CC BY
49
Прикладные задачи
^^^^^^^^^^»нелинейной теории колебаний и вслн
УДК 621.91: 531.3
САМООРГАНИЗАЦИЯ И БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ РЕЗАНИЕМ
В.Л. Заковоротный1, ФамДинь Тунг2, В.С. Быкадор1
1 Донской государственный технический университет
2Вьетнамский государственный технический университет им. Ле Куй Дона
Рассматриваются проблемы нелинейной динамики процессов обработки материалов резанием. На примере процесса точения предлагается математическая модель динамической системы, учитывающая динамическую связь, формируемую процессом резания. При этом принимаются во внимание следующие главные особенности динамической связи: зависимость сил резания от площади срезаемого слоя, запаздывания сил по отношению к упругим деформационным смещениям инструмента относительно обрабатываемой заготовки, ограничения, накладываемые на движения инструмента при сближении задней грани инструмента с обработанной частью заготовки, зависимость сил от скорости резания. Динамическая подсистема инструмента представлена линейной системой в плоскости, нормальной к поверхности резания. Главное внимание в статье уделено анализу формируемых в окрестности точки равновесия стационарных аттракторов (ор-битально асимптотически устойчивых предельных циклов и двумерных инвариантных торов). Приводятся данные по бифуркационным преобразованиям стационарных аттракторов. Даются рекомендации по проектированию систем, имеющих требуемые стационарные аттракторы в пространстве состояния.
Ключевые слова: Динамическая система, аттракторы, бифуркации, процесс резания материалов.
Введение
Проблемы динамики процесса резания являлись предметом исследований многих авторов, которые выполнены в течение последних 40-50 лет. При этом главное внимание уделялось двум вопросам: условиям и механизмам возбуждения автоколебаний [1-5]; анализу устойчивости процесса резания [6-10]. Под устойчивостью процесса резания во всех случаях понимается устойчивость заданной и неизменной во времени точки равновесия, рассматриваемой в подвижной системе координат, движение которой определяется траекториями исполнительных элементов. Динамика процесса резания рассматривается на основе изучения взаимодействия подсистем со стороны инструмента и обрабатываемой заготовки через динамическую связь, формируемую процессом резания. Основные свойства динамической системы можно раскрыть, используя базовую динамическую модель упругих деформационных
смещений инструмента в плоскости, нормальной к поверхности резания [11-13]. Динамическая связь представляет модель сил резания в координатах состояния системы [14-19]. При этом учитываются: нелинейная зависимость сил резания от технологических режимов [16-18], периодические изменения параметров динамической системы [18-20,22], закономерности формирования новых поверхностей [23,24]. При рассмотрении устойчивости системы с периодически изменяющимися параметрами, а также при моделировании формирования новых поверхностей резания используется теория Флоке [25]. В статье развиваются указанные выше представления о динамической системе резания и уделяется главное внимание вопросам динамической самоорганизации системы, а также ее бифуркациям в параметрическом пространстве.
Базовая математическая модель
Уравнение динамики процесса (рис. 1) можно представить в виде [14]
d2X dX v ^ т~И0- + h~rr + cX = F dt2 dt
(X•
(i)
где m
m 0
0
m
h =
соответственно матрицы инер-
hl,1 h2,1 = Ci,i C2,1
hl,2 h2,2j ' LC1,2 c2,2_
ционных, диссипативных и упругих коэффициентов подсистемы инструмента; X = = {Xi, X} - вектор упругих деформационных смещений инструмента в плоскости, нормальной к поверхности резания; F (X, dX/dt, Бп, V) = {F1 (X, dX/dt, Бп, V), F2 (X, dX/dt, Бп, V)}T - вектор сил резания, представленный в координатах состояния системы и зависящий от технологических режимов (Бп - величины продольной подачи и V - скорости резания). Это динамическая связь, формируемая процессом резания. Упругие деформационные смещения рассматриваются в подвижной системе координат, двигающейся вдоль заготовки со скоростью движения суппорта Ve. Угловая скорость вращения заготовки и скорость резания V считаются постоянными.
Сила резания формируется в виде суммы двух составляющих, действующих на переднюю грань инструмента F(1) и на его заднюю грань F(2), то есть F = = F(1) + F(2) (рис. 1, а). Причем силы F(1) и F(2) являются сепарабельными. Технологические режимы, глубина резания tр и величина подачи Бп, в установившемся состоянии при заданной геометрии инструмента однозначно определяют ширину срезаемого слоя b и его толщину a, так как a = Бп sin ф, b = tp/sin ф (ф - главный угол инструмента в плане (рис. 1, б)). Деформационные смещения в направлении, нормальном к плоскости (X1 — X2) не принимаются во внимание, так как выполняется соотношение Бп ^ tp. Рассмотрим случай, когда жесткость подсистемы заготовки считается на порядок большей, чем инструмента, и поэтому ее деформационными смещениями можно пренебречь. Заметим, что учет упругих деформационных смещений заготовки не представляет сложности. Параметры m, h и c можно определить по правилам, изложенным, например, в [11].
Главная проблема при моделировании динамической системы состоит в представлении сил F (X, dX/dt, Бп, V) в координатах состояния при заданных технологических режимах. Будем следовать известным представлениям о динамической
Рис. 1. Ориентация осей деформационных смещений (а) и геометрические соотношения (б), определяющие формирование площади Я срезаемого слоя
связи, формируемой процессом резания. Эти представления, отдельные элементы которых изложены в выше цитированных работах, базируются на следующих особенностях формирования сил резания: они возрастают при увеличении площади срезаемого слоя 5; существуют запаздывания сил по отношению к вариациям упругих деформационных смещений [3,6-9]; они изменяются при варьировании скорости резания [4]; при сближении задней грани инструмента и обработанной части заготовки имеет место непропорционально быстрое нарастание сил, действующих на заднюю грань инструмента [6,10]; существует запаздывание тангенциальных составляющих сил по отношению к их нормальным составляющим.
При моделировании сил используется гипотеза о неизменности их ориентации в установившемся состоянии. Она определяется для силы Е(1) угловыми коэффициентами Х1 и Х2. Для силы Е(2) - угловыми коэффициентами х11) и /2^. Они в основном зависят от переднего угла у инструмента (угловые коэффициенты /1 и /2) и от заднего угла а (угловые коэффициенты х^ и х2^). Кроме этого при резании наблюдается приращение сил, обусловленное изменением скорости резания, которая через температурно-скоростной фактор изменяет силы, проекции которых определяются угловыми коэффициентами X]2 и х22). Этим свойствам соответствуют следующие представления сил в координатах состояния и технологических режимах:
E1(X1, X2, V, Sn, tp)= Xipb [a - yi] - x12)ai
V-
dX2 dt
- a2
V
(2)
E2X1, X2, V, Sn, tp)= X2pb [a - У2] - x2 ai
V
+ xi1)E(0) exp dX2
dX2 dt
(IX1 /dt
dt
a2
V
+ x21)E(0) exp
T3
dX2 3 dt
dX1 /dt
T3
+
+
Т1— + У1 = X1,
Т2 ^ + У2 = X,
(2)
где а, Ь - соответственно толщина и ширина срезаемого слоя, мм, определяются глубиной резания ¿р и величиной подачи 5п (см. рис. 1, б); Т1, Т2 - постоянные вре-
мени, с, моделирующие запаздывание сил по отношению к деформационным смещениям; р - давление, кг/мм2, стружки на переднюю грань инструмента; Р(0) - сила резания, кг, действующая на заднюю грань инструмента в состоянии равновесия; Т3 - параметр, мм/с, определяющий крутизну нарастания силы, действующей на заднюю грань инструмента (зависит от заднего угла инструмента а); V - скорость резания, м/мин; а1, кг с/мм и а2, (с/мм)2 - параметры кинетической характеристики процесса резания, определяющие тангенциальную составляющую силы, действующей на заднюю грань инструмента. Здесь зависимость главной составляющей силы резания от скорости учитывает два противоречивых фактора. Первый фактор определяет влияние скорости резания на предел прочности материала через температуру, производство которой зависит от мощности резания, возрастающей при увеличении скорости. Поэтому при увеличении скорости резания силы уменьшаются. Второй фактор связан через процесс резания с образованием квазивязких диссипативных структур в области контакта инструмента и заготовки. Поэтому, начиная с некоторой скорости, возрастает вязкое (зависящее от скорости) сопротивление и суммарные силы увеличиваются.
Кроме этого в системе (1) принято во внимание, что главные составляющие сил, определяемые площадью срезаемого слоя, запаздывают относительно деформационных смещений. Также по мере увеличения частоты периодических движений инструмента относительно заготовки имеет место уменьшение коэффициента преобразования вариаций упругих деформационных смещений с изменениями сил. Эти свойства учитываются введением промежуточных координат у1, мм и у2, мм в последних двух уравнениях системы (1). Если ду1/дЬ = ду2/дЬ = 0, то у1 = у2 = Х1. В системе (1) справедливо Т2 > Т1. Тем самым учитывается, что всегда запаздывание силы р больше, чем силы
Таким образом, исследованию подлежит следующая система, которая учитывает все отмеченные выше свойства формирования сил резания:
' (2Х1 (X1 (Х2
т + Л-1Д + П21—Т- + С1ДХ1 + с2,1X2 =
йЬ
дЬ2 ' 1 дЬ = Х1РЬ [а - у1 ]+ Р(0) ехр
(Хх/дл; ' Тз
(2)
х1 а1
V-
дХ2 дЬ
а2
V-
дХ2 дЬ
д2Хо дХ1 дХ2
т + 111,2—ТГ + П2,2—г~ + С12Х1 + С2.2Х2 =
дЬ2
(Ь
(Ь
дХ1/дЬ ' Тз
(2)
х2 а1
V-
дХ2 дЬ
- а2
V-
дХ2 дЬ
= Х2рь [а-у2]+ х21)Р(0) ехр Т % + у, = Х,
гр ду2 . „
Т2—ГГ + у2 = Х1. аЬ
(3)
Главная проблема, рассматриваемая в настоящей статье, связана с анализом аттракторов, которые формируются в окрестности равновесия системы (2). Поэтому вначале рассмотрим свойства равновесия и, прежде всего, условия потери его устойчивости.
з
Свойства равновесия системы
В общем случае траектории движения исполнительных элементов станка с учетом геометрии заготовки при продольном точении определяются скоростью подачи Vп(t) по перемещению (фазовой траекторией движения суппорта), скоростью резания и функцией изменения глубины резания 4О)С0 без учета упругих
деформационных смещений. Реальная траектория движения вершины инструмента отличается на величину упругих деформационных смещений. Эти траектории задают технологические режимы (подачу £п(£), глубину ¿р(£) и скорость резания V (¿)), то есть
Sn(t)=y №(t) - v(t)} dt,
t—T
(4)
tp(t) = tP0) (t) - Xi cos ф,
V(t) = V(0)(t) - X,
где T - время одного оборота заготовки; v(t) - скорость упругих деформационных смещений инструмента в направлении оси вращения заготовки. Таким образом, в общем случае параметры системы (2) являются функциями времени и для анализа устойчивости траекторий необходимо рассматривать линеаризованное уравнение в вариациях, которое имеет изменяющиеся во времени параметры. В рамках настоящего исследования ограничимся случаем, когда tP0) = const, Vn = const, V(0) = const. Тогда в подвижной системе координат стационарная траектория есть точка равновесия (X£, X|), определяемая из условия d2Xi/dt2 = dXi/dt = 0 (i = 1,2). Следовательно, из (2) получаем
(см + Xip6)Xi + C2,iX2 = Xipba + x[1)F(0) - ¿V [V - a2V3] , (ci,2 + X2pb)Xi + C2X = X2pba + x21)F(0) - ¿V [V - a2V3] .
(5)
Система (3) является линейной, и она задает единственную точку равновесия, то есть при изменении параметров и внешних воздействий ветвления точек равновесия не наблюдается. Для определения ее устойчивости, как известно [26], необходимо определить линеаризованное в окрестности равновесия уравнение в вариациях относительно (X?, Х|) после замены Х\(г) = X? + х^) и Х2(г) = Х| + х2(1). При этом учтем, что при анализе устойчивости точки равновесия х 1 (Ь) ^ 0, х2 (¿) ^ 0, dx ^ 0, йх2/ЛЬ ^ 0. Тогда при отбрасывании членов второго порядка малости получаем
т~ТРТ + + С^х = 0, (6)
dt2
dt
где h2=
hi,i-XipbTi +x11)F(0)/ТЗ h2,i-Xi2)(ai-3 a2 V2)'
hi,2-X2pbT2+x21)F(0)/T3 h2,2-x22)(ai-3 «2 V2)
T
Cs =
Ci,i + Xipb C2,1 Ci,2 +X2pb C2,2
x = {x1 ,x2} - вектор вариаций упругих деформационных смещений.
Из (5) получаем характеристический полином линеаризованной в окрестности равновесия системы
Д(р) =
(7)
тр2 + (Нм - Х1РЬТ1 + х11)Р(0)/Тз)р + (с1,1 + Х1рЬ) ^ (^1,2 - Х2рТ + х21)Р(0)/Тз)р + (С1,2 + Х2рЬ) ^
^ (Н2,1 - Х(12)(а1 - 3 а2 V2))р + С2,1
^ тр2 + (Н2,2 - х22) (а1 - 3 а2 V2))р + С2,2
Видно, что условия потери устойчивости определяются как свойствами динамической подсистемы инструмента, так и параметрами и моделями представления сил в координатах состояния. В частности, если конструктивно выполнить динамическую систему инструмента ортогональной и одновременно обеспечить выполнение условия Н2,1 = Х12)(а1 - 3 а2 V2), то система будет устойчивой при соблюдении следующих требований: Н1,1 > Х1рЬТ1 - Х^Р(0)/Т3, Н2,2 > х22)(а1 - 3 а2 V2). Ранее показано [11], что недиагональные элементы матрицы с зависят от ориентации эллипса жесткости подсистемы инструмента в рассматриваемой плоскости. Этот случай, несмотря на некоторую его условность, подчеркивает, что главные факторы, вызывающие потерю устойчивости, связаны с формированием запаздывающих аргументов в преобразовании деформационных смещений в силы резания. Они указывают также на значение угла наклона скоростной зависимости сил по мере увеличения скорости резания в установившемся состоянии.
В общем же случае главный механизм потери устойчивости связан с образованием ускоряющих сил, которые формируются симметричной составляющей матрицы скоростных коэффициентов. Суммарная матрица в (5) несимметрична. Следовательно, она представима в виде суммы симметричной и кососимметрич-
- и(0,К)
ной П-2 составляющих.
Из (5) необходимым условием устойчивости является
40С)
Н1,1 - Х1рЬТ1 + х11)Р(0)/Тз ^
Н1,2 - 0,5(Х2РЬТ2 - х21)Р(0)/Тз + х12)(а1 - 3 а2 V2)) ^
^ Н1,2 - 0,5(Х2РЬТ2 - х21)Р(0)/Тз + х12)(а1 - 3 а2 V2)) ^ Н2,2 - х22)(а1 - 3 а2 V2)
(8)
> 0,
из которого вытекают все известные условия потери устойчивости. Увеличение запаздывающего аргумента Т1 и коэффициента а1, определяющего «падающую» характеристику приращения сил при увеличении скорости резания, способствуют преобразованию матрицы Н(0'С) из положительно определенной в отрицательно определенную. В результате система может потерять устойчивость равновесия, так как гироскопические силы, формируемые матрицей Н(0'К), не могут стабилизировать равновесие при условии Н(0'С) < 0 [27,28].
Характеристический полином (6) позволяет в параметрическом пространстве проанализировать области устойчивости. Однако нас, в основном, будут интересо-
вать условия, при которых система теряет устойчивость равновесия и в его окрестности формируются различные аттракторы. Проанализируем этот вопрос на примере. Заметим, что зачастую примеры являются более показательными, чем анализ общего уравнения.
Бифуркации аттракторов динамической системы резания
Система (2) моделирует два взаимосвязанных колебательных контура, которые имеют два источника самовозбуждения. Один обусловлен запаздыванием сил резания по отношению к деформационным смещениям. Другой вызван существованием участка вариаций скорости, на котором увеличению скорости соответствует уменьшение сил резания. Этот участок обусловлен действием так называемого температурно-скоростного фактора, поэтому в системе в зависимости от параметров могут существовать три состояния. Первое - асимптотически устойчивая точка равновесия. Второе - орбитально асимптотически устойчивый предельный цикл. Третье - двумерный инвариантный тор.
Рассмотрим систему, параметры динамической модели инструмента которой приведены в таблице. Значения элементов матрицы жесткости выбраны достаточно малыми для того, чтобы увеличить чувствительность формируемых аттракторов к изменениям параметров динамической связи, обусловленной процессом резания. Осуществляется процесс продольного точения стали марки 20Х четырехгранными неперетачиваемыми пластинками из сплава Т16К6. Основные геометрические параметры инструмента: у = 6°, а = 2°, ф = 45°.
Частоты системы без взаимного влияния колебательных контуров (Л-1,2 = Л-2,1 = с12 = С2,1 =0) и динамической связи, формируемой процессом резания, соответственно равны: Ю01] = 1020 Гц, = 332 Гц. Частоты системы с учетом динамической связи, формируемой процессом резания, - ш02) = (2)
= 1540 Гц, 2 = 840 Гц. Давление стружки на переднюю поверхность инструмента - р = (450 ... 600) кг/мм2. Коэффициенты ориентации силы резания в плоскости равны: Х1 = 0.6, /2 = 0.8, х(1) = 1, = 0, ¿2) = 0.8, ¿2) = 0.6. Они удовлетворяют условиям нормировки, например, (Х1)2 + (х2)2 = 1. Чтобы варьировать основные параметры динамической характеристики процесса, изменялись технологические режимы: скорость резания в пределах (60 ... 160) м/мин; глубина резания в пределах (0.5 ... 3.0) мм. Величина подачи выбрана неизменной и равной 0.1 мм/об. Все параметры идентифицированы по правилам, изложенным в [11].
Проанализируем подробно бифуркационную диаграмму в плоскости двух параметров (а1 — Т3) (рис. 2). На этой иллюстрации в качестве примера показаны
Таблица точки «1, 2, 3, 4», для ко-Параметры динамической системы резания торых на рис. 3 приведены
фазовые траектории в сечениях фазового пространства. На рис. 2 приведены также области Э-разбиения для линеаризованного в окрестности
т, кг • с2/мм Н, кг • с/мм с, кг/мм
Г0.98 • 10~3 0 ] [ 0 0.98 • 10~3] Г30 2 ] [2 12] Г1020 25 ] [ 25 108]
равновесия уравнения. Они показаны пунктирными кривыми. На участках «А-0» и «О-Б» пунктирные кривые совпадают с границами бифуркационной диаграммы, поэтому они сливаются с границами областей Б-разбиения. Они определяют четыре области: область (А-О-Б), в которой все корни характеристического полинома расположены в отрицательной комплексной полуплоскости; области (А-О-Е) и (Б-О-О), в которых пара комплексно-сопряженных корня расположены в положительной комплексной полуплоскости; область (Е-О-Б), в которой две пары комплексно-сопряженных корней расположены в положительной комплексной полуплоскости. Как видно, границы областей Б-разбиения не совпадают с границами бифуркаций аттракторов в параметрическом пространстве. Для объяснения этого можно рассмотреть фазовые траектории на рис. 3, соответствующие точке «2». Временные диаграммы для этого случая приведены на рис. 4. Здесь хорошо видно, что двухчастотный процесс с течением времени преобразуется в одночастотный, то есть имеет место затягивание высокочастотных колебаний к низкочастотным. Аналогичная ситуация возникает и в области (С-О-Б). Однако здесь низкочастотный процесс стягивается к высокочастотному. Эти эффекты связаны с нелинейными диссипативными свойствами, которые учитываются в правой части системы (2).
Спектральные характеристики колебаний в направлении Х1 для точек «2,3,4» (см. рис. 2) приведены на рис. 5, а,в,д, а траектории установившихся колебаний в плоскости (Х1 - Х2) приведены на рис. 5, б,г,е. Важно подчеркнуть, что при этом меняется расположение ориентации колебаний в плоскости (Х1 - Х2) и их размах в направлении Х1, в котором инструмент оставляет следы на обрабатываемой поверхности. При переходе от низкочастотных автоколебаний к высокочастотным размах соответственно уменьшается с 0.065 мм до 0.006 мм. При этом изменяется ориентация направления колебаний в плоскости (Х1 - Х2). Анализ влияния упруго диссипативных параметров подсистемы инструмента на формируемые аттракторы показывает, что качественно бифуркационная диаграмма остается соответствующей рис. 2. Варьирование параметров матрицы с приводит к смещениям корней характеристического полинома (5) в комплексной плоскости. При этом корни могут сближаться. В этом случае область, в которой формируется двумерный инвариантный тор, вырождается.
На формирование этой области оказывают существенное влияние недиагональные элементы матрицы жесткости. При увеличении, прежде всего, диагональных элементов матрицы Н область устойчивости расширяется. Таким образом, при изменении параметров упругости и диссипации подсистемы инструмента происхо-
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма в плоскости (ах — Тз): (А-О-Б) - область устойчивости равновесия; (В-О-С) - область формирования двумерного инвариантного тора; (А-О-В) - область формирования орбитально асимптотически устойчивого предельного цикла на низкой частоте; (С-О-Б) -область формирования орбитально асимптотически устойчивого предельного цикла на высокой частоте
Рис. 3. Фазовые траектории системы: a, б -точка «1»; в, г - точка «2»; д, е - точка «3»; ж, з - точка «4»
Рис. 4. Пример преобразования двухчастотного процесса в одночастотный, то есть в орбитально асимптотически устойчивый предельный цикл
Рис. 5. Изменение спектров установившихся колебаний и их ориентация в плоскости (Хх — Х2): a, б - для точки «2» на рис. 2; в, г - для точки «3» на рис. 2; д, е - для точки «4» на рис. 2
дят изменения аттракторов, формируемых в окрестности равновесия системы резания. Следовательно, меняются показатели качества изготовления деталей и интенсивность изнашивания инструмента [6,29].
Заключение
Динамическая система резания, формируемая на основе взаимодействия подсистемы инструмента с динамической связью процесса обработки, является принципиально нелинейной. При изучении устойчивости точки равновесия, связанном с анализом линеаризованных уравнений в вариациях относительно этой точки, раскрыта связь устойчивости с технологическими параметрами системы и параметрами динамической модели подсистемы инструмента. Показано, что в рассматриваемом классе систем существует главный механизм потери устойчивости. Он обусловлен преобразованием положительно определенной симметричной составляющей матрицы скоростных коэффициентов линеаризованного уравнения динамики в отрицательно определенную. Это преобразование осуществляется за счет запаздывающих
аргументов в динамической связи, зависящих от скорости резания и объема пластической деформации материала в зоне обработки. На это преобразование оказывает также влияние крутизна падающего участка зависимости сил от скорости. Этот вывод обобщает известные механизмы потери устойчивости, рассмотренные в настоящее время в скалярных системах.
В том случае, когда равновесие системы становится неустойчивым, в его окрестности образуются притягивающие множества типа орбитально асимптотически устойчивых предельных циклов и двумерных притягивающих торов. Эти существенно нелинейные эффекты оказывают важное влияние на состояние процесса резания. Их параметры влияют на износостойкость инструментов, зависящих от параметров автоколебаний. При этом в зависимости от частоты, имеет место оптимальное значение автоколебаний, при которых стойкость максимальна. Кроме этого, в зависимости от ориентации параметров автоколебаний в пространстве, они могут приводить к уменьшению величины шероховатости формируемой поверхности. Поэтому раскрытие механизмов образования и прогнозирование их параметров открывает путь улучшения процесса резания. Кроме этого, в рассматриваемой нелинейной системе имеет место синхронизация частот на торе. Этот эффект зависит от матрицы скоростных коэффициентов и близости частот двух взаимодействующих осцилляторов.
Работа выполнена в рамках гранта РФФИ № 14-08-00206 «Разработка теории управления процессами обработки на металлорежущих станках на основе си-нергетической концепции с учетом самооорганизации и эволюции системы резания».
Библиографический список
1. Дроздов НА. К вопросу о вибрациях станка при токарной обработке // Станки и инструмент. 1937. C. 12.
2. Каширин А.И. Исследование вибраций при резании металлов. М.-Л.: АН СССР, 1944. 282 с.
3. Соколовский А.П.Вибрации при работе на металлорежущих станках // Исследование колебаний при резании металлов. М.: Машгиз, 1958. С. 15.
4. Мурашкин Л.С., Мурашкин С.Л. Прикладная нелинейная механика станков. Л.: Машиностроение, 1977. 192 с.
5. Альбрехт П.Динамика процесса резания металла // Конструирование и технология машиностроения: Труды американского общества инженеров-механиков ASME. М.: Изд. Мир, 1965. Т. 87, серия В, № 4. С. 40.
6. Жарков И.Г. Вибрации при обработке лезвийным инструментом. Л.: Машиностроение, 1987. 184 с.
7. Тлустый И.Автоколебания в металлорежущих станках / Пер. с чешск. М.: Машгиз, 1956. 395 с.
8. Кудинов В.А. Динамика станков. М.: Машиностроение, 1967. 359 с.
9. Эльясберг М.Е. Автоколебания металлорежущих станков: Теория и практика. СПб.: ОКБС, 1993. 182 с.
10. Вейц В.Л., Васильков Д.В. Задачи динамики, моделирования и обеспечения качества при механической обработке маложестких заготовок // СТИН. 1999. № 6. С. 9.
11. Заковоротный В.Л., ФлекМ.Б. Динамика процесса резания. Синергетический подход. Ростов-на-Дону: Изд-во ДГТУ, 2006. 876 с.
12. Заковоротный В.Л., Фам Динь Тунг, Нгуен Суан Тьем. Математическое моделирование и параметрическая идентификация динамических свойств подсистемы инструмента и заготовки // Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион. Серия: Технические науки. 2011. № 2. С. 38.
13. Заковоротный В.Л., Бордачев Е.В., Алексейчик М.И. Динамический мониторинг состояния процесса резания. // СТИН. 1998. № 12. С. 6.
14. Заковоротный В.Л., Фам Динь Тунг, Нгуен Суан Тьем. Моделирование деформационных смещений инструмента относительно заготовки при точении // Вестник ДГТУ. 2010. Т. 10, № 7. С. 1005.
15. Altintas Y., BudakE. Analytical prediction of stability lobes in milling // Ann. CIRP. 1995. Vol. 44. P. 357.
16. Balachandran B. Non-linear dynamics of milling process // Philos. Trans. Roy. Soc.
2001. Vol. 359. Р. 793.
17. Davies M.A., Pratt J.R. The stability of low immersion milling // Ann. CIRP. 2000. Vol. 49. P. 37.
18. Davies M.A., Pratt J.R., Dutterer B.S., Burns T.J. Stability prediction for low radial immersion milling // J. Manuf. Sci. Engin. 2002. Vol. 124. P. 217.
19. Faassen R.P.H., van de Wouw N., Osterling J.A.J., Nijmeijer H. Prediction of regenerative chatter by modeling and analysis of high-speed milling // Int. J. Mach. Tools Manuf. 2003. Vol. 43. P. 1437.
20. Corpus W.T., Endres W.J. Added stability lobes in machining processes that exhibit periodic time variation - Part 1: An analytical solution // J. Manuf. Sci. Engin. 2004. Vol. 126. P. 467.
21. Gouskov A.M., Voronov S.A., Paris H., Batzer S.A. Nonlinear dynamics of a machining system with two interdependent delays // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simul.
2002. Vol. 7. P. 207.
22. Заковоротный В.Л., Фам Тхы Хыонг. Параметрическое самовозбуждение динамической системы резания // Вестник ДГТУ. 2013. № 6. С. 97.
23. Peigne G., Paris H., Brissaud D., Gouskov A. Impact of the cutting dynamics of small radial immersion milling operations on machined surface roughness // Int. J. Mach. Tools Manuf. 2004. Vol. 44. P. 1133.
24. Szalai R., Stepan G., Hogan S.J.Global dynamics of low immersion high-speed milling // Chaos. 2004. Vol. 14. P. 1069.
25. Floquet M.G. Equations diff'erentielles lin'eaires a coefficients peridiques // Ann. Scientifiques de l'Ecole Normale Supr'erieure. 1883. Vol. 12. P. 47.
26. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1971. 307 с.
27. Лихаданов В.М. О влиянии структуры сил на устойчивость движения // ПММ. 1974. Т. 38. С. 246.
28. Лихаданов В.М. О стабилизации потенциальных систем // ПММ. 1975. Т. 39. С. 53.
29. Остафьев В.А., Антонюк В.С., ТымчикГ.С. Диагностика процесса металлообработки. Киев: Тэхника. 1991. 152 с.
Поступила в редакцию 18.03.2014 После доработки 5.05.2014
SELF-ORGANIZATION AND BIFURCATIONS OF DYNAMICAL METAL CUTTING SYSTEM
V.L. Zakovorotny1, Pham Dinh Tung2, VS. Bykador1
1Don State Technical University 2Le Quy Don Technical University
The problems of nonlinear dynamics of cutting metal are considered in the article. We offer mathematical model of dynamical system that includes a dynamical relation of the cutting process by using turning example. Basic positions of the dynamical relation are the forces dependence of cutting area, the force's delay of elastic deformation shift of a tool by relative to workpiece, limitations of the cutting forces on clearance face of the tool, dependence of the cutting forces of the cutting velocity. Dynamical subsystem of the tool is described as linear system on perpendicular plane to cutting surface. The principal focus in the paper was given to analyse of forming of attractors near to fixed point (orbitally stable solutions, double invariant toruses). The article provides data about bifurcation of attractors. Design recommendations for the systems that have required attractors in the state space are also given at the paper.
Keywords: Dynamical system, attractors, bifurcations, cutting process of the materials.
Заковоротный Вилор Лаврентьевич - родился в 1940 году в Красноярске, окончил Ростовский институт сельскохозяйственного машиностроения (ныне Донской государственный технический университет) в 1962 году. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата технических наук (1966) в Новочеркасском политехническом институте (ныне Южно-Российский государственный политехнический университет) и доктора технических наук (1983) в Киевском политехническом институте. Основал научную школу, исследующую синергетические принципы управления и диагностики процессов резания и трения. Более 40 лет работает в области исследования устойчивости и эволюции динамических нелинейных систем взаимодействующих со средами. С 1981 года является заведующим кафедры Автоматизация производственных процессов ДГТУ, ас 1991 года по 2008 год был проректором по науке ДГТУ. Автор более чем 350 научных статей как в российских, так и зарубежных научных журналах, а также ряда авторских свидетельств и патентов. Опубликовал 9 научных монографий. Под его руководством защищено 7 докторских и 38 кандидатских диссертаций. Является лауреатом Государственной премии Украинской ССР, заслуженным деятелем науки РФ. Входит в редакционную коллегию 3 журналов включенных в перечень ВАК РФ.
344000 Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
Донской государственный технический университет
E-mail: vzakovorotny@dstu.edu.ru
ФамДинь Тунг - родился в 1980 году в городе Ханое, Вьетнам. В 2005 году окончил ДГТУ. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата технических наук (2008) в ДГТУ, диссертацию доктора технических наук (2013) в Таганрогском технологическом институте Южного федерального университета. Область научных интересов - анализ и синтез динамики металлорежущих станков с учетом эволюции связей в технологических системах. Автор более 50 научных работ и одной монографии «Синергетический системный синтез управляемой динамики металлорежущих станков с учетом эволюционных связей» (совместно с В.Л. Заковоротным, А.Д. Лукьяновым, Нгуен Донг Ань, Ростов н/Д: Изд. Центр ДГТУ, 2008).
Вьетнам, г. Ханой, ул. Хоанг Куок Вьет, 100
Вьетнамский государственный технический университет им. Ле Куй Дона E-mail: phamdinhtung@mail.ru
Быкадор Виталий Сергеевич - родился 1980 году в Ростове-на-Дону. В 2002 году окончил Ростовскую-на-Дону государственную академию сельскохозяйственного машиностроения (ныне ИЭиМ ДГТУ), в 2007 году окончил ДГТУ. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата технических наук (2011, ДГТУ). Область научных интересов - исследование и управление нелинейной динамикой процессов резания на основе синергетического подхода. Доцент кафедры автоматизация производственных процессов ДГТУ. Автор 4 статей и 2 учебных пособий (в соавторстве с В.Л. Заковоротным и М.В. Чувейко).
344000 Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1
Донской государственный технический университет
E-mail: vitaly.bykador@yandex.ru
