работы студенты развивают творческие способности, вырабатывают умение анализировать полученные результаты, приобретают практические навыки работы на компьютере с прикладными пакетами для оформления работы.
Наиболее важен постепенный переход от простых форм учебно-исследовательской работы к более сложным. Этот процесс позволяет студенту гармонично развиваться и совершенствовать свои умения и навыки. Поэтому необходимо привлекать студентов к исследовательской деятельности с младших курсов. Это помогает преподавателю выявить динамику научных предпочтений учащихся, а студентам - выбрать научное направление их дальнейшей работы.
В процессе выполнения исследовательской работы студенты младших курсов должны научиться применять теоретические знания на практике, работать с научной литературой, самостоятельно решать учебные задачи, докладывать результаты своих исследований на конференциях. Проведение студенческих научных конференций является эффективной формой исследовательской работы. Цель подобных конференций - углубленное изучение программного материала, приобретение навыков публичных выступлений с научными сообщениями. При оценке доклада учитывается содержательная ценность сообщения, умение преподнести материал, участие в дискуссии. Такие выступления развивают у студентов математически грамотную устную речь, формируют культуру публичного выступления, что является очень значимым в будущей профессиональной деятельности.
В настоящей статье приведена исследовательская работа студентки второго курса Ивановой Виктории «Применение несобственных интегралов при решении геометрических задач», которая была представлена на научной студенческой конференции.
В учебной работе по математическому анализу, при изучении раздела «Интегральное исчисление», мы ограничивались только исследованием на сходимость несобственных интегралов первого и второго рода. Заметим, что на изучение сложной и важной темы «Несобственные интегралы первого и второго рода и их приложения» учебным планом бакалавров инженерного профиля отводится два аудиторных часа.
Основной целью данной исследовательской работы является поиск и исследование геометрических задач, которые решаются с помощью несобственных интегралов. Работа состоит из двух параграфов: первый посвящен несобственным интегралам с бесконечными пределами, а второй - несобственным интегралам от неограниченных функций. Оба параграфа построены по следующему принципу: после теоретической части следует изучение несобственных интегралов на сходимость,
далее приведены геометрические задачи, при решении которых использовались несобственные интегралы ([1], [2]). Проиллюстрируем основное содержание работы на конкретных задачах.
Задача 1. Исследовать на сходимость интеграл
+ ™ х . е arctgx
(1 + x2 )4
d x
1 + x2
Решение. Воспользуемся методом интегрирования по частям:
| x ■ earc,gx I --:-, dx =
(1 + X2 1 + X2
и =
X
du =
d х
dv =
+ X
еагс^х dx; 1 + х2 '
( 1 + X 2) 41 + X 2
+ X
I
1 ( 1 + X 2 )-у] 1 + X 2
d X.
К последнему интегралу вновь применим метод интегрирования по частям, взяв
_ 1 , earc,gx , тогда " = dv =-- dx
+ X
1 + X 2
- X d X
ф + X 2 (1 + X 2) Полу
arctgx
X ■ е 8 -, dx = -
ч " и м
X е arctg X earctgx
. 2 к + 2
+ X 1 V1 + X
1
1 ( 1 + X 2 1 + X 2 И т
d X
I
1 ( 1 + X 2) 41 + X3
да агс,р X
1
^ X =
а
X
к
е ^^^^
1 ( 1 + X 2 1 + X2 »Т
d X
2 1
arctgx
1 ( 1 + X 2) ■ 71 + X 2
г
dx =
,arctgx
Л
+ X
(X - 1)
от-
X!
arctg X
е
X
arctg X
е
куда
i
1 ( 1 + X 2 ) • yJT+X
lim earc,g:
dx =
(x - 1)2
1 + X 2
Вычислив предел, получим ответ: интеграл сходится и равен 1 п .
— • е 2 2
Задача 2. Найти все значения параметра а, при ко-
0
торых сходится интеграл | е а 1 dx .
Решение. Воспользуемся определением несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом:
0 0 1 о 1
f e а Xdx = lim f e а Xdx = lim- e а x = lim- (1 - e а b ) =
J b^-ад J b^-ад n b ^-ад ni * '
0, а > 0
+ ад, а < 0 .
0
Итак, j eаx dx сходится при а > 0 , и расходится
при а < 0 .
В этой части работы так же исследованы на сходимость следующие несобственные интегралы первого рода:
f dx ' j
1 + x 2 -ад
x2 ex dx
j
d x
-ад ( x 2 + 1)
f
d x
2 3 x lnа x
"TW + ед 1 U
j x cos xdx' j xe dx' j x2 exdx' j
x2 + 9
d x
j
d x
(x2 + 1)2
i
xdx
i
xdx
V2 (x2 + 1)3' 0 Ijx5 + 2
а так
1
+™ 1 + arcsin
x
- ------x lnx dx . ln(! +
I -=— d x I j — I —
1 1 + xVx 1 x^x2 - 1 0 Jx +
ln (1 + x5)
-v/x
d x
же проведено исследование, при каких значениях параметров а и р сходится интеграл +» 1па х dx .
( 1
У
-г oj b
S = j edx = lim je
J b ^+ед J
d x
Рис. 1.
В определенном интеграле выполним сначала замену переменной х _ t2, а затем в полученном интеграле
проинтегрируем по частям. Окончательно получим, что данная фигура, неограниченно простирающаяся вправо, квадрируема и ее площадь равна 2 .
Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у _ 1 , х = 1, у _ 0. Найти объем, полученный
от вращения данной фигуры вокруг оси О х.
■1,4 -12 -10 -01 -ОС -0 * <2 0 02104 1.6 И 1,0 12 1.4 1.6 1.В i.O 22 ¡4 2.С !.S 10
I V
Я-»
-1.1 12-1.0-0.1 -Ot-m -02 О 0.2 O.i i.J 0Л 11 12 Н 1.Е 1.S i.O 22 Л 2.( 3.1 SO
Рис. 2
-u-V-u-oB-ae-M-u о о; 0.4 o.t чя i.o u 14 1.6. и г.о и г* г.« и з.в Т V
ex2 - 1
Задача 3. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями у _ е-4~х и у _ 0.
У ^
Решение. Необходимо построить график функции, провести для этого полное исследование ее поведения с помощью производной первого и второго порядка. Для графического изображения фигуры в работе использовался пакет Mathcad (Рис. 1).
Вычислим площадь п ¡\ лученной неограниченной фигуры по формуле: ^ у (х) dx. В нашем случае,
■0.5 ■■1.0 "15
■0.5 ■1.0 ■1.S
-14-12-И-0.6-04-О? О 0.2 0.1 Об 0.1 1Д 12 14 1.6 1.8 2.0 22 2.1 2.6 2.Е ЗЛ
Рис. 3
В ходе проведенных исследований было доказано, что данная плоская фигура не имеет площади, так как несобственный интеграл, который выражает эту площадь, расходится.
А вот неограниченное тело, полученное от вращения указанной площади вокруг оси О х (Рис. 2), имеет объ-
arctgx
x
x
+ ед
ем,
1 1
г dx
равный п I —— = п кубических единиц.
3 -V
У =
1 + х2
'3.0 -Ъ5 -1.0
, ' т
■1.5 -).о -и о 0.5 ив 1.5 г.о э.5 и
/
-3.0 -гд -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0 0.5 1.0 1.5 1.0 3.6 30
Рис. 4
2,0 1.5 1.0 0 -од 1 V 0.5 1.0 1,5 2Л 3.5 3.» 16 <.0 50 5.5 6.9
1.5 1.0 05
/ 1 А > >
// / / / Г г г —1—
•М -1.0 ■1 ■0,5 -10 0
0 -0 5/ 0.5 1 У.-* 0 1.5 210 2.5 3.0 3.5 О 4.5 5.0 5,5 $
тонности, интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба, асимптоты данной кривой (рис.4).
Искомая площадь неограниченно простирающейся вправо и влево фигуры равна: + » dx
Задача 5. Дуга кривой у = е_ х при х е [0; + ж],
вращается вокруг оси О х. Найти площадь полученной
поверхности. Найти объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции с основанием на оси О х,
ограниченной данной дугой, вокруг оси О х.
Решение. Для вычисления площади данной неограниченной поверхности вращения, воспользуемся форм ь у --л- о +ж й- :
Рх = 2п | f (х)^1 +[f'(х)] 2dx = 2п | е_х^1 + е_2xdx
а 0
. Данный несобственный интеграл сходится и
Рх = п(л/2 + 1п(1+72)). Объем указанного неограниченного тела вращения (рис. 3) существует и равен +ж _2 п кубических единиц.
п I е х dx = — 2
0
Задача 6. Найти площадь фигуры между линией 1 и ее горизонтальной асимптотой.
5 = [" 1
= п
+х
В этой части работы также найдена площадь фигуры, ограниченной линиями у = хе _х +1 и у = 0 на полуинтервале [ 0; + ж). Для построения кривой было
проведено исследование ее поведения с помощью первой и второй производной (Рис. 5). С помощью несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования была вычислена площадь фигуры, ограниченной графиком функции _х^ и ее горизонтальной у = х е 2
асимптотой при х > 0 .
Вторая часть исследования посвящена несобственным интегралам от неограниченных функций. Здесь исследованы на сходимость следующие интегралы:
0 arcsin х , 1 х3 аггаш х , 2
dx I
^л/Г^"
, г 5х3 г dx
dx \--dx -
-1 16 _ х4 {ех _ 1
d х
d х
( х _ а )
г - dx
| ех -
arcsin х
л
cos х
1 П 1
г х dx
11
г - dx,
1
о л^Ш х
d х
d х
1 х-\13 х2 _ 2х _ 1
»
п е N
В ходе исследования, где это необходимо, применялись метод замены переменных и метод интегрирования по частям.
Решены следующие геометрические задачи на применение несобственных интегралов второго рода:
1. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси Ох (Рис. 6) и вокруг оси О у (Рис. 7) плоской
фигуры, заключенной между кривой у = 1п х и у = 0
на полуинтервале (0, 1 ].
30 15 10 1 5 1.0 0 -1.5 -г.о -1 1 V ,5 -1.0 -0.5 05 1.0 1.5 2.0 15 33 1Г|
15 и
^ ^ _ — 1Л
1
■0.5 ,1р V 1 ■05 -м
-а -н -25
5 3|0
ю -2.5 -го -1 5 -Т.0 -0.5 05 1.0 1.5 г.О 2
2 а
п
0 1
е
х
2
Рис. 5
Решение. Для построения данной кривой (кривой ^^ 6 ...
В случае вращения неограниченной фигуры вокруг
кР^п! \ 1; * Т ;Л ТЧ \ 1 т т литтрпршша тп.ипгп Т Т,"11Т Т," Т; Ч 1 Т Т С I I I - I I -
оси О х, будем иметь:
Аньези) методами дифференциального исчисления были найдены экстремумы функции, интервалы моно-
V1 = п J ln2 xdx = lim n J ln2 xdx = lim l x ln2 x - 2 x ln x + 2 x)| 1 = 2 n
о s ^ s s ^ L
(кубических единиц).
Рис. 7
В случае вращения неограниченной фигуры вокруг оси Oy, будем иметь:
0 0 п
F2 = п j e2 y dy = lim п j e2 y d y = — (кубических
J а ^ -ад J 0
единиц).
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и у _0 при x е [ 0; 0,4 ].
y =
1
3. Найти ^лощадь фигуры, заключенной между кривой у _ —- и ее горизонтальной асимптотой, при
х + 2 х
х > 1.
4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох плоской фигуры, заключенной между
кривои y =
1
ее вертикальной асимптотои и
осью Ох на отрезке [ 2, 6 ].
Для построения графиков проводилось исследование поведения функций методами дифференциального ис-
числения, а для оформления работы использовался прикладной пакет MathCad.
В заключении хотелось бы отметить, что исследовательская работа выполнена студенткой математически грамотно, аккуратно оформлена, все необходимые в задачах графики сделаны самостоятельно с применением графического редактора, а все выкладки в решении задач приведены полно и подробно.
Научно-исследовательская работа студентов младших курсов - это многостороннее, полифункциональное явление, которое имеет не только учебное, но и личностное значение. Эта форма организации деятельности учащихся, осуществляемая под руководством преподавателя, способствует формированию познавательной самостоятельности, инициирует способность и потребность в самообразовании [3-6]. Ведь в современных условиях подготовка специалистов с высоким уровнем профессиональной компетентности и разносторонним личностным развитием, способных к непрерывному самосовершенствованию, постоянному пополнению и расширению спектра своих знаний и умений, то есть способных учиться всю жизнь, является одной из центральных задач современного высшего образования.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: учебное пособие для вузов. М.: ООО «Издательство Астрель», 2002. 553 с.
2.Кудрявцев Л. Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М. И. Сборник задач по математическому анализу. Том 2. Интегралы. Ряды: Учебное пособие/Под ред. Л. Д. Кудрявцева. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 504 с.
3.Самодурова Т.В. Научно-исследовательская работа студентов в условиях разноуровневой профессионально-педагогической подготовки в вузе // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. Серия: Педагогика, психология. 2011. № 4. С. 257-259.
4.Колодезникова С.И. Организационно-методические условия совершенствования научно-исследовательской работы студентов // Вектор науки ТГУ. Серия: Педагогика, психология. 2012. № 1. С. 184-186.
5.Матерова А.В. Мотивационный аспект совершенствования научно-исследовательской деятельности студентов технических специальностей // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. Серия: Педагогика, психология. 2010. № 2. С. 84-88.
6.Романова М.А., Афанасьева Д.О. Исследовательская деятельность студента как основа развития его психолого-педагогического потенциала // Вектор науки Тольяттинского государственного университета. Серия: Педагогика, психология. 2011. № 3. С. 274-276.
INDEPENDENT RESEARCH ACTIVITIES OF JUNIOR STUDENTS AS THE ESSENTIAL PART OF THE EDUCATIONAL PROCESS AND MEANS OF QUALITY IMPROVEMENT WHEN TRAINING BACHELORS MAJORING IN ENGINEERING
© 2013
E.A. Enbom, the candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor of the Department of higher mathematics V.A. Ivanova, a second-year student of the faculty of information systems and technologies
Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara (Russia)
a
Annotation: The paper is dedicated to the important and challenging kind of junior students' activity - accomplishing, styling and presenting independent research work under the guidance of a teacher. Keywords: students' training and research activities, junior students' scientific work.
