CC BY
104
Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION
Has been issued since 2013.
Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Кл'тдухова В.М. 1нтегративний характер задач умовноУ оптим'!зацп та його роль у курс! вищоУ математики студент'!в морських спе^альностей // Ф'вико-математична освта : науковий журнал. - 2016. - Випуск 3(9). -С. 49-60.
Klindukhova V. The Integrative Nature Of The Task Of Conditional Optimization And Their Role In The Course Of Higher Mathematics Of Students Of Marine Specialties // Physical and Mathematical Education : scientific journal. - 2016. -Issue 3(9). - Р. 49-60.
УДК 519.6:656.6.052.4
В.М. Клшдухова
КиУвська державна академя водного транспорту ¡меш гетьмана П. Конашевича-Сагайдачного, УкраУна
1НТЕГРАТИВНИЙ ХАРАКТЕР ЗАДАЧ УМОВНО1 ОПТИМ1ЗАЦШ
ТА ЙОГО РОЛЬ У КУРС1 ВИЩО1 МАТЕМАТИКИ СТУДЕНТ1В МОРСЬКИХ СПЕЦ1АЛЬНОСТЕЙ
Сьогодення спонукае викладачiв сконцентрувати свою увагу не лише на теоретичнш, а i на продуктивно-практичнш пщготовщ студенев. Тому наразi досить важливого значення набувае щея формування у студенев умшь орiентуватися в наявних штегративних зв'язках мiж окремими математичними роздтами та темами.
Сформовашсть у студентiв морськоТ галузi умшь та навичок штегративноТ навчальноТ дiяльностi не лише сприяе пiдвищенню рiвня математичноТ пщготовки, а i е вдалою моделлю для подальшого формування елеменлв штегративноТ професшноТ дiяльностi, на важливост якоТ неодноразово наголошували сучасш фахiвцi. Зокрема вдосконаленню професшноТ подготовки плавскладу для морського та рiчкового транспорту придiлена увага у роботах таких фахiвцiв як В. Давидов, Л. Герганов, Ю. Якусевич та шшк Окремi питання удосконалення математичноТ шдготовки майбутнiх фахiвцiв морськоТ та рiчковоТ галузi розроблялися Ю. Величком, О. Гркор'евою, Т. Джежуль, О. Доброштан, О. Гудиревою, В. Клшдуховою, О. Ляшко. Iнтегративнiй складовiй математичних задач, а також загалом задачам штегративного характеру присвятили своТ роботи Кушшр В.А., Рiжняк Р.Я.
Мета даноТ статтi: на базi традицшного математичного матерiалу навести декiлька конкретних задач штегративного характеру. У статт мова тде про класичнi задачi умовноТ оптимiзaцiТ. Вони е вдалим прикладом штегративних задач. Подiбнi задачi можна зустрiти майже у вах пiдручникaх з вищоТ математики однак, на нашу думку, слщ бшьше уваги придiляти певним особливостям Тх розв'язування, а також яскрaвiше використовувати Тх можливост зокрема i штегративного характеру.
Загальновщомо, що праця фaхiвцiв морськоТ гaлузi е небезпечною, стресогенною та вiдповiдaльною. У зв'язку iз стрiмким технiчним та технологiчним розвитком, а також тенденщею до скорочення численност членiв екiпaжу, iнтелектуaльне навантаження на плавсклад збшьшуеться, вiдповiдaльнiсть зростае, потенцшш професiйнi обов'язки розширюються i iнтегруються iз сумiжними спецiaльностями. За проведеними дослщженнями вiд 60% до 80% аварш фaхiвцi пов'язують iз людським фактором (зовнiшнiм суб'ективним фактором). Мова йде про необфунтоваш та нескоординоваш дм суднового екiпaжу, некомпетентшсть, хaлaтнiсть, емоцiйну нестiйкiсть, тощо. В основi вщповщноТ низки помилок спещал^в морськоТ гaлузi лежить низький рiвень сформовaностi штегративноТ професшноТ та навчальноТ дiяльностi [2], [7]. Навички злагодженоТ та стшкоТ штегративноТ професшноТ дiяльностi формуються у студентiв морських спещальностей засобами навчальноТ штегративноТ дiяльностi, зокрема, i пiд час вивчення математичних дисциплш на молодших та старших курсах.
ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)
1нтегративна лЫя у кура математичних дисциплш вищих морських навчальних закладiв мае знаходити i поступово знаходить певну реалiзацiю пiд час розв'язування студентами навчальних математичних задач штегративного змiсту. Описове означення задач штегративного зм^у наводять у своТх роботах Кушнiр В.А. та Рiжняк Р.Я. [6], [4], [5]. Зокрема, вони вказують, що це задачi творчого характеру, задачi з потужним математичним змiстом та складною структурою взаемозв'язмв мiж компонентами Тх фабули. 1нтегративш задачi мають потенцiал для створення на Тх базi нових задач та серш задач. Розв'язування таких задач потребуе глибоких знань та винахщливосл. Студентами використовуються не лише знання з певноТ теми, а й виникае необхщшсть проведення систематизаци та узагальнення здобутих знань з рiзних роздiлiв (а то й з шших навчальних дисциплш). Це, з одшеТ сторони, вимагае сформованост у суб'ектiв навчання певного рiвня математичноТ та шформацшноТ культуру а з шшоТ - сприяе Тх подальшому розвитку. Практична реалiзацiя процесу «вбудовування» задач iнтегративного зм^у у навчальну математичну дiяльнiсть студенев потребуе певноТ деталiзацiТ. Потрiбнi «вдалЬ> задачi. По-перше, вони мають уттювати у собi саму iдею штегративносп. По-друге, Тх розв'язування не мае вимагати знань i умiнь, котрi виходять за межi навчальних програм або необхщш знання доповнюються програмами студентських гуртшв, факультативiв, спецкурсiв, 1КТ. Саме прикладам таких задач, а також Тх розв'язанню присвячують своТ роботи Кушнiр В.А. та Рiжняк Р.Я. [6], [4], [5].
У контекст обговорення iнтегративних задач, особливоТ уваги на наш погляд заслуговують класичнi задачi умовноТ оптимiзацiТ. Вони е невщ'емною складовою традицiйного курсу вищоТ математики, а також деяких спещальних математичних дисциплiн, якi вивчаються на старших курсах студентами морських спещальностей.
Коротко нагадаемо основы твердження на яких ^рунтуеться розв'язування нижче наведених
задач.
Задачi умовноТ оптимiзацiТ для функци п змiнних з т умовами зв'язку мають вигляд (т < п): и = и(х!; х2;...; хп вхК, ^ (х; х2;...; хп ) = 0, ' = 1, г,..., т.
1х можна розв'язувати рiзними методами. Зокрема, прямим методом. Цей метод можна застосовувати, якщо рiвняння зв'язку ;х1;...;хп) = 0 можна розв'язати вщносно т змiнних [3]:
= (хт+1; хт+2; ■■■; хп )
= Уг (Х
.)
х =ш (х ,;х ••х )
т т т\ т+1 * т+2 * > п /
Пiдставивши цi значення у цтьову функцiю и = и(х1; х1;...; хт), зводимо ТТ до задачi на безумовний екстремум одшеТ або дектькох змiнних.
Ще одним методом розв'язування е метод Лагранжа. Його сутшсть полягае у побудовi та дослщженш функцГТ Лагранжа Ь(х1; х2;...; хп ;Я2 ;...Ят):
ь(х1; х2;...; х ;.А )=и(х1; х2;...; хп (х1; х2;...; хп)+...+К<Р* (х; х2;...;х)
де ;...Лт - множники Лагранжа (дшсш числа, як пiдлягають визначенню).
Необхiднi умови умовного екстремуму функцп п змiнних. Нехай функци и = и(х1;х2;...;хп) та ^¡(х1;х2; .;х) = 0 (' = 1,2,...,т) мають неперервнi частиннi похщш в околi точки М(х0,х20,..., х0), причому ранг матрицi Якобi в точцi м(х°°, х2°,..., х0) дорiвнюе:
X,.
( дФг дх, дх,
А =
дф. дх,
дх.
m
дх„ дх„
дРт
дх дх,
„0
дх
точкою умовного екстремуму функци и = и(х1;х2;...;хп) при
Тодi для того щоб точка М (х0, х20,..., х0) була умовах зв'язку ;х1;...;хп) = 0 необхiдно щоб ТТ координати при деяких значеннях ;...Л
задовольняли наступну систему ртнянь:
X
X
rA = m
дЬ дх.
■ = 0
дЬ
дх„
дЬ
=0
=0
дЬ
Ж
= 0.
дЬ дх,
= 0
дЬ
дх,
= 0
р (х1; Х2;...; х, )=0
(х1; х2;...; х, )=0
Достатн/ умови умовного екстремуму функци п зм'!нних. Нехай в околi точки М(х°°,х2°,..., х^) виконуються необхiднi умови умовного екстремуму функци п змшних (М(х0, х2°,..., х^) - стацюнарна точка функцГГ Лагранжа при деяких Л; Л;...Лт ) i iснують неперервнi частиннi похiднi другого порядку функцш
и = и(х1;х2;...; х,) i р^;х2;...;хп) = 0, причому ¿р^,х°2,..., х,)= 0 :
'д-ъМ ¿х ¿х +... + дрМ±,
с1р(х0°,х20,..., х°° ) = 0
х
дъ (М )
х
х
х
-¿х = 0
¿х +
д^2 (М )
х
¿х + ... +
дъ (М )
х
¿х = 0
дъИ ¿х + дъМ х +.
х
х
др (М) ,
дх
Тодi якщо:
1. с12Ь(м)> 0, то м(х°°,х2°,...,х„0) - точка умовного мiнiмуму функци и(х1;х2;...;хп);
2. й2¿(м)< 0, то м(х°°,х2°,...,х„0) - точка умовного максимуму функцГГ и(х1;х2;...;хп).
У наведених нижче задачах штегруються знання й умшня учнiв iз наступних роздiлiв: елементи лшшно'Г алгебри (матрицi, визначники, квадратичш форми, розв'язування систем лiнiйних рiвнянь), елементи аналГгично'Г геометрГГ, диференцiальне числення функцГГ одше'Г та багатьох змшних.
Ус нaведенi задачi розв'язанi iз детальними коментарями та викладками, так як певним моментам практичного характеру придтено недостатньо уваги на сторшках сучасних шдручнишв. Зокрема, пропонуеться зупинитись на наступних випадках:
- п=2, т=1 (зaдaчi 1,2);
- п=3, т=1 (зaдaчi 3,4,5);
- п=3, т=2 (задача 6).
Склaднiшi випадки, а також шдходи до розв'язування вщповщних задач ми плануемо розглянути у наступних роботах.
Перша група задач охоплюе випадок п=2, т=1. Задача 1 е прикладом задачу яку доцiльно розв'язувати двома способами: методом Лагранжа та прямим методом. Прямий споаб розв'язування задач ще'Г групи дозволяе aктуaлiзувaти вiдповiднi знання студенев по розв'язанню задач на екстремум функцГГ одше'Г змшно'Г iз шкiльного курсу математики та вдало штегрувати вiдповiднi умiння та навички.
Для зaдaчi 2 варто використати лише один споаб розв'язання, зокрема метод Лагранжа. Зaдaчi умовноГ оптимiзaцií для п=2, т=1, нaйчaстiше зустрiчaються у навчальних посiбникaх. Однак, на наш погляд, недостатньо уваги придтено певним особливостям Гх розв'язування, зокрема моментам коли дослщження диференцiaлa другого порядку функцГГ Лагранжа вимагае використання умови зв'язку
¿Ъ (х0 . х2° ..... хп° )= 0 .
Задача 1. Розв'язати оптимiзaцiйну задачу: г = е^ ^ ех^ при умовi що х + у = 2. Коментар> до розв'язання задач '!.
Перший спойб (метод Лагранжа)
Ь = Ь(х, у,Л) = Дх, у)+ кр(х, у), Ь = еху +Л(х + у -2)
К = 0
К = 0
У
L'= 0
ye' + X = 0 xe' + X = 0 x + y - 2 = 0
X = -yexy ex (x - y ) = 0 x + y - 2 = 0
ex Ф 0
X = - ye' x- y =0
x + y - 2 = 0
X = -e x = 1
y = 1
Точка М(1;1) - стацюнарна точка функцм Лагранжа при Х = —е .
й'1(х0; уЬ^г (йх)2 + йхйуШ,
ах дхду ду
= у2еху; К, = к = е'х (1+ху); К = х2еху.
й2 £ = у 2еху (йх)2 + 2еху (1 + ху)йхйу + х2еху (¿у)2;
й2¿(М) = 12 е1 (йх) + 2е1 (1 + 1)йхйу +12 е1 (¿у)2 = е(йх) + 4ейхйу+ е(йу).
На даному етат дослiджень не можемо зробити висновшв щодо знаку й2¿(М). Скористаемось умовою зв'язку, якш за достатньою умовою умовного екстремуму функцГГ п змiнних задовольняють йх, йу
(йф(х0,х0,...,х0) = 0 ):
(х + у - 2) хйх + (х + у - 2) уйу = 0 1-йх +1-йу = 0 йх = — йу.
Продовжимо дослщження другого диференщала й2 ¿(М)
й2 ¿(М) = е(йх)2 + 4ейхйу+ е(йу)2 = е(— йу) + 4е(— йу)йу + е(йу)2 = е(йу)2 — 4е(йу)2 + е(йу)2 = —2е(йу)2 < 0. 1з цього випливае, що точка М(1;1) е точкою локального максимуму функцГГ Лагранжа, а вiдповiдно умовним максимумом функцм г.
2 ум. тах = г(1;1)= е1-1 = е
Другий споаб (прямий метод) Використовуючи умову зв'язку, виразимо змiнну х через у та тдставимо отриманий вираз у цтьову функцiю:
)x = 2 - y
1 z = exy ^ extr
x = 2 - y
z = ey(2-y) ^ extr
x = 2 - y
^ extr
Отримали задачу на знаходження екстремуму функцм одшеТ змшноТ. Розв'яжемо ТТ засобами диференцiального числення функцм одшеТ змшноТ:
z = e2y y ^ extr z' = e2 y-y2 (2 - 2y) e2 y-y2 (2 - 2 y)= 0 e2y-y2 Ф 0 ; (2 - 2y) = 0
y = 1 ■
Таким чином задана цтьова функщя мае стацiонарну точку с координатою y = 1, дослiдимо ТТ на екстремум:
+ max
1
Обчисливши iншу координату знайденоТ точки максимуму, отримуемо: M (1;1). В'дповдь: z = z(1;1) = e ■
Задача 2. Розв'язати екстремальну задачу: z = xy ^ extr при умов^ що x2 + y2 = 1, Коментарi до розв'язання задач '!.
L = xy + X(x2 + y2 -1)
_ „2у-у
z = e
дЬ = 0
дх
дЬ = 0
ду
дЬ =0
[дЛ
(ху + л(х2 + у2 - 1))х = 0 (ху + Л(х2 + у2 - 1))у = 0 (ху + Л(х2 + у2 - 1))л = 0
у + 2хЛ = 0 х + 2 у Л = 0 х2 + у2 -1 = 0
2 х
х+2 у"- 2х )=0
х2 + у2 -1 = 0
Розв'язавши отриману систему рiвнянь знаходимо стацюнарш точки функцГГ Лагранжа:
М,
м.
42 ; л/2
" ^ А. 72 ;72
1
при Л = —; м 2
при Л = -; м 4 2
(
1
1
А
42 ;~42
42 ;~42
1
при Л =—; 2
при Л = —
2
д2 Ь дх2
= 2Л
д2 Ь дхду
= 1
д2 ь
дудх
= 1
дь
ду2
= 2Л
й2 Ь = 2Л(йх)2 + 2 • 1 • йxйy + 2Л(йу)2 = 2Л(сХ)2 + 2йxйy + 2Л(йу)2
й2ь(м ) = 2 1 ^|(йх)2 + 2йxйy+2"-1 )(йу)2 = -(йх)2 + 2йxйy- (¿у)2
На даному етaпi дослiджень не можемо зробити висновкiв щодо знаку й2Ь(м1). Скористаемось умовою зв'язку, якiй задовольняють йх,¿у:
(х2 + у2 - 1)х ,м,) йхх+(х2 + у2 - 1)у ) dу = 0
2хйх(м, )+2 усу(м ) = 0
1 1
2 • —==■ йх + 2 • —==■ йу = 0
л/2 Л/2
йх + йу = 0
йх = -йу
Продовжимо дослiдження й2 Ь(м1):
й2Ь(м) = -(йх)2 + 2йхйу- (йу)2 = -(- йу)2 + 2(- йу)йу - (йу)2 = -(йу)2 - 2(йу)2 - (йу)2 = -4(йу)2 < 0.
Таким чином М,
( 1 О
мл
максимумом функцГГ г:
е точкою локального максимуму функцГГ Лагранжа, а вщповщно умовним
1 1
1 1
42 42 2'
Провiвши aнaлогiчнi дослiдження iнших стaцiонaрних точок, приходимо до наступних висновшв:
г _ = г(м 2 )= ) = Г-^ )•(-^ 1 = 1;
= г(м з )=.
42' 42 1 1
г . = г
ум.Ш1п
= г(м 4 ) = .
42 J I 42
42 '42) 42 42 2
____^ 1 _ 1
>/2; л/21 л/2 л/2 2.
В'1дпов1дь: ^ = г| ^^1 = {""^^Г1; ^ = г
л/2 ;л/2
= г
1 1 72 ;72,
Друга група задач охоплюе випадок п=3, т=1. Задача 3 е прикладом задачу яку доцтьно розв'язувати двома способами: методом Лагранжа та прямим методом. Для задач 3 i 4 варто використати лише один споаб розв'язання, зокрема метод Лагранжа (для зaдaчi 4) i прямий метод (для зaдaчi 5). Прямий споаб розв'язування задач ще'Г групи дозволяе aктуaлiзувaти вщповщш знання студентiв по
1
1
1
г
ум. Ш1П
1
1
розв'язанню задач безумовноТ опти1^заци та усшшно iнтегрувати Тх. Нагадаемо, що мова йде про умшня студенев обчислювати визначники та аналiзувати отриманi результати з метою дослщження отриманих квадратичних форм, зокрема, за критерiем Сiльвестра. Крiм того, побудова студентами цшьовоТ функци для задачi 5, створюе необхiднi передумови для штеграци вiдповiдних вiдомостей iз анал^ичноТ геометри.
Застосування методу Лагранжа тд час розв'язування задач щеТ групи як правило е непростим завданням у тих випадках, коли дослщження диференщала другого порядку функци Лагранжа вимагае використання умови зв'язку d^г(x10,хх0)= 0. Такi випадки недостатньо висвiтленi у навчальних
посiбниках. 1м ми плануемо присвятити увагу у наступних статтях. Прикладом такоТ задачi е задача 5. Тому для студенев доцiльнiше пропонувати ТТ розв'язання прямим методом. Також варто пропонувати для студенев задачу розв'язування яких методом Лагранжа е ш складним, ш громiздким (задачi 3,4). Для цього мають бути «вдало» п^браш цiльовi функци та умови зв'язку, внаслщок чого для диференцiала другого порядку функци Лагранжа легко визначаеться.
Задача 3. Розв'язати оптимiзацiйну задачу: и = 3х2 + 5у2 — г ^ ех& при умовi що х — у + г = —2 .
Коментар> до розв'язання задач '!.
L = L(x, y,z, Я) = f (x, y, z ) + ^(x, y, z), L = 3x2 + 5y2 - z + l(x - y + z + 2)
Перший спосб (метод Лагранжа)
L= 3x2 +
i L = 0
L y = 0
L = 0
= 0
6 x + Л = 0 10y - Я = 0
-1 + Я = 0 x - y + z + 2 = 0
1 1 261
М |—;—;--I при Я = 1 - стацюнарна точка функци Лагранжа
6 10 151
d2 L(
x0; y0; z0 )=-т"7(dx)2 +2
dx
d2 L d2 l d2 L d2 L d2 L
-dxdy + 2--dxdz + +2--dzdy +--l (dy)2 +--l (dz)2
dxdy dxdz dzdy dy dz
L" = 0 ;
xy f
L" = 10 ;
yy '
L" = 0;
xz f
L" = 0;
yz f
L" = 0; L" = 0 :
- zy'zz
d2L = d2L(M) = 6(dx)2 + 10(dy)2 > 0 '11 26^
L" = 6; L = 0 ;
yx
L" = 0;
М1 —;—;--I е точкою локального мЫмуму функцГТ Лагранжа, а вщповщно умовним мiнiмумом
^ 6 10 15
функци и.
Другий споаб (прямий метод) Використовуючи умову зв'язку виразимо змшну х через у та пщставимо отриманий вираз у цтьову функцiю:
[х = —2 + у — г [х = —2 + у — г
[м = 3x2 + 5y2 - z ^ extr [u = 3(- 2 + y - z)2 + 5y2 - z ^ extr
Отримали задачу на знаходження безумовного екстремуму функци двох змшних.
u = з(— 2 + y - z) + 5y2 - z ^ ext м = 12 - 12y + 11z + 8y2 - 6yz + 3z2 ^ extr
du
dy
du
Yz
= 0
= 0
-12 - 6 z + 16y = 0 11 - 6 y + 6z = 0
1
y = 10 26
z =--
15
Таким чином задана цтьова функщя мае стацюнарну точку с координатами у = — z = ——
10 15
досл1димо и на екстремум:
d_u
¥
= 16;
d u dydz
= -6;
d2u dzdy
= -6 ;
d 2u dz2
= 6
I д2и д2 и
н = дуду дудг
д2 и д2 и
кдгду дгдг
= 16 > 0 8 =
16 - 6 - 6 6
16 - 6 - 6 6
= 60 > 0
Так як матриця Гессе е додатньовизначенною квадратичною формою вщносно диференцiалiв незалежних змiнних ёу,ёг, отримана стацюнарна точка е точкою безумовного локального мiнiмуму.
1 Л 11 26
Обчисливши и першу координату х =—, отримуемо точку М\—;—;--
6 ^ 6 10 15
мЫмуму функци Лагранжа, а вщповщно умовний мiнiмум функци и.
ОА 'А I 1 1 26 ^ 31
Вюповюь:
точку локального
6 10 15) 15
Задача 4. Розв'язати екстремальну задачу: и = х — 2у + 2г ^ вх№ при умовi що
х2 + у2 + г2 = 9 .
Коментар/ до розв'язання задач '!.
Ь = х - 2у + 2г + Я(х2 + у2 + г2 - 9)
К = 0 ЬУ=0 К = 0
ЬЯ = 0
(х - 2у + 2г + я(х2 + у2 + г2 - 9
х = 0 у = 0 г = 0
1 + 2хЯ = 0
- 2 + 2 уЯ = 0
2 + 2 гЯ = 0
х2 + у2 + г2 - 9 = 0
Я = Т1 2
у = Т2 г = +2 х = +1
(х - 2у + 2г + я(х2 + у2 + г2 - 9
(х - 2у + 2г + я(х2 + у2 + г2 - 9
(х - 2у + 2г + я(х2 + у2 + г2 - 9)) я = 0 Таким чином отримали наступш стацюнарш точки функци Лагранжа: М1 (1;-2;2) при Я = -0,5 ; М2 (-1;2;-2) при Я = 0,5 .
ё2Ь(х0;у;) = —Ь(ёх)2 + 2 • д Ь ёхёу + 2 • д Ь ёхёг + 2 • д Ь ёуёг + —Ь(ёу) + (ёг)2
Эх
д2 ь
дх2
д2 Ь дудх
д2 ь
дгдх
= (1 + 2хЯ) х = 2Я ;
д2 ь
дхду
д2 ь
дхду дхдг
= (1 + 2хЯ) у = 0 ;
дудг
ду2
дг2
= (- 2 + 2уЯ) х = 0; — = (- 2 + 2уЯ) у = 2Я ;
д2 Ь дхдг
д2 ь
= (2 + 2гЯ) х = 0 ;
ду2
д2 ь
дгду
дудг
= (1 + 2хЯ) г = 0;
= (- 2 + 2уЯ) 1 = 0 ;
= (2 + 2гЯ) у = 0;
■д-Ь = (2 + 2гЯ) г = 2Я :
дг
ё2 Ь = 2Я(ёх)2 + 2 • 0 • ёхёу + 2 • 0 • ёхёг + 2 • 0 • ёуёг + 2Я(ёу)2 + 2Я(ёг)2 = 2Я(ёх)2 + 2Я(ёу)2 + 2Я(ёг)2; ё2Ь(М ) = 2Я(ёх)2 + 2Я(ёу)2 + 2Я(й1)2 = 2(- 0,5)(ёх)2 + 2(- 0,5)(ёу)2 + 2(- 0,5)(ёг)2 = -(ёх)2 - (ёу)2 - (ёг)2 < 0.
М1 (1;-2;2) е точкою локального максимуму функци Лагранжа, а вщповщно умовним максимумом функци и.
ё2Ь(М2) = 2Я(ёх)2 + 2Я(ёу)2 + 2Я(ёг)2 = 2 • (0,5)(ёх)2 + 2 • (0,5)(ёу)2 + 2 • (0,5)(ёг)2 = (ёх)2 + (ёу)2 + (ёг)2 > 0. М 2 (-1;2;-2) е точкою локального м^муму функци Лагранжа, а вщповщно умовним мiнiмумом функци и.
В1дпов1дь: гум. тт. = г(-1;2;-2)=-11; гГм.тах = ^(1;-2;2) = 11
у
Задача 5. На площиш знайти точку, сума квадралв вщсташ якоТ вщ площин X + 3х = 6 та у + 3г = 2 е найменшою [1].
Коментар'! до розв'язання задач'!. Нехай А(х;у;х) - шукана точка. Цiльова функщя матиме
вигляд:
и = + ^ тт, де
ё - вiдстань вiд точки А(х;у;г) до площини х + 3г = 6; ё2 - вiдстань вщ точки А(х;у;г) до площини у + 3г = 2.
Так як точка А(х;у;г) належить площиш х + у - 2х = 0, то операцшна модель задачi матиме вигляд наступноТ задачi умовноТ оптимiзацiТ:
и = + ё2 ^ тт , при умовi що х + у - 2х = 0. 1з курсу анал^ичноТ геометри вiдомо, що вщстань вiд точки Ыа (х0; у0; 20) до площини Ах + Ву + Сх + Б = 0 обчислюеться за формулою:
|Ахп + Вуп + Сгп + Б = 0| ё = —0 у0 0 -^, тому
л/А2 + В2 + С2 |х + 3г - 6 |у + 3г - 2|
ё1 = I ' , ё2 = I ' ,
VI2 + 32 л/12 + 32
u =
^'х + 3z - 6 Y fly + 3z - 2 Y
+ ' , г-1 ^ min , при yMOBi що х + y - 2z = 0
л/l2 + 32 J 1 V!
2 + 32
u = ü,l((x + 3z - б)2 +(y + 3z - 2)2min , при yMOBi що x + y — 2z = 0
Прямий метод
Використовуючи умову зв'язку, виразимо змшну х через y i z та пiдставимо отриманий вираз у цшьову фyнкцiю:
[ x = —y + 2z |x =-y + 2 z
[и = 0,l((x + 3z — б)2 +(y + 3z — 2)2mm [и = 0,l((— y + 2z + 3z — б)2 +(y + 3z — 2)2mm Отримали задачу на знаходження безумовного екстремуму функцп двох змшних.
и = 0,l((— y + 5z — б)2 +(y + 3z — 2)2 min du
dy = j0,l(— 2(— y + 5z — 6) + 2(y + 3z — 2)) = 0 jy = —1 du_0 10,l(l0(— y + 5z — 6) + 6(y + 3z — 2)) = 0 [ z = 1 dz ~
Таким чином задана цтьова фyнкцiя мае стацюнарну точку с координатами y = —l z = l
дослiдимо Ti на екстремум:
d2и d2u d2u d2u ^ o —j = 0,4; -= —0,4; -= —0,4; — = 6,8:
dy dydz dzdy dz
H =
= 0,4; 8 2u dydz -0,4; 8 2u dzdy
f d2u 82u ^
dydy dydz = f 0,4 - 0,4
d2u 8 2u - 0,4 6,8
dzdy dzdz
S1 = 0,4 > 0 s2 =
16 - 6 - 6 6
= 2,56 > 0
Так як матриця Гессе е додатньовизначенною квадратичною формою вщносно диференцiалiв незалежних змшних ёу, ёг, отримана стацюнарна точка е точкою безумовного локального м^муму.
Обчисливши ТТ першу координату х = 3, отримуемо точку А(3;-1;1) - точку локального м^муму функци Лагранжа, а вщповщно умовний мiнiмум функцГТ и. Вдповдь: А(3;-1;1).
V
Третя трупа задач (точшше задача 6) охоплюе випадок п=3, т=2. Так як умови зв'язку пропонованоТ задачi е достатньо «зручними» то доцшьно ТТ розв'язування провести двома способами: методом Лагранжа та прямим методом. Варто зауважити, що розв'язування таких задач дуже часто е непростим завданням. Труднощi часто виникають шд час розв'язування системи рiвнянь, коренi якоТ визначають стацiонарнi точки функци Лагранжа. Тому, пропонуючи студентам подiбнi задачi варто ретельно Тх пiдбирати. «Вдало» пiдiбранi цiльова функщя та умови зв'язку, мають сприяти створенню системи рiвнянь, яка вщносно не складно розв'язуеться.
Задача 6. Знайти умовш екстремуми функцГТ и = х + у + г3 при умовах що 2 -х = 1, у — гх = 1.
Коментар/ до розв'язання задач '!.
Перший спойб (метод Лагранжа)
.3 , , ._ „ -, , , , _гх —
ЬХ = 0 ьх = 0
ьу = 0 ьу = 0
к = 0 К =0
ЬА = 0 Ф1 =0
ЬА = 0 ф2 =0
Ь = х + у + г3 + А(г — х — 1)+А(у — гх — 1)
(х + у + 23 + А (г — х — 1) + А (у — гх — 1)) х = 0
(х + у + г3 + А (г — х — 1) + А (у — гх — 1)) у = 0
(х + у + г3 + А (г — х — 1) + А (у — гх — 1)) а = 0 г — х — 1 = 0 у — хг — 1 = 0
1 — А — г А = 0
1+а = 0
3г2 +А — А х = 0 г — х — 1 = 0 у — хг — 1 = 0
Розв'язавши отриману систему рiвнянь знаходимо стацюнарш точки функци Лагранжа: М± (—1;1;0) при А = 1, А = —1; 5 19 2 ^ , 1
М1—5; "9931 при А = 1' А =—1.
й2 ь(х0; у0 ; г0) = -тГ (йх)2 +2 • йхйУ +2' ёхёг +2' Т1Г йУйг + "^"т (<у + ^т(йг),
ох дхду дхдг дудг ду дг
Э2 Ь
д2 Ь
д2 Ь
д2Ь
д2Ь
д2 Ь п -хь=0; д2 Ь п -= 0; дхду д2Ь А; дхдг 2
д 2 Ь = 0 ; дудх д2 Ь _ 0. -2 Ь = 0.
-у 2 " ' -удг
д2 Ь = А' дгдх °2 Ь = 0; дгду д2Ь к . —- = 6г : дг2
й2 Ь = 0 • (^х)2 + 2 • 0 • йхйу — 2А йхйг + 2 • 0 • йуйг + 0 • (йу)2 + 6 • г(йг)2 = —2А йхйг + 6г(йг)2. й2 Ь(Мг) = —2 •(— 1)йхйг + 6 • 0 • (йг)2 = 2йхйг
На даному етапi дослiджень не можемо зробити висновмв щодо знаку й2 Ь(М). Скористаемось умовою зв'язку, якiй задовольняють йх, йу, йг:
дф1 ( ^ дф1 ( ^ дф дх дФ2
-(х0; ус ; г0 Vх+-ф (х0; УС ; г0 )йу+-ф (х0; УС ; г0)йг = 0
ду дг
-ф- (хо; УС ; го)йх+-ф- (хо; УС ; го УУ+■дф- (хо; УС ; го)йг = 0
дх
ду
дг
(г — х — 1) х м) йх + (г — х — 1) у (м )• йу +(г — х — 1) г М )• = 0 (у — гх — 1) х (м) • йх + (у — гх — 1) ^) • йу +(у — гх — 1) г^) • йг = 0
Г — йх + йг = 0 Г йг = йх Г йг = йх
[0 • йх + йу — (— 1)йг = 0 [йу + йг = 0 [йу = —йх
Продовжимо дослiдження й2Ь(М1) :
й2Ь(М1) = 2йхйг = 2dxdx = 2(йх) > 0
1з цього випливае, що точка Мг(-1;1;0) е точкою локального мЫмуму функцп Лагранжа, а вщповщно умовним м^мумом функцп и.
5 19 2
Прoвiвши аналoгiчнi дoслiдження, приходимо до висновку, що точка М2— | е точкою
локального максимуму функцГГ Лагранжа, а вiдпoвiднo умовним максимумом функцп и.
Другий споаб (прямий метод) u = х + у + z3 ^ extr при умовах z - x = 1, y - zx = 1 Використовуючи першу та другу умови зв'язку виразимо змшш y i z та пiдставимo oтриманi
вирази у цмьову функцiю:
x = z — 1 y = 1 + z(z - 1)
u = x + y + z3 ^ extr u = z - 1 + 1 + z(z - 1)
x = z - 1 y = 1 + z(z - 1)
) + z ^ extr
Отримали задачу на знаходження екстремуму функцп одшеТ змшноТ. Розв'яжемо и засобами диференцiальнoгo числення функцп одшеТ змшноТ:
u = z -1 +1 + z(z -1) + z3 ^ extr
u' = (z -1 +1 + z(z -1)+ z3) = 3z2 + 2z 3z2 + 2z = 0
max
+
min —•—
+
Обчисливши iншi координати знайдених екстремальних точок, приходимо до висновку, що точка
5 19 2'
з; 7;- з.
М1 (-1;1;0) - точка умовного мЫмуму, а точка М21 - —| - точка умовного максимуму.
Bidnoeidb: z
ум. max
5 19 2) 4 , ч
-з ;т;-зГ27; z ум. m (1;1;0)=0
У якостi висновшв зауважимо, що iнтеграцiя математичних знань та умшь на сьогоднi в^грае значущу роль в оргашзаци навчальноТ дiяльностi студенев.
1нтегративний пiдхiд е актуальним та важливим аспектом сучасноТ вищоТ морськоТ освiти. Вiн дае можлив^ь розглядати змiст навчання окремоТ дисциплiни саме у процесi взаемодп з iншими навчальними дисциплiнами (або темами в межах одшеТ навчальноТ дисциплши). Пщ час розв'язування штегративних задач вiдбуваеться найбiльш повне розгортання навчальноТ проблеми (задач^. Розв'язування задач штегративного змiсту формуе iнтегративнi знання як знання бтьш високого рiвня порiвняно с простою сукупнiстю одно предметних знань, розвивае пошуково-дослщницьм, творчi здiбностi, формуе творчий потенцiал, математичну й шформацшну культуру суб'ектiв учшня [4,5,6], якi усi разом у свою чергу стають мiцним шдфунтям для формування стiйких умiнь та навичок професшноТ штегративноТ дiяльностi.
0
Список використаних джерел
1. Вища математика: Збiрник задач: Навч. поабник / В.П. Дубовик, 1.1. Юрик, 1.П. Вовкодав та iн.; За ред. В.П. Дубовика, 1.1. Юрика. - К.: А.С.К., 2001. - 480 с.
2. Герганов Л.Д. Профессиональная подготовка плавсостава Придунавья в условиях международной интеграции // Професшне навчання на виробництвк Збiрник наукових праць. - К.: Науковий св^, 2009.
- Вип. 3. - С. 88-97.
3. Грисенко М.В. Математика для економ^в. Методи й модели приклади й задачк Навч. поабник. К.: Либщь, 2007. - 720 с.
4. Кушшр В.А. Зaдaчi з математики штегративного змiсту // 1нформацшш технологи в освт. - 2014. - №21.
- С. 7-24.
5. Кушшр В.А., Рiжняк Р.Я. Формування в учшв складних умшь використовувати моделювання у процесi розв'язування математичних задач штегративного змiсту // Математика в школк - 2009. - №5. - С. 1317.
6. Кушшр В.А., Рiжняк Р.Я. Розв'язування математичних задач штегративного змiсту засобами комп'ютерного моделювання // Математика в школк - 2009. - №10. - С. 34-39.
7. Михеев А.И. К вопросу о причинах аварийности торгового флота // Водний транспорт: Збiрник наукових праць. - К.: КДАВТ, 2015. - №1(22). - С. 28-33.
Анота^я. Клндухова В.М. 1нтегративний характер задач умовно)' оптим'заци та його роль у кура вищо) математики студент'ю морських спе^альностей.
Стаття присвячена деяким питанням тдвищення рiвня математично!' пдготовки студент>в, шляхом розв'язання ними задач iнтегративного характеру. Зокрема, пдкреслюеться значимсть математичних '¡нтегративних задач при пiдготовцi студент'в морських спе^альностей. 1мплемента^я таких задач у навчальний процес, залучення студент'в у в'дпов'дну '¡нтегративну навчальну д'1яльн'сть сприяе не лише пдвищенню якост> математично! культури студент'в, а i формуванню в них профеайних /нтегративних навичок.
За основу узято класичн задач> умовно!' оптим'зацп. Увага до них не випадкова. Задач/ умовно!' оптим'заци е нев'д'емною складовою курсу вищо! математики > об'ективно м>стять елементи Iнтегративност'¡. Для !х розв'язування необх'дно актуалiзувати та застосувати знання > ум>ння iз р'зних роздiлiв математики, зокрема: шального курсу математики; елементи лiнiйноí алгебри; в деяких задачах - елементи анал'тично)' геометри; диферен^альне числення функцп одше)' зм'1нно'{; диферен^альне числення функцп дешлькох зм'шних. Усе це робить задач/ умовно!' оптим'заци вдалим прикладом природного, гармонйного «вплтання» '¡нтегративних задач в математичну пдготовку студент>в.
У статт'1, в основному, придлена увага практичним питанням. Запропоновано деклька груп задач, як е посильними для студент'в. Описан особливостi розв'язування цих задач. Уа задач'! е розв'язаними. Деяк задач'! розв'язаш двома способами. Опера^йна модель класично! задач'! умовно! оптим'заци м>стить цльову функ^ю п зм>нних i т умов зв'язку на ц зм'>нн'1. В першiй груп'1 запропонованих задач п=2, т=1; у другй: п=3, т=1; у третiй п=3, т=2. Бльш складним випадкам плануеться придлити увагу у наступних роботах.
Ключовi слова: вища математика, /нтегративна задача, умовна оптимiзацiя, методЛагранжа.
Аннотация. Клиндухова В.Н. Интегративный характер задач условной оптимизации и их роль в курсе высшей математики студентов морских специальностей.
Статья посвящена некоторым вопросам повышения уровня математической подготовки студентов посредством решения ими задач интегративного характера. В частности, подчеркивается значимость математических интегративных задач при подготовке студентов морских специальностей. Имплементация таких задач в учебный процесс, вовлечение студентов в соответствующую интегративную учебную деятельность способствуют не только повышению качества математической культуры студентов, а и формированию у них профессиональных интегративных навыков.
За основу взяты классические задачи условной оптимизации. Внимание к ним не случайно. Задачи условной оптимизации являются неотъемлемой частью курса высшей математики и объективно содержат элементы интегративности. Для их решения необходимо актуализировать и применить знания и умения из различных разделов математики, в частности: школьный курс математики; элементы линейной алгебры; в некоторых задачах - элементы аналитической геометрии; дифференциальное исчисление функции одной переменной; дифференциальное исчисление функции нескольких переменных. Все это делает задачи условной оптимизации удачным примеров естественного, гармоничного «вплетения» интегративных задач в математическую подготовку студентов.
В статье, в основном, уделено внимание практическим вопросам. Предложено нескольких групп задач, посильных для студентов, описаны особенности решения этих задач. Все задачи представлены с решениями, некоторые решены двумя способами. Операционная модель классической задачи условной оптимизации содержит целевую функцию п переменных и т условий связи на эти переменные. В первой группе предложенных задач п=2; т=1; во второй: п=3; т=1; в третьей: п=3; т=2. Более сложным случаям планируется уделить внимание в следующих работах.
Ключевые слова: высшая математика, интегративная задача, условная оптимизация, метод Лагранжа.
Abstract. Klindukhova V. The Integrative Nature Of The Task Of Conditional Optimization And Their Role In The Course Of Higher Mathematics Of Students Of Marine Specialties.
The article is devoted to the problem of improving the level of mathematical training of students. One means of solving this problem are integrative tasks. The integrative solution of mathematical tasks is very important in the training of students of marine specialties. It is expedient to introduce such tasks in the learning process. It is important to engage students in integrative learning activities. This helps to improve the quality of mathematical culture of students. It also contributes to the formation of students ' professional integrative skills.
The basis is the classical problem of conditional optimization. Attention to them is no accident. The task of conditional optimization is part of a course of higher mathematics. They objectively contain elements of integrity. For their solution it is necessary to apply knowledge and skills from various branches of mathematics. In particular: from a school course of mathematics; linear algebra; sometimes of analytical geometry; differential calculus of functions of one variable; differential calculus of functions of several variables. Therefore, the task of conditional optimization is a good example of a natural implementation of integrative tasks in the mathematical preparation of students.
In the article the attention is paid to practical issues. We considered several groups of tasks that are feasible for students. The characteristics of these tasks. All tasks are done. Some of the tasks solved in two ways. The operating model of classical conditional optimization problem consists of objective function in n variables and m additional conditions. In the first group: n=2, m=1. In the second group: n=3, m=1. In the third group: n=3, m=2. More complicated cases will be given attention in future works
Keywords: higher mathematics, integrative task. conditional optimization. Lagrange's method
