Ряды Дирихле второго рода для неприводимых решёток, повторяющихся умножением Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 25. Выпуск 2.

УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-260-268

Ряды Дирихле второго рода для неприводимых решёток, повторяющихся умножением 1

Р. В. Тарабрин, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский

Тарабрин Роман Владимирович — аспирант, Оренбургский государственный университет (г. Оренбург).

e-mail: [email protected]

Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: [email protected], [email protected]

Добровольский Николай Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: [email protected],

Аннотация

В работе построена теория рядов Дирихле второго рода для неприводимых решёток, повторяющихся умножением. В частности, доказана теорема, что ряды Дирихле второго рода для неприводимых решёток, повторяющихся умножением, образуют алгебру над полем комплексных чисел.

В заключении рассмотрены актуальные задачи для рядов Дирихле второго рода для неприводимых решёток, повторяющихся умножением, требующие дальнейшего исследования.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле. Библиография: 6 названий.

Для цитирования:

Р. В. Тарабрин, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. Ряды Дирихле второго рода для неприводимых решёток, повторяющихся умножением // Чебышевский сборник.- 2024.- Т. 25.-вып. 2,- С. 260-268.

1Работа выполнена по гранту РНФ № 23-21-00317 «Геометрия чисел и диофантовы приближения в теоретико-числовом методе в приближенном анализе».

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 2.

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-260-268

Dirichlet SGF1GS of the second kind for irreducible lattices repeated

by multiplication2

R. V. Tarabrin, N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii

Tarabrin Roman Vladimirovich — postgraduate student, Orenburg State University (Orenburg).

e-mail: [email protected]

Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: [email protected], [email protected]

Dobrovol'skii Nikolai Mikhailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: [email protected],

Abstract

The work constructs a theory of Dirichlet series of the second kind for irreducible lattices repeated by multiplication. In particular, the theorem is proven that Dirichlet series of the second kind for irreducible lattices repeated by multiplication form an algebra over the field of complex numbers.

In conclusion, current problems for Dirichlet series of the second kind for irreducible lattices repeated by multiplication are considered, requiring further research.

Keywords: Riemann zeta function, Dirichlet series.

Bibliography: 6 titles.

For citation:

Tarabrin, R. V., Dobrovolskv, N. N., Dobrovolskv, N. M. 2024, "Dirichlet series of the second kind for irreducible lattices repeated by multiplication" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 2, pp. 260-268.

1. Введение

Хорошо известно, что максимальная неприводимая решётка, повторяющаяся умножением, в пространстве Rs задается чисто вещественным алгебраическим полем Fs степени s над полем рациональных чисел Q (см. [3]).

Если Fs — чисто вещественное алгебраическое расширение степени s поля рациональных чисел Q и — кольцо целых алгебраических чисел поля Fs, то s-мерной решёткой является множество Л(^), следующим способом образованное с помощью Zps:

Л(^) = {(в(1),...,в^) | в(1) е ZFs}, (1)

где в«..., в« — система алгебраически сопряженных чисел, и если d - дискриминант поля Fs (см. [21), то de^(Fs) = V~d.

2The work has been prepared by the RSF grant № 23-21-00317 "Geometry of numbers and Diophantine approximations in the number-theoretic method in approximate analysis"

Прежде всего, следуя за работой [4], заметим, что гиперболическая дзета-функция решёток является рядом Дирихле. Действительно, дадим несколько определений и обозначений.

Норменным спектром решётки Л называется множество значений нормы на ненулевых точках решётки Л:

Nsp(A) = {А | Л = N(ж), ж е Л\{0}}.

Напомним, что нормой точки ж называется величина N(ж) = \ж1 ■ ... ■ xs\.

Л

ченной нормы на ненулевых точках решётки:

Qsp(A) = {А \ Л = q(x), х е Л\{0}},

где усечённая норма точки ж задается равенством q(x) = xj■.. .-xj и для любого вещественного ж полагаем ж = max(1, \ж\).

Усеченный норменный спектр является дискретным числовым множеством, то есть

QSp(A) = {Ai < Л2 < ... < Хк < ...} и lim Afc = те.

Очевидно, что

N(Л)= inf Л, q(A)= mi^,Л = Л1.

\eNsp(A) л eQsp (Л)

Порядком точки спектра называется количество точек решётки с заданным значением нормы. Если таких точек решётки бесконечно много, то говорят, что точка спектра имеет бесконечный порядок. Порядок точки А норменного спектра обозначается через п(А), а порядок точки А усеченного норменного спектра, соответственно, через д(Х).

Понятие порядка точки спектра позволяет лучше понять определение гиперболической дзета-функции решётки Л(Т) = Т ■ Л(Е3). В нем вместо нормы точки ж фигурирует усеченная норма:

(я (Л(Т)|а)= ^ (т в(!) ...Т в(8)) -а (2)

Можно привести пример решётки Л, для которой ряд

^ |Ж1 ■ ... ■ х31-а жеА

расходится при любом а.

Действительно, пусть Л = Т ■ Л(Р3) - алгебраическая решётка, тогда

Е' 1®1 ■... ■ = ^ 1т* ■м (3)

хЕА т&р

где N (ад) — норма целого алгебраического числ а из кольца Ъра. В силу теоремы Дирихле о единицах ряд в правой части равенства (3) расходится при любом а, так как в кольце Ъра целых алгебраических чисел чисто вещественного алгебраического поля ¥3 степени 8 имеется бесконечно много единиц е и для них (е)| = 1. Таким образом в этом случае каждая точка норменного спектра имеет бесконечный порядок, что и приводит к расходимости при любом а.

Л

ряды Дирихле второго рода, в которых в знаменателе стоит норма алгебраического числа,

она же норма соответствующей точки решетки, а числители удовлетворяют дополнительному условию, что сумма всех числителей для точек с одинаковой нормой абсолютно сходится.

/№,<)) = £ °(X) = ¿А(А„а = а + гt, а > af > а),

хеЛ\{0} 1 1 fc=i

где Of — абсцисса абсолютной сходимости и а*^ — абсцисса сходимости, a A¿ — точки нормен-ного спектра Nsp (Л), который определяется равенством

Nsp^) = {А | А = N (X), X е Л\{0}}, N (X) = |xi ■ ... ■ Xsl,

и

А(Ак) = ^ a(X), ^ |a(X)| < те.

|xr..^xs|=afc lxi^.^xs |= afc

Так как выполняется очевидное включение Nsp(A) С N и норменный спектр Nsp(Л) является моноидом натуральных чисел, то получаем связь с теорией рядов Дирихле для моноидов натуральных чисел (см. [6]).

В частности, если нам даны два ряда Дирихле второго рода для произвольной неприводимой решётки Л, повторяющейся умножением: /(а|Л, а(-)) и /(а|Л, &(•)), то можно рассмотреть их произведение в силу абсолютной сходимости рядов А(Ага) и В(Ат):

оо

/(а|Л, а(-)) ■ /(а|Л, &(•)) = /(а|Л, с(.)) = £ С(Ак)А-а,

к=1

где

с(х) = а(у)Ъ(*), С (А,,) = с(х) = £ А(\п)В(\т).

у^У=х |жх •...•ж31=Л„Лт=Лк

Таким образом, если мы через В(Л) обозначим множество рядов Дирихле второго рода для произвольной неприводимой решётки Л, повторяющейся умножением, то это будет коммутативная алгебра с единицей, так как 1 £ В(Л).

Цель данных исследований — построение теории рядов Дирихле второго рода для решёток

Л

2. Теорема Дирихле о единицах и общий вид рядов Дирихле второго рода с мультипликативной функцией

Обозначим через и р3 группу алгебраических единиц кольца целых алгебраических чисел %^ чисто вещественного алгебраического поля ¥3. Согласно теореме Дирихле эта бесконечная группа имеет 8 — 1 образующую — фундаментальные единицы. Пусть % — мультипликативный моноид ненулевых целых алгебраических чисел кольца целых алгебраических чисел % ра. Пусть О., — систем а целых алгебраических чисел ш по одному из каждого класса фактор моноида Ъ*р тогда Ъ*р = и^еп ш ■ и^. Будем считать, что всегда 1 £ О.. Ясно, что

справедливо равенство ш\ ■ ш2 = ш3 ■ е, где ш\,ш2,ш3 £ О., е £ и^ и ш3,е однозначно определяются ПО Ш\,Ш2-

О

ш\ * ш2 = Ш3,

где ш3,е однозначно определяются по ш\, ш2 с помощью равенства ш\ ■ ш2 = ш3 ■ е. Таким О

Будем говорить, что иа определена мультипликативная функция &(■), если справедливо равенство

Ь(ш1 * ш2) = Ь(ш1) ■ Ь(ш2).

Будем через х(ш) = О^1),... , обозначать точку алгебраической решётки Л(^), соответствующую целому алгебраическому числу ш € Ъра. Если х ■ у = (Х1У1,..., х3у3) — произведение двух точек, то справедливо равенство для точек алгебраической решёткиЛ(^5):

х(ш-\) ■ х(ш2) = х(ш3) ■ х(е),

при этом сомножители в правой части равенства однозначно определяются сомножителями в левой части.

С другой стороны, для любой точки х(ш) € Л(^) однозначно определены ш* € и е* € и^ такие, что

х(ш) = х(ш*) ■ х(е*).

Для дальнейшего нам потребуется функция числа делителей алгебраического числа € которая обозначается через d(шs) и определяется равенством

d(uз) = Е 1.

,и2 ,ееир8

В силу предыдущего можно определить функцию числа делителей произвольной точки х(шз) алгебраической решётки Л(^):

й(х(шз)) = Е 1 = й(шг).

,^2

Обозначим через (а|^) дзета-функцию Дедекинда главных идеалов (ш) чисто-вещественного поля Р3 (см. [5]):

Сяо №) = Е м|-в,

М

которую можно записать как

Сяо №) = Е 1М (а = + и> а> 1).

Пусть на группе адгебраических единиц кольца целых алгебраических чисел Ъра чисто вещественного алгебраического поля .К, определена произвольная функция а(е) (е € и^), которая удовлетворяет условию сходимости

Е К^ < то.

Таким образом, для величины

А(иРв,«(■))= Е а(£)

справедливо неравенство |А(и^в, я(0)| < те. Будем кроме того требовать выполнение условия невырожденности: ,а() = 0.

Теперь мы можем записать общий вид ряда Дирихле второго рода с мультипликативной функцией числителя для неприводимых решёток, повторяющихся умножением. Рассмотрим

алгебраическую решетку Л(Т) = Т ■ Л^) с растущим детерминантом (£ ^ те):

,, | д /т\ 1/ \ К ^ *)а(е*) ^ ЧТ^ Ь(ш)а(е)

(Т* -Ж(X))« ^ ^ Т -Ж(ш)|« , а(-)) ^ Ь(ш)

Теорема 1. Для любого а > 1 справедливо равенство

/(а|Л(Т), 1,а(0) = М(и:Р;«а(,)) ■ СД0№).

Доказательство. Действительно, в силу абсолютной сходимости ряда для величины М(иРз , а(-)) имеем:

/(«№), 1,а())= £ , а®) = ^^^ ' Е =

шеп3 1 4 л шеп3 1 4 л

□

Будем говорить, что функция а(е) (е € Цр) нормированная, если М(ирв, а(-)) = 1. Очевидно, что функция а*(е) = £<г(-)) буДет нормированной. Нетрудно видеть, что справедливо равенство

/(а|Л(Т), &(•), а()) = / (а |Л(Т), &(-)М(ир, а(-)) ,

а(^) ' А(иРа ,а(.)).

а ( )

го рода для неприводимой решётки, повторяющийся умножением, то справедливо равенство

/(а|Л(Т), Ь^а*(■)) = т*« Е ЩЩ«.

Мы получили парадоксальный результат, что значение ряда Дирихле второго рода с мультипликативным числителем для неприводимой решётки, повторяющийся умножением, не зависит от нормированного сомножителя числителя ряда Дирихле.

Второй парадоксальный результат состоит в том, что справедливо равенство

/(а|Л(Т), &(.),а* (■)) = (а|Л(^в), 6(-),а* (■)).

Из этого равенства следует, что вопрос об асимптотики рядов Дирихле второго рода с мультипликативным числителем и нормированным сомножителем для неприводимой решётки, повторяющийся умножением, становится тривиальным.

3. Алгебра рядов Дирихле второго рода

Рассмотрим вопрос о алгебраической природе множества рядов Дирихле второго рода для неприводимых решёток, повторяющихся умножением. Как уже было отмечено выше, В(Л) — множество рядов Дирихле второго рода для произвольной неприводимой решётки Л, повторяющейся умножением, является коммутативной алгеброй с единицей.

На функцию &(■) наложим дополнительное условие мультипликативности

Ь(ш1)Ь(ш2) = Ь(ш1ш2) = Ь(ш1ш2 е)

для любого е € и р3-

Лемма 1. Для любой мультипликативной функции &(■) справедливо равенство

Е b(«i)b(«2) = b(w3)d(w3).

^з -U2 ■ £

Доказательство. Действительно, из равенства «3 = «i ■ «2 -ей мультипликативности функции Ъ( ) следует, что Ь(ш1)Ь(ш2) = Ъ(ш3) и

Е Ъ(ш{)Ъ(ш2) = Ь(шз) Е 1 = b(u3)d(u3).

^ ,sGUpg ^ ,£EUps

U3 -^2 ■ £ ^2 ■ £

□

Л

повторяющихся умножением, f (а|Л, Ь(),а()) и f (а|Л, &(■), с()). Тогда для суммы и произведения, этих рядов Дирихле второго рода справедливы равенства

f(а|Л, Ь1(),а()) + f (а|Л, Ъ2(), с0) = f (а Л, ЫОДи^, <)) + ЫОЖ^, + С*()) , (4) Да|Л, Ь(),а()) ■ Да|Л, Ь(), С0) = Да|Л, &(■)<■), е0), (5)

где е(е) = £=£\£2 а(£ 1)с(£2) и _ функция числа, делителей.

Доказательство. Действительно, для суммы двух рядов Дирихле второго рода имеем:

/(а|Л.(„0,а0) + ла|А,ь0.С0)= Е Е + Е Е =

= у Ь1(и)А(УКя,а(.))+Ь2(и)А(Ук,,с(■)) 1 _ (д*

а*(е)+с *(е)

(biHA(UFs,<))+ b2HA(UFs, с(.)))( 2

шепвеevFs 1 v л

= /Ы

Л. bi(-) A(U fs ,a() + b2(-)A(UFs ,a*Q+ C*() ) .

Для произведения этих рядов в области абсолютной сходимости а > 1 в силу мультипликативности нормы алгебраического числа и мультипликативности функции Ь(-) имеем:

/<а|Л.ВД,а0)./(а|Л.ад,с0)= Е Е Е Е ^ =

шeuFs 1 v 171 w2enS£2euF^ v 271 = E |N¿ )|а E b(ui)b(u2)A(UFs,a(-))A(Üfs.c(-)) =

= E S««3) E E ^i)*») = E S E

\N(w3)\a v 3' ^ ^ y 1 y 2 ^ \N( )\

шзеп, 1 V 3/1 £1£2&UFs ,£=£!£2 ШзЕПв 1 V 3/1

□

s

4. Заключение

В работе [5] достаточно сложными рассуждениями для гиперболической дзета-функции алгебраической решётки Л(Т) получена асимптотическая формула

Ся (Л(т)|о) = !)Г Е^-1-(^лсг))«-+ я(Л(По'^

" 0 (6)

где

Я(Л(Т), о, 0) = О ^ — (л^Т)}"И « — регулятор поля. Для величины Я(Л(Т), о, 0) найдено выражение

8-2

E(Л(T), о, б) = £ (Т*№)|)а « . (д — С-^пТ8 + 1п (и)|)"(в ■ 0а)--1-"+

^ 2 V V- С(/,р)е^(5 — т)!С™ 1 ■ (1пТ8 + 1п (и)| + 0(2р — в)а)г

^«М1)^^ я ^ 0>—1>!<»— " — 1)!о"-га+1

«(ЛОТ ),о. *) = О ( ь^р ).

Области ^(р) целочисленных векторов, заданны равенством

д(р) = / () 1 < Л < ... < ^ < 5, 1 < ^+1 < ... < Ъ < \ ^(p)^(л,..., (л,..., л) = {1,..., *} Г

Сравнивая эту асимптотическую формулу с утверждением теоремы 1, мы видим, что асимптотическая формула для ряда Дирихле второго рода гораздо проще и её вывод практически тривиален.

Возникают новые вопросы об аналитическом продолжении ряда Дирихле второго рода. Очевидно, этот вопрос эквивалентен вопросу об аналитическом продолжении дзета-функции Дедекинда главных идеалов. Здесь необходимо отметить, что этот вопрос остается открытым, хотя для дзета-функции Дедекинда известно (см. [1]), что дзета-функции Дедекинда имеет

о = 1

первого порядка.

Дзета-функция Дедекинда главных идеалов отличается от дзета-функции Дедекинда и ранее, как нам известно, не рассматривалась. Они совпадают только для алгебраических полей, в которых все идеалы кольца целых алгебраических чисел являются главными идеалами, то есть число классов дивизоров равно 1. Поэтому необходимы новые дополнительные исследования для ответа на поставленные вопросы.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бернштайн Д., Гелбарт С. Введение в программу Ленгпендса, 2008

2. Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. М.; Л.: Гостехиздат, 1940.

3. Б. Н. Делоне, Д. К. Фаддеев. Теория иррациональностей третьей степени // Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова, 11, Изд-во АН СССР, М.-Л., 1940, С. 3-340.

4. Л.П.Добровольская, М.Н.Добровольский, Н. М. Добровольский, Н. Н. Добровольский Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вычисление оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник 2012. Т. 13, вып. 4(44). С. 4-107.

5. Н. Н. Добровольский. О двух асимптотических формулах в теории гиперболической дзета-функции решёток // Чебышевский сборник. 2018. Т. 19, вып. 3, С. 109-134.

6. Н. Н. Добровольский, М. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский, И. Н. Балаба, И. Ю. Реброва. Алгебра рядов Дирихле моноида натуральных чисел // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20, вып. 1, С. 180-196.

REFERENCES

1. Bernstein D., Gelbart S. 2008, "Introduction to the Langpends Program".

2. Hecke E. 1940, "Lectures on the theory of algebraic numbers", M.; L.: Gostekhizdat.

3. Delone, B. N., Faddeev, D. K. 1940, "The theory of irrationalities of the third degree", Tr. Math. V. A. Steklov Institute, 11, Publishing House of the USSR Academy of Sciences, M.-L., pp. 3-340.

4. Dobrovol'skava, L. P., Dobrovol'skii, M. N., Dobrovol'skii, N. M. к Dobrovol'skii, N. N. 2012, "The hyperbolic Zeta function of grids and lattices, and calculation of optimal coefficients", Chebyshevskii sbornik, vol. 13, no. 4(44), pp. 4-107.

5. Dobrovol'skii, N. N. 2018, "On two asymptotic formulas in the theory of hyperbolic Zeta function of lattices", Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 109-134.

6. Dobrovol'skii, N. N., Dobrovol'skii, M. N., Dobrovol'skii, N. M., Balaba, I. N., Rebrova, I. Yu. 2019, "Dirichlet series algebra of a monoid of natural numbers", Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 180-196.

Получено: 12.04.2024 Принято в печать: 28.06.2024