CC BY
22
УДК 51-73:535.14
РЯДЫ КАПТЕЙНА И ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА
А. И. Никиттюв
Получены суммы нескольких видов рядов Каптейна и найдены соотношения, между ними. Особое внимание уделено рядам,, суммы которых выражаются, через трансцендентные функции. Найдены, их асимптотики. В ряде случаев получены интегральные представления, и приведены к виду, удобному для, численны,х расчетов. Найдено время, жизни электрона, в постоянном, электромагнитном поле до излучения фотона. Отмечено, что это время, увеличивается, с энергией ■ультрарелятивистского электрона, в сильном постоянном, поле.
Ключевые слова: ряды Каптейна. излучение фотона.
Ряды Каптейна. ЛИН6ИНЫ6 по функциям Бесселя, мы называем линейными. Ряды, суммы которых даются алгебраическими функциями, называем алгебраическими. В противном случае ряды называем трансцендентными. Линейные трансцендентные ряды. Рассмотрим ряд
П
Ж ^^ г, <Х
V — Jm(mx) = — deY 1[ae-i(e-x sin e)]m
m=l m=l
—П
П
= - — í de ln[l - ae—i(e—xsin0)] = (1)
2n J
— П
П
= - — í de{ln[1 - ae—i(e—xsin0)] + ln[1 - aet{e—xsine)]} = 2n J 0
П
=--deln[1 + a2 - 2a cos(e - x sin e)]. (2)
2n J
0
Левую часть равенства в (1) и правую часть последнего равенства можно представить
x
ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: nikishov@lpi.ru
одинаковыми степенями х даёт выражения для интегралов по в, зависящих от параметра а Подробнее см. [1]. Заметим, что в [1] в разделе 2 в суммах по нечётным п (где суммирование идёт по 2п +1) суммирование должно начи наться от п = 0 а не о тп = 1. Особый интерес представляет случай |а| = 1. Тогда из (1) и (2) имеем
п П
V— Jm(mx) = —- Id- ln[2(l - cos(9 + y))] = - - í d- ln 2sin( - - - sin -' m 2ж / ж / V 2 2
m=l o o
• (3)
Здесь y = — | sin-.Используя разложение Jm (mx) по степен ям x, получим
e l x x2 x3 x4 23x5 llx6 841x7 151x8
2^mJm(mx)= 2 + 22+ 23 + + 27^3 + 24 • 3 • 5 + 29 • 32 • 5 + 24 • 32 • 5 • 7 + '" • (4)
m=1
Дифференцируя это выражение, найдём
23
± J_ OJ_ J_ —jO
2 + 2+1г + У + 3 ' 23 -5 ' 29 -32 -5 ' 2 • 32 -5-7
^ )= 1 x 3x2 x3 23 • 5x4 llx5 841 • 7x6 151x7
Jm(mx) = 2 + 2 + ^ + 27 . 3 + + 29 . 32 . 5 + 2 . 32 . 5.7 + " ' • (5)
m=1
Дифференцируя (3), найдём
e l í (e x \
У J'm(mx) = — d- cot I - — — sin - ) sin-• (6)
, 2ж J \2 2 )
m=1 0
Для 1 — x2 << 1, когда meff >> 1, имеем (см (9.3.43) и (10.4.16) в [2])
j;(mx) = - (m)2/3 A,' ((mУ d - x2)) = ^K2/3 (£(1 - x2)3/2) • (7)
Используя это в левой части (5) и заменяя суммирование интегрированием, получим
J2Jm (mx) = 2^ J2n(2nx) = ц _ x2)1/2 , 1 - x2 << 1 (8)
т — 1 п—1 ^ '
Здесь использовано соотношение (6.561.16) в [3]
dxxa-1Kv(ax) = 2a-2a-ar(г() • (9)
Дифференцируя (8), найдём
<x
Va
J2mJm(mx) = ц _ x2)3/2 ' 1 - x2 << 1 (l0)
m— 1 ^ /
Заметим теперь, что формулу (6) можно записать в виде
п
^ 1 If
Е Jm(mx) = - x + 2nd9 m=1 0
• л , Л 2 ( в 6
sin в I cot f--+—
<<) x \в — x sin в x(c + в2)
+
6 n ex i - x
+--arctan , ю =---sin e, c = 6-. (11)
nx2\Jc \Jc 2 2 x
Интеграл здесь порядка единицы и может быть табулирован. Для 1 - x2 << 1 главный
член в правой части таков
6 п 6 п 3 3 . . arctan ^ & —= ^ & W --2, (12)
п^/с \[с пуС 2 ч/с VI _
как это и должно быть согласно с (8). Аналогично (11) найдём
J]j2„(2nx)= /
n=1 £
п
nx) = I de sin в cot ф =---1--de
2x 2n J 00
sin в ( cot ф — ^ ) +
1 / в 6
+ -
x \e - xsine x(c + e2)
Дифференцируя (6), получим
3 П
+--arctan ^, ф = в — x sin в. (13)
nx2\J c \Jc
5>J¿(mx) =-П /W^Y, < = 2 — fsin в. (14)
4n J0 V sin <fj 2 2
m=l
m
d +— ) J'(mx) = ( — — 1 ) mJ(mx), (15)
dx x x2
получим
d 1\ ^^ , /1
dx + x)EJ'(mx)=( x2 — mJ (mx). (16)
m=l m=l
Аналогично (1) и (2) получим
п
11
V— J2n(2nx) =--Ыв ln(2 sin ф), ф = в — x sin в. (17)
' 2n 2n ./
Дифференцируя, имеем
J2n(2nx) = 2- I dв cot ф sin в, ф = в — x sin в. (18)
n=1 о
п
1
n=1 0
Дифференцируя ещё раз. получим
1 Г чт2 в
V 2п3"(2пх) = — ¿в. ^ 2 2ж} чт2 Ь
п=1 о
(19)
Далее легко найдём
V ^ ^ , ч о 7 X 239X
2п32п(2пх) = х2 + — + 22 _ 3 +
7х4 239х6 1481х8 292223х10
+
п=1
3 22 -3-5 22 -32 -7 26 -34 -7
+
(20)
х
1
24
хх
х а 1 , , х х
/-^2п ( х = 22 + 2^3 +
11х6
п=1
+
151х8
+
15619х10
22 22 3 24 3 5 24 32 5 7 28 34 5 7
+
(21)
Дифференцируя это выражение, найдём
. , . х х3 11х5 151х7 15619х9 3-2п(2пх) = - + — + + . „2 . „ + .7 „ + • •
п=1
2 3 23 -5 2- 32 • 5- 7 27 • 34 -7
(22)
Учитывая (8), можно получить формулу, которая при разложении в ряд по степен-х формулу (22):
^ 32п(2пх)
х
п=1
2^1-х2
х2 11х4 59х6 14971х8 1 + + 23 • 3 • 5 + 24 • 32 -7 + 27 • 34 -5-7 +
. (23)
Далее нам потребуется выражение
в
¿х У^ п32п(2пх) = —=--
п=1 2 ^л/3(1 - в2)3/2
1 - в2 « 1.
(24)
Дифференцируя его по в, получим выражение
Е
п=1
п32п(2пв)
л/3
4(1 - в2)5/2;
1 - в2 « 1,
(25)
которое можно проверить, используя формулу (40) ниже.
х
У^ 2п32п(2пх)
х
п=1
(1 - х2)5/2
24
хх
1 - — + +
5х6
103х8
+ ^ „ +
2 3 23 5 24 32 7 27 34 7
(26)
Сходным образом найдём выражение для интеграла суммы трансцендентного ряда
в
ß 3
dxJ2nJ2n (2nx) = ß2)3/2
n=1 ^ '
1 -
ß2 ß4
19ß6
809ß8
2 • 5 23 • 7 24 -33 -7 27 • 33 -7-11
Билинейные алгебраические ряды. Начнём с соотношения, см. [5]
d d (1 — х2) — Jn (пх) = — [x2Jn2(nx dx dx
(27)
(28)
Оно легко проверяется выполнением в нём дифференцирований и использованием уравнения Бесселя. Умножая (28) на пи и суммируя по п, получим
d
d
(1 — х2) dX Jn (пх) = dx [x2Efnv Jn2(nx
dx
Полагая v = — 2, имеем
(1 — x2) d sr -1 J2(nx) = d
dx n2 dx
В левой части используем формулу Нильсона
х Si 2 Jn (nx) n2
(29)
(30)
1ТЛГ 1 j2{ \ _ x_
S1 2 Jn (nx) = А ■
n2 4
Выполняя затем дифференцирование в левой части, получим
2 x d (1 — х ) — = —— 2 dx
х Si Jn (nx) 1 n2 n
(31)
(32)
x
оо 1 а 1 х2
Jn (nx) = 7 n2 4 8
(33)
Заметим, что формулу Нильсона (31) легко получить из формулы (17.33(2)) в [4]:
1 x2
Sr n2 J2n(2nx) = у ■
Заменяя здесь х ^ х sin (интегрируя по р и учитывая (39) (см. ниже), получим (31).
Далее дифференцируем Jn(v)'-
d d2
Jv) = 2Jn(v) Jn (V), ^ Jn (v) = 2J2n(v) + 2Jn(v)JKv) =
p
2J'2n(y) + 2Jn(y)
{% - 0 Jn(y) - 1 J'n(y) Vy2 / y
Отсюда (см. (40.4) в [6]
(34)
J' П(у)
1_(1_ i n2
2 V ydy dy2) V y2
•Ш-
(35)
Полагая y = nx, умножая это соотношение на nv и суммируя по n, получим
Я?п"З'Ку) = 2 (X-X + -X) + (1 - Х2) ^^2(пх). (36)
Билинейные трансцендентные ряды. Имея дело с разложениями в степенные ряды, мы используем соотношение (8.442.1) в [3]:
Jn(y) = s0°°(-i)i
(2n + 2s)!y2(n+s)
s!22(n+s)(2n + s)![(n + s)!]2'
(37)
Аналогичное разложение для .]'П(пх) можно получить из (36), но проще использовать (28) или (29), если нужна сумма. Используя (37), получим
2 _ x2 ( 7x2 239x4 7435x6 292223x8 nJn(nx) = T\1 + 1^ + + + 213 • 32 +
(38)
Значительно проще получить его из (20). используя (6.681.9) в [3], имеющую вид
п/2
J^(nx) = — dpJ2n(2nx cos p). n I
(39)
Для 1 — x2 << 1 используем соотношения (9.3.35) и (10.4.14) в [2]
Jn(nx)
VT—x
7Г
л/3
K
1/3
П (1 — x2 )3/2
(40)
заменяем суммирование интегрированием и используем (6.576 4) в [3]. Тогда получим
£°°nJn(nx)l,
1"ж2<<1 пл/33 (1 — x2)2"
(41)
Аналогично (23) получим
S0°nJ2(nx) =
x2
4(1 — x2)2
1- x,-
x4
5x6
23x8
22 25 • 3 28 • 32 213 • 32
(42)
1
Аналогичным образом найдём
,2 ( , 1 5х2 127х4 3133х6 101887х8 Е1 пЗ П{пх) _ — + ~2Т + 27 • 3 + 210 • 32 + 215 • 32 +
Используя (7)сга _ 2п и уравнение (6.576 4) в [3], получим
ЕГпЗ 'П(пх)
1
1-ж2<<1 ^^31 — х'
Аналогично соотношению (42) найдём
ЕГпЗ 'П(пх)
1
4(1 - х2)
С помощью (37) получим
1 х2 7х4 85х6 1631х8 + 2^ + 25 • 3 + 28 • 32 + 213 • 32 +
1 х2
ЕГ - З2(пх) _ п 4
' х2 11х4 151х6 15619х8 + 2^ + 2^3 + 28 • 32 + 213 • 32 • 5 +
Намного проще получить его. используя (21) и (39).
С помощью (39) и (3) получим сумму ряда в интегральной форме:
П П
ЕГ- З2(пх) 1 п п
--2 ¿ф ¿61п[2вт(6 — х вт ф вт!
П2
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
Дифференцируя его. получим
1
П П
ЕГ2Зп(пх)З(пх) _ — ¿ф ¿6 со1(6 — х вт ф вт 6) вт ф вт 6.
П2
(48)
00
Вероятность излучения, фотона. В классическом случае электрон в постоянном магнитном поле или в поле циркулярно поляризованной плоской волны движется по круговой орбите (в подходящей системе координат). Интенсивность излучения даётся формулой Шотта. см. §74 в [7]:
е2 . . . . 2 „
(49)
¿1,
п--(пшя№п2 6З2(пв сое 6) +в2З'п(пв сое 6)Ш, в _ -.
2пс с
Проинтегрированная по углам интенсивность равна
/
ш2н
в2пЗ2п (2пв) — (1 — в2) ¿хп2З2п (2пх)
(50)
в
В случае магнитного поля шн = —\/1 — в2 •
тс
Вероятность в единицу времени получается делением интенсивности на Нншн, шн есть частота первой гармоники: ¿Рп = ¿1п/Киш. Так (49), делённая на Кишн и просуммированная по и, приводит к рядам (42) и (45). Полная вероятность в единицу времени равна
2е2
Р = = -— ин
hv
в
в2E?J2п(2пв) - (1 - в2) J dxE^nJ2n(2nx)
0
(51)
и
ческим рядам, а суммирование вероятностей к трансцендентным. Вероятность того, что в течение интервала времени Ь не произойдёт излучения фото на, равна ехр(—РЬ). Используя (23) и (27), получим
Р
2^ ин в! hv - в2 3
1 3^ 41в4 52 • 11в6 28121в8 + ^5 + 23 • 5-7 + 24 • З3 • 7 + 27 • З2 • 5-7-11 +
(52)
В случае плоской циркулярно поляризованной волны ин есть частота волны. Для 1 — в << 1 получим
e2 5 eH e2 , ч
Р = ---=—, — = а = 1/137. (53)
hc 2V3 mc hc
Р
ском случае не зависит от энергии. С другой стороны известно, что в ультрарелятивистском случае излучение одно и тоже в любом внешнем поле, мало меняющемся на
e2
длине формирования излучения. Тогда [см. (27') и (27") в [8], где 4—— = а = 1/137]
w 5am V(eF^y Pv )2
W = 273Х' Х = тз . (54)
Здесь W - вероятность в единицу собственного времени, т = \¡1 — в2t - тензор
eHv
поля, p - импульс электрона, h = c = 1, Pt = Wt. Для магнитного поля х =
и мы видим, что (53) согласуется с (54): Ш ^1 — в2 = Р.
Интересно заметить, что в квантовом случае, когда х >> 1
т2л/Г—в2
W = ГО)™ (3х)2/з. (55)
Это означает, что лабораторное время до излучения фотона возрастает в этом случае
[1] A. I. Xikishov, arXiv:l.302.0978 [math.pli] 5 Feb 2013.
[2] M. Абрамовиц. И. Стиган. Справочник по математическим функциям, (М.. 1966).
[3] И. С. Градтптейн. И. М. Рыжик. Таблицы интегралов рядов и произведений (М.. 1962).
[4] G. X. Watson. A Treaty on the Theory of Bessel Functions (Cambridge Univ. Press. Cambridge. 1966).
[5] G. A. Schott. Electromagnetic radiation (Cambridge Univ. Press. Cambridge. 1912).
[6] Д. Д. Иваненко. А. А. Соколов. Классическая, теория, поля, (M.. 1951).
[7] Л. Д. Ландау Е. М. Лифтдид, Теория, поля, (М.. Наука. 1973).
[8] А. И. Никитпов, В. И. Ритус, ЖЭТФ 46, 776 (1964).
как
ЛИТЕРАТУРА
Поступила в редакцию 4 марта 2014 г.
