CC BY
24
нелинейное параксиальное отражение
от диэлектриков импульсов из малого числа колебаний светового поля О.А. Мохнатова, А.Н. Берковский, С.А. Козлов
Получена зависимость пространственно-временного спектра импульса, отраженного от диэлектрической среды с нерезонансной дисперсией и нелинейностью, от пространственно-временного спектра падающего параксиального пучка, состоящего из малого числа колебаний светового поля. Промоделировано отражение таких предельно коротких импульсов от границы раздела воздух-кварцевое стекло.
Введение
Лазерные системы, генерирующие импульсы из малого числа колебаний, имеются уже в целом ряде научных лабораторий [1]. Закономерности распространения таких предельно коротких импульсов (ПКИ) в нелинейных средах рассматривались во многих теоретических и экспериментальных работах (см., например, их обзоры в [2-4]). Особенности нелинейного отражения ПКИ исследовались значительно реже. В работах [5-7] теоретически рассматривались задачи отражения плоских однородных предельно коротких волн. В настоящей работе изучается нелинейное отражение поперечно неоднородных ПКИ.
Уравнение для пространственно-временного спектра отраженного излучения
Параксиальная динамика вдоль оси г поля Е линейно-поляризованного импульса из малого числа колебаний в диэлектрической однородной и изотропной среде с электронной нелинейностью может быть описана уравнением [2]
- a ^ + b \Edt' + gE2 — = Д, IEdt', (1)
J 6 dt 2 N„ X J W
dE N0 dE д3E r , dE
— + —0--a—— + b IEdt' + gE2 —
dz c dt dt3 J dt 2N0
где No, a, b - эмпирические константы, характеризующие дисперсию показателя преломления среды
n(m) = N0 + Дп(т),
Д \ 2 b (2)
Дп(т) = cam — c —, . m
g = —2 описывает безынерционную нелинейность ее поляризационного отклика, n2 -c
коэффициент нелинейного показателя преломления среды (в СГСЕ), с - скорость света, z - направление, вдоль которого распространяется излучение, Д± - поперечный лапласиан, t - время.
Граничные условия при падении параксиального излучения на границу раздела сред под малыми углами имеют вид [8]
En + Eo = Enp ,
dE^+E =dEm, (3)
dz dz dz
где Еп , Ео и Епр - напряженности электрического поля падающей, отраженной и преломленной волн, соответственно.
Будем полагать, что световое излучение падает на границу раздела линейная среда (характеризуемая дисперсионными параметрами N1, a1, b1) - нелинейная среда (характеризуемая N2, a2, b2 и нелинейным коэффициентом g ) вдоль положительного на-
—<х>
правления оси г из линейной среды. Тогда для падающей, отраженной и преломленной волн выполняются соотношения
дЕп + _ ^ + = д± \Е Л,
1 ^ п 2 N ± 3 п
дг с д' 1 д'3 1 _ П 2Ы1
— О 1 —О
дЕ° Е + 01 ^ _ ¿1 \еоШ' = —А, \ЕоЛ', (4)
дг с д' 1 д'3 1 1,0
1 ^ - ^ ^ — О 1 — О
г
дЕпр N2 дЕпр д Епр 1 Г ^ ^ 2 дЕпр
+ ^-— _ а2-^ + Ь2 \Епрёг +"Т7 ^
— Г/1 ^ — Г/1
—<х>
Используя граничные условия (3), несложно получить связь между полем отраженного и падающего излучения вида
- 3ЗЕп ,, ^ - с А N1 дЕо ,дЗЕо ' " '
^^ — „ ^ + Ь ¡ЕЖ' —— А, ¡ЕЖ—^^ + о1 ^ — а ГЕо"'' + —А, \Её'--с дг 1 д'3 1 _ п 2М ±_| п с д' 1 д'3 1 0 2М -1 о
— СО 1 —СО —СО 1 —СО
'
¿2 \ (Еп + Ео К-
N2 д(Еп + Ео) — о д3(Еп + Ео) '-
д' 2 д'3 42 д(Еп + Ео) с
п ^ + Ь 1(Е„ + Е)"' +
—ад '
+ J
+ £(п + Ео)Епдр) — ^А, /(Еп + Ео)"'. (5)
Уравнение (5) для пространственно-временного спектра излучения О (а, кх, ку ) = /// Е (', х, у) ехр [(а' — кхх — куу)] "у (6)
решается в квадратурах, и с учетом нерезонансной дисперсии, при которой Ап(а) << Ы0, а также малости Ео по сравнению с Еп (что характерно для диэлектриков),
зависимость спектра отраженного излучения Оо от спектра падающего Оп может быть приведена к виду
О = п1 — п2
V пп а2 I
V 1 2 У
Оп — 3 ( +1 4, (7)
3 («1+ п2 )
п + п где
О1(а, кх, ку) = ^//////Оп (а — а', кх — к'х, ку — ку)О„(а' —а', кX — к'', ку — ку") х х Оп(а", кХ,к"у)с1а'с1к'хс1к'у "а""к^к''.
Линеаризованное соотношение (7), как несложно проверить, эквивалентно формулам Френеля в приближении параксиального излучения.
Численное моделирование отражения импульсов из малого числа колебаний от границы раздела воздух-кварцевое стекло
Рассмотрим отражение импульса из малого числа колебаний, имеющего вид
-/'Г —2.Г х I2 — 2/4
Е = Е0 • е т • е р • е Кр) • сов(а0'), (8)
где р, т - пространственно-временные параметры падающего излучения, а0 - его центральная частота, Ео - амплитуда. Соответственно, спектр падающего импульса имеет вид:
О(а, х,у) = О0 е^8) е^'8
(—т2 (®+®0 )/8) (—т2 (®—®0 )/8)
(9)
Е0 „2 I П
.3/2
где О0 =Т .
Для целей численного моделирования соотношениия (7)-(9) удобно нормировать,
~ E ~ ~ х ~ у _ вводя новые переменные: E = ; t = с01; х = —; у = — . Соответственно, переменные
En
в спектральной области имеют вид О =
Р
Р
О_
Оо
® % кх 0 кУ тг
со = —; к„ = —; к„ = —. После нормировки
С
Р
у
Р
формула (8) может быть записана (знак «~» опускаем) в виде
О = П1 - П2
пх + п2
1+
Б кХ + к
2 Л
П1П2
С
о.-Ю-
п1 + п2
(10)
д
где п (с) = Ыг + А®--2, А = агею0 и Дг = Ьгс/с0 характеризуют дисперсию линей-
с
ного показателя преломления, Е = —сЕ02 = —п2I - его нелинейность, П2 - коэффициент нелинейного показателя преломления (в СИ), I - пиковая интенсивность излучения (в
СИ), а Б =
2 2 Р С
характеризует дифракцию пучка.
На рис. 1-3 приведены результаты численного моделирования решения задачи об отражении, которые иллюстрируют изменение структуры электрического поля и пространственно-временного спектра излучения с центральной длиной волны X = 780 нм, соответствующей излучению титан-сапфировго лазера, с пространственно-временными параметрами р = 5 • X и т = 1.5 • к/с, падающего из воздуха на кварцевое стекло N = 1.4508, а = 2.7401 • 10-44 с3/см, Ь = 3.9437 • 1017 1/(с • см), п2= 2.9 • 10-13 см2/кВт),
для различных пиковых интенсивностей. При таких параметрах излучения и характеристиках среды коэффициенты нормированного уравнения (10) имеют следующие значения: А2 = 4.801-10-3; Д2 = 2.026-10-3; Б = 1.013-10-3.
На рис. 1 представлены электрическое поле Еп и спектр Оп падающего импульса, имеющего вид (8), (9).
а) б)
Рис. 1. а) Поле Еп и б) спектр Оп падающего на границу раздела сред импульса
На рис. 2 приведены электрическое поле Ео и спектр Оо отраженного импульса при интенсивности падающего I = 1 • 1014 Вт/см2 (Е = 0.058). Из рисунка видно, что фаза линейной части отраженного импульса испытывает скачок на п, что обусловлено отражением от более плотной среды. Основным нелинейным эффектом является генера-
2
с
ция излучения на утроенной частоте, оно составляет около 1% от излучения на центральной частоте. Величина полуширина третьей «гармоники» составляет чуть больше половины полуширины первой гармоники (60%).
а)
Рис. 2. а) Поле Ео и б) спектр 0о отраженного от границы раздела сред импульса при интенсивности падающего I = 1 • 1014 Вт/см2 (Г = 0.058)
На рис. 3 продемонстрированы электрическое поле Ео и спектр Оо отраженного импульса при большей интенсивности падающего излучения: I = 5 • 1014 Вт/см2 (Е = 0.29). Из этого рисунка видно, что с ростом интенсивности падающего излучения значение максимума третьей «гармоники» увеличивается (составляет 4%), а также незначительно растет и значение полуширины третьей «гармоники» (62%).
а)
Рис. 3. а) Поле Ео и б) спектр 0о отраженного от границы раздела сред импульса при большей интенсивности падающего I = 5 • 1014 Вт/см2 (Г = 0.29)
Отражение от просветленной границы раздела диэлектрических сред
Будем полагать, что показатели преломления граничащих сред выровнены для центральной частоты ю0 = 2п с/к (т.е. N = 1, а1 = 258,89 • 10-44 с3/см, Ь1 = 0 (с • см)-1 , а Ы2, а2, Ь2 соответствуют кварцевому стеклу). Для первоначального импульса с интенсивностью I = 5 • 1014 Вт/см2 получаем поле и спектр отраженного импульса (рис. 4). Наблюдается изменение формы спектра и поля отраженного импульса. Нулевое отражение на центральной частоте падающего света приводит к появлению провала в спектре отраженного импульса. Провал наблюдается не только по частотной оси, но имеет
место и на пространственной. Созданный провалом малый пик меньше главного по амплитуде примерно на 30%. Третья «гармоника» составляет 15% от главного пика линейной части отраженного излучения, а ее полуширина - 72 %.
а)
б)
Рис.4. а) Поле Ео и б) спектр 0о отраженного от просветленной границы разде-
14 2
ла сред импульса при интенсивности падающего I = 5 • 10 Вт/см2 Отражение двух одновременно падающих предельно-коротких импульсов
Рассмотрим случай, когда на границу раздела воздух-кварцевое стекло падают одновременно два одинаковых ПКИ с центральной длиной волны = 780 нм и Х2 = 390,5 нм для первого и второго импульса, соответственно. Из рис. 6 видно, что в этом случае наблюдается генерация более высоких гармоник. Это связано с различными комбинациями частот. На рисунке можно легко отделить 6 из 8 максимумов спектральной плотности излучения на комбинационных частотах ю1, ю2, 3ю1, 2ю1 + ю2, 2ю2 + ю1, 3ю2, тогда как «гармоника» на частоте, равной 2ю1 - ю2, находится уже в тера-герцовой области излучения. Последняя «гармоника» на частоте 2со2 - ю1 находится между второй и третьей, поэтому на рисунке она не видна.
а)
Рис. 6. а) Поле Ео и б) спектр 0о отраженного от границы раздела сред излучения при интенсивности падающего I = 1 • 1014 Вт/см2, состоящего
из двух импульсов
Заключение
Основной нелинейный эффект при нормальном отражении импульсов из малого числа колебаний светового поля от границы раздела воздух-кварцевое стекло - генерация утроенной частоты. С ростом интенсивности падающего излучения наблюдается увеличение значения максимума и полуширины ее спектральной плотности. В случае, когда на границу раздела воздух-кварцевое стекло падают одновременно два одинаковых ПКИ с разной центральной частотой, наблюдается появление комбинационных частот.
Работа поддержана программой «Развитие научного потенциала высшей школы», грант РНП.2.1.1.6877, и грантом РФФИ №05-02-16556.
Литература
1. Cerullo G., De Silvestry S., Nisoli M., Sartania S., Stagira S., Svelto O. Few-optical cycle laser pulses: From high peak power to frequency tenability. // IEEE J. of Selected Topics in Quantum Electronics. 2000. V.6. №6. P.948-958.
2. Козлов С.А., Сазонов С.В. Нелинейное распространение импульсов длительностью в несколько колебаний светового поля в диэлектрических средах. // ЖЭТФ. 1997. Т.111. В.2. С.404-418.
3. Brabec Th., Krausz F. Intense few-cycle laser fields: Frontiers of nonlinear optics. // Rev. Mod. Phys. 2000. V.72. №2. P.545-591.
4. Bespalov V.G., Kozlov S.A., Shlolyansky Yu.A., Walmsley I.A. Simplified field wave equations for nonlinear propagation of extremely short light pulses. // Phys. Rev. A. 2002. V. 66. 013811 (10 p.).
5. Украинский А.О. Поляризационное самовоздействие импульсов предельно коротких длительностей в диэлектрических средах. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.05 - Оптика, 2003, 111 с.
6. Ястребова Н.В., Шполянский Ю.А., Козлов С.А. Нелинейное отражение импульсов из малого числа колебаний светового поля от просветленной границы раздела сред. // Оптический журнал. 2004. Т. 71. №6. С. 78-83.
7. Розанов Н.Н., Отражение сверхкоротких импульсов от границы раздела среды Дру-де-Лоренца. // Опт. и спектр. 2003. Т.94. №3. С.449-452.
8. Мохнатова О.А., Козлов С.А. Изменение пространственно-временных спектров импульсов предельно коротких длительностей при нелинейном параксиальном отражении от диэлектриков. / Труды IV международной конференции молодых ученых и специалистов «Оптика-2005», 2005. С.84-85.
