Непрерывность рядов Дирихле 𝑠-мерных решёток Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 25. Выпуск 2.

УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-251-259

Непрерывность рядов Дирихле s-мерных решёток1

Р. В. Тарабрин, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский

Тарабрин Роман Владимирович — аспирант, Оренбургский государственный университет (г. Оренбург).

e-mail: [email protected]

Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого(г. Тула). e-mail: [email protected], [email protected]

Реброва Ирина Юрьевна — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого(г. Тула). e-mail: [email protected]

Добровольский Николай Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого(г. Тула). e-mail: [email protected],

Аннотация

В работе исследуются ряды Дирихле s-мериых решёток. В частности, доказана теорема, что ряды Дирихле s-мерных решёток непрерывны на пространстве решёток в области их абсолютной сходимости.

В заключении рассмотрены актуальные задачи для рядов Дирихле s-мерных решёток, требующие дальнейшего исследования.

Ключевые слова: дзета-функция Римана, ряд Дирихле, гиперболическая дзета-функция решётки.

Библиография: 5 названий. Для цитирования:

Р. В. Тарабрин, Н. Н. Добровольский, И. Ю. Реброва, Н. М. Добровольский. Непрерывность рядов Дирихле s-мерных решёток // Чебышевский сборник. 2024. Т. 25, выи. 2, С. 251-259.

1Работа выполнена по гранту РНФ № 23-21-00317 «Геометрия чисел и диофантовы приближения в теоретико-числовом методе в приближенном анализе.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 25. No. 2.

UDC 511.3

DOI 10.22405/2226-8383-2024-25-2-251-259

Continuity of Dirichlet SGF1GS of s-dimensional lattices

P. V. Tarabrin, N. N. Dobrovol'skii, I. Yu. Rebrova, N.M. Dobrovol'skii

Tarabrin Roman Vladimirovich — postgraduate student, Orenburg State University (Orenburg).

e-mail: [email protected]

Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: [email protected], [email protected]

Rebrova Irina Yuryevna — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: [email protected]

Dobrovol'skii Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: [email protected],

In this work, Dirichlet series of s-dimensional lattices are studied. In particular, the theorem is proved that the Dirichlet series of s-dimensional lattices are continuous on the space of lattices in the region of their absolute convergence.

In conclusion, current problems for Dirichlet series of s-dimensional lattices that require further research are considered.

Keywords: Riemann zeta function, Dirichlet series, hyperbolic lattice zeta function.

Bibliography: 5 titles.

For citation:

R. V. Tarabrin, N. N. Dobrovolskv, I. Yu. Rebrova, N. M. Dobrovolskv, 2024. "Continuity of Dirichlet series of s-dimensional lattices" , Chebyshevskii sbornik, vol. 25, no. 2, pp. 251-259.

1. Введение и постановка задачи

Пусть Л С К5 — произвольная полная s-мерная решётка. В этой работе будут использоваться только полные решётки, поэтому для краткости слово полная будем опускать.

Рассмотрим множество В(Л) — произвольных рядов Дирихле вида

где (7f — абсцисса абсолютной сходимости ист** — абсцисса сходимости, а функция а(х) является непрерывной функцией на всём пространстве К5 и функция усечённой нормы q(x) задается равенством q(x) = Х\ • ... • xs и для любого вещественного ж полагаем ж = max(1, |ж|).

2The work has been prepared by the RSF grant № 23-21-00317 "Geometry of numbers and Diophantine

approximations in the number-theoretic method in approximate analysis"

Abstract

жел\{о}

Заметим, что ряд Дирихле з-мерной решётки является кратным рядом, а поэтому абсцисса абсолютной сходимости и абсцисса сходимости совпадают, так как порядок членов ряда не определён, и, следовательно, сумма ряда должна быть определена для любого порядка суммирования членов ряда, а это свойство абсолютно сходящихся рядов.

Можно ряд /(Л|а) записать как обычный обобщенный ряд Дирихле:

оо

/(ЛИ = Е ^, £ *(*)>

П= 1 п xeA,q(x)=Xn

QSPW = {\i,\2,...} = {Л | Л = q(x), х е Л\{0}},

Qsp(^) — усеченный норменный спектр решётки Л. Отсюда следует, что абсцисса абсолютной сходимости может уменьшиться, так как

1ЖАп)| < Е |a(f)|,

xeA,q(x) = \„

а понятие абсциссы сходимости приобретает содержательный смысл.

Как хорошо известно [4, 5], для любых обычных рядов Дирихле справедливо неравенство af < a*f + 1. В случае, если решётка Л - целочисленная решётка, мы получаем обычный

Л

говоря, будет обобщенным.

Поэтому первая цель данной работы доказать, что справедлива оценка для абсциссы аб-

Л

Для области сходимости ряда Дирихле s-мерной решётки f(Л|а) важную роль играет скорость роста функции а(х). Нетрудно видеть, что если для любого а > 0 найдётся последовательность точек ха>1, ха,2,... е Л с q(xa>1) < q(xa,2) < ..., для которой la(xa}U)| > q(xa>v) v = 1, 2,..., то для абсциссы сходимости будет выполнено неравенство а* > а, и в силу произвольности а > 0 ряд Дирихле будет расходиться на всей комплексной плоскости.

Отсюда следует, что вторая цель данной работы — найти связь между скоростью роста или убывания функции а(х) и величиной абсциссы сходимости соответствующего ряда Дирихле. Частным случаем ряда Дирихле s-мерной решётки Л является гиперболическая дзета-

функция решётки (н(о|Л), которая задается равенством

Ща)= £ ^.

гел\{о}

В работе [1] доказано, что гиперболическая дзета-функция решёток непрерывна на метрическом пространстве s-мерных решёток. Возникает естественный вопрос о справедливости этого утверждения для произвольного ряда Дирихле s-мерной решётки. Ответ на этот вопрос будет третьей целью данной работы.

2. Соотношения между абсциссой абсолютной сходимости и абсциссой сходимости

Как известно, гиперболическим параметром решётки Л называется вели чина д(Л) заданная равенством

q(A) = Х1 = min(A е Qsp(A)) = min q(x).

хел\{0}

По теореме Абеля (см. [4], стр. 106) в области сходимости справедливо равенство

Г^ А*(г)

fЩа) = а dx, А*(х) = £ А(Хп).

1д(Л) X"

\„<х

Теорема 1. Для любого ряда Дирихле s-мерной решётки f (Л|а) справедливо неравенство af — а** < 1.

Доказательство. Действительно, если несобственный интеграл для ряда Дирихле f (Л|а) сходится в точке а = а + it, а ^ af, то справедливы соотношения

lim мм =0, lim MiH = 0.

х^-те Ха+1 х^-те ха

Далее заметим, что

Е^Г-Т-' .т*=(Л|1+

J2xeA,q(x) = Xn 1 ^Т^ 1 п=1 хел\(о}

Но абсцисса абсолютной сходимости гиперболической дзета-функции решётки (я(Л|а) равна 1. Поэтому ряд для (н (Л 11 + е) абсолютно сходится для любого е > 1. Отсюда следует, что ряд Дирихле

f (Л|о- + it + 1+ е)

абсолютно сходится для любого е > 1. Тем самым доказано, что af — af ^ 1. □

Замечание 1. Хот,я, как уже было отмечено выше, в общем случае ряд Дирихле s-мерной решётки, вообще говоря, будет обобщенным, рядом, Дирихле, но в данном, случае область абсолютной сходим,ост,и, гиперболической дзета-функции решётки совпадает с областью абсолютной сходим,ост,и, дзета-функции Римана, что и обеспечивает перенос свойства сходим,ост,и обычных рядов Дирихле на случай, ряда, Дирихле s-мерной решётки.

Замечание 2. Для функции числителя а(х) ряда, Дирихле выполняется очевидное условие

|а(ж)| lim ' v = 0

д(х)^те q(x)af +

для любого е > 0; если абсцисса абсолютной сходим,ост,и вещественное число.

В частности, для любого а0 > а/ найдется константа С = С(а0,е) > 0; такая, что выполнены, неравенства

^(х^ < Cq(x)af+£, 0 < е < а0 — af,

при этом С(ао,е) — убывающая функция на промежутке 0 < е ^ а0 — af.

Если ряд Дирихле s-мерной решётки f (Л|а) сходится на всей комплексной плоскости (т. е. af = —ж), то

lim = 0

q(x)a

для любого вещественного а.

3. Скорость изменения функции коэффициентов и область сходимости ряда Дирихле многомерной решётки

Прежде всего дадим несколько определений.

Определение 1. Пусть а > 0 тогда говорим, что непрерывная функция а(х) имеет а-степенной рост с константой С > 0 если для любого х € М5 выполнено неравенство \а(х)\ < С • q(x)a.

Определение 2. Пусть а > 0, тогда говорим, что непрерывная функция а(х) имеет а-степенное убывание с константой С > 0, если для любого х € М5 выполнено неравенство 1а(х)1 < С • д(х)-а.

Определение 3. Пусть а > 0, тогда говорим, что непрерывная функция а(х) имеет а-экспоненциальное убывание с константой С > 0, если для любого х € М5 выполнено неравенство |а(ж)| ^ С • е-а^(х\

Нам потребуется следующая теорема из работы [2]. Пусть К(Т) = [х^(х) ^ Т} — гиперболический крест, И(Т|Л) — количество ненулевых точек решётки Л в гиперболическом кресте К(Т).

Теорема 2. Для любой решётке Л при Т ^ 3 справедливо асимптотическое равенство

25Т 1п5-1 Т Т 1п5-2 Т

В(Т|Л)= Л +ес(Л)11п 1

(s — 1)! det Л v у de^ '

где С (Л) = 2Se(ao + 2)s и |в| < 1.

В формулировке этой теоремы используются следующие обозначения. Пусть Xj = (Xj1,... ..., Xjs) (j = 1,..., s) — произвольный фиксированный базис решётки Л и

- 1 s А = А(ХЬ ...,Xs) = max - V ^j|,

Kj^s 2 ' V=1

тогда ao = ßo (Л) = min A(A1,..., As), где минимум берется то всем базисам решётки Л.

Теорема 3. Для любой решётке Л и функции а(х) со а-степенным ростом с константой С > 0 для абсциссы абсолютной сходим,ост,и ряда, Дирихле s-мерной решётки f (Л|а) справедливо неравенство Of ^ а + 1.

Доказательство. Действительно, для а = a1+it из определения скорости роста функции а(х) имеем:

,,/л, м v- К#)| v- С .Г™ БЫЛ) , |/(Л|а)| < > ^т*1 < > —^-= С(а1 — а) 1 dx <

хел\{0}чк ! хел\{0} я(Л)

™ хlns-1ж

, Г™ х lns-1 ж , ^ (а1 — ап -л"dx < ж

Jam х*1 -a+1

!д(А) ^-а+1

при а1 > а + 1. Отсюда следует, что а/ ^ а + 1 □

Теорема 4. Для любой решётке Л и функц ии а(х) со а-степенной скоростью убывания, с константой С > 0 для абсциссы абсолютной сходим,ост,и ряда, Дирихле в-мерной решётки f (Л|а) справедливо неравенет,во ^ — а + 1.

Доказательство. Действительно, для а = 01 + ¿¿из определения скорости убывания функции а(х) имеем:

|/» Е Ü < Е ^ = С<1 + " L ^"Х «

g^\{0} q(X) £ел\{0}q(X) Jq(л) Х

. f ™ X lns-1 ж ,

«to+^ I <ж

'я(л)

при а1 > —а + 1. Отсюда следует, что Of ^ — а + 1 □

Теорема 5. Для любой решётке А и функции а(х) со а-экспоненциальной скоростью убывания, с константой С > 0 для абсциссы абсолютной сходим,ост,и ряда, Дирихле в-мерной решётки f (А|а) справедливо равенство а/ = —те.

Доказательство. Действительно, для а = а\ + И из определения скорости убывания функции а(х) имеем:

|ДА|а)| < V < V —т^-р. =С [~ Д(х|А) ( а? + —^)с1х «

|А 1 л ^ д(х)а1 ^ о(х)а1 еач(х) Лш ' \ха1+1 еах ха1 еах ) х"ел\{о} хел\{о} 4 у чул>

fOO

^ х 1п5 1х(---1--а—) dх < те

7д(Л> Чж^1 еах ха1 еах)

при а? > —те. Отсюда следует, что а/ = —те □

4. Непрерывность рядов Дирихле многомерных решёток

Как известно (см. [3], стр. 160-165), пространство решеток является метрическим пространством, и, если последовательность решеток |Ага} сходится к решетке А, то существует последовательность невырожденных матриц

Ап —

...

^ ... a^ )

(п — 1,2,...), det Ап — 0,

сходящихся к единичной матрице

(5ц ... ¿1s \

\ ... ôss )

, « —(0 .

[ 0 при г — j,

1 при г — j

т.е.

\\Ап —/\\ — s ■ max |а(п) — 6ц| ^ 0 при п ^ те,

l^ij^s iJ

и таких, что

Лп — Ап ■ л.

Лемма 1. Если Лп ^ Л при п ^ те, то

lim ао(Лп) — ао(Л).

п—>оо

Доказательство. См. [1]. □

Лемма 2. Для а — а + it при а ^ а0 > а f + 1 > —те Т ^ 3 и для любого е с 0 < е < а0 — аf — 1 справедлива, приближенная формула

С6i(а,Т)ci(s), (а0 — af — g) Гт7-Ц-^ +ln^ M

f(AU)— -OXL + 1( , ) (ао — af — g) — 1 у((ао — af — g) — 1)-1 J

/(Л|а) ^ q(X)a + det Л -Т^-1 ,

xeAf)K(T) 7

где |©1 ( а, Т)| ^ 1, c1(s) — 2s ■ 24(s — 2)!(а0(Л) + 2)s и С > 0 — некоторая константа, зависящая от, функции a(x) и константы е.

Л

а(х)

f №)= £' + К(Л,Т!«)'

гел п к(т)

К(Л,Т\а) = Е

хел, д(з)>т

а(х) д(х)а

(1)

Переходя к оценкам по модулю каждого слагаемого в (1), получим

\ Я(Л, Т\а)\ < \Д(Л,Т\ст)\ < Я*(Л,Т\сто),

где

"о) = £ Ц.

гел, ч(х)>т

Согласно замечанию 2, найдётся С = С(сто,е) > 0, такое что \ а(х)\ < Cq(x))af+£ для любого 0 < е < (т0 — О] — 1. Отсюда следует, что

Я*(Л,Т \ сто) < С Е ^у]-^- = СК1(Л,Т\ сто).

зел, я(3)>т

По теореме Абеля

с

Д1(Л,Г\ ао) = (ст0 — ст} — е) ^

Р(х\ Л) — Р(Т \ Л)

™<Г0 СТ f -£+1

(1х.

т

Отсюда и из теоремы 2 следует

К1(Л,Т\ ст0) < (сто — ст/ — е)

с '/(

т

25 ж 1п5-1 ж 2 (Л) + 2) 5ж 1п

(з — 1)!ёе^

+

5ж1п5 2х

)

йх

х(а0-(Г}-£)+1

2*(сто — стf — е) I 1

у/ ^ + 4(а° (Л) + 2)* / ^ =

1п5-2 ж

detЛ

2*(ст0 — ст{ — е) detЛ

(« — 1)! У х(а°-£) т

/ 5-1 £

т

(* — 1)!

1 к=о ((сто — ст/ — е) — 1)*-кЛ!

1п к Г

(* — 1)!

^ (сто-0■f - £)-1

+

V

(в — 2)!

+

4(а0 (Л)+2Г £ т— 1)-1-к

к=о ((сто — ст/ — е) —1)5 1 кк!

1п кТ

гр (а0-<Jf - £)-1

<

<

2 *( сто — стf — в)

det Л

+

/

1п а~1Т

ч((ст0 — ст/ — в) — 1)8 (сто — ст/ — е) — 1 гр (сто-а-/ - £) 1

+

1

3

+12(s - 2)!(ао(Л)+2)6

+ -

ln ^2Т

+ ■

2S ■ 24(s - 2)!(ао(Л) +2)i

к((ао -af - е)-1)^ (ао -af - е) - 1

т (oq —Of - е)-1

(ао аf - е)

<

<

(ао - Of - е) - 1 V ((ао -Of - ^ - 1)

— + ln*—1J)

det Л - Т(oQ—°f—£)—1

и лемма доказана с с^з, А) = 2я ■ 24(з — 2)!(а0(А) + 2)5. □

Теорема 6. Если последовательность решеток {Ап} сходится к решетке А, то последовательность рядов Дирихле f (Ап|а) равномерно сходится, к ряду Дирихле f (А|а) в любой полуплоскости а ^ а0 > а/.

Ао = А

а = шаха0(Ап), & = шindetАn.

Ясно, что Ь > 0. И так как последовательность Ап сходящаяся, то из леммы 1 вытекает, что величина а конечная. Выберем Т? = Т?(е 1) из условия

2 s ■ 24(s - 2)!(а + 2)s . Of £\ (((ао - Of - е) - 1)—5+1 + Ш—1 Т1) _( ао - Of - е) - 1_ < £1

b ^ T(°Q—Of—£)—1 3 '

(2)

тогда при Т ^ Т1 для любого п ^ 0 имеем

|Е(Лга'Т|а)| < |Е(Л„'Т1|ао)| < ^

в полуплоскости а = а + it, а ^ ао > Of. Рассмотрим крест К(2Т1) и все ненулевые точки решетки Л принадлежащие этому гиперболическому кресту. Пусть это точки Х1,... ,Xn, где N = ^(2Т1|Л).

Для сходящейся к единичной матрице I последовательности матриц Ап, определенной условиями

Лп = АпЛ, lim Ап = I.

п^-те

Рассмотрим точки „1п) = АпХ1, ..., yN = АпХ^ из решетки Лп. В силу сходимости lim AaXj = Xj (j = 1'... ,N) можно утверждать, что найдется по = по (в) такое, что для

п^-те

любого п > по все точки , для которых Xj £ К(Т1), будут принадлежать кресту К(2Т1) и

каждая точка у(а\ принадлежащая кресту К(ТО, имеет прообраз Xj, принадлежащий кресту К (2Т1).

Отсюда следует, что для а = а + it, а ^ ао

|/(Лп|а) - /(Л|а)| <

N

а[У

( п)

лЛп|а) - ^^-(„^ -... ->)

+

N £

а[У

( п)

N £

а (Xj)

j=1 {yji ■... ■ Ы (xj1 ■... )

+

N

ДЛ|а)-У

+

а (xj)

—1 (xj1 ■ ... ■ xjs)

<

1

1

N

< 1К(Лп,Тг1а0 )| + 1П(Л,Т11а0 )| + Е

3 = 1

,'-(п)

а[Щ

a (xj)

У(П .... . у(п)у° (Щ1 ■ ... ■ ^ Г

3 s

<

2е i "

^ — + £

3

3 = 1

,'-(п)

а[Щ

а (x3)

(Xji ■ ... ■ Xjs) 0

Выбирая ni = ni(ei) из условия

' Лп)

а\Щ

a (хз)

У^ ■...■ v^Y0 (xn ■... ■ x>sГ

<

£i 3N

при n ^ ni, получим |/(Лп|а) — /(Л|а)| ^ £i при n ^ max(no(ei),ni(ei)), и теорема полностью доказана. □

5. Заключение

многообразии.

Авторы выражают свою благодарность профессору В. Н. Чубарикову за полезные обсуждения и внимание к работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Добровольский Н. \!.. Реброва И. Ю., Рощеня А. Л. Непрерывность гиперболической дзета-функции решеток // Мат. заметки. Т. 63, вып. 4. 1998. С. 522-526.

2. Н. М. Добровольский, А. Л. Рощеня. О числе точек решетки в гиперболическом кресте // Матем. заметки. Т. 63, вып. 3. 1998. С. 363-369.

3. Касселс Дж. Введение в геометрию чисел. М.: Мир, 1965.

4. Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. — 188 с.

5. Чудаков Н. Г. Введение в теорию L-функций Дирихле. — М. - Л.: ОГИЗ, 1947. — 204 с.

REFERENCES

1. Dobrovol'skii, N. \!.. Rebrova, I. YU. к, Roshhenva, A. L., 1998, "Continuity of the hyperbolic Zeta function of lattices", Matematicheskie zametki, vol. 63, no. 4, pp. 522-526.

2. Dobrovol'skii, N. M., Roshhenva, A. L., 1998, " On the number of lattice points in a hyperbolic cross", Matematicheskie zametki, vol. 63, no. 4, pp. 363-369.

3. Cassels J., 1965, "Introduction to the geometry of numbers", M.: Mir.

4. Chandrasekharan K., 1974, Vvedenie v analiticheskuju teoriju chisel, Izd-vo Mir, Moskva, 188 p.

5. Chudakov N. G., 1947, Introduction to the theory of L-Dirichlet functions — M.-L.: OGIZ, — 204 p.

Получено: 12.04.2024 Принято в печать: 28.06.2024