Пространство рядов Дирихле для многомерных решёток Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 24. Выпуск 4.

УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-4-206-211

Пространство рядов Дирихле для многомерных решёток1

Н. В. Максименко, И. Ю. Реброва

Максименко Наталья Викторовна — аспирант, Оренбургский государственный университет (г. Оренбург).

e-mail: [email protected]

Реброва Ирина Юрьевна — кандидат физико-математических наук, доцент, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: [email protected]

Аннотация

В работе рассмотрено множество всевозможных рядов Дирихле, порожденных заданной решёткой, и изучены свойства этого функционального пространства над полем комплексных чисел.

Введено новое понятие С 9-степенная плотность ряда Дирихле. Установлена связь между С 0-степенной плотностью ряда Дирихле и абсциссой его абсолютной сходимости.

Установлено, что если ряд Дирихле f (а|Л) удовлетворяет условию обобщенной леммы Сельберга с в1 < 6, то ряд Дирихле f (а|Л) аналитически продолжается в полуплоскость с а > $1, кроме точки а = 6, в которой у неё полюс первого порядка с вычетом Св.

Введено новое понятие С логарифмическая 9-стспснная плотность ряда Дирихле. Установлено, что если ряд Дирихле f (а|Л) имеет С логарифмическую 0-степенную плотность и в < 1, то для абсциссы абсолютной сходимости справедливо равенство <jf = 0 и ряд Дирихле f (а|Л) — голоморфная функция во всей правой а-иолуплоскости с а > 0.

Показано, что если ряд Дирихле f (а|Л) имеет С логарифмическую 0-степенную плотность и в < 1, то областью голоморфности дзета-функции £(М|а) является «-полуплоскость а > 0.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, дзета-функция моноида натуральных чисел.

Библиография: 4 названия. Для цитирования:

Н. В. Максименко, И. Ю. Реброва. Пространство рядов Дирихле для многомерных решёток // Чебышевский сборник. 2023. Т. 24, вып. 4, С. 206-211.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке РНФ № 23-21-00317 «Геометрия чисел и диофаптовы приближения в теоретико-числовом методе в приближенном анализе».

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 4.

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-4-206-211

The space of Dirichlet SGFIGS to multivariate lattices2

N. V. Maksimenko, I. Yu. Rebrova

Maksimenko Natalia Viktorowna — postgraduate student, Orenburg state University (Orenburg).

e-mail: [email protected]

Rebrova Irina Yuryevna — candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: [email protected]

Abstract

The work considers the set of all possible Dirichlet series generated by a given lattice, and studies the properties of this function space over the field of complex numbers.

A new concept of C Q-power density of a Dirichlet series is introduced. A connection is established between the C 0-power density of the Dirichlet series and the abscissa of its absolute convergence.

It is established that if the Dirichlet series f (a|A) satisfies the conditions of the generalized Selberg lemma with 9\ < 9, then the Dirichlet series f (a|A) extends analytically into the halfplane with sigma > 9i, except for the point a = 9, at which it has a first-order pole with a C

C

been established that if the Dirichlet series /(a|A) has C logarithmic 0-power density and 9 < 1, then the abscissa of absolute convergence holds the equality af = 0 and The Dirichlet series /(a|A) is a holomorphic function in the entire right a-hdf-plane with a > 0.

It is shown that if the Dirichlet series f (a|A) has C logarithmic 0-power density and 9 < 1, then The holomorphic domain of the zeta function Q(M|a) is a-the half-plane a > 0.

Keywords: Riemann zeta function, Dirichlet series, zeta function of the monoid of natural numbers.

Bibliography: 4 titles. For citation:

N. V. Maksimenko, I. Yu. Rebrova, 2023, "The space of Dirichlet series to multivariate lattices" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 4, pp. 206-211.

1. Введение

В работе [2] определено множество всех рядов Дирихле, порожденных заданной решёткой Л, которое обозначается через D(A).

Пусть Л — произвольная s-мерная решётка в Rs. Рядом Дирихле /(а|Л) для решётки Л называется произвольная функция, заданная равенством

/№) = Е(51 .а(5)5)а = )x~ka а = °Ь °>°f'

зел ( 1 ■■ ■ s) k=i

2 Acknowledgments: The reported study was funded by the RSF grant № 23-21-00317 "Geometry of numbers and Diophantine approximations in the number-theoretic method in approximate analysis".

где аf — абсцисса абсолютной сходимости и а* — абсцисса сходимости, а Л& — точки усечённого норменного спектра QSp(Л), который определяется равенством

Q8p(Л) = {Л | Л = д(х), х е Л\{0}}, д(х) = хх •... • х8

и

А(Лк) = ^ а(х).

Х1-...'Хд=\к

Как хорошо известно [3, 4], для любых рядов Дирихле справедливо неравенство а/ ^ а* + 1. По теореме Абеля (см. [3], стр. 106)

те

/ИЛ) = а| А+гШ, А*(г) = £ а(х).

А!

В работе [2] показано, что ряды Дирихле, порождённые решетками, естественно возникают в теоретико-числовом методе в приближенном анализе и играют в его развитии существенную роль.

Целью данной работы является изучение вопросов сходимости рядов Дирихле, порожденных заданной решёткой.

2. Пространство рядов Дирихле для многомерных решёток

Выделим подпространство Вте(Л) условием зир^д |а(х)| < го. На Вте(Л) зададим норму

||/(а|Л)|| =8ир |а(£)|. хел

Относительно заданной нормы Вте(Л) является несепарабельным банаховым пространством.

Нетрудно понять, что пространство Вте(Л) не является алгеброй, так как нет замкнутости относительно произведения рядов Дирихле.

Более того, для произвольной решётки Л произведение двух рядов Дирихле /(а\Л) и д(а1Л), вообще говоря, не является рядом Дирихле Н(а\Л), так как для произвольной решётки Л покоординатное произведение двух точек х и у из Л не является точкой решётки Л

Порядком точки Л усечённого норменного спектра называется количество точек х решётки Л, для которых д(х) = Л. Порядок точки Л обозначается через д(Л). Нетрудно понять, что величина

И(Т |Л) = £ д(Л)

\eQsp (Л), а<Т

— количество точек решётки Л в гиперболическом кресте К3(Т) = {х | д(х) ^ Т}. Так как

2*Т Ы3-1Т /Т 1П*-2Т\ Д(Т|Л) = (. - +

Л ал

С(Л|а) равна 1.

Отсюда следует, что для любого ряда Дирихле /(<с|Л) е Вте(Л) для абсциссы абсолютной сходимости а/ справедливо неравенство а/ ^ 1.

3. Степенная плотность и абсцисса абсолютной сходимости

Определение 1. Будем говорить, что ряд Дирихле удовлетворяет условию обобщенной леммы, Сельберга, если А*(£) = СЬв + О (и 91 <9.

Про такой ряд Дирихле будем говорить, что он имеет С 9-степенную плотность.

Заметим, что мы допускаем произвольное значение величины С. В том числе и С = 0.

С

значать через В(б)(Л).

Лемма 1. Если ряд Дирихле f( а| Л) имее т С 9-степенную плотность, то для его абсциссы абсолютной сходим,ост,и справедливо равенство а ^ = 9 ив точке а = 9 полюс с вы,чет,ом, С

С

А (¿) = ав + Км (£) и для любо го е > 0 найдет ся N = N (в) такое, ч то | Км (¿)| < еЪв при t > N(е). По теореме Абеля (См. [3], стр. 106) имеем:

н I АЛ ГА Г С1±Км®Й+ Са Ям®

/(а|Л) = ^А1 АЫ м = а УЛ1 м = агаё + а уА1

Так как для любого е > 0 имеем:

Км (t)

а -n-at

Лх ia+1

<

[N(е) Км (t) rU

а -n-at

Jxx t»+1

\а\е

+

\а -9\N(е)«("-«)'

то утверждение леммы доказано. □

Лемма 2. Если ряд Дирихле ¡'(а1Л) удовлетворяет условию обобщенной леммы Сельберга с 9\ < 9, то ряд Дирихле f (а|Л) аналитически продолжается в полуплоскость с а > 9\, а = С

Доказательство. Действительно, по теореме Абеля имеем:

А (¿) [ ™СЧе + О ) С а Г (^)

,лл ГА*(t) 1 + 0 ГЧ Са f(а|л) = а у dt = ^ -—1-dt = o^q + а

ОО

К У I I, ~ I

dt.

а -9 Л ¿«+1

Так как последний несобственный интеграл абсолютно сходится для любого а с а > 01, то

□

Определение 2. Будем говорить, что ряд Дирихле f(а|Л) имеет С логарифмическую

А ( )

ln (t\)

in01

lim \ /"u =C, С > 0, 9> 0.

i D , ' '

Из определения видно, что, если ряд Дирихле /(а|Л) имеет С 0-степепную плотность, то он имеет 9 логарифмическую 1-степенную плотность.

Следующая лемма показывает, что ряды Дирихле /(а|Л) с С логарифмической 9-степенной плотностью при 9 < 1 имеют принципиальное отличие.

Лемма 1. Если ряд Дирихле ¡'(а1Л) имеет С логарифмическую 9-степенную плотность и 9 < 1, то для абсциссы абсолютной сходимости справедливо равенство а/ = 0 и ряд Дирихле ¡'(а1Л) — голоморфная функция во всей правой, а-полуплоскости с а > 0.

Доказательство. Действительно, из определения С логарифмической 0-степепной плотности имеем: А*(Ъ) = ес(1п4) +Км и для любо го е > 0 найдет ся N = N (е) такое, что (¿)| < )0 при £ > N(е). По теореме Абеля (См. [3], стр. 106) имеем:

/ИЛ) = а

J\

'х, ta+1 Так как для любого е > 0 имеем:

A*(t) ес(lni)e+Rm(î) f~ ecte+Rm(é) dt = a --,-dt = a -г-dt.

те eCte+RM (eÉ)

a

'lnAx

ood

d

<

to+l

rN(s) pCte+RM(eÉ)

'ln Xi

a

ln Xi

o

+

o

d

a

V(e) eot-(c+£)te

последний несобственный интеграл при в < 1 абсолютно сходится при любом а с а > 0, то утверждение леммы доказано. □

Дословно повторяя рассуждения из работы [1], можно доказать следующую теорему.

Теорема 1. Если ряд Дирихле /(а|Л) имеет С логарифмическую 9-степенную плотность и в < 1, то областью голоморфности дзета-функции ((М 1а) является а-полуплос-а > 0

Из этой теоремы сразу следует теорема антиуниверсальности.

Теорема 2. Если ряд Дирихле /(а|Л) имеет С логарифмическую 9-степенную плотность и в < 1, то ряд Дирихле /(а|Л) не является универсальной функцией в смысле Воронина.

те

4. Заключение

В данной статье удалось применить подходы, развитые при анализе дзета-функции моноидов натуральных чисел.

Выражаем свою благодарность профессору H. М. Добровольскому за постановку задачи и доценту H. Н. Добровольскому за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Добровольский H. Н. Одна модельная дзета-функция моноида натуральных чисел // Че-бышевский сборник. 2019. — Т. 20, вып. 1, С. 148-163.

2. Н. В. Максименко. Пространство рядов Дирихле для многомерных решёток и алгебра рядов Дирихле решёток, повторяющихся умножением // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 1, С. 233-246.

3. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. — 188 с.

4. Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — М. - Л.: ОГИЗ, 1947. — 204 с.

REFERENCES

1. N. N. Dobrovol'skii, 2019, "One model Zeta function of the monoid of natural numbers" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 1, pp. 148-163.

2. N. V. Maksimenko, 2020, "The space of Dirichlet series to multivariate lattices and the algebra of Dirichlet series of grids, repetitive multiplication" , Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 1, pp. 233-246.

3. Chandrasekharan К., 1974, Vvedenie v analiticheskuju teoriju chisel, Izd-vo Mir, Moskva, 188 p.

4. Chudakov N. G., 1947, Introduction to the theory of L-Dirichlet functions — M.-L.: OGIZ, — 204 p.

Получено: 07.10.2023 Принято в печать: 11.12.2023