CC BY
75
УДК 378
ОСНОВНЫЕ АСПЕКТЫ ПРЕПОДАВАНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ С УЧЕТОМ ТРЕБОВАНИЙ ФЕДЕРАЛЬНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО СТАНДАРТА ТРЕТЬЕГО ПОКОЛЕНИЯ
© 2016
Балабаева Наталья Петровна, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей математики Энбом Екатерина Александровна, кандидат физико-математических наук, доцент,
доцент кафедры высшей математики Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, Самара (Россия) Аннотация. С каждым годом все актуальнее становится вопрос подготовки для предприятий различных областей кадров высшей квалификации - специалистов, владеющих высокоэффективными технологиями и методами. Современная ситуация требует серьезного пересмотра подхода к процессу обучения в вузе, коренных изменений в структуре и содержании преподаваемых дисциплин. В учебных планах бакалавров технических направлений значительно сократилось количество лекционных и практических занятий по дисциплинам физико-математического цикла, при условии необходимости сохранения содержания и глубины охвата предметной области. В этой ситуации важно так отобрать и структурировать содержание дисциплины, чтобы качество усвоения материала удовлетворяло современным требованиям образовательного стандарта. Особенно важным этот момент является на первом курсе, в начале обучения в вузе, когда закладываются основы фундаментальных знаний и формируется отношение студента к учебе и будущей профессиональной деятельности. В данной статье указанная проблема рассматривается на примере преподавания бакалаврам технических направлений раздела «Аналитическая геометрия» курса «Математика». Авторами предлагаются конкретные пути изменения организации учебных занятий по аналитической геометрии в условиях резкого сокращения числа аудиторных часов по предмету «Математика» в целом. Обоснованием для этих изменений служат межпредметные и, особенно, внутрипредметные связи аналитической геометрии с другими разделами высшей математики и техническими дисциплинами.
Ключевые слова: образовательные стандарты третьего поколения, компетентностный подход в преподавании, преподавание аналитической геометрии, внутрипредметные связи, межпредметные связи, преподавание высшей математики, кривые на плоскости, поверхности первого и второго порядка.
THE MAIN ASPECTS OF TEACHING ANALYTICAL GEOMETRY AT THE TECHNICAL UNIVERSITY SUBJECT TO THE REQUIREMENTS FEDERAL EDUCATIONAL STANDARD THIRD GENERATION
© 2016
Balabaeva Natalia Petrovna, the candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor
of the Department of higher mathematics Enbom Ekaterina Aleksandrovna, the candidate of physical and mathematical Sciences, associate professor of the Department of higher mathematics Povolzhskiy State University of Telecommunications and Informatics, Samara (Russia) Abstract. Every year more urgent becomes the question of training for companies in various fields of personnel of higher qualification specialists who have mastered high-efficiency technologies and methods. Modern situation requires a serious revision of the approach to the learning process in the University, radical changes in the structure and content of the disciplines taught. In the curriculum of bachelors in technical areas of significantly decreased the number of lectures and practical classes in the disciplines of physics and mathematics cycle, subject to the need to preserve the content and depth of coverage of the subject area. In this situation it is important to select and structure the content of the discipline to the quality of learning material meets the modern requirements of educational standard. Especially important this moment is in the first year, at the beginning of study at the University, when the framework of fundamental knowledge and forms the student's attitude to study and future professional activity. In this article this problem is considered on example of teaching of bachelors in technical areas of the section "Analytic geometry" course in Mathematics. The authors offer specific ways to change the organization of training courses on analytical geometry in the conditions of sharp reduction in the number of classroom hours in the subject "Mathematics" in General. The rationale for these changes are interdisciplinary and, especially, intrasubject communications analytic geometry with other sections of higher mathematics and technical subjects.
Keywords: educational standards of the third generation, competence approach in teaching, teaching analytic geometry, intra-communication, interdisciplinary communication, teaching of mathematics, the curves surfaces of the first and second order.
Стремительное развитие современной науки и техники, средств и технологий сказывается на каждой сфере человеческой деятельности. Министерство образования и науки Российской Федерации реагирует на это выпуском новых Федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования. Анализ профессиональных компетенций, заявленных во ФГОС высшего образования для инженерных направлений подготовки бакалавров, выявил наличие близких по своей функциональности компетенций [1]. Эти профессиональные компетенции будущих инженеров соответствуют современным требуемым практическим умениям в инженерной деятельности и способны удовлетворить потребность в высококвалифицированных профессионалах для продолжения дальнейшего научно-технического прогресса.
При правильном механизме формирования заявлен-
ных компетенций, будущие инженеры должны стать способными быстро и качественно выполнять свои обязанности, при этом обладая высоким творческим потенциалом и современными качественными знаниями [2].
Аналитическая геометрия играет основную роль в развитии пространственного мышления студентов технического университета и, что особенно важно, в формировании устойчивых знаний по теории кривых и поверхностей первого и второго порядка. Изучение геометрии способствует развитию у студентов пространственных представлений и пространственного воображения - качеств, необходимых для решения прикладных технических задач и характеризующих высокий уровень инженерного мышления [3].
Уменьшение часов аудиторных занятий вынужденно приводит к сокращению материала по аналитической геометрии, изучаемого студентами на лекциях и
практических занятиях под руководством преподавателя. Значительную часть тем учащимся предлагается освоить самостоятельно, что предполагает ранее сформированное у них умение работать с научной математической литературой, анализируя и систематизируя теоретический материал. Так как данный раздел высшей математики изучается в первом семестре первого года обучения, студентам, фактически вчерашним школьникам, весьма затруднительно разбираться с научным текстом. Кроме того, уровень математической подготовки и развития пространственного мышления многих выпускников школ недостаточен для успешного овладения материалом. Преподаватель должен изложить теорию и основные задачи аналитической геометрии за меньшее количество аудиторных часов таким образом, чтобы они были успешно усвоены студентами с различной математической подготовкой. Сохранение высокого качества обучения в условиях сокращения часов аудиторных занятий волнует многих преподавателей различных высших учебных заведений [4-7].
В связи с этим возникает серьезная проблема выбора тех вопросов, которым необходимо обязательно уделить значительное внимание на аудиторных занятиях; вопросов, по которым достаточно дать лишь краткий обзор; и вопросов, которые можно оставить для самостоятельного изучения.
Выбор тем, требующих особого внимания, следует проводить, на наш взгляд, исходя из внутрипредмет-ных и межпредметных связей аналитической геометрии с различными разделами математики и другими дисциплинами. Именно учет внутрипредметных связей позволяет целесообразно организовать изучение взаимосвязанных понятий на разных этапах обучения [8, 9]. Последовательное выстраивание внутрипредметных преемственных и рекурсивных связей между разделами математики, позволяет избежать формализма в знаниях студентов, способствует развитию логического и рефлексивного мышления [10-13].
При дальнейшем изучении разделов высшей математики постоянно возникает необходимость применять разнообразные факты аналитической геометрии, и у преподавателя, разумеется, нет времени снова подробно излагать их. Например, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, применяется при изучении раздела «Теория поля» при непосредственном вычислении циркуляции векторного поля с помощью криволинейного интеграла. Поэтому навык составления именно такого уравнения должен быть отработан особенно хорошо, тогда как задачи на составление векторного уравнения прямой можно предложить студентам разобрать самостоятельно.
J 1. 1 -
При изучении приложений определенного интеграла, кратных и криволинейных интегралов возникает необходимость в геометрическом представлении исследуемой модели. В связи с этим, на занятиях по аналитической геометрии
следует уделять особое внимание распознаванию уравнений кривых второго порядка и построению этих кривых по заданному уравнению. При этом, на наш взгляд, не следует исключать из рассмотрения анализ общего уравнения прямой, общего уравнения плоскости и общего уравнения кривой второго порядка с точки зрения геометрического смысла коэффициентов.
В качестве примера рассмотрим задачу, которая иллюстрирует связь между уравнениями кривых, их геометрическими образами и вычислением площади фигуры методами интегрального исчисления (рисунок 1).
Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y2 - 6y + х2 = 0, y2 - 10y + x2 = 0,
У = x, y = 0.
Решение. Фигура, площадь которой необходимо найти, представляет собой часть плоскости, заключенную между окружностями х2 + (y _ 3)2 = 9 и
х2 + (y _ 5)2 = 25 с центрами соответственно в точках
(0; 3) и (0; 5), и радиусами R = 3 и R = 5 , осью Oy и
биссектрисой первой четверти (рис. 1).
Вычислим ее площадь с помощью двойного интеграла, в котором целесообразно перейти к полярным координатам х = р cos ф, y = р sin ф :
л/ 2 10sin ф
S = Цdxdy =Црdрdф = | dф | рdр = 4(п + 2).
D D л/ 4 6sin ф
Можно рассматривать данную площадь как разность площадей двух криволинейных секторов и вычислять ее с помощью определенного интеграла, используя формулу 1 в
S = 2 |р2 (ф)d ф.
Для самостоятельной работы студентам можно предложить более сложную задачу, чтобы при ее решении требовалось введение не стандартной, а обобщенной полярной системы координат. Теорию данного вопроса нет возможности рассмотреть на аудиторных занятиях в силу недостаточности времени, ее учащимся необходимо изучить самим, используя рекомендуемую литературу. Фактически уже на этом этапе обучения студенты привлекаются к исследовательской работе [14, 15], что так же, кстати, является требованием ФГОС.
Задача 2. Пластинка Б задана неравенствами
1 < х 716 + у2 /4 < 4, х > 0, у > х/2, ц = х/у - поверхностная плотность. Найти массу пластинки.
4 L У
2 и
0/4 J S~
Рнс. 2
Решение. Пластинка D представляет собой часть
плоскости, заключенную между эллипсами х716 + y 74 = 1, х2/64 + y 716 = 1, осью Oy, прямой y = х/ 2, расположенную в первой четверти (рис.
2). Обобщенная полярная система координат имеет вид: х = 4 р cos ф, y = 2 р sin ф. В этой системе координат эллипсы имеют уравнения: р = 1,_ р = 2, а прямые -
ф = п/4 и ф = п/2. Определитель Якоби вычисляется
достаточно просто:
дх/ дф дх/др ду/дф ду/др
I =
-4р sin ф 4cos ф 2р cos ф 2sin ф
= - 8 р.
Двойной интеграл при такой замене переменных вычисляется более рационально, че п 2 со^ф ёф Зой системе координат: т = ГГх/ уёхёу = 16 Г-Грёр = 121п2.
в sin ф 1
ч у ■ гЧ
1 > V 1 >
\ У \ )а
/
— / \--
/ Ч_
Рнс. 3
При таком подходе к преподаванию аналитической геометрии, решая в курсе математического анализа задачу 3: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
х = 6 - л/36 - у2, х + ^6 - у2 = 0,
внимание студентов должно быть
сосредоточено на вычислении соответствующих достаточно сложных интегралов, а определение типов данных кривых (окружность, парабола, эллипс) и их построение уже не должно вызывать сложностей.
Так как в курсе аналитической геометрии на плоскости изучается большое количество кривых, заданных явно и параметрически в декартовой системе координат и
заданных явными и неявными уравнениями в полярной системе координат, которые имеют большое значение математике, физике, технике, то целесообразно в качестве самостоятельной работы рекомендовать студентам выполнить «Альбом кривых».
В нем чертятся предложенные преподавателем необходимые для дальнейшего изучения математики кривые с указанием их уравнений.
Как показывает опыт, учащиеся с интересом относятся к такому виду заданий. Многие студенты-первокурсники выполняют графики в прикладных математических пакетах на компьютере, что в техническом вузе несомненно приветствуется.
Часть студентов приводит в альбоме информацию о том, где в технике применяются данные кривые. Это тоже приветствуется преподавателем, так как фактически поиск подобной информации является элементом исследовательской деятельности [16]. Например, лемниската Бернулли (рис. 3) применяется при проектировании автомобильных и железных дорог в качестве переходной кривой - линии, кривизна которой плавно увеличивается от начального значения, в отличие от окружности, при движении по которой резко возрастает центробежная сила, что небезопасно.
При дальнейшем изучении математики подобный «Альбом кривых» оказывается очень полезным. Когда на занятиях по математическому анализу рассматривается тема «Несобственные интегралы с бесконечными пределами и несобственные интегралы от неограниченных функций», целесообразно не только исследовать на сходимость несобственные интегралы, но и рассмотреть их некоторые геометрические и физические применения; например, решить следующие задачи:
Задача 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = 1/ х, х = 1, у = 0. Найти объем, полученный
от вращения данной фигуры вокруг оси Ох (рис. 4).
В ходе проведенного решения было доказано, что данная плоская фигура не имеет площади, так как несобственный интеграл, который выражает эту площадь, расходится. А вот неограниченное тело, полученное от вращения указанной площади вокруг оси Ох, имеет
объем, равный: V = п • Г —— = п кубических единиц.
2 -V
Задача 5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой Аньези у = 1 (1 + х2) и ее горизонтальной асим-
птотой. Искомая площадь неограниченно простирающейся вправо и влево фигуры равна: ^ = ёх
= Г 1
= п.
+ х
Для самостоятельной работы студентов под руководством преподавателя по данной теме можно предложить задачи [17], в которых требуются не только знания из аналитической геометрии, навыки исследования несобственные интегралы первого и второго рода на сходимость, но и умение проводить исследование функции с помощью первой и второй производной на монотонность, экстремумы, выпуклость, вогнутость, точки перегиба и асимптоты.
Задача 6. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой у = 1 (х2 + 2 х) и ее горизонтальной асимптотой при х > 1.
Задача 7. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох плоской фигуры, заключенной меж-
ду кривой у = 1У4 - х, ее вертикальной асимптотой и осью Ох на отрезке [2; 6].
При изучении аналитической геометрии в пространстве, необходимо подробно рассмотреть поверхности первого и второго порядка. Как известно, поверхности составляют огромное многообразие объектов трехмерного пространства, и инженерная деятельность человека непосредственно связана с конструированием и изготовлением различных поверхностей. Так как опять же мы весьма ограничены временными рамками, возникает методическая проблема: как распределить материал между аудиторными лекционными и практическими занятиями и самостоятельной работой. Целесообразно, на наш взгляд, уделить внимание исследованию уравнений поверхностей, ведь в дальнейшем учащиеся по виду этих уравнений сразу должны узнавать цилиндр, параболоид, конус, гиперболоид и т.д., и, кроме того, определять положение осей симметрии рассматриваемых поверхностей. Сокращение аудиторных часов не должно доводить до того, что студенты цилиндрическую по-
верхность могут воспринимать только как поверхность прямого кругового цилиндра (цилиндрическую поверхность вращения), коническую поверхность - в виде конической поверхности вращения. На наш взгляд, нельзя пренебрегать сложными поверхностями при изучении курса и не рассматривать их вовсе. Это может повлечь за собой снижение качества образования выпускаемых инженеров, так как большинство задач прикладной геометрии сводится к конструированию, расчетам и воспроизведению сложных технических поверхностей. Конструирование поверхностей в современных условиях представляет серьезный интерес в науке, основная цель этих исследований - построение геометрической модели физической поверхности при реализации инновационных инженерных проектов. Примерами этого являются: разработка и производство автомобильных кузовов, корабельных корпусов, авиационных фюзеляжей и крыльев и т.п. Также большое значение имеет разработка методов и методик моделирования поверхности участков местности для решения прикладных задач наземной навигации (например, прокладка проходимых маршрутов движения транспорта по пересечённой местности). Широко известно использование различных поверхностей в архитектуре. Способы формообразования и отображения поверхностей составляют основу трехмерного моделирования современных графических редакторов. В настоящее время разработаны программные комплексы, которые позволяют моделировать криволинейные гладкие поверхности желаемой формы. Но их использование предъявляет серьезные требования к подготовке пользователя, наличие у него соответствующей геометрической культуры и математической эрудиции. То есть пользователь должен разбираться в сложных поверхностях и знать способы их формообразования [18].
Задача 8. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями x2 + у 2 + 2у12 у = 0, г = x2 + у 2 - 4,
г = 0 (г > 0).
Решение. Тело представляет собой часть пространства, ограниченного круговым цилиндром с осью симметрии, параллельной оси аппликат, эллиптическим параболоидом с вершиной в точке (0, 0, -4) и координатной плоскостью хОу. Вычислим объем с помощью тройного интеграла, в котором, судя по виду тела, целесообразно перейти к цилх 2+у 2 - 4ческим координатам: V = [[[ dxdydz = |Г dxdy [ dz =
V Б 0
7 п/4 - 2л/2вт ф р 2 - 4
5 п/4
7 п/4
| dф | рdр | dz = 4 | бш2 2фdф = п.
5 п/4
Задача 9. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями у = 17^2 x, у = 2^2 x, x + г = 12,
г = 0.
Решение. При анализе данных уравнений, студенты должны понимать, что рассматривается объемное тело в пространстве, поэтому даны уравнения не парабол на плоскости, а параболических цилиндров (рис. 5).
1/2 17 .ДГ 1/2- x 12
V = | dx | dy | dz = 15 |(1/2 - x2 xdx = 1.
0 2фл 0 0
В качестве заданий для самостоятельной исследовательской работы студентам можно предложить следующие более сложные задачи [19], [20]:
Задача 10. Найти объем тела, ограниченного поверхностями у + г = 0, x2 - у + г2 = 0,
+у2 + (г - R)2 < R2.
Задача 11. Найти объем тела, ограниченного поверхностями 2 2 [XT+УT рту7
4 < x2 + у2 < 64, -,/-— < г <„' ^
35
3
x < у < 0.
Аналогично альбому кривых, студентам предлагается выполнить альбом поверхностей, который оказывает огромную помощь при решении прикладных задач. Рассмотрим задачу на вычисление циркуляции векторного поля, при решении которой как раз удобно воспользоваться видом поверхности, чтобы понять, по каким кривым данный параболоид пересекается с координатными плоскостями.
Задача 12. Вычислить циркуляцию векторного поля F = xy• i + у г-] + xz• k вдоль линии Ь, получаемой
пересечением параболоида г = 1 - x2 - у2 с координатными плоскостями в первом октанте.
Решение. Линия Ь состоит из трех участков АВ, ВС, СА. Поэтому циркуляция данного векторного поля
определяется следующим образом:
О =| xy dx + yzdy + xzdz =| +| +| .
Ь АВ ВС СА
На участке АВ: г = 0, x2 + у2 =1; запишем уравнение этой окружности в параметрической форме:
х = cos t, y = sin t, z = 0, 0 < t < 2 п , следовательно,
V 2
J F • dr = J costsint(- sint)dt = -
sin t
V 2
1
3
На участке BC : х = 0, z = 1-y2, 1 < y < 0, тогда
_ _ 0 0
J F-dr = Jy(l - y2)dy = (y72 - y2/4)|0
1 .
На участке CA : y = 0, z = 1 - х2, 0 < х < 1, следо-
вг — a 1 / е л ь и. о4 ,
J F • dr = -2 Jх2 (1-х2 )dx = -2(х3/3 -х75)|о =--.
Ö = - 13 - 14 - 4/15 = - 5160.
Компетентностный подход, реализуемый федеральным государственным стандартом высшего образования, предъявляет серьезные требования ко всем компонентам образовательного процесса - содержанию, педагогическим технологиям, средствам контроля и оценки [21-31]. Аналитическая геометрия, как один из важнейших разделов высшей математики, служит фундаментом для других естественнонаучных, общеинженерных и специальных дисциплин. Поиск эффективных методов преподавания аналитической геометрии, обеспечивающих в условиях сокращения аудиторных часов высокий уровень усвоения наиболее значимых для дальнейшего обучения понятий и методов, является одной из важнейших целей преподавателя высшей математики.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлениям бакалавриата [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http:// fgosvo.ru/fgosvo/92/91/4.
2. Кайгородцева Н.В. Определение содержания и технологии геометро-графической подготовки будущих инженеров на основе интеграции информационных сред. Диссертация на соискание ученой степени доктора педагогических наук. Омск. 2015.
3. Русинова Л. П. Развитие пространственного мышления у студентов в начале изучения курса «Начертательная геометрия» // Молодой ученый. 2012. №3. С. 391-394.
4. Подолько Е.А., Скабелкина И.А. Дисциплина «Высшая математика»: проблемы и их решения. Профессиональная инициатива: Электронный журнал.
2015.
5. Манова Н. В., Николаев В. Г. Проблемы преподавания курса «Высшая математика» на естественнонаучных факультетах // Успехи современного естествознания. 2007. №10.
6. Ерилова Е. Н. Проблемы преподавания высшей математики студентам экономических специальностей // Приоритетные направления развития науки и образования: материалы VII Международной научно-практической конференции - Чебоксары: ЦНС «Интерактив плюс». 2015. № 4 (7). С. 91-92.
7. Сейлова Р.Д. Некоторые аспекты преподавания высшей математики в вузе // Вестник Актюбинского университета им. С. Баишева, 2014.
8. Аксенов А.А. Внутрипредметные связи как ресурс процесса поиска решения школьных математических задач // Известия РГПУ им. А.И. Герцена. 2008. Выпуск 81.
9. Сечкина И.В. Внутрипредметные связи в курсе «Высшая математика». Актуальные проблемы преподавания математики в техническом вузе: материалы вто-
рой межвузовской научно-методической конференции. Омск: Полиграфический центр КАН. 2012. С.151-154.
10. Балабаева Н.П., Энбом Е.А. Формирование критически-рефлексивного мышления бакалавров инженерного профиля в процессе изучения курса высшей математики. Сборник научных трудов Sworld. 2013. Т. 18. № 3. С. 49-53.
11. Балабаева Н.П. Профессионально-ориентированный подход к преподаванию раздела «Дифференциальные уравнения» студентам экономических направлений. Самарский научный вестник. 2014. № 4(9). С. 22-25.
12. Балабаева Н. П. Контрпримеры в курсе высшей математики как средство развития критического мышления студентов 1Т-направлений. Самарский научный вестник. 2014. № 4(9). С. 30-33.
13. Энбом Е.А., Иванова В.А. Особенности формирования и развития исследовательской компетентности студентов в процессе изучения дисциплины «Высшая математика» в техническом вузе. Самарский научный вестник. 2015. № 1 (10). С. 140-144.
14. Балабаева Н. П., Энбом Е. А. Аспекты формирования исследовательской компетентности студентов академического бакалавриата инженерных профилей в процессе освоения курса математического анализа. Самарский научный вестник. 2014. № 4 (9). С. 25-30.
15. Энбом Е.А., Иванова В.А. Самостоятельная исследовательская деятельность студентов младших курсов как неотъемлемая часть учебно-воспитательного процесса, направленная на повышение качества подготовки бакалавров инженерного профиля. Самарский научный вестник. 2013. № 3 (4). С. 79-82.
16. Балабаева Н.П., Энбом Е.А. Научно-исследовательская работа студентов как важный и перспективный вид учебной деятельности, направленный на повышение качества подготовки бакалавров. Сборник научных трудов Sworld. 2013. Т. 18. № 3. С. 53-59.
17. Практикум по высшей математики для экономистов. Учебное пособие для вузов/ Кремер Н.Ш., Тришин И.М., Путко Б.А. и др.; Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ-ДАНА. 2005. 423 с.
18. Комарцов О.М., Коротков В.В., Сахаров
B.В. Проблемы преподавания в техническом вузе // Современные проблемы науки и образования: Электронный журнал. 2014. Выпуск 6.
19. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). СПб.: Издательство «Лань». 2005. 175 с.
20. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Том 2. Интегралы. Ряды: Учебное пособие / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. 504 с.
21. Путилова А.В. Компетентностный подход при проектировании образовательного процесса, как механизм повышения качества образования // Азимут научных исследований: педагогика и психология. 2013. № 4.
C. 53-56.
22. Гаврилова М.И., Одарич И.Н. Компетентностный подход в профессиональном образовании // Балтийский гуманитарный журнал. 2014. № 3. С.19-21.
23. Гущина О.М. Компетентностный подход в создании информационно-образовательной среды приобретения знаний с использованием электронных ресурсов // Балтийский гуманитарный журнал. 2015. № 2 (11). С. 49-52.
24. Таранцева К.Р., Моисеев В.Б., Пятирублевый Л.Г. Распределение заданий по уровню сложности и учебным целям при разработке компетентностного подхода к оцениванию знаний // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2015. Т. 3. № 6 (28). С. 161-165.
25. Митин А.Н. Компетентностный подход в обучении информационным технологиям с использованием электронных образовательных ресурсов // Балтийский гуманитарный журнал. 2014. № 4. С. 93-96._
0
0
26. Рыбакова М.В. Реализация компетентностного подхода в процессе отбора педагогического персонала образовательных учреждений // Азимут научных исследований: педагогика и психология. 2014. № 1. С. 61-66.
27. Аниськин В.Н., Куликова Е.В., Ярыгин А.Н. Интеграция модульно-рейтинговой системы и метода проектов в преподавании учебного курса «История математики» // Балтийский гуманитарный журнал. 2015. № 4 (13). С. 78-82.
28. Куликова Е.В. Опыт составления фондов оценочных средств по дисциплине «История математики» // Азимут научных исследований: педагогика и психология. 2015. № 4 (13). С. 53-57.
29. Энбом Е.А., Иванова В.А. Особенности формирования и развития исследовательской компетентности студентов в процессе изучения дисциплины «Высшая математика» в техническом вузе // Самарский научный вестник. 2015. № 1 (10). С. 140-144.
30. Кондаурова И.К., Гусева М.А. Формирование у будущих педагогов-математиков умений и навыков педагога-исследователя в контексте развития профессиональной биографии // Азимут научных исследований: педагогика и психология. 2014. № 4. С. 69-72.
31. Мерлина Н.И., Селиверстова Л.В., Ярдухина С.А. Балльно-рейтинговая система оценки качества успеваемости студентов // Балтийский гуманитарный журнал. 2015. № 3 (12). С. 58-61.
