CC BY
57
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №7(57)
5
САМАРСКИЙ АЛГЕБРО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНКЛАВ
© 2007 В.Е. Воскресенский1
Как часто бывает, серьезные дела иногда начинаются по шуточному поводу. Сейчас уже трудно вспомнить, почему предложение о переезде из Саратова в Куйбышев, не принимаемое поначалу всерьез, стало в короткое время доминирующим. Это произошло совершенно случайно благодаря некоторому сложному розыгрышу, затеянному известным математиком Куйбышевского педагогического института Полянским Анатолием Алексеевичем. Я не буду останавливаться на деталях, история занимательная, но в результате заведующий кафедрой профессор Саратовского университета В.Е.Воскресенский принял приглашение ректора Куйбышевского университета В.В.Рябова создать и возглавить кафедру алгебры и геометрии в Куйбышевском университете. Обстановка для создания такой кафедры в 1979 году была достаточно благоприятной. На механико-математическом факультете в КуГУ оказалось несколько молодых энтузиастов с близкими мне научными интересами и неуемной энергией. Учитывая к тому же, что вместе со мной приехал из Саратова молодой талантливый математик Александр Клячко, то возникшая новая кафедра сразу же заимела весьма высокий рейтинг в математическом мире. Фактически нам не нужно было начинать с нуля. Многие математики так и не заметили этого переезда. Некоторое время я получал два официальных приглашения на конференции. Одно приходило в Саратов, другое в Куйбышев. Отмечу по памяти первый основной состав кафедры алгебры и геометрии, открытой 1 сентября 1979 года:
Воскресенский Валентин Евгеньевич, д.ф.-м.н., Саратовский университет; Клячко Александр Анатольевич, к.ф.-м.н., Саратовский университет; Беркович Лев Мейлихович, к.ф.-м.н., Казанский университет; Левичев Александр Владимирович, к.ф.-м.н., Новосибирский университет; Панов Александр Николаевич, к.ф.-м.н., МГУ.
Позже были приняты на кафедру Демин Иван Викторович, Кокарев Виктор Николаевич, Шустин Евгений Исаакович.
Кафедра собрала под свою крышу всех алгебраистов и геометров Самарского региона. Высокий рейтинг кафедры в математическом мире обя-
1 Воскресенский Валентин Евгеньевич, кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
зал нас сразу же давать официальные отзывы на кандидатские и докторские диссертации, участвовать в научных мероприятиях очень высокого ранга. С момента образования кафедры, наши сотрудники выступают с пленарными докладами на всех Всесоюзных и Всероссийских конференциях по алгебре, теории чисел и геометрии. Кафедра имеет тесные научные контакты с математиками Франции, Германии, Англии, США и др. Мы всегда имеем персональные приглашения выступить с докладами за рубежом. В качестве примера приведу период 1990-1991 гг., когда заграничные поездки еще были редкостью. Наши выступления в эти годы за рубежом: доцент А.А. Клячко, Кембридж, Англия, 1990 г.; доцент Е.И. Шустин, Люмини, Франция, 1990 г.;
доцент Е.И. Шустин, пленарный доклад на Международном Математическом Конгрессе, Япония, 1990 г.; доцент А.А. Клячко, Бонн, Германия, 1991 г.; доцент Л.М. Беркович, Бонн, Германия, 1991 г.; профессор В.Е. Воскресенский, Женева, Швейцария, 1991 г.; доцент Е.И. Шустин, Ренн, Франция, 1991 г.
Важнейшая роль в консолидации научных усилий преподавателей кафедры принадлежит научному семинару кафедры. Семинар начал работать с момента образования кафедры, работает он еженедельно с учетом опыта лучших семинаров страны. Тематика докладов достаточно широкая, участники семинара — люди весьма любознательные. Мы стараемся разбирать последние математические достижения в мире. С начала работы семинара сделано свыше 600 докладов, список их имеется в кафедральном журнале. Научный семинар является открытым для всех желающих, независимо от того, работают они в университете или нет. У нас выступали сотрудники вузов Самары, ученые Москвы, Петербурга, Ярославля и других городов. Были заслушаны результаты нескольких докторских диссертаций по математике. В 1991 г. был объявлен Всероссийский конкурс грантов по фундаментальным наукам. Мы выиграли грант РФФИ в 1992 г. и вот уже 15 лет без перерыва мы продолжаем работу по этому гранту. Несколько лет мы получали поддержку и в виде грантов АМЯ.
Теперь несколько более подробно о собственных научных результатах и немного о себе. К началу войны 1941 года мне исполнилось 14 лет, я только что окончил 7 классов в г. Витебске, где жил и воспитывался у деда, поскольку в 1937 г. я лишился отца, а нас у матери было трое. Естественно, она нас всех прокормить на учительскую зарплату не могла. Но началась война, через десять дней у нас уже были немцы, на этом дальнейшая моя учеба закончилась. C 1941 по 1945 год я находился под германским правлением, а с 1945 по 1951 служил в Советской Армии, в танковых частях. Я не буду подробно описывать сейчас эти периоды моей жизни, как-нибудь в другой раз. После демобилизации в 1951 г. мне было 24 года. Я имел семилетнее образование. Несколько таких "дембелей", и я в том числе, решили поехать на стройку Куйбышевской ГЭС, но не доехали. Нас угово-
рили пойти на работу на завод КАТЭК в г. Куйбышеве. На заводе нас приняли очень радушно, сразу предоставили общежитие и приличную работу (токарь-автоматчик). Я выражаю глубочайшую признательность городу Самаре-Куйбышеву за очень теплое, гостеприимное отношение ко мне. Еще будучи в армии я мечтал о продолжении учебы.
Конечно, за 10 лет 1941-1951 гг. я прочитал огромное количество книг, как советских, так и антисоветских, так что в области исторических, гуманитарных наук я был на голову выше своих сверстников. Возможно, эти познания и толкнули меня на занятия математикой, это совершенно не семейные традиции (отец — агроном, мать — учительница младших классов в сельской школе). Будучи танкистом в Казани, я получал достаточно большие деньги по сравнению с пехотинцем и купил ряд серьезных книг по математике, в которых самостоятельно разобраться не сумел, за одним исключением. Среди приобретенных книг оказался сборник задач по тригонометрии (задач было более 1000). Удивительное дело, задачи по тригонометрии у меня начали получаться (смотришь в ответ — правильно). За несколько лет службы я перерешал большую часть задач из этого сборника, что меня "спасло" в дальнейшем. Как я уже упоминал, весной 1951 г. я стал работать на заводе КАТЭК. Рядом с нашим общежитием находилась школа рабочей молодежи. Я туда обратился, сказав, что у меня незаконченное среднее образование и я хочу поступить в 10-й класс. Мне устроили вступительный экзамен. С сочинением, историей и физикой я справился успешно, с немецким языком тоже проблем не было, на математике за 8-9 класс я застрял, учительница мне и говорит, как же Вы сможете заниматься в 10-м классе, там же еще есть и тригонометрия. Я прошу, ну дайте задачку. Я до сих пор вспоминаю этот мой маленьких триумф. Я щелкал задачки по тригонометрии как орехи. Учительница была в восхищении, говорит, никаких проблем, пойдешь прямо в 10-й класс.
Я успешно, без троек, окончил 10-й класс и сразу поступил на физико-математический факультет КПИ. Я весьма благодарен профессору Бредихину Б.М., который предложил мне должность ассистента кафедры алгебры и познакомил с Чудаковым Николаем Григорьевичем, профессором Саратовского ГУ. Он меня взял в аспирантуру в 1958 г. До 1979 г. я там работал: ассистент, старший преподаватель, доцент, профессор, заведующий кафедрой.
Теперь о самой математике. В 1959 г. произошел еще один главный поворот в моей жизни — личное знакомство с настоящей современной математикой. Я был уже аспирантом проф. Чудакова и он предложил мне принять участие в работе математической школы по алгебраической геометрии и гомологической алгебры. В г. Ужгороде эта школа была организована выдающимся математиком нашего времени — Шафаревичем Игорем Ростиславовичем, лауреатом Ленинской премии 1958 г. Там прозвучал такой тезис: либо мы возьмем эту высоту — современную алгебраическую геометрию и гомологическую алгебру, либо останемся второразрядными спе-
циалистами. Назову только несколько имен участников этой конференции: Курош, Фаддеев, Боревич, Манин, Новиков, Венков. Прослушав все эти доклады небожителей, я поставил себе почти непосильную задачу. Во-первых, понять суть современных исследований и затем попытаться сказать свое слово. В Саратовском университете я организовал семинар по изучению современных проблем математики. Мы достаточно подробно разобрали тогда еще современные книги: Чжень-Шэн-Шэнь "Комплексные многообразия", Картан-Эйленберг "Гомологическая алгебра", Ж. де Рам "Дифференцируемые многообразия". (Кстати, современным молодым математикам я советую прочитать эти книги, они совсем не устарели.)
В 1961 г. состоялся Всесоюзный математический съезд в Ленинграде, на котором я выступил с 20-минутным докладом о своих вычислениях одномерных когомологий пучков локальных единиц алгебраических групп. На мой доклад, к моему ужасу, пришли И.Р. Шафаревич и Д.К. Фаддеев. Но все прошло благополучно, и я получил благословение от мэтров и приглашение от И.Р. Шафаревича посещать семинары в МИАН. Как они мне после доклада объяснили, их очень удивил сам факт проявленного интереса в провинции к весьма сложным современным математическим конструкциям. С этого момента началась моя весьма плодотворная работа в области алгебраической геометрии под эгидой И.Р. Шафаревича. В 1962 г. И.Р. Шафаревич организовал мне полугодовую оплачиваемую стажировку в МИАН, во время которой я получил несколько новых результатов в области линейных алгебраических групп, которые были направлены в центральные журналы. Эти результаты составили содержание моей кандидатской диссертации, которую я защитил в 1965 г. в МИАН СССР. Оппонентами были Шафаревич и Манин. При работе над этой диссертацией я обратил внимание на то, что ряд естественных бирациональных характеристик линейных алгебраических групп, определенных над незамкнутым полем, совершенно не изучены. Мои обращения к ведущим математикам Москвы, Ленинграда и Парижа подтвердили это. Пришлось делать все самому. Мне посчастливилось найти правильный подход в исследовании этих проблем и в 1969 г. я опубликовал в ДАН СССР первую статью по проблеме бираци-ональной эквивалентности линейных алгебраических групп, которая вызвала большой интерес у специалистов. Поскольку, я вышел на нехоженную тропу, то новые результаты появлялись один за другим. В частности, получилось решение одной из проблем Э.Нетер, поставленной ей еще в 1919 г. Сконструированный мной бирациональный инвариант давал ответ и на этот вопрос. Я сделал несколько докладов на семинаре И.Р. Шафаревича в МИАН СССР и мне было предложено написать докторскую диссертацию по этой свежей тематике. В 1971 г. я получил приглашение от АН СССР сделать пленарный часовой доклад на Международной Математической Конференции в Математическом институте АН СССР, организованной в честь 80-летия академика И.М. Виноградова. Доклад был очень хорошо принят слушателями, там присутствовали академики И.Р. Шафаре-
вич, Д.К. Фаддеев, А.И. Кострикин, французский математик П. Делинь, японский К. Ихара. Делинь через некоторое время прислал мне в Саратов в подарок труды семинара Гротендика-Демазюра в 12 томах, они до сих пор хранятся на кафедре. На таком подъеме я защитил докторскую диссертацию в МИАН СССР в 1972 г. Оппонентами выступили Шафаре-вич, Манин, Андрианов. Раз в 4 года собирается Международный Математический Конгресс (ММК), где докладываются важнейшие достижения математики за последние 4 года. В 1970 г. в Ницце состоялся очередной ММК, среди важнейших результатов был упомянут и мой результат (доклад Ю.И. Манина), в 1974 г. я получил персональное приглашение от орг. комитета ММК сделать пленарный доклад о своих результатах. Мой доклад опубликован в трудах Конгресса (Ванкувер, 1974 г.) Как мне объяснили специалисты в Москве, я был первым математиком не из системы Академии наук, получившим такое приглашение. В 1977 г. в издательстве "Наука" вышла моя книга "Алгебраические торы". С удивлением я прочитал в этом году в проспекте московских издательств название этой моей книги ценой в 600 рублей. Посколько в 1977 г. она стоила 70 копеек, то я почувствовал некую гордость, что не зря ее писал.
Теперь немного подробнее о своих результатах. Полученный мной критерий стабильной рациональности алгебраического тора сводит задачу к проверке свойств некоторого модуля Галуа конечного ранга. Тем самым трудная бирациональная проблема редуцируется к задаче теории целочисленных представлений конечных групп, которая алгоритмически разрешима. Здесь же мной была обнаружена красивая точная последовательность, связывающая когомологии модуля Пикара гладкой проективной модели тора Т с его арифметическими характеристиками: группой А(Т), измеряющей отклонение от слабой аппроксимации в Т, и группой Шафаревича-Тей-та, измеряющей отклонение от принципа Хассе в главных однородных пространствах тора Т. Другое яркое применение алгебраических торов — работа по теории инвариантов конечных абелевых групп. Решение проблемы Э. Нетер пришло в результате истолкования поля инвариантов конечной абелевой группы как поля рациональных функций некоторого алгебраического тора, а исследовать бирациональную природу торов я уже умел. Вопросы бирациональной классификации алгебраических торов естественно привели к построению и изучению проективных торических многообразий. Здесь весьма кстати оказались так называемые модели Демазюра, появившиеся через год после выхода моей статьи о бирациональной классификации алгебраических торов. Удалось установить естественную связь геометрии целочисленных решеток с бирациональной геометрией и арифметикой алгебраических торов и числовых полей. Вычисление локальных объемов в формулах типа Зигеля-Тамагавы привело к необходимости построения целочисленных моделей алгебраических торов. Вычисление редукции таких моделей по простому модулю привело к красивым арифметическим резуль-
татам, обобщающим классические индекс-формулы для полей алгебраических чисел.
Весьма неожиданным оказалось использование моих методов в исследованиях R-эквивалентности на алгебраических группах. Изучая работы В.П. Платонова по приведенной группе Уайтхеда SK1(A), я обнаружил, что эта группа совпадает с группой R-эквивалентности на группе SL(1,A). Этот результат, демонстрирующий бирациональную природу группы Уайтхеда, пролил новый свет на работы В.П. Платонова по проблеме Таннака-Арти-на. Он также значительно стимулировал работы в данном направлении, смотри, например, серию работ А.С. Меркурьева по вычислению R-экви-валентности.
Могу также похвастаться, среди моих учеников есть всемирно известные математики: А.А. Клячко, Б.Э. Кунявский.
Отмечу также авторов докторских диссертаций, у которых я был либо оппонентом, либо давал экспертную оценку: В.А. Абрашкин, М.И. Башмаков, Ф.А. Богомолов, Б.Б. Венков, С.В. Востоков, В.И. Исковских, П.И. Ка-цыло, В.А. Колывагин, Г.А. Маргулис, А.С. Меркурьев, А.Н. Паршин, Д.И. Панюшев, В.Я. Подстригач, А.С. Рапинчук, Р.А. Саркисян, С.Г. Тан-кеев, А.С. Тихомиров, Ха Зуй Хоай, М.А. Цфасман, В.И. Янчевский.
В 1997 г. Американское Математическое Общество обратилось ко мне с просьбой о публикации моей книги на английском языке. Конечно, за 20 лет появилось огромное количество новых результатов, поэтому было решено опубликовать новую книгу. Эта книга "Algebraic Groups and Their Birational Invariants" вышла в 1998 году в издательстве AMS.
Сейчас в Московском издательстве готовится к выходу моя новая монография "Бирациональная геометрия линейных алгебраических групп".
Хочу пожелать самого лучшего всем участникам состоявшейся конференции, спасибо.
