CC BY
65
Bukusheva Aliya Vladimirovna
COMPUTER EXPERIMENT IN PRODUCTIVE ..
pedagogical sciences
УДК 378.147
КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В ПРОДУКТИВНОМ ОБУЧЕНИИ БУДУЩИХ БАКАЛАВРОВ
© 2017
Букушева Алия Владимировна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры «Геометрия» Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, (410012, Россия, Саратов, улица Астраханская, 83, e-mail: [email protected])
Аннотация. Современный период информатизации образования и развития геометрической науки определяет необходимость обновления и совершенствования методики обучения геометрии в вузе. Потребность в высоком уровне математической подготовки выпускников вузов, который позволит применять математические методы в их будущей профессиональной деятельности и который опирался бы на продуктивное использование информационно-коммуникационных технологий в процессе обучения математике в вузе, требует поиска и разработки эффективных методик освоения фундаментальных знаний. Переход на использование идей исследовательского обучения, а также использования средств и методов экспериментальной математики в обучении математики (и геометрии, в частности) как в школе, так и в вузе является общемировой тенденцией. В работе рассмотрена проблема построения методики обучения геометрии с элементами компьютерных исследований и экспериментов будущих бакалавров, обучающихся по направлению «Математика и компьютерные науки». Методологию исследования составляют анализ и обобщение результатов научных исследований отечественных и зарубежных ученых, посвященных обучению геометрии в высшем образовании на основе продуктивного, исследовательского и задачного подходов. Показана роль задачи как инварианта методического обеспечения обучения геометрии и изменения в её структуре в условиях использования компьютерных инструментальных средств. Описаны содержательные и организационные условия реализации экспериментально-исследовательского обучения геометрии, приведены примеры исследовательских задач по геометрии с разной степенью сложности.
Ключевые слова: высшее образование, бакалавриат, математика и компьютерные науки, исследовательское обучение, продуктивное обучение, экспериментальная математика, компьютерный эксперимент, обучение геометрии в вузе.
COMPUTER EXPERIMENT IN PRODUCTIVE TRAINING OF FUTURE BACHELORS
© 2017
Bukusheva Aliya Vladimirovna, candidate of pedagogical sciences, associate professor of the chair «Geometry» National Research Saratov State University named after G.N. Chernyshevsky (410012, Russia, Saratov, streetAstrahanskaja, 83, e-mail: [email protected])
Abstract. The modern period of informatization in education and science of Geometry determines the necessity of updating and improving the methods of teaching Geometry at the university. There is a need for a high level of mathematical training of graduates, which will allow to apply mathematical methods in their future professional activity and which would be based on the efficient use of information and communication technologies in teaching mathematics at the university. It requires the search and development of effective methods of mastering the fundamental knowledge. The transition to the usage of ideas in research training, as well as the use of tools and methods of experimental mathematics in the teaching of Mathematics (and Geometry, in particular) both at school and university, is a worldwide trend nowadays. The problem of constructing a technique for teaching Geometry with elements of computer research and experiments, future bachelors studying in the field of "Mathematics and Computer Science" is considered in this paper. The methodology of the research consists of the analysis and generalization of the scientific research results made by Russian and foreign scientists specialized in the sphere of teaching Geometry in the framework of higher education and based on productive, research and objective approaches. The role of the problem as an invariant of methodical support of teaching Geometry and changes in its structure in conditions of using computer tools are given. The content and organizational conditions for the implementation of the experimental and research trainings in Geometry are described, the examples of research problems in Geometry with various degrees of complexity are examined.
Keywords: higher education, bachelor's degree, mathematics and computer sciences, research training, productive training, experimental mathematics, computer experiment, teaching geometry in higher education.
Постановка проблемы в общем виде и ее связь с важными научными и практическими задачами. Компьютер и информационные технологии способствовали появлению новых областей научных исследований, имеющих важное значение, как для самой математики, так и для всех наук, связанных с ней. Компьютерные средства открыли новую эпоху в области приложений геометрии, являются полезным инструментом в геометрических исследованиях, позволяющим экспериментально обнаруживать новые геометрические факты. Геометрия получила новый толчок к развитию как образовательный предмет и как наука благодаря современным информационным технологиям. Поэтому требования к геометрической подготовке выпускников вузов выходят на качественно новый уровень.
Известно, что эксперимент является важнейшим средством научного познания. Во многих педагогических исследованиях теоретически обоснованно и экспериментально подтверждено, что экспериментально-исследовательская деятельность в обучении обладает большим развивающим потенциалом, обучающиеся лучше усваивают знания, открытые ими самостоятель-
но. Среди разделов математики наибольшим экспериментальным потенциалом обладает геометрия. Многие геометрические факты можно проверить опытным путем, а обучение провести в форме исследования с использованием компьютерного эксперимента. Под компьютерным экспериментом понимают манипулирование виртуальными моделями геометрических объектов, сопровождающееся либо сбором данных об изучаемых свойствах этих объектов с фиксацией их в электронной таблице, либо наблюдение за характером изменения этих свойств на экране компьютера (В.Н. Дубровский, С.Г. Иванов, И.С. Храповицкий, М.В. Шабанова, Г. Шуман и др.) [1-14].
Использование средств ИКТ позволяет изменить постановку многих математических задач, перенося акцент на конструктивную составляющую и придавая таким образом, социальную значимость учебной деятельности по математике [15]. С понятием социально значимого результата деятельности связано продуктивное обучение. Внутренним результатом являются качественные изменения в характере мыслительной деятельности обучающегося, внешним результатом - создание матери-
педагогические науки
Букушева Алия Владимировна КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ...
ального или информационного продукта деятельности. С позиции продуктивного подхода в обучении организационная структура образования может быть переориентирована с приоритетов трансляции знаний и контроля его формального усвоения на первичность создания условий для практико-ориентированной самостоятельной учебной деятельности, результаты которой закрепляются в конкретном социально значимом продукте (Е.А. Александрова, М.И. Башмаков, Н.Б. Крылова, С.Н. Поздняков, А.В. Хуторской и др.).
Анализ традиционных форм, методов и средств организации учебного процесса определяет необходимость разработки новых подходов к обучению, которые характеризуются качественными изменениями содержания, внедрением в образовательный процесс информационно-коммуникационных технологий. Необходимо совершенствовать методику обучения будущих бакалавров, ориентированную на развитие интеллектуального потенциала обучаемых, на формирование умений самостоятельно приобретать знания и осуществлять разнообразные виды исследовательской деятельности. Согласно «Концепции развития математического образования в Российской Федерации» одно из главных условий развития системы высшего образования - вовлеченность преподавателей и студентов в фундаментальные и прикладные исследования [16]. Одним из видов профессиональной деятельности выпускника по направлению 02.03.01 «Математика и компьютерные науки» является научно-исследовательский. В частности, в своей профессиональной деятельности бакалавр использует математические методы в научных исследованиях, применяет методы математического и алгоритмического моделирования при анализе прикладных проблем, должен обладать способностью к самостоятельной научно-исследовательской работе; решать задачи профессиональной деятельности с применением информационно-коммуникационных технологий.
Компьютерные средства и методы экспериментальной математики поставили перед теорией и методикой обучения математики задачу - разработать систему подготовки обучающихся к экспериментально-исследовательской деятельности в области математики.
Анализ последних исследований и публикаций, в которых рассматривались аспекты этой проблемы и на которых обосновывается автор; выделение неразрешенных раньше частей общей проблемы.
Смысл математического образования заключается не только в усвоении системы знаний по математике, методов математического исследования явлений природы, обоснования математических утверждений, но и в овладении методологией научного поиска, способности к творческой деятельности (Г.И. Саранцев, Л.Д. Кудрявцева, Д. Пойа и др.). Различные вопросы творческого (продуктивного) мышления при обучении математике рассмотрены в работах Г.А. Балла, Г.В. Дорофеева, Л.Д. Кудрявцева, Д. Пойа, М.В. Потоцкого, Л.М. Фридмана и др.
Анализ отечественного и зарубежного опыта использования компьютера в качестве одного из средств обучения геометрии показал, что в области информатизации геометрии как в школе, так и в вузе накоплен определенный опыт, получены глубокие результаты, имеющие теоретическое и практическое значение. Теория и методика использования информационно-коммуникационных технологий в процессе обучения математике рассматривались в работах В.И. Глизбург, В.А. Далингера, В.П. Дьяконова, Т.В. Капустиной, М.П. Лапчика, В.Р. Майера, Л.П. Мартиросян, И.В. Роберт, М.И. Рагулиной и др.
Компьютерные средства существенно расширили возможности ученых в экспериментировании с объектами математических исследований. Методы экспериментальной математики существенным образом меняют характер математического исследования, находят приме-
нение в обучении математике (С. Гроздев, С.Г. Иванов, В.Н. Дубровский, А.В. Середа, Т.Ф. Сергеева, В.И. Рыжик, И.С. Храповицкий, М.В. Шабанова, Г. Шуман, А.В. Ястребов и др.). Например, В.И. Арнольда в своих работах уделял много внимания экспериментальным методам в математике. Приведем знаменитое утверждение В.И. Арнольда: «Математика является экспериментальной наукой - частью теоретической физики и членом семейства естественных наук. ... Умение составлять адекватные математические модели реальных ситуаций должно составлять неотъемлемую часть математического образования. Успех приносит не столько применение готовых рецептов (жестких моделей), сколько математический подход к явлениям реального мира. » [17]. Мы вслед за авторами монографии [9], будем считать, что деятельность исследователя с объектами материального мира или их идеальными образами относится к области экспериментальной математики, если ее результатами являются гипотезы о свойствах математических объектов и/или математические предпонятия или понятия.
Изучение возможностей экспериментально-исследовательского подхода в продуктивном обучении студентов представляет актуальную проблему методики преподавания математики.
Впервые термин «продуктивное мышление» ввел немецкий математик и психолог М. Вертгеймер [18]. Термин «продуктивное обучение» (Productive Learning) был введен в работах М. Башмакова, И. Бем, Й. Шнайдера. В идее продуктивного обучения просматриваются два значимых смысла: ориентация на индивидуализацию обучения и расширение его потенциала за счет интегративного подхода к вопросам академического, общекультурного и профессионального образования; более широкое использование образовательных ресурсов окружающей социальной, экономической и культурной среды [19, С. 9].
Продуктивное обучение рассматривается как обучение, направленное на достижение качественных сдвигов в понимании предмета, взаимообусловленное изменениями в структуре деятельности обучаемого [2, С. 10-11]. Продуктивная учебная деятельность - это вид учебно-познавательной деятельности, характерной чертой которой является получение студентом объективно нового или субъективно нового результата (продукта) [19, С. 9]. Продуктивная учебная деятельность направлена не столько на изучение известного, сколько на приращение к нему нового, на сотворение студентами образовательного продукта. Основными признаками продуктивной учебной деятельности являются: выработка новых образцов действий, познавательных процедур, методов; получение результатов в виде новых продуктов, проектов; использование коллективных форм мыслительной деятельности; рефлексия деятельности и ее результатов [20].
Монография М.И. Башмакова [21] посвящена различным аспектам продуктивного обучения. В книгу включены статьи ученых, в которых рассматриваются теоретические вопросы и практический опыт реализации продуктивного обучения. В частности, реализована идея использования пучков задач для естественной связи школьных задач с вопросами высшей математики, в результате чего теоремы университетского курса предстают как следствия занимательных задач.
Анализу различных аспектов продуктивного обучения в образовательном процессе школы и вуза посвящены, в частности, следующие диссертационные исследования, выполненные в последние годы: продуктивный подход в обучении школьников решению нестандартных задач (Е.В. Губанова), формирование продуктивного педагогического мышления (М.Н. Гольдина), компьютерная поддержка решения математических задач как средство организации продуктивной деятельности учащихся (С.Г. Иванов), формирование умений продуктивной учебной деятельности у будущего инженера в процессе
Bukusheva Aliya Vladimirovna
COMPUTER EXPERIMENT IN PRODUCTIVE ..
pedagogical sciences
обучения физике (Е.А. Попкова), развитие продуктивного учебного взаимодействия в образовательном процессе вуза (В.Ф. Северина), математические задачи как средство развития качеств продуктивного мышления студентов (Ю.А. Семеняченко), формирование педагогической рефлексии методами продуктивного обучения (B.C. Умнов), организационно-педагогические условия реализации продуктивного обучения в подготовке будущих учителей технологии и предпринимательства (Д.Ю. Чупин) и др.
Поскольку в продуктивном обучении особо выделяется идея приобретения опыта в процессе решения задач, то возникает необходимость сочетать продуктивный и задачный подходы в условиях информатизации образования. В обучении математике задачный подход рассматривался в работах Г.А Клековкина, Ю.М. Колягина, Г.И. Саранцева, Л.М. Фридмана, И.Ф. Шарыгина, С.И. Шохора-Троцкого, П.М. Эрдниева и других ученых. Сущность задачи чаще всего понимается как цель мыслительной деятельности, в процессе которой идет поиск путей и средств её разрешения для получения познавательного результата. Решение задачи является сложным процессом мыслительной деятельности человека, направленным на преобразование предмета, описанного в содержании задачи, разрешение противоречия между условием и требованием задачи, получение познавательного результата. Языки программирования, пакеты прикладных программ являются одними из современных средств решения задач.
В продуктивном обучении особо выделяется идея приобретения опыта в процессе решения задач. Актуальной задачей методики обучения математике на современном этапе является перенос акцента на продуктивность деятельности обучающегося. Возникает проблема: можно ли изменить стандартные задачи так, чтобы умственная деятельность студента не заменялась компьютером, а использование компьютерных средств способствовало развитию интеллектуальных функций человека?
Формирование целей статьи (постановка задания). Цель статьи - продемонстрировать возможности компьютерного эксперимента как средства продуктивного обучения геометрии. Разработана методика обучения будущих бакалавров, обучающихся по направлению «Математика и компьютерные науки», решению исследовательских задач на основе продуктивного и задачно-го подходов.
Изложение основного материала исследования с полным обоснованием полученных научных результатов. Изучение психолого-педагогической литературы по проблеме исследования, практический опыт проведения занятий позволили выделить ряд существенных проблем геометрической подготовки будущих бакалавров-математиков на современном этапе: сокращение учебного времени на геометрические дисциплины; недостаточно высокий уровень продуктивности мыслительной деятельности будущих бакалавров в области геометрии; недостаточно высокий уровень развития у них пространственного мышления [22]. Решение указанных проблем предполагает совершенствование методики обучения геометрии, ориентированной на исследовательскую деятельность обучающихся.
При разработке методики экспериментально-исследовательского обучения учитывались особенности учебного процесса классических вузов: изучение основ наук, самой науки в развитии; сближение самостоятельной работы студентов с научно-исследовательской работой преподавателей; единство научного и учебного начала в деятельности преподавателя.
Использование средств информационных и коммуникационных технологий в процессе обучения геометрии направлено на достижение следующих педагогических целей: развитие личности обучаемого за счет приобщения его к экспериментально-исследовательской
деятельности, формирования познавательного интереса в условиях личностно ориентированного обучения математике с использованием средств ИКТ; приобщения обучаемых к использованию ИКТ как средства, совершенствующего учебную деятельность, и инструмента исследования; повышение качества процесса обучения математике; визуализации геометрических объектов и изучаемых математических закономерностей; расширения самостоятельной деятельности в условиях использования программных продуктов, электронных средств учебного назначения.
Целесообразность применения компьютерного эксперимента как средства исследовательской деятельности (продуктивного обучения) будущих бакалавров в области геометрии обусловлена следующим:
- компьютерный эксперимент является одним из средств реализации мотивационной направленности обучения геометрии в вузе. Интерактивный характер взаимодействия с пакетом прикладных программ в процессе решения геометрической задачи, визуализация исследуемых объектов дают возможность стимулировать познавательную активность обучающегося, приобщать будущего бакалавра к экспериментально-исследовательской деятельности.
- компьютерный эксперимент является инструментом исследования, позволяющим проверять гипотезы, уточнять факты, выделять закономерности и формулировать утверждения. В условиях применения компьютерного исследования деятельность студента во внешнем плане (проведение компьютерного эксперимента) сопровождается формированием адекватных результатов деятельности во внутреннем плане (мыслительных действий).
Методика организации экспериментально-исследовательской (продуктивной) деятельности будущих бакалавров в области геометрии реализуется посредством:
- отбора содержания обучения с учетом следующих требований: возможность развития познавательного интереса к изучению геометрии; возможность развития логического и образного мышления; возможность применения исследовательского метода в процессе решения геометрических задач;
- выбора формы организации учебной деятельности будущих бакалавров; на основе деятельностного подхода таковыми выступают лабораторной практикум по решению геометрических задач, самостоятельная работа в рамках учебных дисциплин, при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ;
- выбора продуктивных (проблемный, поисковый, исследовательский) методов обучения;
- раскрытия содержания деятельности преподавателя и студентов в учебном процессе.
Мы придерживаемся уровневой модели исследовательского обучения, разработанной Х. Банчи, Р. Белл [23]:
I уровень (Confirmation Inquiry). Обучающиеся проверяют истинность известных результатов исследований, предъявленных преподавателем в готовом виде.
II уровень (Structured Inquiry). Обучающиеся решают исследовательскую задачу, поставленную преподавателем, по строго намеченному им плану. Преподаватель находится в роли научного руководителя.
III уровень (Guided Inquiry). Преподаватель ставит перед обучающимися исследовательскую задачу. При этом обучающиеся сами планируют исследование, определяют порядок работ, а затем сообщают о полученных результатах, защищают их.
IV уровень (Open Inquiry). Обучающиеся сами формулируют исследовательские вопросы, реализуют исследовательские процедуры, делают отчёт о своих результатах.
Известно, что если обучающиеся внесли свой вклад в постановку задачи, то они будут гораздо активнее работать над ее решением. Экспериментально-
педагогические науки
Букушева Алия Владимировна КОМПЬЮТЕРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ ...
исследовательская деятельность в обучении обладает большим развивающим потенциалом [5, 9, 24]. Теоретически обоснованно и экспериментально подтверждено положение о том, факты открытые обучающимися самостоятельно усваиваются ими значительно лучше, чем преподнесенные преподавателем в готовом виде. В процессе проведения компьютерного исследования обучающийся обнаруживает закономерности, которые не являлись очевидными до эксперимента.
Экспериментально-исследовательский подход к изучению математики в вузе реализуется нами на занятиях по компьютерной геометрии. В подготовке бакалавров по направлению «Математика и компьютерные науки» дисциплину «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование» можно считать связующим звеном между другими математическими дисциплинами, входящими в учебный план. Так, в частности, в процессе изучения компьютерной геометрии у студента появляется возможность использовать уже сформированные интуитивные представления о реальных образах геометрических объектов; использование пакетов прикладных программ делает возможным визуализацию математических объектов; экспериментальные исследования в геометрии способствуют развитию образного мышления студентов; использование компьютерных средств в изучении геометрии позволяет студенту осознать междисциплинарный характер математики вообще и геометрии в частности.
Разрабатывать содержание лабораторных занятий целесообразно через систему задач или, другими словами, через реализацию задачного подхода. Известно, что важнейшим видом учебной деятельности является решение задач. Задачный подход представляет собой деятельность субъектов образовательного процесса, предполагающую применение системы разнообразных задач и их решений, т.е. выделение на каждом этапе не только определенных систем задач, но и систем, обеспечивающих успешность их решения. Польский математик М. Клякля рассматривал многоэтапные математические задания для формирования творческой математической деятельности учащихся Польши в школах с углублённым изучением математики. В.С. Секованов исследовал многоэтапные математико-информационные задания, направленные на формирование креативности студентов физико-математических специальностей при обучении фрактальной геометрии [25]. При выполнении многоэтапного математико-информационного задания студентам предоставляется возможность быть в роли математика-исследователя, математика-прикладника, программиста. Такой подход дает возможность организовывать творческую (продуктивную) математическую деятельность студентов.
Приведем пример задач по аналитической геометрии, для решения которых можно использовать возможности интерактивной геометрической среды GeoGebra. Экспериментально проверить и доказать утверждения: 1) касательные к гиперболе образуют с асимптотами равновеликие треугольники; 2) отрезок любой касательной гиперболы, заключенный между асимптотами, делится в точке касания пополам. Для проведения компьютерного эксперимента на графическом полотне GeoGebra в соответствии с условием задачи построим гиперболу, асимптоты, касательную в произвольной точке. Перемещая точку по гиперболе, будет видно, что площадь треугольника остается постоянной. Отсюда следует гипотеза: касательные к гиперболе образуют с асимптотами равновеликие треугольники. Далее обучающимся нужно теоретически обосновать полученные предположения. Эти задачи относятся к I уровню, т.е. студенты проверяют истинность известных результатов исследований. На основе решенной задачи преподаватель в беседе со студентами выделяет состав приема целеполагания: 1) выдвижение гипотезы, 2) составление плана проверки гипотезы, 3) деление задачи на подзадачи (этапы реали-
зации плана). На евклидовой плоскости (в пространстве) также можно привести много других подобных задач. Приведенные задачи по аналитической геометрии могут быть использованы для организации компьютерного исследования при проведении лабораторных работ по аналитической геометрии (если данный вид занятий предусмотрен рабочей программой дисциплины); в рамках внеаудиторной самостоятельной работы. Используя, прикладные программы студенты могут самостоятельно обнаруживать закономерности между геометрическими объектами. В научной литературе можно найти примеры, демонстрирующие эффективность экспериментальных методов в решении математических задач. Например, авторы статей [26, 27] для формулирования гипотез, связанных с чевианами треугольника и коническими сечениями, проходящими через основания этих чевиан или через иные точки, и их экспериментальной проверки использовали возможности среды GeoGebra.
Решение задач дифференциальной геометрии (кривых и поверхностей в евклидовом пространстве) с использованием прикладных программ больше соответствует III уровню (Structured Inquiry). Это могут задачи построения геодезических на поверхностях вращения, изучения замкнутых геодезических на выпуклых многогранниках и др. Примеры разноуровневых учебно-исследовательская задач по геометрии приведены в указанной статье [28]. Для проведения лабораторных занятий, организации самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы студентов, а также подготовки к текущему контролю и промежуточной аттестации нами был разработан электронный образовательный курс на базе LMS Moodle [29]. Принципы методической системы обучения дисциплины «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование» рассмотрены в статье [30].
Выводы исследования и перспективы дальнейших изысканий данного направления. Математика в процессе своего становления была наукой экспериментальной и до настоящего времени сохранила оба свои начала, теоретическое и экспериментальное. Поэтому в процесс обучения математике желательно включать математические (компьютерные) эксперименты.
Использование компьютерных исследований и экспериментов в обучении математике в высших учебных заведениях позволяет: совершенствовать содержание учебных дисциплин; увеличивать число задач и упражнений для самостоятельного решения; вырабатывать практические навыки проведения математических рассуждений; моделировать и иллюстрировать изучаемые понятия и объекты, что даст возможность глубже исследовать отдельные темы и повысить интерес к дисциплине в целом; вывести на принципиально новый уровень научную работу студентов по математике. Применение компьютерных инструментов может повлиять не только на методы обучения, но и на содержание учебных дисциплин.
Компьютерные исследования и эксперименты все чаще используются в обучении математике, при этом в исследованиях, посвященных использованию интерактивных математических сред в учебном процессе, отмечается ряд негативных моментов [31]. Одно из них состоит в том, что в сознании учащихся возникает так называемый «экспериментально-теоретический разрыв», который состоит в том, что у учащихся снижается мотивация к дедуктивным доказательствам, падает интерес к теоретическому поиску. Это означает, что использование экспериментально-исследовательского метода в обучении математике как в школе, так и в вузе требует вдумчивого педагогического анализа. Преподавателю также необходимо формулировать исследовательские задачи так, чтобы умственная деятельность обучающегося не заменялась компьютером. Как отмечает О.А. Иванов, «...после того, как на экране компьютера появился ответ, вот тогда-то и начинается решение зада-
Bukusheva Aliya Vladimirovna pedagogical
COMPUTER EXPERIMENT IN PRODUCTIVE ... sciences
чи» [32, С. 13], т.е. использование пакетов прикладных программ в учебном процессе должно способствовать интеллектуальному развитию обучающегося.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Дубровский В.Н. Стереометрия с компьютером // Компьютерные инструменты в образовании. 2003. № 6. С. 3-11.
2. Иванов С.Г., Поздняков С.Н. Компьютер в продуктивном обучении математике // Компьютерные инструменты в образовании. 2003. №5. С.10-20.
3. Лямов А.Г., Поздняков С.Н., Прокопенко Н.Ю. Компьютерный эксперимент в обучении математике // Компьютерные инструменты в образовании. 2006. №1. С.27-35.
4. Нодельман В.С. Компьютер как средство обучения математике // Компьютерные инструменты в школе. 2009. №1. С.4-13.
5. Попова М.А., Шабанова М.В., Форкунова Л.В. и др. Экспериментальная математика. Архангельск: Изд-во ГАОУ Архангельский областной институт открытого образования, 2017. 184 с.
6. Рыжик В.И. Компьютер. Смена парадигмы? // Образовательные технологии и общество. 2010. Т. 13. №3. С. 317-331.
7. Храповицкий И.С. Эвристический полигон для геометрии // Компьютерные инструменты в образовании. 2003. № 1. С. 15-26.
8. Шабанова М.В., Ширикова Т.С. Компьютерный эксперимент в системе методов работы с теоремой // Современные проблемы науки и образования. 2013. №2. С. 310-323.
9. Шабанова М.В., Овчинникова Р.П., Ястребов А.В. и др. Экспериментальная математика в школе. Исследовательское обучение: коллективная монография. М.: Издательский дом Академии Естествознания, 2016. 300 с.
10. Шуман Г. Компьютерный метод исследования функциональных зависимостей в геометрических фигурах // Компьютерные инструменты в образовании. 2001. № 2. С.68-74.
11. Балабаева Н.П., Энбом Е.А. Основные аспекты преподавания аналитической геометрии в техническом университете с учетом требований федерального образовательного стандарта третьего поколения // Карельский научный журнал. 2016. Т. 5. № 1 (14). С. 11-16.
12. Таланова М.Б. Особенности преподавания инженерной и компьютерной графики // Балтийский гуманитарный журнал. 2015. № 1 (10). С. 146-148.
13. Привалов И.И. Компьютерная технология решения задач начертательной геометрии // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2013. № 12 (16). С. 120-124.
14. Евелина Л.Н. Об основных способах реализации прикладной направленности школьного курса геометрии // Самарский научный вестник. 2013. № 3 (4). С. 37-38.
15. Иванов С.Г. Компьютерная поддержка решения математических задач как средство организации продуктивной деятельности учащихся: дисс. канд. пед. наук 13.00.02. М., 2004. 153 с.
16. Концепция развития математического образования в РФ // Министерство образования и науки Российской Федерации [Электронный ресурс]. URL: ми-нобрнауки.рф/документы/3894 (дата обращения: 01.12. 2017).
17. Арнольд В.И. Математика и математическое образование в современном мире // Матем. обр.. 1997. Вып. 2. С. 109-112.
18. Вертгеймер М. Продуктивное мышление: пер. с англ., общ. ред. С.Ф. Габова, В.П.Зинченко. М.: Прогресс, 1987. 333 с.
19. Башмаков М.И. Что такое продуктивное обучение? // Школьные технологии. 2000. № 4. С. 1-12.
20. Попкова Е.А. Формирование умений продуктивной учебной деятельности у будущего инженера в 38
цессе обучения физике: автореф. дисс. ...канд. пед. наук. Киров, 2009. 22 с.
21. Башмаков М. И. Теория и практика продуктивного обучения. М.: Народное образование, 2000. 248 с.
22. Жук Л.В. Активизация мыслительной деятельности будущих учителей математики в области геометрии средствами компьютерного моделирования: автореф. дис. ... канд. пед. наук. Елец, 2007. 24 с.
23. Banchi H., Bell R. The Many Levels of Inquiry // Science and Children. 2008. 46(2). pp. 26-29.
24. Ястребов А.В. Обучение математике в вузе как модель научных исследований. Ярославль: РИО ЯГПУ, 2017. 306 с.
25. Секованов В.С., Ивков В.А., Пигузов А.А., Фатеев А.С. Выполнение многоэтапного математико-информационного задания «Построение фрактальных множеств с помощью L-систем и информационных технологий» как средство развития креативности студентов // Современные информационные технологии и ИТ-образование.2016. Т. 12. №3-1. С.118-125.
26. Есаян А.Р., Якушин А.В. Экспериментальное обоснование гипотез в GeoGebra // Чебышевский сб.. 2017. Т.18. Вып.1. С. 92-108.
27. Есаян А.Р., Якушин А.В. Компьютерное доказательство гипотезы о центроидах // Чебышевский сб.. 2017. Т.18. Вып.1. C. 73-91.
28. Букушева А.В. Организация самостоятельной работы студентов при изучении компьютерной геометрии в LMS MOODLE // Азимут научных исследований: педагогика и психология. 2016. Т. 5. № 3 (16). С. 30-34.
29. Букушева А.В. Принципы методической системы обучения компьютерной геометрии // Балтийский гуманитарный журнал. 2016. Т. 5. № 3(16) С. 95-98.
30. Букушева А.В. Учебно-исследовательские задачи в продуктивном обучении будущих бакалавров-математиков // Образовательные технологии. 2016. №2. С. 16-26.
31. Ларин С.В., Майер В.Р. К проблеме «экспериментально-теоретического» при обучении математике // Вестник Красноярского государственного педагогического университета им. В.П. Астафьева. 2015. №3(33). С. 21-24.
32. Иванов О.А. Элементарная математика для школьников, преподавателей и студентов. М.: МЦНМО, 2009. 384 с.
Статья поступила в редакцию 11.11.2017
Статья принята к публикации 25.12.2017
