Итерационные решения уравнения непараксиальной динамики пространственного спектра монохроматической двумерной ТЕ-волны в среде с кубичной по полю нелинейностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 535.18

ИТЕРАЦИОННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ НЕПАРАКСИАЛЬНОЙ ДИНАМИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО СПЕКТРА МОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ ДВУМЕРНОЙ ТЕ-ВОЛНЫ В СРЕДЕ С КУБИЧНОЙ ПО ПОЛЮ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Е.В. Сысова

В работе получено аналитическое решение уравнения непараксиальной динамики пространственного спектра монохроматической двумерной ТЕ-поляризованной световой волны в диэлектрической среде с кубичной по полю нелинейностью вида пучка, спектр которого сверхуширяется, в результате чего может генерироваться самоотраженное излучение.

Ключевые слова: непараксиальность, самофокусировка, нелинейность, спектр

Введение

Самофокусировка света в средах с положительной нелинейностью показателя преломления представляет собой классическое явление нелинейной оптики, основные особенности которого уже хорошо изучены [1-3]. В настоящее время к этому явлению опять привлечено значительное внимание в связи с практическими задачами предельной локализации световых полей, например, в лазерной литографии при создании все меньших размеров вычислительных устройств [4].

В данной работе пространственная локализация светового излучения при его самофокусировке в поперечные размеры, соизмеримые и меньшие длины волны, изучается на основе спектрального подхода, в рамках которого выводятся и решаются уравнения динамики пространственных спектров излучения [5]. Преимущества такого подхода перед полевым (в котором изучаются решения уравнений динамики поля световой волны) при изучении однонаправленной эволюции спектров непараксиального монохроматического излучения были продемонстрированы в работе [6], а непараксиальных световых волн из малого числа колебаний - в [7, 8]. В настоящей работе, по-видимому, впервые получены аналитические решения нелинейных уравнений динамики пространственного спектра непараксиального монохроматического излучения, описывающие как сверхуширение пространственного спектра в нелинейной среде, так и возможную генерацию при этом обратного излучения.

Уравнение непараксиальной динамики пространственного спектра

и его нормировка

В работе [6] было получено уравнение непараксиальной динамики пространственного спектра монохроматической двумерной ТЕ-волны в среде с кубичной по полю нелинейностью вида

И 2&(к ) 3 2 х х

-+ (к2 — к2х)в(кх, г) + \o\a-кх, г&(а —в, г)Оф, г)йаЛв = 0, (1)

Иг 4п

— ТО — то

где

&(кх,г) = | Е(х,г)е х Их - спектральная плотность амплитуды Е(х, г) поля моно-

хроматической волны Е' = 2 Ее ш + к.с. с частотой, кх - пространственная частота, ось г - выделенное направление, вдоль которого распространяется излучение, х - попереч-

ная ему координата, к = — п(—) - волновое число, п - показатель преломления среды,

с

X - нелинейная восприимчивость среды, с - скорость света в вакууме.

Для целей дальнейшего анализа уравнение (1) удобно нормировать, вводя новые

~ О ~ к ~

переменные О = —, кх = —, г = г • к , где О0 - максимальное значение спектральной

Оо к

плотности излучения на входе в нелинейную среду (при г = 0). В этих переменных (1) принимает вид

',г) + (1 - к2)О(кх,г) + , 7

ёг

(1 - к2х)О(кх,г) + |О*(а - кх,г)О(а-р,г)О(р,г)ёаёр = 0, (2)

2

-7 -7

3—2 ^2

где для удобства восприятия знак «~» мы опускаем, | =-хО0 - малый параметр, ха-

4п

рактеризующий нелинейное взаимодействие света со средой.

Итерационный метод решения уравнения динамики спектра

Как видно из (2), для этого нелинейного спектрального уравнения удобно строить итерационные решения, поскольку, будучи линеаризированным, оно, в отличие от его полевого аналога [5], легко решается в квадратурах. Эти решения естественно выбирать начальным итерационным решением. Итерационный метод позволяет свести нелинейное интегро-дифференциальное уравнение (2) к системе линейных однородных и неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Итерационное аналитическое решение уравнения (2) будем искать в виде ряда

О (кх, г) = Олш (кх, г) + |О1(кх, г) + | 2О2(кх, г) + ... , (3)

где | - параметр малости. Подстановка (3) сводит уравнение (2) к системе уравнений

ё 2Олин 2кх, г) + (1 - к2х)Ошн (кх, г) = 0

ёгг

п2с От ^ 7 7

ОУ,г) + (1 -кх2)О1(кх,г) = - \ \Олш(а-кх)Олин(а-Ю,(р)ёаёр . (4)

ёг2 ' V1-кх )О1(кх, г) = -J J Олин (а-кх)Олин (а-

-7 -7

Решение первого однородного обыкновенного дифференциального уравнения системы (4), как отмечалось выше, находиться просто и имеет вид

Олин (кх, г) = СШн (кх+ С2лин (кх, (5)

где С1лин (кх ), С2лин (кх ) - постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. Первое слагаемое в (5) описывает дифракцию в оптической среде прямой (распространяющейся в положительном направлении оси г ) волны, а второе - обратной волны. Решение второго линейного неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения системы (4) можно записать в виде [9]

О1 (кх, г) = С (кх 1-к*г + С2 (кх )е1-кх г + Очаст (кх ), (6)

где С1 (кх), С2 (кх) - постоянные интегрирования, получаемые при решении соответствующего однородного уравнения, а Очаст (кх) - частное решение неоднородного уравнения. Последнее можно получить, например, проинтегрировав неоднородное уравне-

ние методом вариации постоянных [9]. Суть метода заключается в том, что частное решение неоднородного уравнения ищется в виде

Очаст (кх, г) = С1 (кх, г)ег^г + С 2 (кх, г )е—, (7)

в котором константы интегрирования соответствующего однородного уравнения рассматриваются как функции координаты ъ и для которых в конкретном случае системы (4) выполняются уравнения

г) е^ + dС2(kx, г) = 0

Иг Иг

д/1——Ц1—к2"^х'г) е^ ' Иг Иг

^ё^ — ^к2е^ =—{ |б*ин(а—кх,г^а—Рг)^г)Аф.

Систему уравнений (8) несложно привести к виду

=-т=е^ ] |б*ин(а—кх,г&^а—Р,г^ф,г>ОР

аг — 1—к— —то—то

. х тото . (9)

СН = -т=ег'^1—к2г | |б*ин(а—кх,г)Олин(а—в,г&лиМг)сЬф. г —/1—к-

Дальнейший анализ решения (6), (7) с коэффициентами, описываемыми системой (9), определяется конкретным видом начального итерационного решения (5). Если С1лин (кх) ^ 0 и С2лин (кх) ^ 0, то изучается взаимодействие встречных непараксиальных

пучков в нелинейной среде. При С2 лин (кх) = 0 рассматривается самовоздействие однонаправленной волны. Именно этим случаем мы ограничимся в настоящей статье ниже. Проинтегрировав систему (9), получим:

г I- то то

I с I' 'Л

С(К,г) = -Г=?Р1—кхг(| 10*лш(а—кх,г)&лин(а —в,г^ф,г)И0ИР)Иг+С1(0).

—Д — кх 0 —то—то г /- то то

— ^ р 11_к^х г р р л ~~

С2(кх, г) = I — ] ^ х ( ] ] &ллин(а — К г)&лин(а —Р ^линО^ г)ИаИв)Иг + С-(0)

—/1— кх 0 —то—то

—/1—к- 0

где С (0), С2 (0) - амплитуды прямой и обратной волны при г = 0 .

Подставляя систему (10) в выражение (7), получим общее решение неоднородного уравнение в следующем виде:

01(кх, г) = C1(0)eг^_k-г + С2(0)е +

+

— 1 ГГ СЛлин (а — кх )Сиш (а — Р)^ (Р)е'(^^^^ ^^^^) гИаф ] +

ГГ ^ Г— £ ~ 1 ч2 , ^ о\2 , /1 о—

+_.. (а — кх )С1д„н (а — Р)С1д„н (в)ИаИв е _ + (11)

^д/Т—кУ ¿тот^—ку — V1 — (а — кх+ л/ 1 — (а —Р)— +

^Т^—кУ ±то л/т_kJ — д/ 1 — (а — кх+ л/ 1 — (а —Р)— ^

' я

V1 — кх" —V1 — (а— кхГ + >/1 — (а"

+ 1 ГГ СЛи, (а — кх ^ (а — р)^ (Р)е'(+^/Т_а_р)-) 2 йайрй —

2л/т_kГ ±то — — V 1 — (а — кх+ л/ 1 — (а —Р)— +

— 1 ГГ СЛшн (а— кх )С1лин (а—Р)С1лин (Р)ИаИР ]r^^^/Т_k|"г

Н —— ^ 1 — (а — кх+ л/ 1 — (а —Р)— + '

Выведенное уравнение (11) позволяет анализировать нелинейную эволюцию светового излучения, пространственный спектр которого может становиться очень широ-

ким. Описание с помощью (11) уширения пространственного спектра излучения (например, из-за самофокусировки) возможно до его ширины, сопоставимой с волновым числом. Если в спектре появляются частоты кх больше волнового числа, то в (11) подкоренные выражения становятся много меньше единицы, а подынтегральные функции становятся действительными. Этим компонентам пространственного спектра соответствуют экспоненциально изменяющиеся вдоль оси г поля, аналогичные полям, возникающим при полном внутреннем отражении [6]. При распространении излучения с таким сверхуширенным пространственным спектром следует дополнительно анализировать возможность генерации обратной волны.

Результаты

Получено аналитическое решение уравнения непараксиальной динамики пространственного спектра монохроматической двумерной ТЕ-волны в диэлектрической среде с кубичной по полю нелинейностью вида пучка, спектр которого сверхуширяется. В результате этого может генерироваться самоотраженное излучение.

Литература

1. Аскарьян Г.А. Воздействие градиента поля интенсивного электромагнитного луча на электроны и атомы // ЖЭТФ. - 1962. - Т. 42. - №6. - С.1567-1570.

2. Шен И.Р. Принципы нелинейной оптики. - М.: Наука, 1989. - 557с.

3. Власов С.Н., Таланов В.И. Самофокусировка волн. - Нижн. Новг.: ИПФ РАН, 1997.

- 220 с.

4. Беспалов В.Г., Васильев В.Н. Информационные технологии, оптический компьютер и фотонные кристаллы // Проблемы когерентной и нелинейной оптики. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2000. - С. 88-109.

5. Козлов С.А., Самарцев В.В. Оптика фемтосекундных лазеров. - СПб: СПбГУ ИТМО, 2007. - 218 с.

6. Изъюров С.А., Козлов С.А. Динамика пространственного спектра световой волны при ее самофокусировке в нелинейной среде // Письма в ЖЭТФ. - 2000. - Т. 71. - В. 11. - С. 666-670.

7. Козлов С.А., Петрошенко П.А. Самоделение импульсов из нескольких колебаний светового поля в нелинейной среде с дисперсией // Письма в ЖЭТФ. - 2002. - Т. 76.

- №4. - С. 241-245.

8. Васильев В.Н., Козлов С.А., Петрошенко П.А., Розанов Н.Н. Самоуширение пространственно-временных спектров импульсов из нескольких колебаний светового поля в диэлектрических средах // Оптика и спектроскопия. - 2004. - Т.96. - №2. - С. 217-221.

9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 424с.

Сысова Екатерина Викторовна — Санкт-Петербургский государственный универ-

ситет информационных технологий, механики и оптики, аспирант, [email protected]