CC BY
8
Scientific journal ISSN 2413-158X (online)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION ISSN 2413 1571 (Print)
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видаеться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Паачник Н.О., Р'жняк Р.Я. Розв'язування математичних задач з реалiзацieю пол'!предметних (економ'!ка, iнформатика, математика) '¡нтегративних компонентie. Ф'!зико-математична освта. 2020. Випуск 2(24). С. 113-122.
Pasichnyk N., Rizhniak R. Solving of mathematical problems with the implementation of multipricultural (economics, informatics, mathematics) integrative components. Physical and Mathematical Education. 2020. Issue 2(24). Р. 113-122.
DOI 10.31110/2413-1571-2020-024-2-016 УДК 372.851
Н.О. Паачник
Центральноукранський державний педагогiчний унверситет iменi Володимира Винниченка, Украна
pasichnyk1809@gmail.com ORCID: 0000-0002-0923-9486 Р.Я. Рiжняк
Центральноукранський державний педагогiчний унверситет iменi Володимира Винниченка, Украна
rizhniak@gmail.com ORCID: 0000-0002-1977-9048
РОЗВ'ЯЗУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ЗАДАЧ З РЕАЛ1ЗАЦ16Ю ПОЛ1ПРЕДМЕТНИХ (ЕКОНОМ1КА, 1НФОРМАТИКА, МАТЕМАТИКА) ШТЕГРАТИВНИХ КОМПОНЕНТ1В
АНОТАЦЯ
Формулювання проблеми. В статт/' дослджуеться проблема методики формування в старшокласник1в ум/'нь розв'язувати та дослджувати математичн задач': ¡нтегративного змсту, що е важливим компонентом набуття математично) компетентности старшокласниками.
Матер/'али / методи. В ход'! експериментального дослдження використовувалися аналз психолого-педагог'ино)' лтератури з проблеми дослдження, педагог'мне спостереження за навчально-пзнавальною д'яльн'стю учн1в, беади з викладачами математики, а також математичн методи статистично)' обробки експериментальних даних, за допомогою яких визначалися ктьксн1 та яшсн'1 залежност1 мж показниками дослдження. До експертного оцнювання результатв експерименту було залучено 24 особи, як1 е квал1ф1кованими фах1вцями у ц1й сфер1.
Результати. Змст дослдження полягав у використанн1 моделювання засобами ¡нформац1йно-комун1кац1йних технологй (мобльного вар1анту граф1чного калькулятора Desmos) задачно) ситуацп математичних задач ¡нтегративного змсту економЫно)' тематики. За переконанням експертв така методика роботи з задачами значно п1двищила р1вень мотивацп до навчання старшокласнишв та викликала зац1кавлення у студентв осв'тньо)' програми Математика, ¡нформатика та економ'ша спец'юльност/' 014 Середня освта (Математика). За результатами проведеного дослдження автори сформулювали методичш умови реал1заци ¡нтегративного пдходу при формуванн1 умнь розв'язувати математичш задач'!, котр1 мстили в соб'1, по-перше, тезу про важливсть використання 1КТ для моделювання та дослдження задачних ситуац/й в задачах ¡нтегративного змсту, по-друге, висновок щодо залежност1 обсягу реал1заци ¡нтегративного пдходу вд мети орган1зацИнавчально)'дяльност/' учн1в, по-трете, опис алгоритму реал1зацИ ¡нтегративного пдходу при формуванн1 умнь розв'язувати математичн задач':, який включае процеси узагальнення та систематизацПкомпонентв ¡нтегрованого матер'шлу.
Висновки. Проведене дослдження дае пдстави пдтвердити доцльнсть запропоновано) методики у процеа формування у старшокласнишв узагальнених умнь розв'язування математичних задач ¡нтегративного змсту та при побудов/' модел'1 навчального процесу з реал'зац'ею полпредметних ¡нтегративних компонентв. Продовження цього дослдження автори вбачають у розробц системи задач ¡нтегративного змсту для використання як при вивченн математики учнями старших клайв, так /' для навчання майбутшх вчител1в математики в систем/' )'хньо)'пдготовки в педагогчних унверситетах.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: iнтеграцiя, математична задача, задача iнтегративного зм':сту, математичн компетентностi, економ!чна тематика, iнформацiйно-комунiкацiйнi технологи', Desmos.
ВСТУП
Постановка проблеми. Формування в учыв продуктивних умшь розв'язування математичних задач набувае особливого значення в умовах змЫи орiентирiв у системi ново!' украшсько!' школи та з огляду на утвердження в Укра'н
обов'язкового зовншнього незалежного оцшювання випускни^в з математики. Це спонукае вчителiв, методистiв та вчених-педагогiв сконцентрувати свою увагу не лише на теоретична, а саме на продуктивно-практичнш пщготовц старшокласникiв. А тому досить важливого значення набувае розвиток в учыв умшь орiентуватися в наявних штегративних зв'язках у навчаннi математики, з рiзноманiття яких можна видтити такi основнi, що вiдповiдають визначеним рiвням iнтеграцií: iнтеграцiя в межах теми; штегращя в межах роздту навчального матерiалу; iнтеграцiя в межах одые'|' математично! дисциплiни; iнтеграцiя в межах математичних дисциплш; iнтеграцiя мiж математичними та iншими (наприклад, шформатика, фiзика, економiка) дисциплiнами.
З шшого боку, шкiльний курс економiки використовуе математичн методи i моделi як природы й необхщы елементи. Використання математики в економц дае змогу видтити й формально описати найбтьш важлив^ iстотнi зв'язки економiчних змшних i об'ектiв, дозволяе точно й компактно формулювати положення економiчноí теорп, и поняття й висновки.
1нформацшно-комунтацшш технологГ'' (1КТ) е одним з чинниюв забезпечення органiзацií навчання розв'язування задач у рiзноманiтних галузях знань з використанням моделей та модельних переходiв. Бтьше того, саме 1КТ е складовою забезпечення реального застосування теоретичних положень шктьних дисциплiн (в тому чи^ математики i економти) у площину розв'язування практичних задач.
Актуальысть проблеми реалiзацií iнтегративного пщходу до навчання математики (у контекст iнтеграцií мiж математикою, економiкою та шформатикою) зумовила органiзацiю дослiдження щодо формування у старшокласни^в умiнь розв'язувати та дослщжувати математичнi задачi штегративного змiсту.
Аналiз актуальних дослiджень. Проблемi реалiзацií iнтегративного пiдходу у навчанн присвяченi працi вiтчизняних науковцiв. Виходячи з дослщжень В.В. Нiчишиноí (Ычишина, 2008), О.В. Вознюка та О.А. Дубасенюк (Вознюк, 2009), Козловськоí 1.М. (Козловська, 2001) iнтегративний пiдхiд у навчанн передбачае: по-перше, визначення об'ективних передумов об'еднання ранiше розрiзнених змктовних елементiв з курсу математики; по-друге, об'еднання таких елементiв не за допомогою простого додавання, а в результат синтезу; по-трете, отримання результату об'еднання у виглядi системи, яка мае властивост цiлiсностi. 1нтегративна л^я у формуваннi в учнiв процедурних математичних компетентностей знаходить детальну реалiзацiю у використанн навчальних математичних задач штегративного змкту. Означення та змкт поняття задачi iнтегративного змiсту та методика використання моделей для розв'язування таких задач розкрит В.А. Кушыром (Кушыр, 2009) та Р.Я. Рiжняком (Рiжняк, 2009). С.А. Раков, дослщжуючи реалiзацiю компетентнiсного пiдходу до математичноí освiти з використанням 1КТ, пщ поняттям «математична компетентысть» розумiв спроможысть особистостi бачити та застосовувати математику в реальному житп, розумiти змкт i методи математичного моделювання, будувати математичну модель, дослщжувати м методами математики, штерпретувати отриманi результати, оцшювати похибку обчислень (Раков, 2005). Н.О. Паачник вивчала застосування математичного шструментар^ при розв'язаннi задач економiчного змкту та при аналiзi реальних економiчних процесiв i явищ (Пасiчник, 2008).
Проблемам штеграцп в навчаннi математики присвячен дослiдження вчених з рiзних краíн. Розробка моделi iнтегрованого викладання математики та екологiчноí освiти висв™ена в Nastja Cotic, Mara Cotic, Darjo Felda, Jurka Lepicnik Vodopivec (2015), визначено взаемозв'язок мiж навичками виршення проблем, метакогнiтивною обiзнанiстю i досягненням математики, а також роз'яснено роль метакогнiтивноí обiзнаностi як посередника в Nurulhuda Md Hassan, Saemah Rahman (2017), дослiджено взаемозв'язки мiж чисельним змiстом i алгебраíчним мисленням в Piriya Somasundram, Sharifah Norul Akmar, Leong Kwan Eu. (2019). Starcic Andreja Istenic, Cotic Mara, Solomonides Ian, Volk Marina (2016) зробили висновок, що реалiзацiя штегрованого пiдходу до використання комп'ютерних технологш при формуваннi здiбностей до викладання математики сприяе пщвищенню педагогiчноí компетентности вчителiв початкових клаав i знання математичного матерiалу. Farzam Rozita, Allahdadi Marzieh (2018) визначили, що штегративний пiдхiд до вивчення математики учыв початковоí школи з використанням освт-лх iгор е ефективним способом пщвищення якостi дитячого навчання. Pehoiu Gica (2019) пiдкреслила важливiсть iнтегрованоí освти для формування правильного ставлення, вщповщальност i мотивацп в питаннях щодо захисту навколишнього середовища.
У нашому дослiдженнi ми використаемо перелiченi теоретичн напрацювання та доповнимо й уточнимо íхнi положення практичною реалiзацiею штегративного пщходу при навчаннi математики.
Метою статт е висвiтлення методики реалiзацií iнтегративного пiдходу у процесi навчання математики (у контекст iнтеграцií мiж математикою, економiкою та iнформатикою) шляхом формування у старшокласни^в умiнь розв'язувати та дослщжувати математичнi задачi штегративного змкту.
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
В ходi експериментального дослiдження використовувалися теоретичнi методи: аналiз психолого-педагогiчноí лiтератури з проблеми дослщження; емпiричнi методи: педагогiчне спостереження за навчально-тзнавальною дiяльнiстю учнiв, бесщи з викладачами математики; математичнi методи статистичноí обробки експериментальних даних, за допомогою яких визначалися кшьмсн та яккы залежностi мiж показниками дослщження.
РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Розглянемо детальнiше, як можна використати штегративы зв'язки мiж математикою, економiкою та 1КТ для формування у старшокласни^в умiнь розв'язувати та дослщжувати математичнi задачi штегративного змкту.
Проiлюструемо це на прикладi задач.
Задача 1. Пiдприемство випускае два види продукцп (А i В). Для виготовлення 1 од. виробу А потрiбно витратити 2 м тканини 1-го типу, 3 м тканини 2-го типу та 1 м тканини 3-го типу, для виготовлення 1 од. виробу В - т самi тканини iз витратами вщповщно 1 м, 4 м i 3 м. Виробництво забезпечено сировиною кожного типу у ктькост 400 м, 900 м i 600 м
вiдповiдно. Вартiсть виробу А становить 600 грн, а виробу В - 400 грн. Скласти план виробництва виробiв А i В, який забезпечить максимальну виручку вщ реалiзацií.
Задачi, у яких розглядаються реальнi економiчнi процеси (в даному випадку маемо справу з задачею лшшного програмування), мають велику розмiрнiсть. Тому простий перебiр всiх опорних плаыв таких задач е дуже складним, навiть за умови застосування сучасних ЕОМ. Як наслщок, необхщно скористатися методом розв'язування, який би максимально забезпечив скорочення ктькосп обчислень. Такий метод 1949 року був запропонований американським вченим Дж. Данц^ом i називаеться симплексний метод. 1дея методу полягае в здшснены спрямованого перебору допустимих планiв у такий споаб, що на кожному кроц здiйснюеться перехiд в^д одного опорного плану до наступного, який за значенням цтьово' функцп був хоча б не пршим за попереднй Значення функцiонала при переходi змшюеться в потрiбному напрямку: збiльшуеться (для задачi на максимум) чи зменшуеться (для задачi на мiнiмум). Процес розв'язування задачi при цьому мае терацшний характер: однотипнi обчислювальнi процедури (гтерацм) повторюються у певнiй послщовносп, доки не буде отримано оптимальний план задачi або з'ясовано, що його не кнуе.
Рис. 1. Графiчне розв'язання задачi 1
Але симплексний метод для старшокласни^в е складним i недоцiльним для вивчення (через вузьккть його використання в шкшьнш математицi). Спробуемо для розв'язання використати шшу математичну модель, а саме геометричну штерпрета^ю системи умов. Позначимо через х кiлькiсть виробiв виду А, а через у - кшьмсть виробiв виду В, що спланован до виробництва. Тодi за умовою задачi матимемо таку систему умов:
(2х + у < 400, 3х + 4у < 900, х + 3у< 600,
' х>0, (1)
у>0,
<F = 600х + 400у ^ max
Функцiя F(x,y) - цтьова функцiя, х i у - м аргументи, система (1) - обмеження, ям описують умови виробництва. ^м того, вщповщно до умови, лiнiйна функцiя F(x,y) = 600х + 400у повинна мати найбтьше значення. Отже, задача полягае в тому, щоб знайти множину розв'язюв системи (1) i з неí обрати тi, за яких значення функцп F(x,y) буде найбтьшим. Зобразимо на координатнш площинi всi умови з системи (1) (рис. 1). Першл 5 умов утворюють 5-кутник з вершинами у точках (0;0), (0;200), (60;180), (140;120) та (200;0). Найбiльшого значення функцiя F(x,y) буде набувати у однш iз названих точок. Легко перевiрити (i безпосередым обчисленням, i рухом графiка функцп F(x,y) вгору по 5-кутнику, аж поки з ним пряма л^я не матиме лише одну сптьну точку), що найрацiональнiшим буде план виробництва, коли х = 140;у = 120:
F(140; 120) = 600х + 400у = 600 • 140 + 400 • 120 = 132000 (2)
Подивимося на задачну ситуа^ю з точки зору и моделювання. Для цього використаемо Desmos («розширений графiчний калькулятор, реалiзований як веб-додаток та мобтьний додаток, написаний на JavaScript; його заснував Елi Люберов, проект був запущений як стартап на конференцп TechCrunch Disrupt New York 2011 року» (Desmos, 2011)). Так як цей додаток мае вераю для мобтьних телефоыв iз простим способом реестрацп користувача, то ми практикували оргашзовувати роботу в пщгрупах учнiв у виглядi таких мшипроеклв: а) зафiксувавши цiну виробу В на рiвнi 400 грн визначити, при якому дiапазонi цiн виробу А найрацюнальышим планом виробництва буде 60 виробiв виду А та 180 виробiв виду В; б) зафтсувавши цiну виробу В на рiвнi 400 грн визначити, при якому дiапазонi цiн виробу А найрацюнальышим планом виробництва буде випуск лише виробiв виду А; в) зафтсувавши цiну виробу А на рiвнi 600 грн визначити, при якому дiапазонi цiн виробу В найрацюнальышим планом виробництва буде випуск лише виробiв виду В; г) як змшити цiни на вироби, щоб у розпорядженн пiдприемства було ктька варiантiв найрацiональнiшого плану виробництва.
Рис. 2. Середовище Desmos: скршшот до виконання Mirn-проекту 1(а)
Розглянемо у якостi iлюстрацií перший мшипроект. Побудувавши у середовищi Desmos першi три нерiвностi умови (1), ми отримали п'ятикутник з вершинами у точках (0;0), (0;200), (60;180), (140;120) та (200;0). Це середовище дае можливiсть побудувати графiк цтьово' функцп з параметрами (рис. 2):
Ь • х + 400 •у — а = 0 (3)
де Ь - цiна виробу А, котру треба знайти; а а - загальний обсяг реалiзацií за найрацюнальншим планом виробництва. У середовиш^ вмонтована можлив^ь змiни названих параметрiв повзунками. Щоб визначити межi змши цiни для досягнення найрацiональнiшого плану виробництва у точц (60;180) (60 виробiв виду А та 180 виробiв виду В) достатньо визначити граничн межi розмiшення прямо' F(x,y): в^д паралелi до лiнií, що з'еднуе точки (0;200), (60;180), до паралелi до л^н^'', що з'еднуе точки (60;180), (140;120). При цьому межi змiни параметра Ь (при умовi виставлення кроку змши параметра на повзунку 1) будуть такими: вщ 133 грн (точнше значення 133 грн. 33 коп.) до 300 грн. При цьому загальний обсяг реалiзацií за найрацюнальншим планом виробництва буде змшюватися вщ 80 000 грн до 90 000 грн. На рис. 2 показаний один з розв'яз^в для проекту 1(а): Ь = 215 грн.,а = 85 000 грн.
Задача 2. Два пщприемства А та В виготовляють продукщю за одыею i тiею ж цшою за один вирiб. Проте автопарк, що обслуговуе пщприемство А, укомплектований сучасншими та потужнiшими вантажними автомобтями. Тому транспортнi витрати на постачання одного виробу на 1 км для пщприемства А у 2 рази меншм, ыж для пщприемства В. Вiдстань мiж пщприемствами 300 кiлометрiв. Як територiально мае бути роздтений ринок збуту мiж двома пiдприемствами для того, щоб витрати споживачiв при купiвлi виробiв були мiнiмальними?
Для розв'язування ц^е' задачi скористаемося координатним методом. Оберемо систему координат так, щоб точка А (що позначае розмщення пщприемства А) лежала у и початку, а точка В належала на ос Ох (рис. 3). Тодi точки матимуть координати: Л(0;0),В(300;0). Виходячи з умови задачi пiдприемства А та В мали рiзнi транспорты затрати, тодi як iншi витрати були однаковими. Тодi загальна картина витрат пщприемств була такою:
ТСА=С+п^А (4)
ТСв = С+2п^в (4)
де ТСА та ТСВ - загальнi витрати пщприемств А та В вщповщно з постачання одного виробу, С - шшм витрати пiдприемств з постачання одного виробу, п - варткть постачання одного виробу на 1 км шляху, 5Л та Бв - вiдстань в ктометрах вiд пiдприемств А та В вщповщно до пункту постачання (наприклад, точка N на рис. 3). Таким чином, границею област для кожно' точки, до яко' витрати на транспортування вантажу з пунк^в А та В рiвнi, буде множина точок площини, що задовольняють рiвнянню:
ТСА = ТСВ (5)
або: 5Л = 2 • Бв (6)
В термiнах координат рiвнiсть (6) виглядатиме так:
V*2 +У2 = 2 • ^(х — 300)2 +у2 (7)
Провiвши елементарнi перетворення з рiвнiстю (7), отримаемо:
(х — 400)2 + у2 = 2002 (8)
Отже, границею област для кожно' точки, до яко' витрати на транспортування вантажу з пунк^в А та В рiвнi, буде коло з центром в точц (400; 0) та радiусом 200 (рис. 3). Отже, для мiнiмiзацií витрат споживачiв при купiвлi виробiв ринок збуту мае бути роздтений так: для вах споживачiв, як знаходяться у зовнiшнiй частинi кола, постачальником мае бути пщприемство А, а для споживачiв, якi знаходяться у внутршый частинi кола, товар мае постачатися пщприемством В. Для тих споживачiв, що знаходяться на кол^ постачальником може бути кожне з пщприемств.
Рис. 3. Графiчне розв'язання задачi 2
Аналогiчно до попереднього випадку змоделюемо задачну ситуацiю з використанням графiчного калькулятора Desmos. Введемо параметри: а - вщстань мiж пщприемствами, b - коефiцieнт пропорцiйностi транспортних витрат на постачання одного виробу на 1 км для пщприемств А та В (В/А), с - коефщент пропорцшносп цш на вирiб для пiдприeмств А та В (А/В). Ми оргаызовували роботу в пщгрупах учнiв у виглядi таких мiнi-проектiв: а) визначити, як буде змшюватися ринок збуту пщприемства В, якщо вiдстань мiж пщприемствами буде збтьшуватися (зменшуватися) (Ь = 2, с = 1); б) визначити, як буде змшюватися розподт рин^в збуту мiж пiдприeмствами, якщо коефщент пропорцiйностi транспортних витрат на постачання одного виробу на 1 км для тдприемств А та В буде в межах мiж 0 та 1, рiвний 1, мiж 1 та 2, бтьший за 2 (а = 300, с = 1); в) визначити, як буде змшюватися розподт ринюв збуту мiж пщприемствами, якщо коеф^ент пропорцшносп цш на вирiб для пщприемств А та В (А/В) буде бтьший (менший) 1 (покласти, що «ЫшМ витрати» пiдприeмств на виготовлення одного виробу залишаться однаковими, а також а = 300, b = 2); г) визначити, при яких умовах (значеннях а, Ь, с) пщприемству В (пщприемству А) недоцтьно займатися постачанням продукцп.
Коротко прокоментуемо виконання першого з названих проектв. Замiнивши у рiвняннi (7) значення 300 на параметр а, змоделюемо задачну ситуащю з використанням пакету Desmos. ЗмЩуючи повзунок правше вщ показника а = 300, ми визначаемо, що ринок збуту пщприемства В збтьшуеться (на рис. 4 показана ситуащя при вщстаы мiж пiдприeмствами 450 км). I навпаки, при зменшенн вiдстанi мiж пiдприeмствами ринок збуту пiдприeмства В буде зменшуватися.
Рис. 4. Середовище Desmos: скршшот до виконання Mirn-проекту 2(а)
Цi та подiбнi задачi використовувалися нами на уроках математики у навчальному процес 11 клаав комунального закладу НВО 1-111 ступеыв «Науковий лiцей Мiськоí ради мiста Кропивницького Юровоградсько' обласп», а також у процеа проведення практичних занять з методики навчання математики та методики навчання економти у студентв спещальносл 014 Середня освiта (Математика) у Центральноукра'нському державному педагогiчному унiверситетi iменi Володимира Винниченка. За результатами навчання було проведене експертне опитування фахiвцiв у кiлькостi 24 особи (7 експертв були фахiвцями з фундаментальних математичних дисциплш i з методики викладання математики (2 доктори наук, 5 кандидатв наук), 10 експертв - магiстрантами двох курсiв навчання спещальносл 014 Середня освiта (Математика) освтньо''' програми «математика, iнформатика, економта» i 7 експертiв - вчителями математики рiзних шкiл Кiровоградськоí обласп). Обробка результатiв експертного опитування проводилося за методикою «Оцшки вiдносноí важливосп кожного окремо взятого твердження». Отриман результати визначення вiдносноí важливостi кожного окремо взятого твердження оцшювалися за 10-бальною шкалою (0 - хибне i небезпечне твердження, 1 - абсолютно неважливе
твердження, 2 - неважливе твердження, 3 - скорше неважливе твердження, 4 - нейтрально неважливе твердження, 5 -нейтрально важливе твердження, 6 - скорше важливе твердження, 7 - важливе твердження, 8 - абсолютно важливе твердження, 9 - твердження вимагае негайного впровадження). Твердження, надан учасникам експертизи для аналiзу, були такими:
1) реалiзацiя штегративного пщходу у процес навчання математики шляхом використання математичних задач штегративного змкту сприяе формуванню у старшокласниюв узагальнених умшь розв'язування математичних задач;
2) використання шформацмно комунтацмних технологш для моделювання та дослiдження задачних ситуацш в задачах iнтегративного змкту може виступати пiдходом до штеграцп шкiльних курсiв математики та шформатики;
3) задачi з економiчним змктом можуть бути основою для створення штегрованого образу у виглядi задачно' серп для реалiзацií iнтегративного пщходу у вивченнi математики в старших класах;
4) запропонована методика роботи iз задачами iнтегративного змiсту значно пщвищила рiвень мотивацГ'' до навчання старшокласниюв та викликала зацiкавлення у студенев освiтньоí програми Математика, шформатика та економiка спецiальностi 014 Середня освп^а (математика);
5) обсяг реалiзацií iнтегративного пiдходу при навчаннi математики в старших класах залежить вщ мети органiзацií навчально' дiяльностi учыв.
Статистична обробка визначення експертами рiзних груп вiдносноí важливостi кожного окремо взятого твердження дала таю результати. Визначення ступеня узагальненост думки експерт передбачало обчислення середнього арифметичного оцшки певного твердження й частоти появи (у вщсотках) максимально можливих балiв (таблиця 1).
Таблиця 1
Середн значення оцiнок тверджень i частоти появи (у вiдсотках) максимальних балiв рiзними категорiями експертiв
Категорп експертiв Середнi значення оцшок Частоти появи максимальних балiв оцшок (%)
Тв. 1 Тв. 2 Тв. 3 Тв. 4 Тв. 5 Тв. 1 Тв. 2 Тв. 3 Тв. 4 Тв. 5
Викладачi 8,429 8,571 8,286 7,000 8,000 42,857 57,143 28,571 0,000 14,286
Мапстран. 8,200 8,400 8,500 6,800 8,100 40,000 50,000 50,000 10,000 40,000
Вчителi 8,286 8,429 8,286 7,000 8,143 28,571 42,857 28,571 0,000 14,286
Разом 8,292 8,458 8,375 6,917 8,083 37,500 50,000 33,333 4,167 25,000
В цтому ми можемо зробити висновок про наявысть певно' мiри узагальненостi думки експерт. Для визначення показника узгодженост думок експертiв ми визначили коефщенти варiацií оцiнок експертiв по кожному з тверджень i коефiцiент конкордацп Ш оцiнок експертiв (таблиця 2).
Таблиця 2
Коефщieнти варiацíí оцшки рiзними категорiями експертiв (у вщсотках) i коефщieнти конкордацп Ш i оцiнки статистично!' значущостi Ша показнимв узгодженостi думок експертiв при довiрчiй ймовiрностi а = 0,99
Категорп експер^в Коефщенти варiацü' оцшок (у вщсотках) Коефщенти конкордацп W i оцшки статистично' значущосп Wa
Тв. 1 Тв. 2 Тв. 3 Тв. 4 Тв. 5 W Wa
Викладачi 6,342 6,236 5,889 11,664 7,217 0,59 0,47
Мапстран. 9,620 8,324 6,201 13,514 10,810 0,40 0,33
Вчт^ 5,889 6,342 5,889 8,248 4,642 0,52 0,47
Разом 7,795 7,065 5,879 11,355 8,459 0,47 0,14
Вщзначимо, що для оцiнки статистично''' значущост Wa показника узгодженостi думок експерт використовувався критерiй х2- Уточнимо деяк аспекти розрахунку конкордацп. Початковi таблиц оцiнок розраховуемо у виглядi матриць ранпв [Rji},j = 1,m,i = 1,п з результатами опитування експерт, де п - кiлькiсть об'ек^в ранжування, а m - кшьмсть експертiв. Кожен з них ранжуе змшы за ступенем !х впливу на цтьову ознаку. У наших таблицях досить багато випадюв нерозрiзненостi змiнних, в зв'язку з цим ми маемо пов'язан ранги (Romashkina, G.F., & Tatarova, G.G., 2005). Обчислення коефщента конкордацй в ситуацп наявностi пов'язаних рангiв проводиться за формулою (9):
™ = Г%]Г,- I , где Т} = Щ^З — *г) (9)
де ^ - уточнюючий коефiцiент Н змiнноí. Вш обчислюеться за всiма I «випадками» нерозрiзненостi об'ектiв. При цьому - число нерозпiзнаних об'ектiв одного «випадку». При великих т i п статистично значущим для перевiрки гiпотези про рiвномiрний розподiл ранпв (згодi ранжування), може бути дуже мале за величиною значення Ш. Вщомо, що величина т • (п — 1) • W (для п > 7) мае х2 розподт з числом ступенiв свободи [ = п — 1. Звщси випливае, що критичне значення
у-2
дорiвнюе Щг = гс 1 у Якщо Ш > Щг, то з ймовiрнiстю а можна зробити висновок про те, що ранжування узгоджен
(Kobzar', А.1., 2006). Данi таблиц 2 свiдчать про наявнiсть допустимо' варiативностi в оцiнках експертiв рiзних категорiй кожного з тверджень, а також пщтверджують наявнiсть множинного зв'язку мiж оцiнками експертiв за вама запропонованими твердженнями, так як вс значення Ш перевищують вiдповiднi критичн значення Ша. Отже, думки експерт щодо запропоновано' тематики можна характеризувати як узгоджеш. За всiма твердженнями був визначений максимально можливий показник активност експер^в (всi експерти оцшили всi твердження). Показник компетентностi учасниюв експертизи визначався нами на iнтервалi (0; 1) як середне арифметичне коефщента ступеня ознайомлення з розглянутою проблемою (визначався нормуванням - множенням на 0,1 - власно' оцшки кожного експерта по дискретно'
т(п+1)л2
шкалою вщ 0 до 10) i iндексу аргументованостi вiдповiдей експерта (визначався особисто кожним експертом по таблиц джерел аргументацп - таблиця 3). Показники компетентности учасникiв експертизи в результат були визначен так: викладач1 - 0,95, магiстранти - 0,77, вчителi - 0,81 (загальний показник за вама експертами - 0,83. З огляду на те, що сумарн показники компетентностi учаснимв експертизи близькi до 1, можемо зробити висновок, що вс категорп експертiв, що брали участь в опитуваны, е компетентними фахiвцями в област предмету обговорення.
Таблиця 3
Розподт ступеня впливу джерела аргументацп експертами
Джерело аргументацп Ступiнь впливу джерела
високий середнш низький
Проведено теоретичний аналiз 0,3 0,2 0,1
Використаний виробничий досвщ 0,5 0,4 0,2
Узагальнен роботи вiтчизняних авторiв 0,05 0,05 0
Узагальненi роботи закордонних авторiв 0,05 0,05 0
Використаш особистi теоретичнi та практичнi розробки 0,05 0,05 0
1нтущя 0,05 0,05 0
ОБГОВОРЕННЯ
З метою визначення змкту iнтегративноí навчальноí дiяльностi учыв у процесi розв'язування задач 1 i 2 та моделювання (х умови здшснимо структурний аналiз компонентiв розв'язування та аналiз необхiдних знань та умшь (а також íх взаемозв'язюв), якi слiд актуалiзувати та вщтворити при виконаннi зазначених завдань. Представимо результати такого аналiзу у виглядi перелiку знань та компонентiв математичних умшь: основнiпоняття, засвоення або знання яких необхщне для розв'язування задачi обраним методом або способом; основы компоненти математичних та сум'жних ум'шь, ям мають бути сформован в учыв для втьного оперування математичним апаратом у процес розв'язування, для розумшня економiчних закономiрностей та для орiентування в особливостях застосування 1КТ; компоненти загальних ум'шь, що мають бути сформован для оволодшня обраним для розв'язування способом (табл. 4).
Таблиця 4
Перелш знань та компоненлв математичних та сумiжних умiнь для роботи iз задачами 1 та 2
1. Основы поняття 2. Компоненти математичних та сумiжних умшь 3. Компоненти загальних умшь
1. Функ^я 1. Побудова графiка функцИ 1. Побудова математично¡' модел'1 задачно¡' ситуацИ
2. Графiк функцп 2. Побудова графiка нерiвностi 2. Досл'дження модел'1 задач'1
3. Рiвняння (нерiвнiсть) 3. Побудова графiка рiвняння 3. 1нтерпрета^я результат'!в розв'язання модел'1 задач'1
4. Графiк рiвняння 4. Складання нер'вностей за умовою 4. Використання 1КТ для
(нер'1вност'1) задач'1 досл'дження розв'язання задач'1
5. Система координат на площин 5. Укладання формули функцИ за вербальною умовою 5. Планування розв'язання задач'1
6. Координати точки 6. Складання рiвняння за вербальною умовою 6. Узагальнення умови та розв'язання задач'1
7. Цльова функ^я 7. Виконання обчислень 7. Використання математично¡' та логiчно¡ символ'ки
8. Аргументи 8. Виконання тотожних перетворень виразiв
9. Перетин множин 9. Паралельне перенесення графiка функцп
10. Паралельшсть 10. Використання координатного методу
11. Паралельне перенесення 11. Знаходження перетину множин
12. Многокутник 12. Встановлення середовища йевтоз на мобльний пристрй
13. Рiвняння кола 13. Освоення iнтерфейсу середовища Оввтов
14. Довжина в'др'зка 14. Налаштування середовища для розв'язання задач'1
15. 1нструменти 15. Розробка простого бiзнес-плану за визначеною програмою
16. Електронне середовище
17. 1нтерфейс
18. Планування виробництва
19. Витрати
20. Виручка вiд реал'!зацИ
21. Ринок збуту 119
Як бачимо з таблиц 4, у процеа розв'язування та дослщження наведених задач проведена актуалiзацiя та використання матерiалу таких змктовних лiнiй шкiльного курсу математики: формування обчислювальних навичок (п. 2.7 таблиц 4), тотожних перетворень (п. 2.8), рiвнянь, нерiвностей та Ух систем (п. 2.4 та 2.6), функцюнальна л^я (п. 2.1-2.3,
2.5), геометричних перетворень (п. 2.9). В результат, оргаызащя саме тако!' роботи з задачами штегративного змiсту дае можливкть формувати компоненти математично)' компетентностi: процедурна компетентысть (п. 2.4-2.6, 3.1-3.3, 3.5,
3.6), лопчна компетентнiсть (п. 3.7), технолопчна компетентнiсть (п. 2.12-2.14, 3.4), дослщницька компетентнiсть (п. 2.15, 3.2, 3.6), методолопчна компетентнiсть (п. 3.3).
Використання тако!' органiзацiï дiяльностi учыв дае змогу вчителевi значно штенсифтувати спiлкування з учнями та учыв мiж собою, придiлити бiльше уваги постанову задач, побудовi ïхнiх математичних моделей, розробц i дослiдженню методiв розв'язування задач, дослiдженню розв'язкiв, лопчному аналiзу умов задач, пошуку нестандартних пiдходiв до розв'язування задач, виявленню закономiрностей у дослiджуваних процесах i явищах. Описана в статтi технолопя розв'язування задач забезпечуе можливостi використання у процеа навчання математики задач штегративного змкту, робота з якими е складовою i важливою частиною формування в учнiв умiнь орieнтуватися у наявних iнтегративних зв'язках мiж компонентами змiсту шкiльного курсу математики та мiж математикою та шшими шкiльними дисциплiнами, мiж рiзними способами дiяльностi, необхiдноï для опанування математичних знань та набуття математичних умшь.
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Межi дано!' статтi потребують деталiзацiï та розкриття методичних умов, при яких використання у процесi реального навчання описаного штегративного пщходу буде набувати методично!' доцiльностi у контекст формування в учыв знань та умшь штегративно!' дiяльностi при продуктивному оперуванн математичним матерiалом. У якост згаданих умов за матерiалами дослщження можна вказати такi:
1. 1нтегративний пiдхiд у навчаннi математики доцтьно реалiзовувати шляхом використання 1КТ для моделювання та дослiдження задачних ситуацм в задачах iнтегративного змiсту.
2. Вибiр обсягу реалiзацiï iнтегративного пщходу проводиться з врахуванням загально!' мети оргаызацп навчально!' дiяльностi учнiв (або суб'ектв навчання); iнакше кажучи - проблема вибору типу чи обсягу е свого роду евристикою, а отже проблемою поставлено!' мети i залежить лише вщ планування вчителем можливо!' (або необхщно!') широти поля можливостей навчально!' дiяльностi учнiв (або студентв).
3. При реалiзацiï штегративного пщходу вчитель (викладач) органiзовуe процес мисленого об'еднання компонентiв математичних та сумiжних умiнь за !'х ктотними ознаками; а тому при проведены описано!' навчально!' роботи продуктивним для використання е метод узагальнення знань та умшь учыв. При цьому здмснюеться розподт компонентв iнтегрованого матерiалу на взаeмопов'язанi класи за найбтьш iстотними ознаками по !'х подiбностi. На завершальному етапi - процеа безпосереднього формування штегративних зв'язкiв - вщбуваеться систематизацiя, або об'еднання клаав компонентiв iнтегровaного матерiалу у едину цЫсысть з подальшим синтезом нових знань.
Отже, проведене дослщження дае пщстави пiдтвердити доцiльнiсть запропоновано!' методики у процеа формування у старшокласниюв узагальнених умшь розв'язування математичних задач штегративного змкту та при побудовi моделi навчального процесу з реaлiзaцieю полiпредметних iнтегрaтивних компонентiв. Тодi результатом тако!' дiяльностi буде синтез нових знань - зв'язюв мiж отриманими класами компонентв та самими компонентами - i, як наслщок, формування цЫсного уявлення про предмет вивчення. Бтьше того, до сформованого кшцевого продукту буде належати i сама штегращя основних прийомiв та методiв дослiдницькоï дiяльностi. Продовження цього дослщження ми бачимо у розробцi системи задач штегративного змкту для використання як при вивченн математики учнями старших клаав, так i для навчання майбут-лх вчт^в математики в системi ÏXHb0Ïпдготовки в педагогiчних унверситетах.
Список використаних джерел
1. Desmos (graphing) // From Wikipedia, the free encyclopedia. 2011. https://en.wikipedia.org/wiki/Desmos_(graphing)
2. Farzam Rozita, Allahdadi Marzieh (2018). Developing a Framework for Designing Educational Aids through Games Method in Order to Facilitate Teaching Mathematics for Elementary Students. Revista Romaneasca pentru Educatie Multidimensionala, 10 (3), 77-90.
3. Nastja Cotic, Mara Cotic, Darjo Felda, Jurka Lepicnik Vodopivec. An Example of Integrated Teaching of Mathematics and Environmental Education in the Second Grade of Basic School. The New Educational Review. 2015. Vol. 41.
4. Nurulhuda Md Hassan, Saemah Rahman. The Problem Solving Skills, Metacognitive Awareness, and Mathematics Achievement: A Mediation Model. The New Educational Review. 2017. Vol. 49.
5. Pehoiu Gica. Percept of Teachers Regarding Integration of Education for Environment and Sustainable Development in Primary Schools. Revista Romaneasca pentru Educatie Multidimensionala. 2019. 11 (2). 256-269.
6. Piriya Somasundram, Sharifah Norul Akmar, Leong Kwan Eu. Year Five Pupils' Number Sense and Algebraic Thinking: the Mediating Role of Symbol and Pattern Sense. The New Educational Review. 2019. Vol. 55.
7. Starcic Andreja Istenic, Cotic Mara, Solomonides Ian, Volk Marina. Engaging preservice primary and preprimary school teachers in digital storytelling for the teaching and learning of mathematics. British Journal of Educational Technology. 2016. 47 (1). 29-50.
8. Вознюк О.В. Цiльовi орieнтири розвитку особистост у системi освти: штегративний пщхщ: [моногрaфiя]. Житомир: Вид-во ЖДУ iм. I. Франка, 2009. 684 с.
9. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. Москва: Физматлит, 2006. 816 с.
10. Козловська 1.М. Теоретичнi та методичн основи iнтеграцií знань учыв професiйно-технiчноí школи: дис. ... доктора пед. наук: 13.00.04. Ки'в, 2001. 60 с.
11. Кушнiр В.А., Рiжняк Р.Я. Формування в учыв складних умшь використовувати моделювання у процес розв'язування математичних задач штегративного змсту. Математика в школ'1. 2009. 5. С. 13-17.
12. Жчишина В.В. 1нтегративний пiдхiд до вивчення математичних дисциплш у процесi тдготовки майбутнiх вчителiв математики: автореф. дис. на здобуття наук. ступеня канд. пед. наук: спец. 13.00.04. Юровоград, 2008. 20 с.
13. Паачник Н.О. Методика навчання основ економти: Навчально-методичний поабник. Кiровоград: Полiграфiчно-видавничий центр «1мекс-ЛТД», 2008. 112 с.
14. Раков С.А. Математична освпа компетентысний пiдхiд з використанням 1КТ. Харкiв: Факт, 2005. 360 с.
15. Рiжняк Р.Я., Кушнiр В.А. Розв'язування математичних задач штегративного змкту засобами комп'ютерного моделювання. Математика в школ'1. 2009. 10. С. 34-39.
16. Ромашкина Г.Ф., Татарова Г.Г. Коэффициент конкордации в анализе социологических данных. Социология: методология, методы, математическое моделирование. 2005, 20, 131-158.
References.
1. Desmos (graphing) (2011). From Wikipedia, the free encyclopedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Desmos_(graphing)
2. Farzam Rozita, Allahdadi Marzieh (2018). Developing a Framework for Designing Educational Aids through Games Method in Order to Facilitate Teaching Mathematics for Elementary Students. Revista Romaneasca pentru Educatie Multidimensionala, 10 (3), 77-90.
3. Nastja Cotic, Mara Cotic, Darjo Felda, Jurka Lepicnik Vodopivec (2015). An Example of Integrated Teaching of Mathematics and Environmental Education in the Second Grade of Basic School. The New Educational Review. Vol. 41.
4. Nurulhuda Md Hassan, Saemah Rahman (2017). The Problem Solving Skills, Metacognitive Awareness, and Mathematics Achievement: A Mediation Model. The New Educational Review. Vol. 49.
5. Pehoiu Gica (2019). Percept of Teachers Regarding Integration of Education for Environment and Sustainable Development in Primary Schools. Revista Romaneasca pentru Educatie Multidimensionala, 11 (2), 256-269.
6. Piriya Somasundram, Sharifah Norul Akmar, Leong Kwan Eu. (2019). Year Five Pupils' Number Sense and Algebraic Thinking: the Mediating Role of Symbol and Pattern Sense. The New Educational Review. Vol. 55.
7. Starcic Andreja Istenic, Cotic Mara, Solomonides Ian, Volk Marina (2016). Engaging preservice primary and preprimary school teachers in digital storytelling for the teaching and learning of mathematics. British Journal of Educational Technology, 47 (1), 29-50.
8. Kobzar', A.I. (2006). Prikladnaja matematicheskaja statistika. Dlja inzhenerov i nauchnyh rabotnikov [Applied mathematical statistics. For engineers and scientists]. Moskva: Fizmatlit. [in Russian]
9. Kozlovska, I.M. (2001). Teoretychni ta metodychni osnovy intehratsii znan uchniv profesiino-tekhnichnoi shkoly [Theoretical and methodological bases of integration of knowledge of students of vocational school]. Doctor's thesis. 13.00.04. Kyiv. [in Ukrainian].
10. Kushnir, V.A., Rizhniak, R.Ya. (2009). Formuvannia v uchniv skladnykh umin vykorystovuvaty modeliuvannia u protsesi rozv'iazuvannia matematychnykh zadach intehratyvnoho zmistu [Formation of students' abilities to use sophisticated modeling in the process of solving mathematical problems of integrative content]. Matematyka v shkoli - Mathematics at school. 5. 13-17. [in Ukrainian].
11. Nichyshyna, V.V. (2008). Intehratyvnyi pidkhid do vyvchennia matematychnykh dystsyplin u protsesi pidhotovky maibutnikh vchyteliv matematyky [An Integrative Approach to the Study of Mathematical Disciplines in the Process of Preparing of Future Teachers of Mathematics]. Candidate's thesis. 13.00.04. Kirovohrad. 20 p. [in Ukrainian].
12. Pasichnyk, N.O. (2008). Metodyka navchannia osnov ekonomiky [Methods of teaching the basics of Economics]: A manual. Kirovohrad, Printing and Publishing Centre "Imex-LTD". 112 p. [in Ukrainian].
13. Rakov, S.A. (2005). Matematychna osvita: kompetentnisnyi pidkhid z vykorystanniam IKT [Mathematics Education: A Competent Approach with the usage of ICT]: monograph. Kharkiv, Fakt. 360 p. [in Ukrainian].
14. Rizhniak, R.Ya., Kushnir, V.A. (2009). Rozv'iazuvannia matematychnykh zadach intehratyvnoho zmistu zasobamy komp'iuternoho modeliuvannia [Solving of mathematical problems of integrative content by means of computer simulation]. Matematyka v shkoli - Mathematics at school. 2009. 10. 34-39. [in Ukrainian].
15. Romashkina, G.F., & Tatarova, G.G. (2005). Kojefficient konkordacii v analize sociologicheskih dannyh [Concordance coefficient in the analysis of sociological data]. Sociologija: metodologija, metody, matematicheskoe modelirovanie -Sociology: methodology, methods, mathematical modeling, 20, 131-158. [in Russian].
16. Vozniuk, O.V. (2009). Tsilovi oriientyry rozvytku osobystosti u systemi osvity: intehratyvnyi pidkhid [Targets for personal development in the education system: an integrative approach]: monograph. Zhytomyr, Publishing of Zhytomyr Ivan Franko State University. 684 p. [in Ukrainian].
SOLVING OF MATHEMATICAL PROBLEMS WITH THE IMPLEMENTATION OF MULTIPRICULTURAL (ECONOMICS, INFORMATICS, MATHEMATICS) INTEGRATIVE COMPONENTS N.O. Pasichnyk, R.Ya. Rizhniak
The Volodymyr Vynnychenko Central Ukrainian State Pedagogical University, Ukraine
Abstract.
The formulation of the problem. The article explores the problem of the method of forming of high-school students the ability to solve and explore mathematical problems of integrative content that is an important component of the acquisition of mathematical competence of high school students.
Materials and methods. In the course of the experimental study, the analysis of psychological and pedagogical literature, pedagogical observation of the educational and cognitive activity of the students, conversations with the teachers of Mathematics, as well as mathematical methods of statistical processing of experimental data were used, by which quantitative and qualitative dependencies between the indicators were determined. The expert evaluation of the results of the experiment involved 24 qualified specialists in this field.
Results. The content of the study was to use modeling through Information and Communication Technologies (the mobile version of the Desmos graphing calculator) of a given situation of mathematical problems of integrative content of economic topics. According to the experts, this method of working with the tasks significantly increased the level of educational motivation of high school students and aroused interest in students of the educational program Mathematics, Informatics and Economics specialty 014 Secondary education (Mathematics). According to the results of the research, the authors formulated the methodological conditions for the implementation of an integrative approach in the formation of skills to solve mathematical problems, that included, firstly, a thesis about the importance of using ICT to model and study situations in the problems of integrative content, secondly, the conclusion about the dependence of the implementation of the integrative approach to organize students' learning activities, thirdly, a description of the algorithm for implementing an integrative approach in the formation of skills to solve mathematical problems, which includes the processes of generalization and systematization of components of the integrated material.
Conclusions. The study provides a basis to confirm the feasibility of the suggested method in the process shaping of skills for solving mathematical problems of integrative content in high school students and in building a model of the educational process with the implementation of multi-subject integrative components. The authors see the continuation of this study in the development of a system of tasks of integrative content for using both in the study of Mathematics by high school students and for the preparation of the future teachers of Mathematics in the system of their training in pedagogical universities.
Keywords: integration, mathematical problem, the problem of integrative content, mathematical competencies, economic topics, information and communication technologies, Desmos.
