S-функции в математическом моделировании высокоскоростных тепловых процессов для двухсвязных областей Текст научной статьи по специальности «Математика»

------------------□ п----------------:-----

Вперше побудовано структурно-різницеві моделі високотемпературних теплових процесів на базі регіональних структур рішення, що точно задовольняють відповідним нестаціонарним граничним умовам задач теплопровідності для двохзв’язних областей складної форми. Використання Б-функцій дозволило усунути сингулярні особливості в кутових точках на межі області. Наведено результати розв’язання задачі з осцилюючим теплообміном для області у вигляді квадратного кільця

Ключові слова: Б-функції, математичне моделювання, температурні процеси

□--------------------------------□

Впервые построены структурно-разностные модели высокотемпературных тепловых процессов на базе региональных структур решения, точно удовлетворяющих соответствующим нестационарным граничным условиям задач теплопроводности для двухсвязных областей сложной формы. Использование Б-функций позволило устранить сингулярные особенности в угловых точках границы области. Приведены результаты решения задачи с осциллирующим теплообменом для области в виде квадратного кольца

Ключевые слова: Б-функции, математическое моделирование, температурные процессы, структурно-разностная модель ------------------□ □----------------------

1. Введение

Исследования, представленные в данной статье, относятся к области математического моделирования тепловых процессов и методам решения краевых задач.

Развитие исследований методов решений краевых задач математической физики тесно связанно с повышением качественного уровня математическое моделирования тепловых, гидродинамических, механических, электродинамических и других процессов и имеет большое значение для развития современных высокотехнологичных отраслей. Задачи математической физики, включая задачи теплопроводности, обычно сводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных, реже - к обыкновенным дифференциальным уравнениям, которые необходимо интегрировать при соответствующих краевых условиях.

Существует много методов решения краевых задач, к которым можно отнести метод разделения переменных, методы интегральных уравнений и преобразований, метод функций Грина, методы функций комплексного переменного. К сожалению, точные решения краевых задач удается получить все реже и реже и часто они имеют настолько сложное строение, что ими трудно пользоваться при инженерных расчетах.

В практических задачах встречаются задачи, где как рассматриваемая область, так и краевые условия имеют сложный вид. Для решения таких задач используются приближенные методы, которые требуют простых вычислений, поэтому они, в особенности методы сеток,

УДК 536.24

S-ФУНКЦИИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ВЫСОКОСКОРОСТНЫХ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ ДЛЯ ДВУХСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ

А. П. Слесарен ко

Доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник, лауреат Государственной премии Украины Отдел моделирования и идентификации тепловых процессов* Ю. О. Кобринович Аспирант* E-mail: Kobrinovich.jul@mail.ru *Институт проблем машиностроения А.М. Подгорного НАН Украины ул. Дм. Пожарского, 2/10, г. Харьков, Украина,

61046

конечных элементов и вариационные методы получили широкое распространение.

Применение метода конечных разностей и конечных элементов при решении краевых задач позволило расширить сферу решаемых задач, как в сторону областей сложной формы, так и в сторону более сложных граничных условий. Несмотря на универсальность вариационных методов и обоснованность возможности их применения к широкому классу краевых задач, использование вариационных методов при сложной форме области и сложных краевых условиях затруднительно из-за необходимости строить системы координатных функций, точно удовлетворяющих заданным граничным условиям и условиям устойчивости вариационного процесса.

Так же следует отметить, что трудоемкость составления систем Ритца, Бубнова-Галеркина и других, связанная с выражением коэффициентов соответствующих алгебраически систем и их свободных членов через двойные (в плоском случае) и тройные (в пространственном случае) интегралы, является серьезным недостатком вариационных методов. Построение систем координатных функций, точно удовлетворяющих нестационарным граничным условиям, в настоящее время все еще является актуальной проблемой.

2. Анализ исследований и публикаций

Применение классических методов для решения краевых задач с нестационарными граничными услови-

ями ограничено и возможно лишь для областей простой формы и простейших зависимостей параметров среды. В работе [1] и другой научной литературе получены решения для задач теплообмена с граничными условиями третьего рода, в которых коэффициент теплоотдачи и температуры среды имеют простую зависимость во времени, данные задачи представляют собой узкий класс актуальных научно-технических задач. Если для стационарных граничных условий и медленно протекающих тепловых процессов в научно-технической литературе приведены результаты [2-4], то для высокоскоростных тепловых процессов с осциллирующими условиями теплообменам для областей сложной формы, получение приближенных аналитических решений встречало принципиальные трудности математического характера, в силу чего такие задачи решались методом конечноразностных сеток или конечных элементов.

В приближенных аналитических решениях задач теплопроводности особенно важно использовать консервативные структуры решения, функционалы по которым были бы ограничены для каждого момента времени и характеризовали потенциальную энергию системы, благодаря чему выполняется физический закон ограниченности энергии.

Методология построения консервативных структур решения задач теплопроводности, точно удовлетворяющих нестационарным граничным условиям, в последние годы получила развитие в работах авторов [5-10].

3. Цель работы

Построение структурно-разностных моделей высокоскоростных тепловых процессов, позволяющих впервые получить приближенные аналитические и регионально-аналитические решения соответствующих нестационарных задач теплопроводности.

4. Основные материалы исследования

Математическое моделирование высокоскоростного теплового процесса для двухсвязной области сводится к решению задачи теплопроводности с нестационарными граничными условиями. Для призмы квадратного поперечного сечения со сторонами [1;1] и прямоугольным вырезом [а; а] по центру (рис. 1) рассмотрим задачу (1):

ЭТ (х,у^о)

ЭFo ЭТ(х,у^о)

" эХ

ЭТ(х,у^о)

ду

ЭТ(х,у^о)

" эХ

ЭТ(х,у^о)

= АТ (х,у^о) + F(x,y,Fo)•,T(x,y,0) = 0(х,у),

+ Ві^о)Т(х, у, Fo)l = Ві^о)Тср1 (х, у, Fo),

' х=±1

+ Віі^о)Т(х, у, Fo)l = Ві^о)Тсрі (х, у, Fo),

у=±1

ду

F(x,y,Fo) =

+ Bi2(Fo)T(x,y,Fo) + Bi2(Fo)T(x,y,Fo)

у=±0

где Т(х,у^) - температура призмы, 0(х,у) - начальная температура, Тср1 (х,у^) и Тср2 (x,y,t) - температура среды для наружной и для внутренней границы призмы соответственно, Ві^о) и Ві2^о) - коэффициенты Био для наружной и внутренней границы призмы, Fo -критерий Фурье, Тт(х,у^о) - точное решение.

Рис. 1. Призма квадратного поперечного сечения с квадратным отверстием

Математическая модель строится на базе совместного применения структур решения, точно удовлетворяющих нестационарным граничным условиям и разностных схем повышенного порядка точности. Структуру решения задачи (1) представим в виде (2):

Т(х,у^о) = Ф0(х,у^о) + £ Скдхкд (х, у, Fo)

(2)

где Ск| - неизвестные коэффициенты, Ф0(х,у^о) -функция, точно удовлетворяющая нестационарным неоднородным граничным условиям, %к1(х,у^о) -базисные функции, точно удовлетворяющие нестационарным однородным граничным условиям, 6(х,у) = Тт(х,у,0).

Приближенное аналитическое решение Базисные функции %к1(х,у^о) , точно удовлетворяющие нестационарным однородным граничным условиям построим в виде (3):

Ху(х,у^о) = Рк(х)Р(у) -

-^!(х,у)+

+ рі(х) ІЕЙ) - Ві,(Ео)Р1(х)РІ(у)

ду ду

= Bi2(Fo)Tcp2 (x,У,Fo),

)

= Ш2^°)Тср2 (x,У,Fo),

(1)

-Ї2(х,у)|др;Хх>Р|(у) +

(3)

+ Рк(х)

дР|(у) 9Ї2(х,у) ду ду

- BІ2(Fo)Pk(x)P|(y)

^(Ху^ (Э^Т^М^ Э2^^,у,Fo)

ЭFo

Эx2

Эу2

'•x,y є

О; 0 < Fo <~, где Рк(|),Ру(|) - полиномы Чебышева, нормированные на интервале [0;1],

к,І

^(х,у), и W2(x,y), - функции, Т(хуРо) = Wl(x,У)W2(x,У>2вil(Fo) + W2(x,y)Wl(x,y)2вi2(Fo) + т (ро) +1 (9)

описывающие внешнюю и вну- т W1(x,y)2 + W2(x,y)2 ср

треннюю границы с помощью S-

функций 1 класса [11] и опорных функций ю1(х), ю2(у), ю3(х), ю4(у).

Wl(x,y) = ю^х) лЮ2(у)^(х,у) = <в3(х) ли4(у), (4)

где

rn1(x) = 0.5(1 - x2);

“2(У) = 0.5(1 - y2); rn3(x) = -0.5a-1(a2 -x2); и4(У) = -0.5a-1(a2 -x2),

Wl(x,y) = 2ю^х) л2ю2(у); ^^(х,у) = 2аЮ1<х) л2аЮ2(у), (10)

Температура среды Тср^о) одинакова внутри и снаружи призмы и осциллирует как функция Бесселя, критерий Био осциллирует как функция синуса:

(5)

Tcp = 120(1 - J0(500Fo)),

Bi1(Fo) = 30(sin(300Fo +10) +12); Bi2(Fo) = sin(500Fo) +1.2,

(11)

(12)

Функция Ф0(x,y,F>), точно удовлетворяющая нестационарным неоднородным граничным условиям (6):

Фо(х,у,Б>) = Тср^о), (6)

Приближенное регионально-аналитическое решение

Базисные функции %к1(х,у^о), точно удовлетворяющие нестационарным однородным граничным условиям построим в виде (7):

Задача 2. Приближенное регионально-аналитическое решение

В качестве точного решения выберем решением в виде (13):

Tr(x,y,Fo) =

Trl(x-y-Fo)- x ^ xl2> у ^ Уі2'-

Тт2(x’ у’ Fo) x ^ xl2- У ^ Уl2

(13)

Xk,i(x,y,Fo) =

[Xk,12(x,y,FoX x ^ X12, У ^ У12,

Xk,il(x,y,Fo) = (Pk(x)Pi(y) - Wl(x,y) x

xf dPkMP(y) dWl(x,y)+P (x) dPi(y) dWl(x,y)

-ч 1\J / -ч kV f

| dx dx dy dy

+ Wl(x,y)Bil(Fo)Pk(x)Pi(y)) exp(-plWl(x,y)2), Xk,i2(x,y,Fo) = (Pk(x)Pi(y) - W2(x,y) x

dPk(X)P(y) dW2(X,y) + P(X) dP1(y) dW2(X,y)

(7)

dx

dx

9y 9y

Tтl(x,y,Fo) = Tcpl(Fo)exp(-plWl(x,y)2)+'

+Y (Fo)(l + Wl(x,y)Bil(Fo))exp(-plWl(x,y)2); ^(x.y.Fo) = Tcp2(Fo)exp(-p2W2(x,y)2)+

Температуры среды Тср1^о) и Tcp2(Fo) изменяются как функция Бесселя, критерий Био осциллирует как функция синуса, у ^о) изменяется экспоненциально, граница раздела регионов

Tcpl = 500(1+J0(500Fo)) + 2;Tcp2 = 300(1+ J0(500Fo)), (14) Bi1(Fo) = sin(300Fo +10) + 12;Bi2(Fo) = sin(500Fo) +1.2, (15) Y(Fo) = 50 + exp(150Fo), (16)

+ W2(x,y)Bi2(Fo)Pk(x)P(y)) eXp(-p2W2(x,y)2), где p1 = const, p2 = const, A < x12 < 1 и A < y12 < 1.

В табл. 1 и 2 приведены результаты вычислительного эксперимента для задач 1 и 2 соответственно, в верхних строках ячеек - точная температура, в средних - найденная приближенная, в нижних - относительная погрешность вычисления.

При вычислении использовалось 36 координатных функций, разностная схема трехслойная по времени, с шагом 0,00^о и девятиточечной по координатам (типа «ящик») с постоянным Ф0(х,у^>) =1 ' - - - шагом Ь=0.05.

[^(Ху^0)^(-Р2ї2(х,у)2) х^х12, у^у12- (8) Для построения ї1(х,у), ї2(х,у) ис-------------------------------------------------------------------- пользовались S-функции 1-го класса с па-

5. Вычислительный эксперимент раметром к = 100 (задача 1) и к = 200 (задача 2),

сторона квадратного выреза а = 0.3, р1 = р2 = 10;

Задача 1. Приближенное аналитическое решение х12 = у 12 = 0.65.

В качестве точного решения выберем решением в На рис. 2 и 3 показана температура поверхности

виде (9) призмы для задач 1 и 2 соответственно.

Функция Ф0(х,у^о), точно удовлетворяющая нестационарным неоднородным граничным условиям (8):

ГТср1(х,у,Ро)ехР (-Р^1(х,у)2 ) х ^ х12, у ^ у 12,

+

x

+

Е

Таблица 1 Таблица 2

Результаты вычислительного эксперимента для задачи 1 Результаты вычислительного эксперимента для задачи 2

Fo x/y 0,35 0,6 0,95

0.005 0.35 Точная температ. 127.769615 136.236632 129.553846

Прибл. температ. 127.456958 136.351908 129.359421

ax, є ^ O 0.24470300 0.08461500 0.15007300

0.60 Точная температ. 136.236632 136.482916 129.553846

Прибл. темпера- тура 136.351908 135.924997 129.192175

ax, Є ^ O 0.08461500 0.40878300 0.27916700

0.95 Точная темпера тура 129.553846 129.553846 129.169622

Прибл. темпера- тура 129.359421 129.192175 128.754259

ax, Є ^ O 0.15007300 0.27916700 0.32156400

0.015 0.35 Точная температ. 91.6235230 140.754815 106.977976

Прибл. темпера- тура 90.8141230 140.829737 107.099744

O max, о/ % 0.88339800 0.05322900 0.11382500

0.60 Точная темпера- тура 140.754815 142.407095 106.977976

Прибл. темпера- тура 140.829737 140.523594 106.293200

O max, о/ % 0.05322900 1.32261800 0.64010900

0.95 Точная темпера- тура 106.977976 106.977976 104.470326

Прибл. темпера- тура 107.099744 106.293200 104.075679

O max, о/ % 0.11382500 0.64010900 0.37776000

Fo x/y 0.35 0.45 0.6 0.75

о .0 о 0.35 Точная температ. 617,8234 483,3027 178,5566 63,04159

Прибл. температ. 617,8234 483,3027 178,5566 63,04159

O max, % 1,84E-14 0,00E+00 4,78E-14 2,25E-13

0.45 Точная температ. 483,3027 478,7126 178,5566 63,04159

Прибл. температ. 483,3027 478,7126 178,5566 63,04159

O max, % 1,18E-14 2,37E-14 4,78E-14 2,03E-13

0.6 Точная температ. 178,5566 178,5566 175,7565 63,04159

Прибл. температ. 178,5566 178,5566 175,7565 63,04159

O max, % 3,18E-14 4,78E-14 3,23E-14 1,35E-13

0.75 Точная температ. 63,04159 63,04159 63,04159 63,8391

Прибл. температ. 63,04159 63,04159 63,04159 63,8391

O max, % 0,00E+00 2,25E-14 9,02E-14 1,11E-13

го .0 0. 0.35 Точная температ. 428,7944 339,3154 127,6547 136,202

Прибл. температ. 428,7944 339,3154 127,6547 136,202

O max, % 7,95E-14 1,68E-14 2,12E-13 1,98E-12

0.45 Точная температ. 339,3154 336,1876 127,6547 136,202

Прибл. температ. 339,3154 336,1876 127,6547 136,202

O max, % 6,70E-14 2,20E-13 5,90E-13 2,07E-12

0.6 Точная температ. 127,6547 127,6547 125,6783 136,202

Прибл. температ. 127,6547 127,6547 125,6783 136,202

O max, % 6,68E-13 8,02E-13 8,71E-13 1,77E-12

0.75 Точная температ. 136,202 136,202 136,202 138,5808

Прибл. температ. 136,202 136,202 136,202 138,5808

O max, % 2,40E-12 2,48E-12 2,55E-12 1,85E-12

а) б)

Рис. 3. Задача 2.Температура призмы с квадратным вырезом в моменты времени 0.001Fo (а), 0.03Fo (б)

6. Выводы

Построенные структурно-разностные модели высокоскоростных процессов теплопроводности в двухсвязных областях сложной формы с осциллирующим теплообменом на поверхностях конструктивных элементов позволяют проводить оценку температуры во всей области допустимых значений теплофизических параметров с любой зависимостью от времени, не перестраивая структур решения.

Это поднимает на новый качественный уровень анализ тонкой структуры высокоскоростных тепловых процессов при любом заданном характере граничных воздействий, изменяющихся во времени и по координатам, включая импульсные кратковременные воздействия.

Следует отметить, что математическое моделирование численными методами высокоскоростных тепловых процессов с кратковременными осциллирующими граничными воздействиями встречало большие трудности, это объясняется тем, что возникают большие градиенты температур по времени и координатам, вызванные не только характером быстропротекаю-щих тепловых процессов, но и осциллирующим поведением коэффициентов теплообмена и температуры окружающей среды. Это не позволяло на дискретном

уровне удовлетворить граничным условиям и дифференциальному уравнению одновременно в любой момент времени так, чтобы результирующая погрешность решения оставалась в пределах допустимых норм. Во многих случаях это происходило из-за развала вычислительного процесса. Проблему удалось решить в работах авторов [5-10] благодаря тому, что впервые были построены аналитические, а в данной статье - регионально-аналитические структуры решения, точно удовлетворяющие высокоскоростным осциллирующим условиям теплообмена на границах областей сложной формы, при этом построенные на их базе структурно-разностные модели по своему качественному уровню отличаются от соответствующих численных моделей. В этих случаях приближенно удовлетворяется только дифференциальное уравнение теплопроводности.

Вторым качественным отличием от численных методов является то, что интерполяция коэффициентов при базисных функциях, полученных структур решений, позволяет представлять приближенные решения тепловых процессов не в численно-аналитической, а в полной аналитической форме. Это открывает новые возможности для создания баз данных тепловых режимов конструктивных элементов разнообразных форм и разного назначения.

Литература

1. Карслоу Г. Теплопроводность твердых тел [Текст] / Г. Карслоу , Д. Эгер - М.: Наука, 1964. - 488 с.

2. Рвачев, В.Л. Алгебро-логические и проекционные методы в задачах теплообмена [Текст] / В.Л. Рвачев, А.П. Слесаренко - Киев «Наук. думка» 1978. -140 с.

3. Темников, А.В. Современные приближенные аналитические методы решения задач теплообмена [Текст]: учеб. пособие / А.В. Темников, А.П. Слесаренко - Самара 1991 - 89 с.

4. Слесаренко, А. П. Развитие алгебрологического метода и его приложения к многомерным нелинейным задача теплопроводности для однородных и композитных сред [Текст] : автореф. дис. ...д-ра физ.-мат. наук: 01.04.14, 01.01.02 / А. П. Слесаренко. -М., 1984. - 36 с.

5. Слесаренко, А. П. S-функции в построении консервативных структур решения геометрических обратных краевых задач / А. П. Слесаренко // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2012. - Т. 2, N 4(56). - С. 60-66. - Режим доступа : URL : http://joumals.uran.ua/eejet/artide/view/3714.

6. Слесаренко, А.П. Структурно-разностный подход к математическому моделированию высокоскоростных тепловых процессов с нестационарным теплообменом на поверхности конструктивных элементов / А. П. Слесаренко, Ю.О. Кобринович // Проблемы машиностроения. - 2011 - Т. 14, №13. - С.66-75.

Е

7. Слесаренко, А.П. Математическое моделирование высокоскоростных тепловых процессов при точном учете нестационарных осциллирующих условий теплообмена на поверхности конструктивных элементов / А. П. Слесаренко, Ю. О. Кобринович // Вісник КрНУ ім. Михайла Остроградського. - 2011. - Т.5(70) - С.35-38.

8. Кобринович, Ю.О. Консервативные структуры решения в математическом моделировании высокоскоростного осциллирующего теплообмена / Ю.О. Кобринович// Современные проблемы математики и её приложения в естественных науках и информационных технологиях: Сб.тезисов докладов междунар. конф. - Харьков: "Апостроф”, 2012. - С.58.

9. Слесаренко А.П. Моделирование и управление нестационарными температурными режимами при ограничениях на управление и скорость нагрева [Текст] / А. П. Слесаренко/ / Доповіді НАН України. - 2009. - №2. - С.83- 88.

10. Слесаренко, А.П. Математическое моделирование тепловых процессов в телах сложной формы при нестационарных граничных условиях [Текст] / А. П. Слесаренко/ / Проблемы машиностроения - 2002.- Т. 5, №4. - С. 72 - 80.

11. Слесаренко А. П. S-функции в обратных задачах дифференциальной геометрии и управлении образования форм [Текст] / А. П. Слесаренко // Восточно-европейский журнал передовых технологий. - 2012. - Т1, № 4(55). - С. 4—10. - Режим доступа : URL : http://journals. uran.ua/eej є^/aгticle/view/3310.

------------------□ □---------------------

В статті представлено розроблені авторами теоретичні засади до автоматизації побудови надійнісних моделей резервованих та відновлюваних складних технічних систем у вигляді системи диференціальних рівнянь Колмогорова - Чепмена. Показано практичну реалізацію побудови моделей відмовостій-ких систем на основі структурно-автоматних моделей та приведено приклад багатоваріантного аналізу таких систем

Ключові слова: модель надійності, відмово-стійка система, множина станів

□--------------------------------□

В статье представлены разработанные авторами теоретические основы к автоматизации построения надежностных моделей резервированных и восстанавливаемых сложных технических систем в виде системы дифференциальных уравнений Колмогорова - Чепмена. Показано практическую реализацию построения моделей отказоустойчивых систем на основе структурно-автоматных моделей и приведен пример многовариантного анализа таких систем

Ключевые слова: модель надежности, отказоустойчивая система, множество состояний ------------------□ □---------------------

УДК 621.396.6.019.3+519.87

АВТОМАТИЗАЦІЯ ПОБУДОВИ МОДЕЛЕЙ НАДІЙНОСТІ РЕЗЕРВОВАНИХ ТА ВІДНОВЛЮВАНИХ СКЛАДНИХ ТЕХНІЧНИХ

СИСТЕМ

Б . А . М а н д з і й

Доктор технічних наук, професор* E-mail: bmandziy@lp.edu.ua Л . Д . О з і р к о в с ь к и й

Кандидат технічних наук, доцент* *Кафедра теоретичної радіотехніки та радіовимірювань Національний університет «Львівська політехніка» вул. С. Бандери, 12, м. Львів, Україна, 79013 E-mail: lozirkovsky@lp.edu.ua

1. Постановка задачі

Складність сучасних технічних систем обумовлює великі розмірності їх надійнісних моделей (порядку десятків - сотень тисяч), що практично унеможливлює їх формування та аналіз ручними способами. Тому одночасно з вимогою високої достовірності від моделей вимагається відповідний рівень формалізації, який уможливлює автоматизацію їх побудови та проведення аналізу надійності з використанням сучасних комп’ютерних засобів. Поєднання аналітичних методів дослідження надійності з обчислювальними можливостями сучасних комп’ютерів є перспектив-

ним напрямом подальшого розвитку методів теорії надійності [1, 5, 8, 9].

Серед аналітичних методів найбільшого поширення набули методи, основані на теорії марковських процесів, які розглядають випадкові події (відмови та відновлення), що слідують одна за одною у певній послідовності, як потік випадкових подій, і описують еволюцію в часі (перехід із стану в стан) складної технічної системи у вигляді диференціальних рівнянь Колмогорова-Чепмена [1-9]:

яр. т N N

= -І^а)РЕ) + ХМ*)Р(Е-Ч = !,2,-• ■ N , (1)

-£ і=1 j=l

з

© Б. А. Мандзій, Л. Д. Озірковський, 2013