CC BY
60
19. Dubyago M.N., Poluyanovich N.K. Analysis of Insulation Materials of Cable Systems by Method of Partial Discharges, Advances in Materials Science and Applications, 2015, Vol. 4, Issue 1, pp. 23-32.
20. Pshikhopov V.Kh., MedvedevM.Y. Estimation and control in complex dynamic systems. Analysis of Insulation Materials of Cable Systems by Method of Partial Discharges. Moscow: Physical and Mathematical Literature, 2009, 295 p.
Статью рекомендовала к опубликованию д.т.н. профессор В.Э. Бурлакова.
Дубяго Марина Николаевна - Южный Федеральный университет; e-mail: w_m88@mail.ru; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский 44; тел.: 89281758225; кафедра электротехники и мехатроники, аспирант.
Пшихопов Вячеслав Хасанович - e-mail: vhpshichop@sfedu.ru; тел.: 88634371723; д.т.н.; профессор.
Полуянович Николай Константинович - e-mail: nik1-58@mail.ru; тел.: 88634371694; к.т.н.; доцент.
Dubyago Marina Nikolaevna - Southern Federal University; e-mail: w_m88@mail.ru; 44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; phone: +79281758225; the department of electrical engineering and mechatronics; postgraduate student.
Pshikhopov Viacheslav Khasanovich - e-mail: vhpshichop@sfedu.ru; phone: +78634371723; dr. of eng. sc.; professor.
Poluyanovich Nikolai Konstantinovich - e-mail: nik1-58@mail.ru; phone: +78634371694; cand. of eng. sc.; associate professor.
УДК 62-52:681.5
В.Л. Заковоротный, А.Д. Лукьянов
САМООРГАНИЗАЦИЯ ПРИ ДВИЖЕНИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С ПРОЦЕССОМ ОБРАБОТКИ
Рассмотрены проблемы нелинейной динамики процесса обработки материалов резанием. Предложена математическая модель динамической системы, учитывающая динамическую связь, формируемую процессом резания. Приняты во внимание следующие особенности динамической связи: зависимость сил резания от площади срезаемого слоя; запаздывание сил по отношению к упругим деформационным смещениям инструмента относительно обрабатываемой заготовки; ограничения, накладываемые на движения инструмента при сближении задней грани инструмента с обработанной частью заготовки; зависимость сил от скорости резания. Динамическая подсистема инструмента представлена линейной динамической системой в плоскости, нормальной к поверхности резания. Предлагаемая модель динамической системы является векторной, содержит два осциллятора, два источника самовозбуждения и учитывает нелинейную диссипацию. Рассмотрены общие закономерности потери устойчивости равновесия системы. Установлено, что в силу единственности решения уравнения статики, в системе при варьировании управления не наблюдается ветвление точек равновесия Главное внимание уделено анализу формируемых в окрестности точки равновесия притягивающих множеств (орбитально асимптотически устойчивых предельных циклов, двумерных инвариантных торов и хаотических аттракторов). Приведены данные по бифуркациям системы в параметрическом пространстве и пространстве управляющих параметров как сечения бифуркационного пространства
плоскостями , рй) и (рй, Т ). Установлено изменение ориентации эллипса колебаний в
плоскости, нормальной к поверхности резания. Показаны переходы от двухчастотного
процесса к одночастотному процессу и от двумерного инвариантного тора к хаотическому аттрактору. Приведенная методика анализа и полученные результаты являются общими для механических систем, взаимодействующих с различными средами.
Процесс резания; динамическая система; асимптотическая устойчивость; инвариантные многообразия; бифуркация.
V.L. Zakovorotny, A.D. Lukjanov
SELF-ORGANIZATION OF THE MOTION OF THE MECHANICAL SYSTEM THAT INTERACTS WITH PROCESSING PROCESS
The problems of nonlinear dynamics processing materials cutting are represented. The mathematical model of dynamic system with the dynamic link, formed by the cutting process, is proposed. The following features of dynamic link were taken into account: the dependence of the cutting forces from the area of the shear layer; forces lagging with respect to elastic deformation displacement of the tool relative to the work piece; restriction, which applies to the tool movement in rapprochement of the rear tool face and the treated part of the work piece; dependence of forces on the cutting speed. Dynamic subsystem of tool represented as a linear dynamic system in the plane normal to the cutting surface. The proposed model of a dynamic system is a vector model and contains two oscillators, two self-excitation sources and allows for nonlinear dissipation. The general laws of loss of stability of the equilibrium of the system are considered. It was found that because of the uniqueness of the solution of the equation of statics of the system the branching ofpoints balance is not observed in the case of varying the control. Main attention is paid to the analysis of formed attracting sets (orbital asymptotically stable limit cycles, two-dimensional invariant tori and chaotic attractors) in the vicinity of the equilibrium point. The data on the bifurcation of the system in the parameter space and the space of the control parameters as cut of the bifurcation space by planes (aj , p0) and (pQ, T ). The
change in orientation of the oscillation ellipse in a plane normal to the cutting surface were fixed. Transitions from two-frequency process for the single-frequency process and the two-dimensional invariant torus chaotic attractor were shown. The above method of analysis and the results are shared for mechanical systems interacting with different media.
Process of cutting; dynamic system; asymptotic stability; invariant manifolds; bifurcation; stability.
Введение. Формирование во второй половине ХХ века синергетической парадигмы эволюции и самоорганизации стало одной из центральных проблем науки [1] и нашло свое отражение при изучении динамики процесса резания [2, 3]. В этом случае динамическая система резания рассматривается на основе взаимодействия подсистем инструмента и обрабатываемой детали через связь, формируемую процессом обработки [1-6]. Эта связь, представляющая модель сил резания в координатах состояния взаимодействующих подсистем, строго говоря, должна учитывать многое физические процессы, сопутствующие процессу обработки. Она объединяет взаимодействующие подсистемы и образует новую систему с принципиально отличными свойствами. За счет этой связи возможна потеря устойчивости точки равновесия, которая рассматривается в подвижной системе координат, движение которых определяется траекториями исполнительных элементов станка [2-4]. Если равновесие неустойчиво, то в его окрестности формируются различные притягивающие множества (предельные циклы, инвариантные торы, хаотические аттракторы) [3]. Силы резания зависят от площади, которая формируется в результате пересечения инструмента и обрабатываемой заготовки, то есть от траекторий движения исполнительных элементов станка, геометрии инструмента и упругих деформационных смещений инструмента и заготовки. Кроме этого по мере развития периодических движений в окрестности равновесия образуются дополнительные связи, например, обусловленные сближением задней грани инструмента с обрабатываемой заготовкой, которые могут существенно влиять на формируемые многообразия. Закономерности преобразования площади в силы
определяются многими физическими процессами, изменения которых происходят во времени. Поэтому существуют фазовые сдвиги между деформациями и силами [1-4]. Наличие фазовых сдвигов моделируется апериодическим звеном, звеном чистого запаздывания или введением гистерезисной зависимости между смещениями и силами [4]. При этом учитывается оборотное запаздывание, обусловленное вариациями площади срезаемого слоя на предыдущем обороте. Во многих случаях, особенно при фрезеровании, учитывается, что параметры в уравнениях связи являются периодическими функциями времени [7-9]. При изучении системы с периодически изменяющимися параметрами используются уравнения Матье-Хилла, а также теория Флоке. Во многих случаях, используются скалярные (не пространственные) модели, в которых подтверждено существование хаотических аттракторов [10-12]. Причем, перечисленные множества наблюдаются экспериментально и в тех случаях, когда периодические изменения параметров в явном виде отсутствуют. Кроме этого увеличение скорости, определяемой скоростями исполнительных элементов станка и упругих деформаций, приводит к уменьшению сил [13]. В этом случае используются модифицированные уравнения типа Ван дер Поля или Релея. Эти модели раскрывают зависимость сил от текущего значения скорости тангенциальных движений инструмента относительно детали, и они не принимают во внимание вариации площади срезаемого слоя.
Главная особенность цитированных выше работ заключается в том, что в них анализируется какой-то один механизм потери устойчивости, например, влияние запаздывания. Во многих случаях, упругая подсистема представляется одним колебательным звеном. Реальная система представляется несколькими взаимосвязанными пространственными избирательными контурами и обладает несколькими механизмами потери устойчивости. Рассмотрение пространственной модели упругой системы, имеющей несколько одновременно существующих источников самовозбуждения, не просто усложняет модель, но и формирует ее новое качество. Причем, различные источники самовозбуждения при рассмотрении линеаризованного уравнения в вариациях могут, как усиливать условия самовозбуждения, так и их нивелировать. Например, в пространственной модели в уравнениях в вариациях относительно точки равновесия за счет реакции со стороны процесса обработки естественным образом образуются гироскопические, циркуляционные и ускоряющие силы, которые характеризуют общие свойства и механизмы потери устойчивости. Учет одновременно существующих нескольких механизмов самовозбуждения позволяет выяснить многие, не рассматриваемые ранее, эффекты нелинейной динамики. Именно эти новые для динамики процесса резания вопросы рассматриваются в статье. Таким образом, материалы, изложенные в статье, характеризуют развитие основных положений нелинейной динамики процесса резания на случай, когда рассматриваются пространственные модели и учитывается несколько одновременно существующих нелинейных источников самовозбуждения. В ней главное внимание уделяется проблемам изменения топологии фазового пространства в зависимости от параметров системы, то есть бифуркациям системы. Эти свойства являются общими при рассмотрении взаимодействия механической системы со средой любого вида, например, трибологической. В этом общность и значение, по мнению авторов, представленных материалов для теории колебаний механических систем, взаимодействующих с различными средами.
1. Базовая математическая модель. Основные свойства системы можно раскрыть, если воспользоваться упрощенной моделью процесса свободного резания. Не раскрывая структуру сил, уравнение динамики можно представить в виде [14, 15] (рис. 1)
d X dX ,1Ч
m—— + h-+ cX = F(t), (1)
dt dt
где m =
m 0" , h = Г h h 1 , c = C1,1 C2,1
0 m h1,2 h2,2 C1,2 C2,2 _
- положительно определенные
и симметричные матрицы инерционных, диссипативных и упругих коэффициентов
'2J
подсистемы инструмента; X = {Xj, X2 }T - вектор упругих деформационных
смещений в плоскости, нормальной к поверхности резания; F(t) = {F (t), F2 (t)}T - вектор сил. Деформационные смещения рассматриваются в подвижной системе координат, двигающейся по направлению заготовки со скоростью суппорта Vc. Угловая скорость вращения заготовки Д = const, следовательно, время одного оборота T = const. Кроме этого VC = const. Поэтому в установившемся состоянии величина подачи VCT = SP = const. Сила резания формируется в виде суммы
двух составляющих, действующих на переднюю грань инструмента F , и на его
заднюю грань F(2), то есть F = F(1) + F(2) (рис. 1). Параметры m , h и c можно определить на основе использования методов, изложенных, например, в [14, 15]. При моделировании сил ограничимся следующими свойствами.
1. Модуль силы пропорционален площади S = tpSp , причем, в рассматриваемой схеме tp = const. Тогда
F0=p(SP -Xi), (2)
где p - коэффициент жесткости в [кг / мм]. Ориентация силы в пространстве задается коэффициентами (^, %2), то есть F = {F, F Y =P(SP — X1 , %2}T.
2. Жесткость p зависит от скорости резания, определяемой разностью скоростей детали и упругих деформационных смещений инструмента (v — dX2 / dt). Следуя [7, 8], зависимость p от скорости можно представить
p = p(1 + [J.e~ai(v~^'dt)) , (3)
где ц - безразмерный коэффициент; a - коэффициент в [с / м].
3. Существуют фазовые сдвиги между деформациями и силами. К тому же преобразование модуля деформационных смещений в силы уменьшается при увеличении частоты. Для моделирования этой особенности удобно ввести координату Y , т.е.
dY
T — + Y = X. (4)
dt
4. В области контакта задней грани инструмента с деталью формируются дополнительные силы F = {F , F2 } (рис. 1). Они зависят от заднего угла инструмента a и возрастают при уменьшении этого угла. Значение угла определяется не только геометрией инструмента, но и направлением движения инструмента относительно поверхности заготовки, то есть при заданной скорости резания - от
суммарной скорости
Vc — dXx / dt
. Их формирование при малых вариациях скорости резания также можно представить в виде
F(2) = F(2) (ea^(VC —dXi /dt) — i) f(2) = F(2)k(^V — dXi /dt) — i) ^
где а2 - параметр, как и ^, характеризует крутизну нарастания силы в зависимости от скорости подачи и скорости упругих деформационных смещений в направлении подачи; к - коэффициент трения. Необходимо отметить, что а2))а1. Представление
_/2) _'(2) _'(2)
силы ¥ = {¥ , ¥2 } в виде (5) характеризует нелинейную диссипацию процесса обработки. В стационарном режиме в случае устойчивого равновесия силами, действующие на заднюю грань инструмента, можно пренебречь, то есть параметры в (5)
подбираются таким образом, чтобы ¥ (2)(е"2Кс — 1) была малой величиной. Тогда обобщенное уравнение динамики представляется в виде
+ + Л2 1 ^ + сиХ, + с2^Х 2 =ра%1(1 + ^<Г—СХ2/л Ж — У} + т т са
+¥ (2)(еа2(^С—сх^/л) — 1).
тС-Хг+Ь 2сХТ+Ь 2СХ+С1 2Х+с2 2X2 = раг1+ —сХ2/л Ж — У} + (6) а с с
+¥ (2) к (еа2(Гс—СХ^Л) — 1).
Т — + у = X.
с 1
Система (6) не является скалярной. Она учитывает два источника самовозбуждения и два осциллятора. Кроме этого в ней учитывается нелинейная диссипация.
2. Свойства системы. Анализ выполним по следующей схеме: вначале рассмотрим свойства равновесия, а затем притягивающие множества в их окрестности.
2.1. Анализ равновесия. Для точки равновесия X = {Хх, Х2}Т из (6) получаем
с^ Х2 = ¥ (^ ,У,Ус ), (7)
где
¥ = {[ро*1(1 + ме—Р +¥2\еа2с —1ЖРоЖ2(1 + Ме—Р +Р™к(еа2с —1)]}Т; % +Рс^г(1 + )) с2Л
с1,2 +Рс^2(1 + ^)) с2 _
2 С \т2 Т
2,2
Система (7) имеет единственное решение х 2 = {Х2, Х22}Т , т.е. в системе при варьировании управления не наблюдается ветвление точек равновесия. Для анализа его устойчивости необходимо рассматривать линеаризованное уравнение
в вариациях относительно (Х1 , Х2 ) [16]. В равновесии справедливо Х1 = У . После замены Х1 = Х* + х^ (?), Х2 = Х2 + х2 ^), У = У2 + у(Г) из (6), (7) по-
т,2 (ТЛ» у*} Т лучаем уравнение в вариациях относительно Х = {Х1, Х 2}
m
^ + к 4 + к % + + = poXlp(SP -x;)e(e^dt -1) -
dt
dt
-PoXi( 1 + №
-^(V-dx2/dt)
)y + F(2)ea2Vo (g-a2<Vdt — i).
d2 x0
dx
dx,
™ V + ^ + ^ + + с2,2х2 -X-1)- (8)
-р0Х2(1 + ре-^-^'Л))у + Р<2)кеаУ (е^'-1);
Т — + у = х. . Л 1
Следовательно, линеаризованное в окрестности равновесия уравнение будет
Шу —— + Пу--+ с?х = 0, (9)
Е йг2 Е йг
m 0 0" " hu + Ai h — h2,1 A2 0" ci,1 C2,1 A3
где m = 0 m 0 ; hE = h 2 + B h - h2,2 B2 0 ; CS = C1,2 C2,2 B3
0 0 0 0 0 T -1 0 1
X = ; х2 = ^; у = г3; А = Р(2)«2 ехр(«2Уа); А = Р0Х1Р« ($Р - X?) ехр(-« V), А = Ро%1 [1 + Р ехр(-«1 V)]; Д = Р(1)а2к ехр«2Уа); В2 = РоХг« - Х1*) ехР(-«1У); вз = Ро%2 [1+Р ехр(-« V)].
Система (9) имеет постоянные параметры, поэтому для анализа устойчивости достаточно знать корни характеристического полинома. Можно также выделить области устойчивости в параметрическом пространстве [17], которые мы проанализируем при рассмотрении бифуркаций.
2.2. Бифуркации системы. В (8) может существовать три стационарных состояния: асимптотически устойчивое равновесие; устойчивый предельный цикл; двумерный инвариантный тор. Рассмотрим систему, параметры подсистемы инструмента которой приведены в табл. 1. Основными параметрами, влияющими на
устойчивость и притягивающие множества, являются: р0, " , Т . Заметим, что Р можно варьировать, изменяя ширину срезаемого слоя, параметр " зависит от температурно-скоростного фактора, а Т - в основном от скорости резания. В данном параграфе Р (2), «2 и р считаются фиксированными. Они приведены в табл. 2. Рассмотрим подробно бифуркации системы в пространстве Т, р0, " (рис. 2). На рисунке показаны два сечения этого пространства в плоскостях: р
(Т = 0,03 с) и Т, р0 ("= 0,0023 с). Прямые (М-М1) соответствуют значениям
параметра, по которому рассматривается плоскость сечения параметрического пространства. На диаграмме можно выделить следующие множества (рис. 2): - область асимптотически устойчивого равновесия; %2, %ъ - области орби-тально асимптотически устойчивых предельных циклов, отличающихся частотами автоколебаний; - область формирования двумерного инвариантного тора;
Хъ - область образования хаотического аттрактора.
Таблица 1
т,[кг • с2 / мм] к, [кг • с / мм] с,[кг / мм]
"1,3 -10—33 0 " 0 1,3 -10—33 " 0,10 0,045" 0,045 0,12 "2000 350" 350 1700
Таблица 2
с / мм М ¥ (2)[кг] /1 X 2
0,5 0,5 5,0 0,8 0,6
На рис. 2 приведены также области D-разбиения для линеаризованных уравнений в вариациях относительно равновесия. Они делят параметрическое пространство фигуративными линиями «А-О-В» и «С-О-Э». Причем, в областях «А-О-С» и «В-О-Э» в характеристическом полиноме одна пара комплексно сопряженных корней располагается в правой комплексной полуплоскости. В области, расположенной правее линии «С-О-Э», две пары комплексно сопряженных корней находится в правой комплексной полуплоскости. Однако границы области на диаграмме бифуркаций, в которой образуется двухмерный инвариантный тор, смещены к линии «Е-Б». В области «С-Е-Р-Э» двумерный тор вырождается в предельный цикл. Характерно, что существует граница между областями высокочастотного и низкочастотного предельных циклов (на рис. 2 она показана пунктирной линией «О-О1»). Соответственно множество высокочастотного предельного цикла обозначено %2, а низкочастотного - %3. Характерно, что в области, прилегающей
к пунктирной линии, как и на границах выделенных множеств, свойства системы становятся чрезвычайно чувствительными к малым вариациям параметров.
Рис. 2. Бифуркационная диаграмма в плоскостях: (, р0 (Т = 0,03 С) и Т, р0
(( = 0,0023 с)
Приведем типичные примеры установления притягивающих множеств в системе (рис. 3, 4). На рис. 3 приведены временные (верхние две кривые), пространственные в плоскости (нижние кривые), а также их спектры (средние диаграммы). Они соответствуют точкам «1, 2» на рис. 2. Проследим их изменение. Для точки «2» вначале устанавливается двухчастотный процесс, который в дальнейшем спонтанно преобразуется в одночастотный, то есть тор преобразуется в орбитально асимптотически устойчивый
предельный цикл на низкочастотной составляющей (151,5 Гц). Длительность существования двухчастотного процесса определяется десятками секунд, и она зависит от удаления параметра от пунктирной линии.
Область X характеризуется аналогичными свойствами, но тор преобразуется
в предельный цикл на высокой частоте (в нашем случае - 215 Гц). Так как приведенные характеристики являются медленно изменяющимися, то для них можно рассматривать замороженные нормированные спектры, которые на рис. 3 расположены во вторых строках.
0,10 0,20 0,30 t
0,10
?
0,06
г:
0,02
0,7 \ 0,5 0,3
-iA_
50 150 250 350
to, Гц
-| 0,14
-Ж а'° ™ 0,06
0,10 0,20 0,30 t
0,02
I
50 150 250 350 Гц
0.00
0,10 0.20
X , мм
0.30
0,07 Л °-05
i 0.03 CfT ' 0.01
0.10 0,20 0,30 0,10 0,20 0,30
t t 0,14-
"э
0,10 ff 0.06
to
0,02
50 150 250 350 ГЦ
50 150 250 350 и, Гif
0.30
Xj . мм
Рис. 3. Переход от двухчастотного процесса к одночастотному процессу при различных значениях параметра аТ: а - двухчастотный процесс при аТ = 0,002;
б - одночастотный установившейся процесс при аТ = 0,002; в - двухчастотный процесс при аТ = 0,003; г - одночастотный установившейся
процесс при аТ = 0,003
б
а
в
г
Характерно, что при переходе от высокочастотного к низкочастотному предельному циклам изменяется ориентация эллипса колебаний в плоскости, нормальной к поверхности резания. Это связано с изменением ориентации двух пространственно ориентированных колебательных контуров упругой подсистемы. При увеличении жесткости резания р0 область существования предельных циклов исчезает. В результате в параметрическом пространстве (рис. 4,а) притягивающим множеством становится только двумерный тор (множество ). При дальнейшем увеличении р0 наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода колебаний (рис. 4,б,в) и установления хаотического аттрактора (рис. 4,г). На топологию фазового пространства также оказывает влияние параметр Т. Его влияние противоречиво. С одной стороны, увеличение вызывает возрастание фазовых сдвигов между колебательными смещениями и силами. С другой, - при этом возрастает затухание вариаций сил резания, способствующих развитию периодических движений.
в г
Рис. 4. Переход от двумерного инвариантного тора к хаотическому аттрактору
3. Обсуждение результатов. Процесс резания может служить примером сложной динамики. Без резания система имеет во всем пространстве состояния единственную асимптотически устойчивую точку равновесия, так как матрицы т , к и с в (1) являются симметричными и положительно определенными. При моделировании сил в координатах состояния в зависимости от параметров модели (6) и управляющих параметров (подачи, скорости резания и глубины) возможна потеря устойчивости равновесия и образование в его окрестности различных притягивающих множеств (устойчивых предельных циклов, инвариантных торов, хаотических аттракторов).
На устойчивость основное влияние оказывают скорость резания, изменяющая
величину запаздывающего аргумента, параметр р0, зависящий от ширины контакта режущего лезвия с обрабатываемой деталью, а также крутизна его изменения по мере вариаций скорости резания. При потере устойчивости, несмотря на существование двух источников самовозбуждения, имеющих различную природу, как правило, в системе образуется орбитально асимптотически устойчивый предельный цикл. На его параметры принципиальное влияние оказывает также параметр аг, определяющий нелинейное демпфирование колебаний. Характерно, что в
этом случае наблюдается затягивание двухчастотных периодических движений к одночастотным, имеющим различную ориентацию эллипса колебаний в пространстве. Следовательно, в зависимости от параметров предельного цикла, обнаруживаются различные механизмы преобразования периодических движений в свойства формируемой резанием поверхности. На этой основе возможно устранение нежелательных периодических движений инструмента относительно заготовки, то есть вибрационные алгоритмы повышения качества формируемой поверхности.
По мере увеличения жесткости процесса резания р0 возможно образование инвариантного двумерного тора, который через каскад бифуркаций удвоения периода колебаний при больших значениях р0 вызывает образования хаотических движений. Так как притяжение к двум предельным циклам чрезвычайно чувствительно к вариациям параметров, то по мере увеличения р0 траектории периодически переходят из областей притяжения двух взаимосвязанных предельных циклов. В результате формируется хаотическая динамика. Хаотическая динамика системы приводит к нерегулярному формированию поверхности обрабатываемой детали. Отметим, что хаотическое поведение колебаний инструмента экспериментально обнаружено во многих исследованиях (например, [18]). Отсутствие самовозбуждения системы в области высоких скоростей резания связано с тем, что в этом случае практически исчезают два рассмотренных в статье источника самовозбуждения системы. Однако в этом случае принципиальное значение приобретают параметрические явления, обусловленные периодическими изменениями параметров. Однако этот вопрос в настоящей статье не обсуждается.
Приведенные материалы позволяют также раскрыть общие закономерности потери устойчивости траекторий движения механических систем, взаимодействующих с различными средами. Раскроем их на примере устойчивости системы (9) для случая, когда Т = 0. Тогда (9) преобразуется к виду
d2x , dx
m —— + h--b cyx = 0.
dt2 z dt z
(10)
m 0" 1 b A hi - A " C1,1 + А3 c2,1
m = 0 m ; = Кг + Bi h2,2 - B2 _ ; = C1,2 b В3 C2,2
Матрицы к и сЕ являются несимметричными, то есть их можно представить в виде суммы симметричных и кососимметричных составляющих. Тогда за счет реакции со стороны процесса резания в системе могут формироваться дисси-пативные, ускоряющие, гироскопические, потенциальные упругие и циркуляционные силы, которые различным образом влияют на устойчивость [19]. Главный механизм потери устойчивости связан с образованием ускоряющих сил, формируемых симметричной составляющей матрицы к . В результате система может потерять устойчивость равновесия, так как гироскопические силы, формируемые косо-симметричной составляющей матрицы к , не могут стабилизировать равновесие [19]. Учет запаздывания сил по отношению к деформационным смещениям (Т Ф 0) лишь увеличивает преобразование симметричной части матрицы скоростных коэффициентов из положительно определенной в отрицательно определенную. В точке равновесия при традиционных режимах силами, действующими на заднюю грань инструмента, можно пренебречь, т.е. ¥(2)«2 ехр(«2Ус) ^ 0. Тогда необходимое условие устойчивости (10), определяется
к1,1к2,2 — р0ХМ(1 ^Р — Х12 )к1,1 еХР(—(V) — [к,2 — 0,5р0х2ма1(Бр — х12 )к,1 ехр(—(v)]2 )0.
Таким образом, потеря устойчивости зависит не только от р0 и ( , но и от режимов ^, V , геометрии инструмента, определяющего X , %2, а также матрицы диссипации подсистемы инструмента.
Матрица с , также представима в виде суммы симметричной и кососиммет-
ричной составляющих сЕ = С(с) + С(к). Кососимметричная составляющая " 0 — 0,5р0/2[1 + М ехр(—а^)]~
_0,5р0/2[1 + М exp(—alV)] 0 _
как известно, образует циркуляционные силы, ортогональные к направлениям деформационных смещений. Поэтому при резании всегда траектории движения инструмента в плоскости близки к эллипсу. Это экспериментально наблюдаемая особенность отмечается практически всеми исследователями. Дополнительно отметим, что циркуляционные силы, в отличие от потенциальных, совершают работу на виртуальных перемещениях. Этот факт имеет значение при оценивании работы силами резания при прогнозировании, например, развития износа инструмента [20-22]. Кроме этого параметры колебаний, сопровождающих процесс обработки, фактически характеризуют важную информационную базу, открывающую направление динамического мониторинга состояния систем по динамическим параметрам [20-22].
Заключение. Процесс обработки резанием имеет сложную динамику, которая образуется в результате взаимодействия динамических подсистем со стороны инструмента и обрабатываемой детали через среду, формируемую процессом резания. Взаимодействия этих подсистем осуществляется через силы, представленные в координатах состояния. В них отображаются многие сложные физические процессы, формирующие естественным образом множество взаимосвязанных источников самовозбуждения. Их взаимосвязанное рассмотрение не просто усложняет математическое описание, но и формирует новое качество системы, в которой в зависимости от параметров обнаруживаются многие, характерные для нелинейной динамики такие свойства, в частности, формирование различных притягивающих множеств (устойчивых предельных циклов, инвариантных торов, хаотических аттракторов и пр.). Эти свойства непосредственно влияют на выходные
г(к) _ С£
характеристики процесса обработки, изменяющиеся при варьировании параметров динамической связи и свойств взаимодействующих подсистем. Определение динамического состояния системы позволяет не только прогнозировать динамические режимы обработки, но и характеризуют информационную базу для динамического мониторинга состояния системы непосредственно при резании.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Tlusty J., Polacek A., Danek C. & Spacek J. Selbsterregte Schwingungen an Werkzeugmaschinen (VEB Verlag Technik, Berlin). 1962.
2. Заковоротный В.Л., Флек М.Б. Динамика процесса резания. Синергетический подход.
- Ростов-на-Дону: Изд-во «Терра», 2006. - 876 с.
3. Заковоротный В.Л., Лукьянов А.Д., Нгуен Донг Ань, Фам Динь Тунг. Синергетический системный синтез управляемой динамики металлорежущих станков с учетом эволюции связей. - Ростов-на-Дону: Изд-во ДГТУ, 2008. - 324 с.
4. Кудинов В.А. Динамика станков. - М.: Машиностроение, 1967. - 359 с.
5. Заковоротный В.Л., Фам Динь Тунг, Нгуен Суан Тьем. Математическое моделирование и параметрическая идентификация динамических свойств подсистемы инструмента и заготовки // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки.
- 2011. - № 2. - С. 38-46.
6. Stepan G. Delay-differential equation models for machine tool chatter // in Nonlinear Dynamics of Material Processing and Manufacturing, ed. Moon F.C. (John Wiley, NY). - 1998. - P. 165-192.
7. Corpus W.T., Endres W.J. Added stability lobes in machining processes that exhibit periodic time variation - Part 1: An analytical solution // J. Manuf. Sci. Engin. - 2004. - No. 126. - P. 467-474.
8. Gouskov A.M., Voronov S.A., Paris H.& Batzer S.A. Nonlinear dynamics of a machining system with two interdependent delays // Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simul. - 2002. - No. 7.
- P. 207-221.
9. Заковоротный В.Л. Фам Тхы Хыонг. Параметрическое самовозбуждение динамической системы резания // Вестник ДГТУ. - 2013. - № 5-6 (74-75). - С. 97-104.
10. Litak G. Chaotic vibrations in a regenerative cutting process // Chaos, Solitons & Fractals.
- 2002. - Vol. 13. - P. 1531-1535. doi:10.1016/S0960-0779(01)00176-X.
11. Grabec I. Chaotic dynamics of the cutting process // J Mach Tools Manufact. - 1988. - Vol. 28 (1). - P. 19-32. doi:10.1016/0890-6955(88)90004-1.
12. Wiercigroch M, Cheng AH-D. Chaotic and stochastic dynamics of orthogonal metal cutting // Chaos, Solitons & Fractals. - 1997. - Vol. 8 (4). - P. 715-726. doi: 10.1016/S0960-0779(96)00111-7.
13. Warminski J., Litak G., Cartmell M.P., Khanin R., Wiercigroch M. Approximate analytical solutions for primary chatter in the non-linear metal cutting model // Journal of Sound and Vibration. - 2003. - Vol. 259 (4). - P. 917-933. doi:10.1006/jsvi.2002.5129.
14. Заковоротный В.Л., Фам Д.Т., Нгуен С.Т. Математическое моделирование и параметрическая идентификация динамических свойств подсистем инструмента и заготовки при точении // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Серия: Технические науки.
- 2011. - № 2. - С. 38-46.
15. Заковоротный В.Л., Фам Д.Т., Нгуен С.Т. Моделирование деформационных смещений инструмента относительно заготовки при точении // Вестник ДГТУ. 2010. - Т. 10, № 7.
- С. 1005-1015.
16. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения // Собрание сочинений. Т. 2.
- М.: Изд-во АН СССР, 1959.
17. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. - М.: Наука, 1971. - 304 c.
18. Кабалдин Ю.Г. Самоорганизация и нелинейная динамика в процессах трения и изнашивания инструмента при резании. - Комсомольск на Амуре: Изд-во КнАГТУ, 2003. - 175 с.
19. ЛихадановВ.М. О стабилизации потенциальных систем // ПММ. - 1975. - Т. 39. - С. 53-58.
20. Заковоротный В.Л., Бордачев Е.В., Алексейчик М.И. Динамический мониторинг состояния процесса резания // СТИН. - 1998. - № 12. - С. 6-12.
21. Заковоротный В.Л., Ладник И.В. Построение информационной модели динамической системы металлорежущего станка для диагностики процесса обработки // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1991. - № 4. - C. 75-79.
22. Заковоротный В.Л., Бордачев Е.В. Информационное обеспечение системы динамической диагностики износа режущего инструмента на примере токарной обработки // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 1995. - № 3. - C. 95-101.
REFERENCES
1. Tlusty J., Polacek A., Danek C. & Spacek J. Selbsterregte Schwingungen an Werkzeugmaschinen (VEB Verlag Technik, Berlin). 1962.
2. Zakovorotnyy V.L., Flek M.B. Dinamika protsessa rezaniya. Sinergeticheskiy podkhod [Dynamics of cutting process. Synergetic approach] Rostov-on-Don: Izd-vo «Terra», 2006, 876 p.
3. Zakovorotnyy V.L., Luk'yanov A.D., Nguen Dong An', Fam Din' Tung. Sinergeticheskiy sistemnyy sintez upravlyaemoy dinamiki metallorezhushchikh stankov s uchetom evolyutsii svyazey [Synergetic synthesis system controlled dynamics of machine tools taking into account the evolution of the relations]. Rostov-on-Don: Izd-vo DGTU, 2008, 324 p.
4. Kudinov V.A. Dinamika stankov [Dynamics of machines]. Moscow: Mashinostroenie, 1967, 359 p.
5. Zakovorotnyy V.L., Fam Din' Tung, Nguen Suan T'em. Matematicheskoe modelirovanie i parametricheskaya identifikatsiya dinamicheskikh svoystv podsistemy instrumenta i zagotovki [Mathematical modeling and parameter identification of dynamic properties of the subsystems of the tool and workpiece], Izvestiya vyzov. Severo-Kavkazskiy region. Seriya: Tekhnicheskie nauki [University News. North-Caucasian Region. Technical Sciences Series], 2011, No. 2, pp. 38-46.
6. Stepan G. Delay-differential equation models for machine tool chatter ,in Nonlinear Dynamics of Material Processing and Manufacturing, ed. Moon F.C. (John Wiley, NY), 1998, pp. 165-192.
7. Corpus W.T., Endres W.J. Added stability lobes in machining processes that exhibit periodic time variation - Part 1: An analytical solution, J. Manuf. Sci. Engin., 2004, No. 126, pp. 467-474.
8. Gouskov A.M., Voronov SA., Paris H.& Batzer S.A. Nonlinear dynamics of a machining system with two interdependent delays, Commun. Nonlin. Sci. Numer. Simul., 2002, No. 7, pp. 207-221.
9. Zakovorotnyy V.L. Fam Tkhy Khyong. Parametricheskoe samovozbuzhdenie dinamicheskoy sistemy rezaniya [Parametric excitation of a dynamic system of cutting], Vestnik DGTU [Vestnik of Don State Technical University], 2013, No. 5-6 (74-75), pp. 97-104.
10. Litak G. Chaotic vibrations in a regenerative cutting process, Chaos, Solitons & Fractals, 2002, Vol. 13, pp. 1531-1535. doi:10.1016/S0960-0779(01)00176-X.
11. Grabec I. Chaotic dynamics of the cutting process, J Mach Tools Manufact., 1988, Vol. 28 (1), pp. 19-32. doi:10.1016/0890-6955(88)90004-1.
12. Wiercigroch M, Cheng AH-D. Chaotic and stochastic dynamics of orthogonal metal cutting, Chaos, Solitons & Fractals, 1997, Vol. 8 (4), pp. 715-726. doi:10.1016/S0960-0779(96)00111-7.
13. Warminski J., Litak G., Cartmell M.P., Khanin R., Wiercigroch M. Approximate analytical solutions for primary chatter in the non-linear metal cutting model, Journal of Sound and Vibration, 2003, Vol. 259 (4), pp. 917-933. doi:10.1006/jsvi.2002.5129.
14. Zakovorotnyy V.L., Fam D.T., Nguen S.T. Matematicheskoe modelirovanie i parametricheskaya identifikatsiya dinamicheskikh svoystv podsistem instrumenta i zagotovki pri tochenii [Mathematical modeling and parameter identification of dynamic properties of the subsystems of the tool and workpiece when turning], Izvestiya vyzov. Severo-Kavkazskiy region. Seriya: Tekhnicheskie nauki [University News. North-Caucasian Region. Technical Sciences Series], 2011, No. 2, pp. 38-46.
15. Zakovorotnyy V.L., Fam D.T., Nguen S.T. Modelirovanie deformatsionnykh smeshcheniy instrumenta otnositel'no zagotovki pri tochenii [The modeling of deformation displacements of the tool relative to the workpiece when turning], Vestnik DGTU [Vestnik of Don State Technical University], 2010, Vol. 10, No. 7, pp. 1005-1015.
16. Lyapunov A.M. Obshchaya zadacha ob ustoychivosti dvizheniya [A General problem of stability of motion], Sobranie sochineniy [Works]. Vol. 2. Moscow: Izd-vo AN SSSR, 1959.
17. Merkin D.R. Vvedenie v teoriyu ustoychivosti dvizheniya [Introduction to the theory of stability of motion]. Moscow: Nauka, 1971, 304 p.
18. Kabaldin Yu.G. Samoorganizatsiya i nelineynaya dinamika v protsessakh treniya i iznashivaniya instrumenta pri rezanii [Self-organization and nonlinear dynamics in the processes of friction and wear of the cutting tool when]. Komsomol'sk na Amure: Izd-vo KnAGTU, 2003, 175 p.
19. Likhadanov V.M. O stabilizatsii potentsial'nykh sistem [On stabilization of potential systems], PMM [Journal of Applied Mathematics and Mechanics], 1975, Vol. 39, pp. 53-58.
20. Zakovorotnyy V.L., Bordachev E.V., Alekseychik M.I. Dinamicheskiy monitoring sostoyaniya protsessa rezaniya [Dynamic condition monitoring of the cutting process], STIN [Machines and Tools], 1998, No. 12, pp. 6-12.
21. Zakovorotnyy V.L., Ladnik I.V. Postroenie informatsionnoy modeli dinamicheskoy sistemy metallorezhushchego stanka dlya diagnostiki protsessa obrabotki [The building information model of the dynamic system of the cutting machine for the diagnosis of the treatment process], Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin [Journal of Machinery Manufacture and Reliability], 1991, No. 4, pp. 75-79.
22. Zakovorotnyy V.L., Bordachev E.V. Informatsionnoe obespechenie sistemy dinamicheskoy diagnostiki iznosa rezhushchego instrumenta na primere tokarnoy obrabotki [Information support system of dynamic diagnostics of wear of the cutting tool on the example of turning], Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin [Journal of Machinery Manufacture and Reliability], 1995, No. 3, pp. 95-101.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор В.В. Шаповалов.
Заковоротный Вилор Лаврентьевич - Донской государственный технический университет; e-mail: vzakovorotny@dstu.edu.ru; 344010, г. Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1; тел.: 88632738510; кафедра автоматизации технологических процессов; д.т.н.; профессор.
Лукьянов Александр Дмитриевич - e-mail: alexlukjanov1998@gmail.com; тел.: +79085069508; кафедра автоматизации технологических процессов; зав. кафедрой; к.т.н.; доцент.
Zakovorotny Vilor Lavrent'evich - Don State Technical University; e-mail: vzakovorotny@donstu.ru; 1, Gagarin sq. Rostov-on-Don, 344000, Russia; phone: +78632738510; the department of production processes automation; dr. of eng. sc.; professor.
Lukjanov Alexandr Dmitrievich - e-mail: alexlukjanov1998@gmail.com; phone: +79085069508; the department of production processes automation; head of the department; cand. of eng. sc.; associate professor.
УДК 519.178
А.Н. Шабельников
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИСПЕТЧЕРИЗАЦИИ НА СОРТИРОВОЧНЫХ СТАНЦИЯХ И ГОРКАХ
Рассматривается класс задач диспетчеризации, касающихся определения оптимальной очередности обслуживания транспортных единиц и порядка их передвижений на примере задач формирования-расформирования железнодорожных составов на сортировочных станциях. Приводятся формализованные постановки нескольких вариантов данных задач. С математической точки зрения задачи диспетчеризации, связанные с определением оптимальных расписаний, маршрутов и порядка движения транспортных единиц, относятся к классу пр-полныгх задач, для решения которых хорошо зарекомендовали себя метаэвристические алгоритмы, основанные на идеях направленного случайного поиска и позволяющие находить оптимальные или близкие к ним решения пр-сложных задач за приемлемое время. В настоящей работе дается краткий анализ метаэвристических алгоритмов, используемых для решения задач диспетчеризации на железнодорожном транспорте, и на примере задач управления порядком роспуска составов на сортировочной горке рассматривается новый алгоритм диспетчеризации на основе случайного поиска с запретами. Рассматривается общий метаэвристический подход к их решению. На основе данного подхода предлагается новый вероятностный алгоритм локального поиска с запретами. Алгоритм осуществляет локальный поиск в пространстве возможных решений с использованием процедур интенсификации и диверсификации поиска, основанных на адаптивном изменении параметра рандомизации окрестности. Приводятся результаты численных экспериментов, показывающих эффективность алгоритма. На основе численных экспериментов быти найдены оптимальные значения параметров алгоритма: параметр рандомизации и длина списка запретов. На известных тестовых примерах для частных случаев задачи
