Рычажные связи и рычажные механизмы в механических колебательных системах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Елисеев С. В., Упырь Р. Ю. УДК 656.01

РЫЧАЖНЫЕ СВЯЗИ И РЫЧАЖНЫЕ МЕХАНИЗМЫ В МЕХАНИЧЕСКИХ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

Расширение элементной базы современных виброзащитных систем связано не только с реализацией идей управления колебаниями с помощью активных элементов [1], но и с введением в структуру систем элементарных звеньев нового типа [2, 3] и детализацией представлений о способах и средствах соединения звеньев между собой на основе рычажных связей и механизмов [4-6].

Если взять обычную механическую колебательную систему, то выражения для кинетической и потенциальной энергии обычно имеют полную квадратичную форму для потенциальной энергии и неполную квадратичную форму - для выражения, определяющего кинетическую энергию системы. Выбирая соответствующие системы координат, можно осуществить инверсию и получить для выражения кинетической энергии полную квадратичную форму, а для потенциальной энергии - неполную. Решить задачу об одновременном приведении выражений к неполной форме, что означает переход к главным координатам, возможно лишь для некоторых частных случаем. Получение выражений для кинетической и потенци-

альной энергий одновременно в полной тичной форме возможно, однако, для этого необходимо введение дополнительных связей, как показано, например, в работах [4,7]. По-существу, возможности приведения выражений для кинетической и потенциальной энергий к полным квадратичным формам, предопределяют принципиальные возможности или другими словами, «легитимность» введения дополнительных обратных связей и расширение типовой элементной базы ВЗС. В этом отношении показательны работы [2,8-13].

I. Если полагать, что базовые модели ВЗС существуют в виде двух вариантов, как показано на рис.1, а, б, то имеет смысл рассмотреть как при этом формируются выражения, для кинетической и потенциальной энергий с учетом использования представлений о квадратичных формах.

Пусть кинетическая и потенциальная энергия ВЗС имеет вид в системе обобщенных координат я,у2 (рис. 1,а)

а)

Ь)

Р

к,

У2

шх А

V

Ух

М, 3

<р

•т• Ус

к.

77777777777777777777777777777777777777

7777777

Рис. 1. Базовые расчетных схемы ВЗС с двумя степенями свободы: а) - цепная модель, б) - твердое тело на упругих опорах

3

2

2

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

т = ^(«пЛ2 + Щ2У\Уг +С122у1), (1)

П = ^ (спуI + ^^ + С22Л2) • (2)

Рассмотрим выражение (1), полагая (рис. 1, а), что

г = ^ (3)

аи = т; а22 = т; а12 = 0.

Введем в расчетную схему на рис. 1,а дополнительную связь вида Ьр2 [2] между массами т и т, и определим значения коэффициентов в выражении (1). При этом выражение (3) изменит свою форму:

т = \щЯ+\1{У2-У1)+\т2У1, (4)

где Ь - приведенный момент инерции устройства для преобразования движения [2].

Сделан ряд преобразований, можно записать, что

Т = \(пг1 +\(т2 +1)(5)

П=1 ку\ +1к ( у2 - У1)+1 ку1; (5/) ап = т + Ь; а12 =; а22 = т + Ь; (6) ^11 — к\ + ; С 2 — ; ^22 — ^2 + . (6 )

Расчетная схема базовой модели в виде цепной системы (рис.1, а) преобразуется в этом случае в механическую колебательную систему, как показано на рис. 2, а, б.

Отметим, что приведение выражения для кинетической энергии к виду (1), в котором ап Ф 0

может быть осуществлено, но в этом случае должна вводиться соответствующая дополнительная связь. Одновременно происходит и преобразование перекрестных связей (рис. 1,б), принимающих упруго-инерционный характер (а не чисто упругий).

II. Рассмотрим, в связи с открывающимися возможностями, способность изменять структуру выражений для кинетической энергии за счет введения дополнительной связи, и другие подходы, которые связаны с некоторыми алгебраическими преобразованиями исходных выражений (1), (2) [8].

Введем запись для потенциальной энергии в

виде:

2П = (С11 + С12 ) У2 - С12 (У2 - У) + (С22 + С12 ) У2 ,(7) что соответствует динамической схеме на рис. 3.

77777777777777777777777777777777 Рис. 3. Расчетная схема ВЗС с учетом преобразований Т и П

Жесткости упругих элементов (из выражения (7)) имеют вид:

к1 = С11 + С12;^2 = С22 + С12;к12 = —С12., (8) Построение такой схемы (рис. 3) возможно не для любой положительно определимой матрицы жесткостей К, поскольку должны выполняться

///////////у/

Рис. 2. Расчетная схема базовой модели (рис. 1, а) при введении дополнительной связи в виде устройства для преобразования движения (а) и эквивалентная в динамическом отношении структурная схема САУ (б)

СИСТЕМНЫМ АНАЛИЗ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

неравенства

cu + с12 > 0; с22 + с12 > 0; с12 < 0. (87)

В частности, для механической системы на рис. 1,а коэффициенты квадратичной формы потенциальной энергии определяются выражением (6), что соответствует условиям (8). В свою очередь, для кинетической энергии системы при введении дополнительной связи Lp2 можно отметить, что выражение для кинетической энергии не связано в данном случае с выражением для потенциальной энергии. Таким образом, для системы с дополнительными связями имеем:

m/= an + а12; m2 = а12 + a2; a2 = —l. (9)

При этом выполняются условия (8): m[ = m + L - L = m > 0; ml2 = m2 + L - L = m2 > 0; a12 = -L < 0.

III. Путем соответствующих преобразований потенциальная энергия может быть разложена в сумму квадратов вида

2 П =

f У

C12 У + C2 У2

'22

+

где c =

C11C22 C12

"22

(10) (11)

что приводит к схеме, показанной на рис. 4. Отметим, что Т имеет изначальное значение (то есть ап = 0), а само выражение для кинетической энергии не изменяется.

У1

P

m

5 А

шг

i = ,

У 2

77777777777777777777777777777777 О,

Рис. 4. Изменение вида расчетной схемы ВЗС при переходе к другой форме П - (выражение 10)

В этом случае

^ - C; к2 -

(C12 + C22 ) . l

-22

(12)

па. На первом этапе определяется приведенная жесткость в системе при т2 = 0, что можно записать в виде

+кк + кк , .

К_ = к + .2 3 = 1 2 1 3—^, (13)

k2 + къ

k2 + кз

что соответствует выражению (11). Выражение (11)

c =

C11C22 C12

"22

Отражает потенциальную энергию упругих элементов при введении «виртуального рычага» первого с плечами с22 = I и с12 = г [8].

Введение «виртуального рычага» требует соблюдение некоторых условностей в рассмотрении движения системы. Это связано с тем, что «виртуальный рычаг» не вносит в систему пространственных представлений, что связано, в свою очередь, с необходимостью введения понятия о центре масс и др. [14]. Однако, такой подход [8], очень символичен, поскольку поднимает вопрос о существовании в механических колебательных системах рычажных связей, что получено развитие в работах последних лет [4, 15, 16].

В схеме на рис. 5, в отличие от выражения

(12) к2 = 4/ С22 .

Л

У1

t " \

шх

▼ 4 7777|

k

к

7777| А

ш2

J7TT7 л

У2

............ 'А,:,:

7^777777777777777777/7/777777777 Рис. 5. Расчетная схема ВЗС с виртуальным рычагом, имеющим неподвижную точку опоры

На расчетной схеме, приведенной на рис.6

кг = с 21 • Расчетные схемы на рис. 4, 5, 6 имеют

физический смысл для любой положительно-определенной матрицы К, за исключением случая

С22 = ~С12 .

У1

А .

ш1

V 5 7777|

5 А

ш2

1

У2

к

i

Физический смысл выражения кх = с заключается в том, что потенциальная энергия системы на рис. 4, может быть определена в два эта-

77777777777777777777777777777777

Рис. 6. Расчетная схема ВЗС с введением упругого элемента к2 между рычагом и массой М2

к

2

r

C22 Г C12

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Для всех случаев I / г < 0 означает, что означает иное расположение точек присоединения т и т к рычагу и точки опоры: точки присоединения масс находятся по одну сторону от точки опоры (рычаг 2-го рода).

Учет реальные свойств рычажного механизма приводит к совершенно другим результатам, что можно показать, используя традиционные подходы. Найдем для расчетной схемы на рис. 4 положение центра масс, полагая, что рычаг обладает линейными размерами:

^ =

—. (l + r)

хс = —1,

— + m

У2 • хс + У1 (l + r ~ X ) l + r

(14)

(15)

шем

Ус = У2a + У1Ь •

Кроме того введем некоторые соотношения У1 = Ус - ХсФ, У2 = Ус +(l + r — X ) > У1 - У

= = с (У1 - У 2 ) ,

l + r

(17)

где с =

1

I + г

Выражения для кинетической и потенциальной энергии в этом случае принимают вид.

Т = — (п\ +т2^у1 +—п\Х1ф2 +—т2г2<р2,{ 18)

2

2

2

п=1 Vf +1 k2 (y2 )2

где у2 = Ус +(l - хс

(19)

(20)

Т Л(М){у1а2 + 2y^ab + y{b2) +

loo 1 2

+-т,ХУ ( Vj - v2) + -m2 (/ + r-Xoy c2 - v2),

(21)

П = 1V12 +1 k2 (уУ + 2yyab + y22b2) . (22)

Вводя a = l — x0 , M = — + — и производя

обычные преобразования, найдем дифференциальные уравнения движения

Mb2 + niíXric2 + ni^ (l + r- Xi:i )2 с2

У

+ky + ^У (b + axc)2 +

+у2

Mab — —X0c2 — — (l + r — X0 )2 с2

(23)

Приняв a = X0 / (l + r), b = (1 — a), запи-

(16)

—У'2^2 ( a — a с ) (b + axc ) = P,

У2

Ma2 + mxXnc2 + m2 (l + r- Xn )2 c2

+y2h2 (a — axc2) +

Mab - mxXnc2 - ni-, (l + r - Xn) с2

(24)

—к2у (Ь + ахе)(а — ахе) = 0.

Структурная схема системы, соответствующая расчетной схеме на рис. 4, приведенная на рис. 7.

Из рассмотрения структурной схемы системы на рис. 7, можно сделать вывод, что в системе появляются упруго-инерционные связи, которые могут на определенных частотах «зануляться», что касается выражений для кинетической (21) и потенциальной (22) энергий, то они имеют полную квадратичную форму.

Таким образом, детализированное рассмотрение структурн механических колебательных

Рис. 7. Структурная схема системы на рис. 4 с рычагом, имеющим плечи I и г, где приняты обозначе-

1 Х0

-; а = ——

I + г I + г

ния: X0 =

-2 (l + r) ,, 1 X

----- ; M = — + — ; с =-; a = —— ; а = 1 — a ; ax = l — x0.

— + —

систем связано с использованием представлений о свойствах, проявляемых в рычажных взаимодействиях. При рассмотрении колебаний в механических системах вполне возможно введение введении «виртуальных рычагов или виртуальных рычажных механизмов», однако само понятие виртуальности предполагает возможность проявления в динамических взаимодействиях элементов механических систем «рычажных связей». Такие связи могут иметь физическую форму, а могут и не иметь [8]. В том случае, когда в механической колебательной системе используются рычажные механизмы или рычаги первого или второго рода, динамическое состояние механической колебательной системы описываются совершенно иной системой дифференциальных уравнений [4, 15, 16], что требует иных физических представлений и связано с изучением других особенностей динамического состояния систем [17, 18].

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Коловский М. З. Автоматическое управление виброзащитными системами. М. : Наука, 1976. 320 с.

2. Елисеев С. В., Волков Л. Н., Кухаренко В. П. Динамика механических систем с дополнительными связями. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1990. 214 с.

3. Насников Д. Н., Логунов А. С. Типовые звенья в структурных интерпретациях механических колебательных систем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2006. № 6 (12). С. 46-58.

4. Упырь Р. Ю. Динамика механических колебательных систем с учетом пространственных форм соединения элементарных звеньев : ав-тореф. дис. ... канд. техн. наук. Иркутск : ИрГУПС, 2009. 19 с.

5. Иванов Б. Г. Разработка методов расчета динамики и прочности агрегатов транспортной техники с рычажно-шарнирными кинематическими связями : автореф. дис. ... докт. техн. наук. Самара, 2007. 48 с.

6. Лаврусь В. В. Совершенствование пневматических рычажно-шарнирных виброзащитных систем железнодорожного транспорта : авто-реф. дис. ... канд. техн. наук. Орел, 2006. 20 с.

7. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / Елисеев С. В., Резник Ю. Н., Хо-

менко А. П., Засядко А. А. Иркутск : Изд-во Иркут. ун-та, 2008. 523 с.

8. Генкин М. Д., Рябой В. М. Упруго-инерционные виброизолирующие системы. Предельные возможности, оптимальные структуры. М. : Наука,1988. 191 с.

9. Вальнин Н. В., Гриневич В. К. Применение принципов симметрии и компенсации для повышения эффективности виброизоляторов // Машиноведение. 1980. № 3. С. 15-18.

10. Витес В. И., Гриневич В. К. Об управлении спектром собственных частот цепных систем // Колебания редукторных систем. М. : Наука, 1980. С.113-117.

11. Генкин М. Д., Елезов В. Г., Яблонский В. В. Методы управляемой виброзащиты машин. М. : Наука, 1985. 240 с.

12. Принципы совершенной виброударозащиты / Генкин М. Д., Елисеев С. В., Мигиренко Г. С., Фролов К. В. // Виброизоляция механизмов и машин. Новосибирск : НЭТИ, 1984. С. 3-13.

13. Гитерман Д. М., Ляхович Л. С, Нудельман Я. Л. Алгоритмы создания резонансно безопасных зон при помощи наложения дополнительных связей // Динамики и прочность машин. М., 1984. № 39. С. 63-69.

14. Лойцянский Л. Г., Лурье А. И. Курс теоретической механики. - М. : Наука, 1980. Т. 2 : Динамика. 640 с.

15. Мехатроника виброзащитных систем с рычажными связями / Елисеев С. В., Хоменко А. П., Упырь Р. Ю. // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009. № 3 (23). С. 8-16.

16. Елисеев С. В., Упырь Р. Ю. Мехатронные подходы в задачах вибрационной защиты машин и оборудования // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование.

2008. Вып. 4 (20). С. 8-16.

17. Елисеев С. В., Хоменко А. П. Устойчивость колебаний в двумерных системах с нетрадиционными связями // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование.

2009. № 2 (22). С. 8-12.

18. Ермошенко Ю. В., Фомина И. В. Динамическое гашение в виброзащитных системах с использованием Г-образных рычажных связей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2009. № 2 (22). С. 85-88.