CC BY
33
2004 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10 Вып. 2
ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
УДК 517.97
О. И. Дривотин, Д. А. Овсянников
САМОСОГЛАСОВАННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. II*)
Интегралы движения частиц для продольно-неоднородного пучка. Как и
в ч. I**), рассмотрим аксиально-симметричный стационарный пучок заряженных частиц в стационарном, но теперь уже неоднородном вдоль оси пучка продольном магнитном поле. Кроме того, будем также допускать, что продольная скорость частиц может меняться вдоль оси пучка в результате действия на частицы внешнего электрического поля, создаваемого, например, электростатическими линзами.
Изменения магнитного поля и продольной скорости частиц вдоль оси пучка приводят к тому,- что пучок уже не будет однородным в продольном направлении, в частности радиус его поперечного сечения будет также меняться вдоль оси пучка: R = R[z). Предположим, что существенные изменения радиуса поперечного сечения пучка й продольной скорости частиц происходят только на расстояниях, значительно больших R. Кроме того, будем считать, что потенциал электрического поля U(r) меняется существенно быстрее при изменении координаты г, чем координаты z. При этом четырехмерный векторный потенциал собственного поля пучка можно задавать в виде A = (-U(r,z)/c,0,0,/3U(r,z)/c).
Пренебрегая второй производной потенциала U по г, которая в данном случае мала, по сравнению с производной по г, уравнение Пуассона для потенциала собственного электрического поля пучка U (r, z) запишем следующим образом:
г от от г о
Краевые условия для уравнения (1) возьмем в виде
U{a) = 0„ dU/dr\r~Q = 0, (2)
где а - апертура канала.
Будем считать, что продольная компонента внешнего электрического поля Ег и продольная компонента внешнего магнитного поля В2 не зависят от координат г и <р, т.е. однородны по сечению пучка. Тогда
Р г дЕ>
2 dz
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-01-00726).
**) См.: В'естн. С'.-Нетерб. ун-та. Сер. 10. 2004. Вып. 1. С. 3-15. © О. И. Дривотин, Д. А. Овсянников, 2004
Для продольного магнитного поля, однородного в поперечном сечении Пучка, но изменяющегося вдоль оси г, компоненты магнитного потенциала можно взять в виде A0 = Ar = Az= О, Av = Bz{z)r2/2. '
В качестве уравнений динамики частицы рассмотрим уравнения
dpi / к \ j d{AjUj)
' 1 рки3 = e———, w;
s l^'j
(¿8 \ ц ] дх1
в которых независимой переменной является интервал з, отсчитываемый вдоль траектории движения частицы, р,-, и^ - компоненты четырехмерных импульса и скорости частицы. Уравнение азимутального движений имеет вид
& = <>• №
Таким образом, получаем первый интеграл уравнения (4)
М = г2{<р' + ы о), (5)
где и>о — еВг(г)/2тс; М - постоянная, равная р^/гас; штрих обозначает дифференцирование по 5. Здесь параметры шо и М отличаются от аналогичных величин, введенных в ч. I для продольно-однородного пучка, множителем у/с.
Преобразуя уравнение (3) для радиальной компоненты импульса, с учетом того, что рг — (тс)с?г/Й5, (р' — —шо + М/т2, выводим уравнение радиального движения в виде
сРг 2 М2 е ди ду)
— = -и^Г + —г-------Т^-д-) (6)
йв2 г3 тгус2 дг дг
здесь-го = еЕг/2тс2.
Преобразуя уравнение (3) для продольной компоненты импульса с учетом того, что и0 = 7, и? = ¿(р/д.З) дАо/дг = Ег./с, дА^/дг = (т2/2)дВг/дг, и пренебрегая вкладом,
обусловленным продольным действием собственного поля пучка, имеем
- | ег2 дВ*
¿з с 2 дг ¿з'
Учитывая, что р2 = гпс(3у, поскольку поперечное движение считаем нерелятивистским, запишем уравнение продольного движения следующим образом:
^ = + о
¿в 72 73 ¿г
Присутствие в правой части второго члена, зависящего от г и <р', приводит к перемешиванию частиц по продольным скоростям: частицы, имеющие в некоторый момент одинаковые продольную скорость /Зс и продольную координату г, в дальнейшем обладают уже различными продольными скоростями. В такой ситуации уже нельзя приписывать всем частицам каждого бесконечно тонкого слоя, ортогонального оси пучка, одинаковую скорость. Но если разности продольных координат частиц данного слоя, приобретенные за период радиальных колебаний в результате действия рассматриваемого члена, много меньше радиуса поперечного сечения Я, то можно считать, что
частицы продолжают оставаться в том же слое, а их продольные скорости одинаковы. Оценка соответствующих величин приводит к условию, при выполнении которого второй член в уравнении (7) можно не учитывать:
о
Далее будем считать, что условие (8) выполнено, и рассмотрим, как и прежде, распределения частиц, характеризующиеся одинаковыми значениями продольной скорости 0{г)с в каждом из его сечений.
Будем искать такие распределения частиц, для которых плотность частиц в конфигурационном пространстве д(г, г) постоянна по сечению пучка:
0о(*)» г<Я(г), О, V > Д(г).
При этом оо(г) = 1/{тгЛ(г)2е(3(г)с), где 1 - ток пучка, предполагаемый независящим от х и равный числу частиц, прошедших через любое поперечное сечение пучка за единицу времени: </ = ¿N/¿1.
С учетом условий (2) решение уравнения (1) для таких распределений имеет вид
и(г,г) = + ад = + ад. (9)
Подставляя (9) в уравнение (б), запишем уравнение радиального движения частицы:
<Рт . М2 , „>
^ = + <10>
Здесь и. = +.,£,. А = Л =
Перед тем, как перейти к распределениям частиц, рассмотрим интегралы их движения. Один интеграл, М, задаваемый соотношением (5), мы уже получили. Найдем теперь еще один интеграл, используя уравнение (10). В ч. I статьи рассматривалась величина Н, задаваемая выражением (5). Для пучка, однородного в продольном направлении, Н является интегралом движения. Но в рассматриваемом здесь случае аналогичная величина
Я = + + (11)
уже не является интегралом, что можно увидеть, дифференцируя правую часть равенства (11).
Сформулируем условия, при которых существует другой интеграл движения. Предположим, что огибающая пучка Л(г) определяется только частицами с М — 0 (позже увидим, что для рассматриваемых нами распределений это выполняется). Для таких частиц уравнение радиального движения линейно:
Х' = АХ, (12)
где
о>
Будем считать, что при прохождении начального сечения г — г® в момент времени, соответствующий в = 0, частицы заполняют эллипс:
Тогда при z > zq они будут заполнять эллипсы:
Х*ВХ < 1,
где В — F*~1BqF~1 и F - матрицант системы (12). /
Нетрудно показать, что R2 - первый диагональный элемент матрицы В'1 :
Учитывая дифференциальные уравнения для элементов матрицы F : Fu и F12, можно получить уравнение для огибающей пучка [1-3]
я" = -ш2Я + 4Г. (13)
4 R '
или
»//_ „2п , A agcg dw
Систему уравнений (10)'и (13) можно свести к системе Ермакова [4, 5], если переменную и>, которая зависит от г (s) и R(s), рассматривать как функцию только ¿7
Используя выражение для интеграла системы' Ермакова [5], можно получить, что величина
r / rffM2 , MW ОрСрГ2 _dg 2 M2 , О 2 о
1==(Дг -гЛ) +-^+а0с0д (15)
является интегралом движения. Здесь g = r/R, dr = ds/R2. Другой интеграл движения M можно записать в виде
Заметим, что в случае M — 0, w = a;(s) интеграл (15) совпадает с хорошо известным инвариантом Куранта-Снайдера [6].
Найдем такое множество Ûi в пространстве переменных M, I, что условие g < 1, Vt > <0 выполнено для всех частиц. Из (15) следует, что
/ < М2 + а20с20. (16)
Кроме того,
М2
I > + а2с\д2) = 2a0co|Af
Исключая частицы на нижней границе множества, получаем, что
1>2\М\а0с0. (17)
Множество fii, определенное условиями (16), (17) показано на рис. 1. Аналогичное Множество ¡Пд для пучка, однородного вдоль своей продольной оси, рассматривалось в ч. I статьи.
Рис. 1. Множество fix.
1 - верхняя граница множества fij.: I — JVf2 + <1qCq\ z — нижняя граница QV I = 2ooco|Af|.
Если частицы пучка заполняют множество , то предположение, что огибающая пучка определяется только частицами с М = 0; соответствует действительности. Это вытекает из условия q < 1 или г < R, которое и задает множество Qi,
Рассмотрим также множество 0(g) таких Ми/, что частицы, обладающие ими, проходят через точку с координатой q (рис. 2).
Рис. 2. Множество
Границы изображены жирными линиями, границы множества - тонкими.
Прежде всего заметим, что
1>К + а1с1ч2. (18)
Если неравенство (18) выполнено, то I—М2 2—аде2!?2 > 0, и частицы могут двигаться в точке с таким д. Кроме того, имеем неравенство (16), ограничивающее / при данной величине М.
Равномерные распределения для продольно-неоднородного пучка. Будем рассматривать распределение частиц некоторого бесконечно тонкого слоя, движущегося вдоль оси г со скоростью /3(г)с. Этот слой ограничен двумя параллельными бесконечно близкими плоскостями, движущимися вдоль оси г „с той же самой скоростью.
Внутри каждого такого слоя плотность частиц меняется по мере его продвижения вдоль пучка. Стационарность пучка может быть обеспечена независимостью от времени распределения частиц в некотором его сечении, например в сечении г = го, которое будем называть начальным. Другими словами, все слои, проходящие через начальное сечение в разные моменты времени, должны иметь в момент прохождения сечения г — го одно и, то же распределение частиц. При выполнении этого условия распределение частиц для всего пучка в целом может быть получено, если проследить за эволюцией распределения частиц одного слоя, поскольку в разные моменты времени слой проходит последовательно через все сечения пучка. - Будем считать, что такое условие выполнено. ,
. При этом все плотности определены с точностью до некоторого нормировочного множителя, зависящего от толщины рассматриваемого слоя. Выберем данный множитель так, чтобы плотность в двумерном конфигурационном пространстве для частиц анализируемого сдоя совпадала бы с плотностью частиц в трехмерном конфигурационном пространстве в начальном сечении пучка (т.е. при г — 2о). В других сечениях (г ф го) такого совпадения у&е не будет, поскольку и толщина слоя, и радиус поперечного сечения будут изменяться при движении слоя вдоль оси пучка.
Рассмотрим фазовую плотность в четырехмерном фазовом пространстве поперечных положений и скоростей п = £>АГ/Х)(ж, у, х', г/), где х,у - поперечные декартовы координаты. Предположим, что фазовая плотность п зависит только от М и /:
п = п(М{г, <р'),1(г, *•',*>'))»
где п(М, /) обозначает некоторую, функцию М и I". Отображение (г, г', <р, <р') н-> (М, /) имеет ранг 2. Это означает, что каждой допустимой паре значений Ми/ могут быть поставлены в соответствие точки в четырехмерном фазовом пространстве, образующие, вообще говоря, некоторое двумерное многообразие: во-первых, траектории, соответствующие одним и тем же М и /, могут отличаться друг от друга углом поворота относительно оси пучка, и, во-вторых, точки, лежащие на таких траекториях, могут отличаться друг от друга по фазам. Будем считать, как и для продольно-однородного пучка, что частицы равномерно распределены по траекториям, отвечающим одной и той же паре Ми/и переводимых друг в друга поворотом (это приводит к аксиальной симметрии всего распределения), а также что частицы равномерно распределены по фазам траекторий. При этих условиях задание функции п(М, /) однозначно определяет некоторое стационарное аксиально-симметричное и равномерное по поперечному сечению распределение. Кроме того, в данном случае можно также ввести плотность распределения частиц в пространстве интегралов Ми/: /(М, /) = /?/У//)(М, /). Далее получим соотношения, связывающие п(М,/) и /(М, /).
Простейшее из распределений, с которого мы начнем, аналогично потоку Бриллюэна. Зададим /(М,/) в виде /(М,/) = /), где ¿(М,1) обозначает ¿-функцию по
отношению к переменным М, /. Это означает, что все частицы обладают одними и теми же значениями интегралов Ми/: М = 0, / = 0.
В силу (15) q' = 0, со = 0, а уравнение для огибающей пучка запишем так:
*- =-«?*(19)
В отличие от бриллюэновского потока все частицы могут двигаться в радиальном направлении, но так, чтобы их нормированная радиальная координата q все время оставалась бы постоянной для каждой частицы. При этом плотность частиц в конфигурационном пространстве равна Qo(z) = J/7rR(z)2e{3(z)c. Тогда, нормируя, как указано выше, получим /в = J/e{3(z0)c.
Если «о = const, w = О, R = const, то, приравнивая правую часть уравнения (19) нулю, можно найти радиус такого пучка: R2 = 2mJ/-K£0eB2/3^c, откуда следует, что плотность такого потока есть также постоянная величина, равная плотности бриллюэновского потока ев- Таким образом, поток Бриллюэна есть частный случай распределения, характеризуемого интегралами М •= 0, / — 0 для всех частиц. Поэтому рассматриваемое распределение можно называть обобщенным потоком Бриллюэна.
Перед тем как перейти к другим распределениям, выпишем некоторые соотношения, которым удовлетворяют плотности. Будем рассматривать распределения, когда допустимым парам значений М, I соответствуют траектории с изменяющимся q (в отличие от обобщенного потока Бриллюэна). Имеем.
DN J DN _ DN д(д ,ф)
D(q,M,I) J a<PD(q,4>,M,I) ~ D(q, ф) d(M,I)' о
2тг DN _ 2тг 1 DN _ ~ я2\4\ &(д,<р,я,Ф) ~ q2\Q\R* D{q,<p,q',<p') ~
■ _ 2тг 1 DN д{х,у,х',у') 2тг
(точка обозначает дифференцирование по переменной т). , Учитывая равенство (20), получим . .
так как
(20)
Ят*х(М,1)
/ПМ
¿1 = *3п(М, /)/«осо, (21)
9тт(ЛГ,/)
J <1д/\(]\ = 7г/2а0С0.
9т 1п(М,1)
Рассмотрим плотность частиц в пространстве с координатами х/Д, y/Rí которую обозначим через д. Выражая ее через /(М,/), имеем
_ ч Р? Г БЫ R Г п(М, I) йМ в.1
д(я) = -— / ——-—¿М(И=-~ / ——-• (22)
2тгг У £>(г, М, I) т ] |д| v ;
п9 Й(д)
Подставляя в (22) п(М,1) из (21) и учитывая (15), находим
х _ ^0£0 [ Г(М,1)ЛМ<И
Щд)
В выражении (23) исключаем частицы, для которых д' = 0 в соответствии с (17). Учет их требует дополнительного члена в выражении (23).
Сравнивая формулу (23) с аналогичным выражением для продольно-однородного пучКа,' можно видеть, что они имеют одинаковую структуру, но отличаются входящими величинами: переменная г заменена на § в (23), Н на I и ш на произведение аоСо-Кроме того, множество перейдет в множество а множество П(г) в множество П(д), если заменить Л на 1. Поэтому можно ожидать, что для каждого распределения, описанного в ч. I статьи, существует аналогичное распределение и для продольно-неоднородного пучка.
Возьмем /(М, I) в виде плотности простого слоя по отношению к переменной I на отрезке, принадлежащем множеству П]. в смысле, указанном ранее:
ДМ, I) = /о8(1 - 10{к) + кМ), (24)
где /о > 0; (М,1) € Г^; 10(к) = а§с§ - к2/4. Подставляя (24) в (23), имеем
-( \ - a°Cofo f H* ~Io{k) + kM)dMdI т~ rr2q J (1-М2/д2-а2с2д2)У2
- a°c°f° f Tr2q J
m-i
dM a0c0fo _
— -= £»o- (25)
(.Io + kM — M2 jq2 - alclq2)1/2 тг
M1
Здесь Mi и M2 определяются из условия, что подкоренное выражение в подынтегральном выражении обращается в нуль:
Мг,2 = W ± (k2q*/4 + W - а2с2оЯу/2.
Следовательно, для распределения (24) плотность частиц постоянна по сечению пучка и потому это есть решение задачи. Видно, что (25) переходит в соответствующее выражение для продольно-однородного пучка при указанных выше преобразованиях. Учитывая, что J = 7rR2(zo)g(zo)e/3(zo)c, находим
ро = R2(zo)qo(zo) = J/ire(3{z0)c, (26)
так что
/о = J/e(3(zo)caoco. (27)
Соотношение (27) можно использовать для определения параметра Л, входящего в уравнение для огибающей (14) по заданному foi
J 1 eff(z0)ca0c0/0
х-т0-щ~ m • - (28)
Заметим, что для распределения (24), в отличие от соответствующего распределения для продольно-однородного пучка, увеличение параметра /о имеет несколько другой смысл, поскольку означает возрастание тока пучка при условии, что 0(го), ао, со фиксированы.
Можно показать, что носитель плотности распределения (24) - отрезок прямой, касательный к верхней границе множества Он ограничен линиями I = ±2аоСоМ (см. отрезок А'В' на рис. 1). Если к = 0, этот.отрезок параллелен оси М (см. отрезок АВ на рис. 1). Если Я, и0 постоянны, а ги = 0, то распределение (24) при к = О есть распределение Капчинского-Владимирского для пучка с постоянным радиусом К. Поэтому распределение (24) при к = 0 можно называть обобщенным распределением Капчинского-В ладимирского.
Кроме того, каждая линейная комбинация распределений (24) также будет однородна по сечению пучка:
/(Ж, I) = £ Iк8{1 - 10(к) - кМ), Д > О,
кек
где К - некоторое числовое множество, К С (—2аоСо, 2аоСо), или
2а0С0
/(М, I) = I ¡{к)6(1 - 1о{к) - Ш) ак, /(к) > 0. (29)
— 2ао<?о
Здесь /к в первом случае или /(к) во втором - такие функции, определенные на дискретном множестве К или на интервале (—2аоСо, 2аоСо), что
2аосо
йк
£л> / да
-2а0с0
существуют соответственно. Нетрудно показать, что
2аоСо
ОоСо
во =
* -¿со
в.первом и во втором случаях соответственно.
Выполняя преобразования, аналогичные соответствующим преобразованиям для продольно-однородного пучка, плотность для распределения (29) можно записать также в виде
/(м л - + f{k^
где кх,г - угловые коэффициенты прямых, проходящих через точку с данными М,1 и касательных к верхней границе множества Oi - параболе I = М2 + «qCq. Простейшее из распределений вида (29) получим, если взять f(k) = const. Учитывая условие (30), имеем
1 2a2Cg (М2 — / — osqCO) /2 V ;
Для определения параметра А, входящего в уравнение для огибающей, по-прежнему можно использовать соотношения (26), (28).
Другой способ искать равномерные самосогласованные распределения - рассматривать равенство (23) как интегральное уравнение для плотности распределения:
во
apeo С ДМ, Г) dMdl
Ttq ! {I-M^ ñ(9)
Преобразуя уравнение (32) аналогично соответствующему преобразованию для пучка с постоянным радиусом поперечного сечения, получим интегральное уравнение
2тг 1 -
F(ycos(a - *),уcos(a + da = ^ (33)
¿Я
о о
Здесь
(1 _ 2,2)1/2
F\b>b) ~ { < h<k2,
к\,2 = 2(М ± (М2 — I + Qoco)1//2) и ^ = arceos д. Это есть интегральное уравнение для функции двух аргументов F(ki, к2), которые зависят от q. Задача состоит в нахождении такой функции F(ki,k2), чтобы результат интегрирования не зависел бы от q. Любое неотрицательное решение (33), удовлетворяющее условию
F{k1,k2) = F(k2,k1), i
соответствует некоторому самосогласованному распределению.
Простейший случай состоит в том, что F(k\, k-¿) = const. Он уже рассматривался и отвечает распределению (31).
Другие решения можно искать в виде ряда
ОО со
F(s,*) =
т=0 п=0
или полинома, как об этом говорилось для пучка с постоянным радиусом поперечного сечения. Например, если искать решение уравнения (33) как полином третьей степени, получим -
_ -с (I - ogcgxioМ2 - 5/ + 244) + до А ' (М2-/ + а2с2)1/2
Постоянные величины с я до должны быть таковы, чтобы f(M,I) > 0 для (М, I) 6 Í1. Значения F{k\,k2) могут быть как угодно велики. В этом случае значение J неограниченно возрастает, а, следовательно, величина Л соответствующим образом увеличивается, и радиус поперечного сечения пучка R{z) будет вести себя в соответствии с уравнением огибающей с большими значениями Л.
Заключение. Итак, в ч. I статьи для пучка с постоянным радиусом были исследованы самосогласованные распределения с равномерным распределением заряда по сечению пучка. Для них область допустимых значений интегралов движения принимает более простой вид. Для известных распределений Капчинского-Владимирского и «жесткого ротатора» указаны отрезки, служащие носителями распределений в пространстве интегралов движения. Проанализированы также распределения, являющиеся линейными комбинациями распределений «жесткого ротатора». Насколько нам известно, они ранее не рассматривались. Для них плотность в пространстве интегралов
движения зависит от произвольной интегрируемой функции с заданным значением интеграла. Частный случай, когда эта функция есть постоянная, приведен в качестве иллюстрации.
На основе выражения для плотности пучка записано интегральное уравнение для плотности частиц в пространстве интегралов движения. Показано, как можно находить широкие классы решений этого интегрального уравнения. Приводится пример, когда решение построено в виде полинома третьей степени.
Наконец, в ч. II рассмотрен пучок с равномерным распределением заряда по сечению пучка в продольном магнитном поле, медленно изменяющемся вдоль оси, которое не обязательно является периодическим. Для такого пучка в качестве одного из интегралов движения вместо энергии поперечного движения взят известный интеграл системы Ермакова, которую образуют уравнения радиального движения частицы и огибающей пучка. При анализе динамики пучка в периодических полях такой интеграл известен как инвариант Куранта-Снайдера. Показано, что все результаты, полученные ранее для равномерно заряженного пучка с постоянным радиусом, переносятся на этот случай. Таким образом, мы имеем аналог потока Бриллюэна, аналоги распределения Капчинского-Владимирского и «жесткого ротатора», аналоги их линейных комбинаций, интегрального уравнения для плотности и его решений для пучка с переменным радиусом поперечного сечения в изменяющемся продольном магнитном поле. В частном случае периодического магнитного поля аналоги распределений Капчинского-Владимирского и жесткого ротатора полностью совпадают с распределениями, приведенными в работах [7, 8].
Развиваемый в работе подход, основанный на анализе распределения частиц в пространстве интегралов движения, позволяет дать ясную физическую и геометрическую интерпретацию уже известным распределениям, таким, например, как Капчинского-Владимирского. Кроме того, он дает возможность рассматривать линейные комбинации различных распределений, что невозможно в рамках применявшейся ранее теории, а также строить интегральное уравнение для плотности. При этом такой подход применим как для однородного пучка, так и для неоднородного.
Summary
Drivotin О. /., Ovsyannikov D. A. Self-consistent charged particle distributions in a magnetic field. II.
The self-consistent stationary distributions for a beam in longitudinal magnetic field are considered. The magnetic field is assumed to be uniform in the beam cross-section but can vary along the beam axis. Besides the longitudinal velocities of particles and a radius of the beam cross-section also vary in longitudinal direction. The wide classes of self-consistent distributions are found, particular cases of which for a longitudinally unifom beam are distributions known before.
Литература
1. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. О самосогласованных распределениях для пучка заряженных частиц в продольном магнитном поле // Докл. РАН. 1994. Т. 33, № 3. С. 284-287.
2. Drivotin О. I., Ovsyannikov D. A. New classes of uniform distributions for charged particles in magnetic fields // Proc. Part. Accel. Conf. PAC'97. Vancouver (Canada), 1997. P. 1943-1945.
3. Овсянников Д. А., Дривотин О. И, Моделирование интенсивных пучков заряженных частиц. СПб., 2003. 174 с.
4. Ермаков В. П. Дифференциальные уравнения второго порядка. Условия интегрируемости в конечном виде // Университетские известия. Киев, 1880. Т. 20, № 9. С. 1-25.
5. Ray J. R. TV-dimensional nonlinear systems with exact invariants // Adv. Nonlinear Waves. 1984. Vol. 1. P. 230-233.
6. Courant E. D., Snyder H. S. Theory of the alternating-gradient synchrotron // Ann. Phys. 1958. Vol. 3, N 1. P. 1-48.
7. Davidson R. C., Chen C. Kinetic description of high intensity beam propagation through a periodic, focusing field based on the nonlinear Vlasov-Maxwell equations // Particle Accelerators. 1998. Vol. 59. P. 175-250.
8. Davidson R. C. Three-dimensional kinetic stability theorem for high-intensity charged particle beams // Physics of Plasmas. 1998. Vol. 5, N 9. P. 3459-3468.
Статья поступила в редакцию 10 мая 2004 г.
