CC BY
39
САМОФОКУСИРОВКА СВЕТОВЫХ СГУСТКОВ С ПРОДОЛЬНЫМИ И ПОПЕРЕЧНЫМИ РАЗМЕРАМИ В НЕСКОЛЬКО ДЛИН ВОЛН С. А. Козлов, П. А Петрошенко
Проанализирована непараксиальная самофокусировка импульсов из нескольких колебаний светового поля в прозрачных нелинейных средах с дисперсией. Показано, что в результате самовоздействия таких предельно коротких импульсов спектр излучения сверхуширяется ассиметрично как в красную, так и в синюю области, причем более эффективно на всех пространственных частотах оно идет в синюю область.
В последнее десятилетие были созданы и появились во многих научных лабораториях лазерные системы, которые позволяют получать импульсы, содержащие лишь несколько колебаний светового поля [1-3]. Понятие огибающей для таких предельно коротких импульсов (ПКИ) теряет свое физическое содержание, поэтому при описании их распространения перестают быть оправданными традиционные в нелинейной оптике уравнения эволюции огибающих [4, 5].
Теория нелинейного распространения ПКИ в различных средах строится, как правило, на уравнениях, описывающих динамику не огибающей импульса, а непосредственно его поля (смотри, например, обзоры [6-8]). Большая часть этих публикаций посвящена изучению закономерностей самовоздействия ПКИ с неизменной поперечной структурой (что предполагается в первом приближении справедливым в волноводах). Изменение поперечного пространственного распределения поля ПКИ (в объемных нелинейных средах) рассматривалось в значительно меньшем числе работ. Основная их часть посвящена параксиальной эволюции ПКИ. Например, в [9] сформулирован метод вывода уравнений параксиальной дифракции ПКИ, в [10] приведены уравнения параксиальной динамики поля ПКИ в нелинейной диэлектрической среде с дисперсией. В [11] численным решением этих уравнений продемонстрирована возможность формирования сложных электромагнитных образований в виде световых «гантелей», «пузырей» и т.п. При анализе результатов численного моделирования в [11] было отмечено, что строгая теория самовоздействия ПКИ в объемных средах должна быть непараксиальной, поскольку при расчете пространственно-временной эволюции импульсов с малым продольным размером следует учитывать возможность появления в их структуре и поперечных неоднородностей такого же масштаба.
В работе [12] было показано, что при рассмотрении непараксиальной динамики ПКИ значительные преимущества перед полевым может иметь спектральный подход. В этой работе было выведено укороченное уравнение, описывающее непараксиальную динамику пространственно-временного спектра ПКИ в однородной изотропной диэлектрической среде с произвольной спектральной зависимостью линейного показателя преломления и нерезонансной электронной нелинейностью.
В настоящей работе решения этого уравнения анализируются методами компьютерного моделирования. Показано, что происходящее в нелинейной среде неоднородное самоуширение временного спектра ПКИ происходит на всех пространственных частотах эффективнее в синюю область.
В работе [12] было показано, что динамика пространственно-временного спектра
электрического поля Е ( г, х, I) двумерного пучка TE-поляризованного излучения, которое распространяется в изотропной нелинейной диэлектрической среде, может быть описана уравнением
(1)
д? +1 шп(ш)
& с
1 —
&2 ш2 п 2(ш)
• Я+1
; Хш
4п3с
'Ш' ^> пх, а>в) •
• ?(кх - тх - пх,ш - а) • ?(тх,а - Р)Я(пх, №тхёпхёаф = 0,
В (1, 2) г - направление распространения излучения, х - поперечная координата; t -время; кх и ш - частоты пространственного и временного спектра; п(ш)- линейный показатель преломления среды, х - нелинейная восприимчивость, характеризующая нелинейную часть поляризованности среды Рп1 =%Е3, которая в [12] и в данной работе предполагается безинерционной из-за ее нерезонансной природы; функция ф описывается соотношением
ф(кх,ш тх, пх,ав) =
шп(ш),
1 -
кх2с 2 ш2 п 2(ш)
+(ш - а)п(ш - а).
1 - (кх - тх - пх)2с2 +
(ш - а)2 п 2(ш - а)
+ (а - Р)п(а - в)
1 -
2 2 Шх с
(а-в)2п2(а - в)
+ Рп(р)
1-
22 пхс
в2п2(в)
Уравнение (2) было выведено в [12] обобщением линейного уравнения, строго описывающего непараксиальную дифракцию и дисперсию малоинтенсивного пучка однонаправленного излучения, на случай высокоинтенсивного света в предположении, что нелинейная добавка к поляризованности среды существенно меньше ее линейной по полю части. В [12] отмечено и дополнительное ограничение на применимость уравнения (2), которое не описывает явление самоотражения излучения назад. Из-за изменения модуля пространственно-временного спектра в нелинейной среде подкоренное выражение во втором слагаемом уравнения (2) может стать отрицательным, а само слагаемое действительным. В этом случае из физических соображений знак корня должен быть выбран отрицательным. Слагаемое при этом становится положительным, что соответствует появлению в среде экспоненциально спадающих вдоль 2 (а не возрастающих) спектральных компонент [13, 14], аналогичных возникающим при полном внутреннем отражении. Если уменьшение энергии излучения, распространяющегося вперед, значительно, то математическая модель взаимодействия света с веществом (2) требует дополнительного уравнения, описывающего волну, генерируемую назад.
Фундаментальным, наблюдаемым при высоких интенсивностях излучения практически во всех прозрачных средах эффектом нелинейной оптики фемтосекундных импульсов является генерация спектрального суперконтинуума, при которой ширина спектра излучения в нелинейной среде становится соизмеримой с его центральной частотой [15-17]. Параксиальная теория этого явления для импульсов, содержащих много осцилляций светового поля, изучалась в большом числе работ на основе уравнений «медленной» динамики их огибающих (см., например, [18, 19] и ссылки в них). В этих работах было показано, что сопровождающее дисперсионную самофокусировку явление сверхуширения спектра излучения происходит как в красную, так и в синюю области. При этом значительный сдвиг в синюю область спектра может произойти при опрокидывании ударной волны огибающей импульса [19]. Такая возможность была подтверждена и для поперечно широких ПКИ, параксиальная динамика которых рассчитывалась в рамках полевого подхода [11].
Преобразуем уравнение (2), используя подстановку:
(
Я (кх, ш 2 ) = и (кх, ш 2 )ехр
-1-
.шп
(ш)
1 -
, 2 2 кхс
Л
2 2 шп
(ш)
(3)
—00
2
с
где о г) = ^к о г) • После указанных преобразований уравнение (2) принимает вид:
ди + Г[ Г Г
дг 4п3с2 JJJJ
и (кх - тх - пх, о-а)и (тх, а-р)и (пх, в)
ои(ю) 1
22
к2с
( (
ехр
и
оп(о) 1
V V
, 2 2 кхС
о2 п2 (о)
с
о2 п2 (о)
+Л
- А
йпхйтхйойв = 0,
где
А=(о-а)п(о-а) 1 -кк£—тх—Пх))+
(о - а)2 п2 (о - а)
+ (в)п(в)
(а-в)п(а-в) Г
22 тх с
22 1 - пх с
в2п2(в)'
(4)
с у (а-в)2 п2 (а-в) с Проведем нормировку уравнения (4), сделав замену переменных и = иои, где ио- наибольшее значение величины и(к о г) ' ® = ®о®, ®0 - центральная час-
с
тота излучения; кх = к}
оо п(с°0 ); п(о ) = п(о )• п(о0 ); г = г
. Опуская для про-
с ' ' ' ' ' ' о0п(о0)
стоты восприятия значки «~», в сделанных выше предположениях уравнение (4) можно записать в нормированном виде:
ди
• + ю'
хи 0о
2 4 +<»
дг "" 4п3с2
-шя
и (кх - тх - пх, о - а)и (тх, а - в)и (пх, в)
оп1
(о) 1 -
кх2
о2 п2 (о)
+ А
( г
ехр
и
оп
(о) 1 -
к2
V V
о2 п2 (о)
- А
йпхйтхйойв = 0,
(5)
где
А = (о - а)п(о - а)
1 ( - тх - пх)2 +
(о - а)2 п2 (о - а)
+ (а - в)п(а - в)
1-
тх
+ вп(в) 1 -
пх
в2 п2 (в)'
(а-в)2 п2 (а-в)
Численные решения уравнения (5) будем находить для вспомогательной функции и, но их иллюстрации ниже будем по-прежнему приводить для спектра g и поля Е . При численном интегрировании (5) использовали метод Симпсона [20]. Численное дифференцирование производили методом Адамса-Мунда [21].
Промоделируем на основе уравнения (5) нелинейную эволюцию спектра ПКИ титан-сапфирового лазера в кварцевом стекле. Входное пространственно-временное распределение импульса будем предполагать гауссовым с начальной фазовой модуляцией. Дисперсию кварцевого стекла охарактеризуем зависимостью [22] п(о) = Ы0 + ао2, где
2 15 -1
Ы0 = 1.450; ао0 = 0.007; о0 = 2,4-10 с . Пространственно-временные размеры ПКИ
полагаем равными
а
2п
Т0
= 2.5 и — = 2.5, где Т0 = — = 2.6 фс и X0 =
X
о0
2пс
о0
= 0.7 мкм.
с
—оо
2
2
I
0
Имеющий смысл нелинейной добавки к показателю преломления параметр
3лх£о -3 _ , ,
•предполагаем равным 1.3 -10 . При значении коэффициента нелинейного пока-
2п(шо)
зателя преломления кварцевого стекла п2 = 2.9 -10
-16
пиковой интенсивности I = 5 -10
12
Вт
См
2 '
См
Вт
такая добавка возникает при
х/Ъ
J__
2 3
2 = 2.5 X 0
J_I_1_
Щи
2.5 О
-2.5
15
Г, Тв
1 2
2 = 5 Х0
ИМ
1.
20 ^
хАо
2.5 О
-2.5
О
2 = 5 X,
0
1М
1.
хАо
2.5 О
-2.5
20 ^
О
2 = 5 X
0
ИМ
20 Гэ
Рис. 1. Эволюция нормированных модуля спектральной плотности ? в осевом сечении и электрического поля Е импульса титан-сапфирового лазера в кварцевом стекле при
,13 Вт
входной пиковой интенсивности I = 0,5 • 101
см
На рис. 1 изображены временной спектр сигнала и соответствующее ему плоскостное изображение поля импульса для разных значений пройденного импульсом расстояния в среде. Из рисунка видно, что при распространении импульса в среде происходит неравномерное сверхуширение спектра как в синюю, так и в красную области. Нелинейная эволюция спектра сопровождается эффективной генерацией высокочастотных компонент. В результате нелинейного самовоздействия в «перетяжке» импульс претерпевает более сильное по сравнению с линейным случаем сжатие с появлением крылообразных возмущений в центральной части импульса.
Таким образом, в настоящей работе рассмотрена эволюция спектра световых образований с малыми (порядка длины волны) как поперечными, так и продольными размерами при их самофокусировке в прозрачных средах с дисперсией и нерезонансной нелинейностью. Показано, что неоднородное уширение спектра в красную и синюю области, в том числе генерация утроенных компонент, приводит к формированию импульса с гантелеобразным распределением поля. Уширение временного спектра на всех пространственных частотах более эффективно идет в синюю область спектра.
В рамках данной научно-исследовательской работы в 2003 году исследовались и другие проблемы непараксиальной динамики светового излучения в нелинейных средах [23-27].
Литература
1. Steinmeyer G., Sutter D.H., Gallman L., Matuschek N., Keller U. Frontiers in ultrashort pulse generation: pushing the limits in linear and nonlinear optics // Science. 1999. V. 286. P. 1507-1512.
2. Brabec Th., Krausz F. Intence few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics.// Rev. Mod. Phys. 2000. V. 72. № 2. P.545-591.
3. Cerullo G., De Silvestri S., Nisoli M., Sartania S., Stagira S., Svelto O. Few-optical cycle laser pulses: From high peak power to frequency tunability // IEEE J. of Selected Topics in Quantum Electronics. 2000. V. 6. № 6. P. 948-958.
4. Ахманов С. А., Выслоух В. А., Чиркин А. С. Оптика фемтосекундных лазерных импульсов. М.: Наука, 1988. 312 с.
5. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика.. М.: Мир, 1996. 324 с.
6. Маймистов А. И. Некоторые модели распространения предельно коротких электромагнитных импульсов в нелинейной среде.// Квантовая электроника. 2000. Т. 30. № 4. С.287-304.
7. Козлов С. А. Проблемы нелинейной оптики импульсов предельно коротких длительностей.// Вестник молодых ученых, сер. физические науки. 2000. № 1. С.7-16.
8. Bespalov V.G., Kozlov S.A., Shpolyansky Yu.A., Walmsley I.A. Simplified field wave equations for nonlinear propagation of extremely short light pulses // Phys. Rev. A. 2002. V. 66. 013811 (10 p.).
9. Беленов Э.М., Назаркин А.В. Нестационарные дифракционные эффекты при распространении сгустка электромагнитного поля в вакууме.// Письма в ЖЭТФ. 1991. Т. 53. В.4. С.188-191.
10. Козлов С.А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах .// ЖЭТФ. 1997. Т.111. В.2. С.404-418.
11. Берковский А.Н., Козлов С. А., Шполянский Ю.А. Самофокусировка импульсов с малым числом колебаний светового поля .// Оптический журнал, 2002. T.69. № 3. С.35-42.
12. Козлов С.А., Петрошенко П.А. Самоделение импульсов из нескольких колебаний светового поля в нелинейной среде с дисперсией.// Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 76. В. 4. С 241-245.
13. Feit M.D., Fleck J.A., Beam nonparaxiality, filament formation, and beam breakup in self-focusing of optical beams // J .Opt. Soc. Am. B. 1998. V. 5. № 3. P. 633-640.
14. Изъюров С.А., Козлов С.А. Динамика пространственного спектра световой волны при ее самофокусировке в нелинейной среде.// Письма в ЖЭТФ. 2000. Т. 71., № 11. С. 666-670.
15. Alfano R.R., ed., The Supercontinuum Laser Source (Springer-Verlag, Berlin, 1989)
16. Brodeur A., Chin S.L. Ultrafast white-light continuum generation and self-focusing in transparent condensed media // J .Opt. Soc. Am. B. 1999. V. 16. № 4. P. 637-650.
17. Ranka J.K., Windeler R.S., Stentz A.J. Visible continuum generation in air-silica microstructure optical fibers with anomalous dispersion at 800 nm // Optics Letters. 2000. V. 25. № 1. P. 25-27;
Coen St., Chau A.H.L., Leonhard R., Harvey J.D., Knight C.J., Wardsworth W.J., Russel Ph.St.J. Supercontinuum generation by stimulated Raman scattering and parametric four-wave mixing in photonic crystal fiber // J .Opt. Soc. Am. B. 2002. V. 19. № 4. P. 753764.
18. Chin S.L., Brodeur A., Petit S., Kosareva O.G., Kandidiov V.P. Filamentation and super-continuum generation during the propagation of powerful ultrashort laser pulses in optical media (white light laser) // J. Nonl. Opt. Phys. and Mater. 1999. V.8. № 1. P. 121-146.
19. Gaeta A.L. Catastrophic collapse of ultra short pulses. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 84. № 16. P. 3582-3585.
20. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Гобельков Г.М. Численные методы. 1990. С. 97
21. S.D. Conte, Carl de Boor. Elementary Numerical Analysis in Algorithmic Approach. New York, 1980. P. 382
22. Беспалов В.Г., Козлов С.А., Сутягин А., Шполянский Ю.А. Сверхуширение спектра интенсивных фемтосекундных лазерных импульсов и их временное сжатие до одного колебания поля. // Оптический журнал. 1998. Т. 65. № 10. C 85-88.
23. Розанов Н.Н. Отражение сверхкоротких импульсов от границы среды Друде-Лоренца. // Опт. и спектр. 2003. Т.94. № 3. С.449-452.
24. Розанов Н.Н. О слабонепараксиальных пространственных оптических солитонах при различных механизмах керровской нелинейности. // Опт. и спектр. 2003. Т.94. №6. С.947-950.
25. Розанов Н.Н. О дифракции предельно коротких импульсов. // Опт. и спектр. 2003. Т.95. №2. С.327-330.
26. Розанов Н.Н.. Оптические солитоны: новые типы и свойства. Опт. журнал. 2003. Т.70. №12. С.73-78.
27. Богумирский О.Б. Уравнения непараксиальной динамики спектра ТМ-поляризованного монохроматического излучения в нелинейной среде. / В кн.: Современные технологии. Под редакцией С. А. Козлова. СПб: СПбГУ ИТМО, 2003. С. 211-216.
