Нелинейное параксиальное отражение от диэлектриков импульсов из малого числа колебаний светового поля Текст научной статьи по специальности «Физика»

нелинейное параксиальное отражение

от диэлектриков импульсов из малого числа колебаний светового поля О.А. Мохнатова, А.Н. Берковский, С.А. Козлов

Получена зависимость пространственно-временного спектра импульса, отраженного от диэлектрической среды с нерезонансной дисперсией и нелинейностью, от пространственно-временного спектра падающего параксиального пучка, состоящего из малого числа колебаний светового поля. Промоделировано отражение таких предельно коротких импульсов от границы раздела воздух-кварцевое стекло.

Введение

Лазерные системы, генерирующие импульсы из малого числа колебаний, имеются уже в целом ряде научных лабораторий [1]. Закономерности распространения таких предельно коротких импульсов (ПКИ) в нелинейных средах рассматривались во многих теоретических и экспериментальных работах (см., например, их обзоры в [2-4]). Особенности нелинейного отражения ПКИ исследовались значительно реже. В работах [5-7] теоретически рассматривались задачи отражения плоских однородных предельно коротких волн. В настоящей работе изучается нелинейное отражение поперечно неоднородных ПКИ.

Уравнение для пространственно-временного спектра отраженного излучения

Параксиальная динамика вдоль оси г поля Е линейно-поляризованного импульса из малого числа колебаний в диэлектрической однородной и изотропной среде с электронной нелинейностью может быть описана уравнением [2]

- a ^ + b \Edt' + gE2 — = Д, IEdt', (1)

J 6 dt 2 N„ X J W

dE N0 dE д3E r , dE

— + —0--a—— + b IEdt' + gE2 —

dz c dt dt3 J dt 2N0

где No, a, b - эмпирические константы, характеризующие дисперсию показателя преломления среды

n(m) = N0 + Дп(т),

Д \ 2 b (2)

Дп(т) = cam — c —, . m

g = —2 описывает безынерционную нелинейность ее поляризационного отклика, n2 -c

коэффициент нелинейного показателя преломления среды (в СГСЕ), с - скорость света, z - направление, вдоль которого распространяется излучение, Д± - поперечный лапласиан, t - время.

Граничные условия при падении параксиального излучения на границу раздела сред под малыми углами имеют вид [8]

En + Eo = Enp ,

dE^+E =dEm, (3)

dz dz dz

где Еп , Ео и Епр - напряженности электрического поля падающей, отраженной и преломленной волн, соответственно.

Будем полагать, что световое излучение падает на границу раздела линейная среда (характеризуемая дисперсионными параметрами N1, a1, b1) - нелинейная среда (характеризуемая N2, a2, b2 и нелинейным коэффициентом g ) вдоль положительного на-

—<х>

правления оси г из линейной среды. Тогда для падающей, отраженной и преломленной волн выполняются соотношения

дЕп + _ ^ + = д± \Е Л,

1 ^ п 2 N ± 3 п

дг с д' 1 д'3 1 _ П 2Ы1

— О 1 —О

дЕ° Е + 01 ^ _ ¿1 \еоШ' = —А, \ЕоЛ', (4)

дг с д' 1 д'3 1 1,0

1 ^ - ^ ^ — О 1 — О

г

дЕпр N2 дЕпр д Епр 1 Г ^ ^ 2 дЕпр

+ ^-— _ а2-^ + Ь2 \Епрёг +"Т7 ^

— Г/1 ^ — Г/1

—<х>

Используя граничные условия (3), несложно получить связь между полем отраженного и падающего излучения вида

- 3ЗЕп ,, ^ - с А N1 дЕо ,дЗЕо ' " '

^^ — „ ^ + Ь ¡ЕЖ' —— А, ¡ЕЖ—^^ + о1 ^ — а ГЕо"'' + —А, \Её'--с дг 1 д'3 1 _ п 2М ±_| п с д' 1 д'3 1 0 2М -1 о

— СО 1 —СО —СО 1 —СО

'

¿2 \ (Еп + Ео К-

N2 д(Еп + Ео) — о д3(Еп + Ео) '-

д' 2 д'3 42 д(Еп + Ео) с

п ^ + Ь 1(Е„ + Е)"' +

—ад '

+ J

+ £(п + Ео)Епдр) — ^А, /(Еп + Ео)"'. (5)

Уравнение (5) для пространственно-временного спектра излучения О (а, кх, ку ) = /// Е (', х, у) ехр [(а' — кхх — куу)] "у (6)

решается в квадратурах, и с учетом нерезонансной дисперсии, при которой Ап(а) << Ы0, а также малости Ео по сравнению с Еп (что характерно для диэлектриков),

зависимость спектра отраженного излучения Оо от спектра падающего Оп может быть приведена к виду

О = п1 — п2

V пп а2 I

V 1 2 У

Оп — 3 ( +1 4, (7)

3 («1+ п2 )

п + п где

О1(а, кх, ку) = ^//////Оп (а — а', кх — к'х, ку — ку)О„(а' —а', кX — к'', ку — ку") х х Оп(а", кХ,к"у)с1а'с1к'хс1к'у "а""к^к''.

Линеаризованное соотношение (7), как несложно проверить, эквивалентно формулам Френеля в приближении параксиального излучения.

Численное моделирование отражения импульсов из малого числа колебаний от границы раздела воздух-кварцевое стекло

Рассмотрим отражение импульса из малого числа колебаний, имеющего вид

-/'Г —2.Г х I2 — 2/4

Е = Е0 • е т • е р • е Кр) • сов(а0'), (8)

где р, т - пространственно-временные параметры падающего излучения, а0 - его центральная частота, Ео - амплитуда. Соответственно, спектр падающего импульса имеет вид:

О(а, х,у) = О0 е^8) е^'8

(—т2 (®+®0 )/8) (—т2 (®—®0 )/8)

(9)

Е0 „2 I П

.3/2

где О0 =Т .

Для целей численного моделирования соотношениия (7)-(9) удобно нормировать,

~ E ~ ~ х ~ у _ вводя новые переменные: E = ; t = с01; х = —; у = — . Соответственно, переменные

En

в спектральной области имеют вид О =

Р

Р

О_

Оо

® % кх 0 кУ тг

со = —; к„ = —; к„ = —. После нормировки

С

Р

у

Р

формула (8) может быть записана (знак «~» опускаем) в виде

О = П1 - П2

пх + п2

1+

Б кХ + к

2 Л

П1П2

С

о.-Ю-

п1 + п2

(10)

д

где п (с) = Ыг + А®--2, А = агею0 и Дг = Ьгс/с0 характеризуют дисперсию линей-

с

ного показателя преломления, Е = —сЕ02 = —п2I - его нелинейность, П2 - коэффициент нелинейного показателя преломления (в СИ), I - пиковая интенсивность излучения (в

СИ), а Б =

2 2 Р С

характеризует дифракцию пучка.

На рис. 1-3 приведены результаты численного моделирования решения задачи об отражении, которые иллюстрируют изменение структуры электрического поля и пространственно-временного спектра излучения с центральной длиной волны X = 780 нм, соответствующей излучению титан-сапфировго лазера, с пространственно-временными параметрами р = 5 • X и т = 1.5 • к/с, падающего из воздуха на кварцевое стекло N = 1.4508, а = 2.7401 • 10-44 с3/см, Ь = 3.9437 • 1017 1/(с • см), п2= 2.9 • 10-13 см2/кВт),

для различных пиковых интенсивностей. При таких параметрах излучения и характеристиках среды коэффициенты нормированного уравнения (10) имеют следующие значения: А2 = 4.801-10-3; Д2 = 2.026-10-3; Б = 1.013-10-3.

На рис. 1 представлены электрическое поле Еп и спектр Оп падающего импульса, имеющего вид (8), (9).

а) б)

Рис. 1. а) Поле Еп и б) спектр Оп падающего на границу раздела сред импульса

На рис. 2 приведены электрическое поле Ео и спектр Оо отраженного импульса при интенсивности падающего I = 1 • 1014 Вт/см2 (Е = 0.058). Из рисунка видно, что фаза линейной части отраженного импульса испытывает скачок на п, что обусловлено отражением от более плотной среды. Основным нелинейным эффектом является генера-

2

с

ция излучения на утроенной частоте, оно составляет около 1% от излучения на центральной частоте. Величина полуширина третьей «гармоники» составляет чуть больше половины полуширины первой гармоники (60%).

а)

Рис. 2. а) Поле Ео и б) спектр 0о отраженного от границы раздела сред импульса при интенсивности падающего I = 1 • 1014 Вт/см2 (Г = 0.058)

На рис. 3 продемонстрированы электрическое поле Ео и спектр Оо отраженного импульса при большей интенсивности падающего излучения: I = 5 • 1014 Вт/см2 (Е = 0.29). Из этого рисунка видно, что с ростом интенсивности падающего излучения значение максимума третьей «гармоники» увеличивается (составляет 4%), а также незначительно растет и значение полуширины третьей «гармоники» (62%).

а)

Рис. 3. а) Поле Ео и б) спектр 0о отраженного от границы раздела сред импульса при большей интенсивности падающего I = 5 • 1014 Вт/см2 (Г = 0.29)

Отражение от просветленной границы раздела диэлектрических сред

Будем полагать, что показатели преломления граничащих сред выровнены для центральной частоты ю0 = 2п с/к (т.е. N = 1, а1 = 258,89 • 10-44 с3/см, Ь1 = 0 (с • см)-1 , а Ы2, а2, Ь2 соответствуют кварцевому стеклу). Для первоначального импульса с интенсивностью I = 5 • 1014 Вт/см2 получаем поле и спектр отраженного импульса (рис. 4). Наблюдается изменение формы спектра и поля отраженного импульса. Нулевое отражение на центральной частоте падающего света приводит к появлению провала в спектре отраженного импульса. Провал наблюдается не только по частотной оси, но имеет

место и на пространственной. Созданный провалом малый пик меньше главного по амплитуде примерно на 30%. Третья «гармоника» составляет 15% от главного пика линейной части отраженного излучения, а ее полуширина - 72 %.

а)

б)

Рис.4. а) Поле Ео и б) спектр 0о отраженного от просветленной границы разде-

14 2

ла сред импульса при интенсивности падающего I = 5 • 10 Вт/см2 Отражение двух одновременно падающих предельно-коротких импульсов

Рассмотрим случай, когда на границу раздела воздух-кварцевое стекло падают одновременно два одинаковых ПКИ с центральной длиной волны = 780 нм и Х2 = 390,5 нм для первого и второго импульса, соответственно. Из рис. 6 видно, что в этом случае наблюдается генерация более высоких гармоник. Это связано с различными комбинациями частот. На рисунке можно легко отделить 6 из 8 максимумов спектральной плотности излучения на комбинационных частотах ю1, ю2, 3ю1, 2ю1 + ю2, 2ю2 + ю1, 3ю2, тогда как «гармоника» на частоте, равной 2ю1 - ю2, находится уже в тера-герцовой области излучения. Последняя «гармоника» на частоте 2со2 - ю1 находится между второй и третьей, поэтому на рисунке она не видна.

а)

Рис. 6. а) Поле Ео и б) спектр 0о отраженного от границы раздела сред излучения при интенсивности падающего I = 1 • 1014 Вт/см2, состоящего

из двух импульсов

Заключение

Основной нелинейный эффект при нормальном отражении импульсов из малого числа колебаний светового поля от границы раздела воздух-кварцевое стекло - генерация утроенной частоты. С ростом интенсивности падающего излучения наблюдается увеличение значения максимума и полуширины ее спектральной плотности. В случае, когда на границу раздела воздух-кварцевое стекло падают одновременно два одинаковых ПКИ с разной центральной частотой, наблюдается появление комбинационных частот.

Работа поддержана программой «Развитие научного потенциала высшей школы», грант РНП.2.1.1.6877, и грантом РФФИ №05-02-16556.

Литература

1. Cerullo G., De Silvestry S., Nisoli M., Sartania S., Stagira S., Svelto O. Few-optical cycle laser pulses: From high peak power to frequency tenability. // IEEE J. of Selected Topics in Quantum Electronics. 2000. V.6. №6. P.948-958.

2. Козлов С.А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах. // ЖЭТФ. 1997. Т.111. В.2. С.404-418.

3. Brabec Th., Krausz F. Intense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics. // Rev. Mod. Phys. 2000. V.72. №2. P.545-591.

4. Bespalov V.G., Kozlov S.A., Shlolyansky Yu.A., Walmsley I.A. Simplified field wave equations for nonlinear propagation of extremely short light pulses. // Phys. Rev. A. 2002. V. 66. 013811 (10 p.).

5. Украинский А.О. Поляризационное самовоздействие импульсов предельно коротких длительностей в диэлектрических средах. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.05 - Оптика, 2003, 111 с.

6. Ястребова Н.В., Шполянский Ю.А., Козлов С.А. Нелинейное отражение импульсов из малого числа колебаний светового поля от просветленной границы раздела сред. // Оптический журнал. 2004. Т. 71. №6. С. 78-83.

7. Розанов Н.Н., Отражение сверхкоротких импульсов от границы раздела среды Дру-де-Лоренца. // Опт. и спектр. 2003. Т.94. №3. С.449-452.

8. Мохнатова О.А., Козлов С.А. Изменение пространственно-временных спектров импульсов предельно коротких длительностей при нелинейном параксиальном отражении от диэлектриков. / Труды IV международной конференции молодых ученых и специалистов «Оптика-2005», 2005. С.84-85.