РОЗРОБЛЕННЯ МОДЕЛі НАДіЙНОСТі ЗАХИСНОї АРМАТУРИ, ЯКА ВРАХОВУє ВПЛИВ ПЕРЕРОЗПОДіЛУ НАВАНТАЖЕННЯ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

-□ □-

Розроблено модель надiйностi захисног арма-тури для посудини, яка працюе пи) тиском. Модель призначено для кшьтсного аналiзу причин видмови таког системи. Надштсть формал^ зовано динамiчним деревом видмов, а характеристики обчислеш на основi розщепленог однорiдног Марковськог моделi. Наукова цттсть моделi полягае у тому, що у нш враховано вплив пере-розподЫу навантаження мiж гг елементами

Ключовi слова: захисна арматура, модель надiйностi, дерево видмов, марковська модель,

причина видмови

□-□

Разработана модель надежности защитной арматуры для сосуда, работающего под давлением. Модель предназначена для количественного анализа причин отказа такой системы. Надежность формализована динамическим деревом отказов, а характеристики вычислены на основе расщепленной однородной Марковской модели. Научная ценность модели заключается в том, что в ней учтено влияние перераспределения нагрузки между ее элементами

Ключевые слова: защитная арматура, модель надежности, дерево отказов, марковская модель, причина отказа -□ □-

УДК 519.248

|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.359511

РОЗРОБЛЕННЯ МОДЕЛ1 НАД1ЙНОСТ1 ЗАХИСНОТ АРМАТУРИ, ЯКА ВРАХОВУе ВПЛИВ ПЕРЕРОЗПОД1ЛУ НАВАНТАЖЕННЯ

С. В. Щербовських

Доктор техшчних наук, старший науковий ствроб^ник Науково-дослщна група ДБ/ТРИКАФ* E-mail: shcherbov@gmail.com Т. О. Стефанович Кандидат техычних наук, доцент Кафедра проектування та експлуатаци машин* E-mail: stefanovych@lp.edu.ua *Нацюнальний ушверситет <^bBiBCb^ полЬехшка» вул. Бандери, 12, м. Львiв, УкраТна, 79013

1. Вступ

Посудини, яю працюють тд тиском, - це герметично закрит емносп, призначет для проведення фiзико-хiмiчних процеав, а також для збер^ання i перевезення речовин, що знаходяться тд надлишко-вим тиском. До них належать автоклави, компресорт установки, паровi та водогрiйнi котли, газгольдери, балони, трубопроводи для транспортування газiв i га-рячо' води. Посудини, яю працюють пiд тиском, ввдно-сяться до об'eктiв пiдвищеноi небезпеки. Шдвищення тиску в посудинi вище допустимого може спричинити ii руйнування, 1, як наслiдок, травмування обслуговуючо-го персоналу та забруднення довкiлля. Для запобiгання пiдвищенню тиску у посудит застосовують захисну арматуру, тобто запобiжнi пристроi, якi автоматично знижують тиск, якщо його величина перевищуе вста-новлене оператором значення. Несправтсть захисноi арматури, спричинена вiдкладанням в и елементах накипу, слiдiв корозп, прилипанням клапанiв до сiдел, заклинюванням важелiв може призвести до описаних вище наслвдюв. Пiд час проектування захисноi арматури для посудин, яю працюють пiд тиском, важливим етапом е забезпечення прийнятного рiвня '¿х надiйностi. Цей етап проектування зводиться не лише до визначен-ня штегрального показника надiйностi, але й передба-чае аналiз уах причин вiдмови арматури та розроблен-ня рекомендацiй щодо пiдвищення и надiйностi.

Характерним явищем, яке мае мшце у захиснiй арматурi, е перерозпод^ навантаження мiж ii елементами. Його суть полягае у тому, що внаслвдок вщмови окремих елеменпв арматури, якщо при цьому не вщб-

© С.

уваеться катастрофiчна вiдмова yciei системи, навантаження решти працездатних елементiв змшюеться. Змiна навантаження призводить до змши параметрiв напрацювання елементiв, що впливае на надштсть yciei системи. Дана публжащя присвячена актуальнш проблемi тдвищення точноcтi аналiзy причин вщ-мови захиcноi арматури шляхом врахування впливу перерозподшу навантаження мiж ii елементами.

2. Аналiз лiтературних даних та постановка проблеми

Для побудови математичних моделей надшност посудин, яю працюють тд тиском, а також '¿х елементiв та пiдсистем видiляемо таю тдходи. У роботах [1, 2] використовують безпосередньо математичнi моделi фь зичних процесiв корозп, поширення трщин, зношу-вання, втоми тощо. Недолж цього пiдходу полягае у тому, що навггь для простих систем одержат моделi е громiздкими. Окрiм того, параметри моделей вiдомi дослвдникам iз певним наближенням, що твелюе за-стосування уточнених моделей фiзичних процесiв. У працях [3, 4] застосовують динамiчнi дерева вiдмов, яю поеднують у собi логiко-ймовiрнiсний апарат та Баесо-ву мережу. Недолж такого пiдходу полягае у тому, що на сьогодш не достатньо розроблений шструментарш для адекватного врахування усього спектру явищ, пов'я-заних зi змiною навантаження елементiв. У статтях [5, 6] використовують моделi надшносп, якi Грунтують-ся на iмiтацiйному моделюваннi за методом Монте-Карло. Результати, одержат за цим методом, спотворет флуктуащями, спричиненими застосуванням генера-

тора випадкових чисел. Вказаний недолж критичний для систем iз високою надшшстю, оскiльки для них дослiджуванi характеристики спiвмiрнi iз амплiтудою флуктуацiй. У працях [7, 8] використовують марковсью моделi надiйностi, якi базуються на аналiзi простору станiв системи. Основним недолжом таких моделей е обмеження експоненщальним розподiлом, а також ви-сока трудомiсткiсть !х побудови, яка зростае у комбша-торному порядку зi збiльшенням кiлькостi елементiв.

Отже, для розв'язання поставлено! проблеми вва-жаемо найприйнятшшим пiдхiд, який Грунтуеться на поеднаннi динамiчних дерев вщмов та марковських моделей надiйностi. Для послаблення обмеження експоненщальним розподшом пропонуемо застосувати розщеплення простору сташв [9-11], яке шляхом уве-дення фжтивних фаз забезпечуе врахування довшь-них розподiлiв i «запам'ятовування» передкторп на-працювання елементiв системи за навантаженням.

3. Мета та задачi дослщження

Метою дослiдження е розроблення моделi надш-ностi захисно! арматури посудини, яка працюе пiд тиском, призначено! для аналiзу причин вщмови тако! системи, що враховуе перерозподш навантаження мiж 11 елементами.

Для досягнення поставлено'! мети виршено таю задача

• математично описано надшшсть захисно! арматури на основi динамiчного дерева вiдмов;

• побудовано модель сташв та подш системи i роз-щеплену однорiдну марковську модель системи;

• визначено юльюсш характеристики для у«х причин вщмови захисно! арматури та дослщжено вплив на них перерозподiлу навантаження мiж !! елементами.

4. Матерiали та методи дослщження моделi надiйностi захисно! арматури

4. 1. Опис системи та i"i" динамiчне дерево вщмов

Вiдповiдно до вимог технологiчного процесу у посудину A трубопроводом B подаеться робоча сумш (рис. 1). У посудиш за допомогою нагрiвача С робоча сумш доводиться до кипiння i тд надлишковим тиском подаеться у трубопровщ D.

.....> E

Для уникнення тдвищення тиску вище допустимого значення встановлено захисну арматуру, а саме трьохходовий кран 1, два запобiжнi клапани 2 i 3 та клапан граничного тиску 4. Якщо тиск у посудиш перевищуе допустиме робоче значення, то спрацьо-вують запобiжнi клапани 2 та 3, i пара подаеться у трубопроввд E, який сполучений i3 атмосферою. Якщо тиск продовжуе далi зростати i перевищуе допустиме аварiйне значення, то спрацьовуе клапан граничного тиску 4, i робоча сумш зливаеться трубопроводом F у спещальний резервуар. Припускаемо, що засоби тех-шчно! дiагностики та перемикання iдеальнi, а навантаження мiж елементами змшюеться миттево.

Дубльованi запобiжнi клапани 2 i 3 функщону-ють за алгоритмом навантажувального резервування: якщо обидва клапани працездатш, то навантаження розпод^яеться мiж ними порiвну. Якщо один iз запо-бiжних клапанiв непрацездатний, то навантаження на шший подвоюеться.

Трьохходовий кран 1 та клапан граничного тиску 4 функщонують за алгоритмом полегшеного резерву-вання: якщо трьохходовий кран та хоча б один за-побiжний клапан працездатш, тобто пара подаеться трубопроводом E, то трьохходовий кран перебувае тд номшальним навантаженням, а клапан граничного тиску — тд полегшеним. Якщо трьохходовий кран або обидва запобiжнi клапани непрацездатш, тобто пара подаеться трубопроводом F, то навантаження клапана граничного тиску вважаемо номшальним, а навантаження трьохходового крану, якщо вш е працез-датним, — полегшеним.

Формалiзуемо надшшсть захисно! арматури ди-намiчним деревом ввдмов, структура якого подана на рис. 2, а. Звернемо увагу, що з точки зору надшносп лопчна структурна схема захисно! арматури утворюе послвдовно-паралельне сполучення елементiв, як показано на рис. 2, б.

Динамiчне дерево ввдмов е математичною моделлю, яка описуе умову непрацездатност системи та умови змiни навантаження мiж !! елементами на основi блокiв, якi позначають логiчнi операцп та операцп вiдношення. Непрацездатнiсть захисно! арматури позначена блоком «Top Event». Вважаемо, що така подiя е катастрофiчною, тобто поки вона не ввдбулась, ремонтування будь-якого непрацездатного елемента арматури можна виконати стшьки разiв, скiльки у цьому виникае потреба. Ввднов-лений елемент за експлуатацшними характеристиками вважаемо аналогiчним новому, а решта працездатних елементiв такими, що мають попередне напрацювання. Пiсля настання непрацездатност захисно! арматури вважаемо, що ремонт будь-якого елемента системи не-можливий. Така подiя вiдбуваеться, якщо одночасно заблоковаш обидва трубопроводи F та E, що описано блоком «Gate 1», тип якого задано лопчною операщею AND. Блокування трубопроводу E вщбуваеться, якщо непрацездатний трьохходовий кран 1 або група запо-бiжних клапанiв 2 i 3, що описано блоком «Gate 2», тип якого задано лопчною операщею OR. Непрацездатшсть трьохходового крана 1 позначено блоком «Base Event 1», а його напрацювання до ввдмови розподшено за законом Вейбулла iз параметрами a1 i р1. Непрaцездaтнiсть гру-пи зaпобiжних клапашв 2 i 3 виникае, якщо обидва вони непрацездатш, що описано блоком «Gate 3», тип якон го задано лопчною операщею AND. Непрацездатшсть

клапашв 2 i 3 позначено блоками «Base Event 2» i «Base Event 3», а 'ix напрацювання до вщмови розподiлено за законом Вейбулла i3 параметрами а2 i ß2 та а3 i ß3. Бло-кування трубопроводу F вщбуваеться, якщо вiдмовив клапан граничного тиску 4, непрацездатшсть якого позначено блоком «Base Event 4», а його напрацювання до вщмови розподыено за законом Вейбулла iз параметрами а4 i ß4. Тривaлiсть ремонтування усix елементiв системи вважаемо розподшеною експоненцiaльно iз параметром ц.

— ^ Top Event [_ ^ Gate 1

1 2 б

Рис. 2. Формальна модель надшносл захисноТ арматури:

а — динамiчне дерево вiдмов, б — структурна схема надшносл

У зaxиснiй aрмaтурi вiдбувaються тaкi динaмiчнi явища:

• змша навантаження трьохходового крана 1 за-лежно вiд стану групи зaпобiжниx клaпaнiв 2 i 3;

• взаемна змша навантаження зaпобiжниx клапашв 2 i 3 залежно вщ ix стану;

• змша навантаження зaпобiжниx клaпaнiв 2 i 3 залежно вiд стану трьохходового крана 1;

• змша навантаження клапана граничного тиску 4 залежно вщ стану елеменпв трубопроводу E.

Для опису першого явища задамо у блощ «Gate 3» умову змши навантаження. Якщо на вхщ цього блока подаеться лопчний сигнал TRUE, тобто група запо-бiжниx клaпaнiв 2 i 3 непрацездатна, то штенсившсть процесу напрацювання трьохходового крана 1, який задано у блощ «Base Event 1», становить k1 тобто вш перебувае у полегшеному режимь

Для опису другого явища, яке вщповщае навантажу-вальному резервуванню зaпобiжниx клaпaнiв, введемо у структуру дерева вщмов блоки «Gate 6» i «Gate 7», яю е повторювачами логiчного сигналу, i задамо у них умови змши навантаження. Якщо на вхщ блоку «Gate 6» подаеться лопчний сигнал TRUE, тобто зaпобiжг ний клапан 2 непрацездатний, то штенсившсть процесу напрацювання зaпобiжного клапана 3, який задано у блощ «Base Event 3», зростае в k3 рaзiв. Вщповщно, якщо на вхщ блока «Gate 7» подаеться лопчний сигнал TRUE, тобто зaпобiжний клапан 3 непрацездатний, то штен-

сившсть процесу напрацювання запобiжного клапана 2, який задано у блощ «Base Event 2», зростае в k2 разiв.

Для опису третього явища введемо у структуру динамiчного дерева вщмов блоки «Gate 4» i «Gate 5», як е повторювачами лопчного сигналу, i задамо у них умови змши навантаження. Якщо на вхщ цих блоюв подаеться лопчний сигнал TRUE, тобто трьохходовий кран 1 непрацездатний, то штенсившсть процесу напрацювання обох запобiжних клапашв 2 i 3, яю задаш у блоках «Base Event 2» i «Base Event 3», становить 0.

Для опису четвертого явища задамо у блощ «Gate 2» умову змши навантаження. Якщо на вхщ цього блока подаеться лопчний сигнал FALSE, тобто елементи 1-3 забезпечують функцюнування трубопроводу E, то штенсившсть процесу напрацювання клапана граничного тиску 4, який задано у блощ «Base Event 4», стак новить k4, тобто вш перебувае у полегшеному режимь

4. 2. Модель сташв та подш

На пiдставi поданого вище динамiчного дерева вщмов захисно! арматури зпдно iз формалiзованими правилами [11] складено модель сташв та подш. Така модель е математичним описом сташв, в яких може перебувати система, та подш, яю у нш можуть вщбуваються, у про-екцшному зв'язку до процеав, що у нш протжають. Граф тако! моделi подано на рис. 3, а 'i'i параметри у табл. 1.

У моделi сташв та подш процеси напрацювання i ремонтування для трьохходового клапану 1 позначено як P1 i P5, для запобiжного клапана 2 — P2 i P6, для за-побiжного клапана 3 — P3 i P7, для клапана граничного тиску 4 — P4 i P8. Система перебувае у шiстнадцяти станах, iз яких п'ять вiдповiдають непрацездатносп — S1, S2, S3, S5 та S7. На рис. 2, а, б стани, як вщповщають працездатностi системи, позначенi колом, зображеним сущльною лiнiею, а стани, як вiдповiдають непрацез-датностi, — колом, зображеним пунктирною л^ею. У системi вiдбуваеться сорок подiй, iз яких десять спричиняють катастрофiчну вiдмову — T5, T11, T18, T22, T25, T2g, T33, T34, T37 та T38. Параметрами станiв е зна-чення коефiцiентiв перерозподiлу навантаження для процесiв P1-P8 та логiчна функщя у, яка набувае зна-чення «1», якщо система працездатна, та «0» — якщо ш. Параметрами подш е назва початкового стану, назва процесу, який завершився, та назва кшцевого стану.

Рис. 3. Граф стаыв та переходiв захисноТ арматури

Таблиця 1

Параметри моделi стажв та подш захисно'| арматури

Опис CTaHiB Опис подш

№ Поч. Грaфiчний опис Коефiцieнти перерозподшу нaвaнтaження У Ha3Ba Зaверш. Кшц. стaн

стан стaну Pi P2 Pз P4 P5 P6 P7 P8 поди процес

i Ti Pi Si5

2 Si6 rr^i i i i k4 o o o o i T2 P2 Si4

з nln Tз Pз Si2

4 T4 P4 Ss

5 T5 P4 S7

6 Si5 -X J-S- o o o i i o o o i T6 P5 Si6

7 T7 Pi Slз

8 S14 -t^d- i o kз k4 o i o o i T8 Pз Sio

9 ^Iv- T9 P4 S6

io Tio P6 Si6

ii Tii P4 S5

i2 Si3 o o o i i i o o i Ti2 P5 Si4

1З T« P6 Si5

i4 Ti4 Pi Sii

i5 Si2 CB i k2 o k4 o o i o i Ti5 P2 Sio

i6 Ti6 P4 S4

i7 Ti7 P7 Si6

i8 Tis P4 Sз

i9 Sii o o o i i o i o i Ti9 P5 Si2

2o LX-H—и T2o P7 Si5

2i T2i Pi S9

22 Sio JUid ki o o i o i i o i T22 P4 S2

2з T23 P6 Si2

24 T24 P7 Si4

25 T25 P4 Si

26 S9 х- Lx-Lx-1 o o o i i i i o i T26 P5 Sio

27 j T27 P6 Sii

28 T2S P7 Slз

29 T29 Pi S7

30 S8 — X — i i i o o o o i i Tзo P2 S6

з1 nln Tзl Pз S4

з2 Tз2 Ps Si6

зз S7 — X — -X-l-a- o o o o o o o o o — — —

з4 Tзз Pi S5

з5 S6 -X- i o kз o o i o i i Tз4 Pз S2

з6 □ 1 X- Tз5 P6 Ss

з7 Tз6 Ps Si4

з8 S5 -Lx-Lx-1- o o o o o o o o o — — —

з9 Tз7 Pi Sз

4o S4 -X- пГД" i k2 o o o o i i i Tзs P2 S2

4i Tз9 P7 Ss

42 T4o Ps Si2

4з Sз I^H o o o o o o o o o — — —

44 S2 -CËL o o o o o o o o o — — —

45 Si -C51 o o o o o o o o o — — —

4. 3. Марковська модель

Грунтуючись на моделi сташв та подiй систет ми, зпдно iз формалiзованими правилами [11] формують розщеплену однорiдну марковську модель. Таку модель подають системою дифе-ренцiальних рiвнянь Колмогорова — Чепмена:

А5и = А1 ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 +Е1 ® А2 ® Е 3 ® Е 4 ® Е 5 ® Е 6 ® Е 7 +Е1 ® Е2 ® А3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 +к4 Е1 ® Е2 ® Е3 ® А4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8,

Рз16 (0) = Р1(0) ® Р2(0) ® Рз(0) ® Р4(0) ® Р5(0) ® Р6(0) ® Р7(0) ® Р8(0),

)Е8 Е

^ p(t) = Ар(1), у(^)=Cp(t),

де t — час; p(t) — вектор, що мiстить функцii ймовiр-носп фаз; y(t) — вектор, який мштить функцii ймовiр-ностi перетишв.

Марковська модель е множиною матриць, як за-дають iнтенсивностi переходiв мiж фазами А, почат-ковi ймовiрностi фаз р(0), а також зв'язок С функцш ймовiрностi фаз iз характеристиками надiйностi си-стеми. Для дослiджуваноi системи марковська модель подана у виразк

де ® — оператор тензорного множення; Е^Е8 — оди-ничнi матрицi, розмiрнiсть яких дорiвнюе розмiрностi матриць А1-А8.

Для працездатного стану 815:

А^ = Е1 ® Е2 ® Е3 ® А4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 + +Е1 ®Е2 ®Е3 ®Е4 ® А5 ®Е6 ®Е7 ® Е8. Для працездатного стану 814: А8 = А1 ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 +

+к3 Е1 ® Е2 ® А3 ® Е, +к4 Е1 ® Е2 ® Е3 ® А, + Е1 ® Е2 ® Е3 ®

>Е8 Е

)Е5 ® А ® Е7 ® Е8.

А=

С =

—1-

! Ат

-4---3--|

! а5

1 Ат

! А.т

| А т

I т31

_4-----

1 -Ат

I А.

1 Ат

Ат !

89 ^ т21

аАт ! А. о

т26 ^ 810

А т, I

! А-т

I

I !

Ч !1!

.•и

т,,

р(0)=

Компоненти марковськоi моделi захисноi арматури формуемо на основi допомiжних марковських моделей процесiв и елементiв. Параметри марковських моделей процесiв визначаемо згiдно iз критерiем рiвностi першого i центрованого другого моменпв фактичного розподiлу процесу та його допомiжноi марковськоi моделi. Вважаемо, що для процесу Р^а^ Р1} параметри його допомiжноi марковськоi моделi становлять: {А1, Р1(0), С1}, для Р2{а2, Р2} — {А2, Р2(0), С2}, для Р3{а3, Р3} — {А3, Р3(0), С3}, для Р4{а4, Р4} — {А4, Р4(0), С4}, для Р5{^} — {А5, Р5(0), С5}, для Р6{^} — {А6, р6(0), С6}, для Р7{^} -{А7, Р7(0), С7} i для Р8М — {А8, Р8(0), С8}. ВiдПOBiдHO до вказаних параметрiв компоненти марковськоi мо-делi усiеi системи обчислено зпдно iз поданими нижче формулами, зокрема для працездатного стану Б^:

Для працездатного стану Б^: А5и = Е1 ® Е2 ® Е3 ® А4 ® Е5 ® Е, +Е1 ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® А5 ® Е6 ® Е +Е1®Е2®

)Е4 ® Е5 ® А6 ® Е7<

>3,

Е

Для працездатного стану Б^:

Аз12 = А1 ® Е2 ® Е3 +к2 Е1 ® А2

)Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7<

>Е5 ® Е6 ® Е7<

+к4 Е1 ® Е2 ® Е3 +Е1 ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® А7 ® Е8

Для працездатного стану Бц:

)Е8 Е

А5н = Е, ® Е2 ® Е3 ® А4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 + +Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® А5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 + +Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® А7 ® Е8.

Для працездатного стану 810:

А^ = к, А, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 + +Е, ® Е2 ® Е3 ® А4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 + +Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® А6 ® Е7 ® Е8 + +Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® А7 ® Е8.

Для працездатного стану Б9:

А^ = Е, ® Е2 ® Е3 ® А4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 + +Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® А5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 +Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® А ® Е7 ® Е8 + +Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® А7 ® Е8.

Для працездатного стану Б8:

А5в = А, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 + +Е, ® А2 ® Е 3 ® Е 4 ® Е 5 ® Е 6 ® Е 7 ® Е8 + +Е, ® Е2 ® А3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 + +Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® А8.

Для подiй Т4, Т5, Т9, Тц, Т16, Т18, Т22 та Т25, спричи-нених завершенням процесу Р4:

Ат5 АТ„ Ат18 Ат22 Ат25

= Е1 ® Е2 ® Е3 ®р4С4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8,

Ат = А_т = Ат = к4 Ат .

Для подiй т6, т12, т19 та т26, спричинених завершенням процесу Р5:

т6 т12 т19 т26

= Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® р5С5 ® Е6 ® Е7 ® Е8.

Для подш т10, т13, т23, т27 та т35, спричинених завершенням процесу Рб:

т10 т13 т23 т27 т35

= Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® р6С6 ®

Для подiй т17, т20, т24, т28 та т39, спричинених завершенням процесу Р7:

Для працездатного стану Б6:

А^ = А, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 + +к3 Е, ® Е2 ® А3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 + + Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® А6 ® Е7 ® Е8 + +Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® А8.

Для працездатного стану Б4:

А^ = А, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 + +к2 Е, ® А2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8 + +Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® А7 ® Е8 + +Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® А8.

Для подш т,, т7, т14, т21, т29, т33 та т37 спричинених завершенням процесу Р,:

т1 т7 т14 т29 т33 т37

= р4С4 ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8, А^ = к, Ат.

Для подш т2, т^5, т30 та т38, спричинених завершенням процесу Р2:

т17 т20 т24 т28 т39

= Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® р7С7 ® Е8.

Для подiй т32, т36 та т40, спричинених завершенням процесу Р8:

т32 т36 т40

= Е, ® Е2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7<

ЯСЯ.

У матрицi С одиничний вектор-рядок I мае розмiрнiсть, яка дорiвнюе добутку розмiрностей усiх матриць штенсивност переходiв А^А^ Цю ма-трицю складено так, щоб и рядки вiдповiдали на-ступним ймовiрнiсним характеристикам. Перший рядок задае ймовiрнiсть вiдмови захисно! арматури унаслiдок непрацездатност запобiжних клапанiв та клапана граничного тиску, яка е сумою ймовiр-ностей непрацездатних сташв 81 та Б2. Другий рядок задае ймовiрнiсть вiдмови захисно! арматури унаслщок непрацездатностi трьохходового крана та клапана граничного тиску, яка е сумою ймовiрно-стей непрацездатних сташв 81, Б3, 85 та Б7. Одержана модель мштить 256 рiвнянь.

А^ = Ат30 = Е, ® Р2С2 ® Е3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Ее,

А-т- — Ат — к0 А-т-.

■4 5 т38 2 т2

Для подш т3, т8, т31 та т34, спричинених завершенням процесу Р3:

Ат — А^ — Е, ® Е2 ® р3С3 ® Е4 ® Е5 ® Е6 ® Е7 ® Е8,

А.Т — А.Т — ко А.Т .

т8 т34 3 т3

5. Результати дослiдження моделi надiйностi захисно! арматури

Значення параметрiв для елементiв запобiжноi арматури взято такими: а^Э.0'105 год., р,=1.2; а2=а3= =1.5104 год., р2=р3=1.Э; а4=1.5-105 год., р4=1.1, штенсив-нiсть вiдновлення ^ = 0.01 1/год. Параметри допом-iжних марковських моделей згiдно iз [11] набувають таких значень:

Процессы управления

A =

Pi(0)= Ci = [ X

A 2 = A3 =

P2(0)= Рз(0)=

C2 = C3 = [ X2

—X1 Xi

0 —X1 0.36858' 0.63142 0 ].

—X2 X2 0 —X2

0.19416" 0.80584 0 ]."

A4 =

—X, X,

4

0 —X

P4(0)=

"0.58590" 0.41410J ' C4 = [ X4 0 ].

A 5 = A 6 = A7 = A8 =[—-

Ps(0) = P6(0) = P7(0) = P8(0) =[ 1 ], C5 = C6 = C7 = C8 = [ц].

де А1=5.7811 10-6 1/год., Л2=1.3035 10-4 1/год., Л4= =-9.7702 10-6 1/год.

За допомогою розщеплено! однорiдно! марковсько! моделi обчислено ймовiрнiснi характеристики захис-но! арматури.

На рис. 4 подано амейство ймовiрнiсних кривих для захисно! арматури за умови змши коефвдента k4. Коефiцiент k4 вказуе, наскiльки зменшуеться ш-тенсившсть зношування клапана граничного тиску у полегшеному режимi вiдносно номiнального режиму. Цей коефвдент набувае значень у межах ввд 0 до 1. Кривi 1 i 2 ввдповвдають k4=0, а кривi 3 i 4 — k4=1, за умови, що &1=0.4 та k2=kз=5 для обох випадюв. Су-цiльнi кривi 1 i 3 вiдповiдають ймовiрностi вiдмови системи, унаслiдок непрацездатностi запобiжних кла-панiв та клапана граничного тиску. Штриховi кривi 2 i 4 — ймовiрностi вiдмови, унаслвдок непрацездатностi трьохходового крана та клапана граничного тиску.

1г

0.9 0.8 0.7 0.60.50.4 0.3 0.2 0.1

0

x 10"

x 10ч

Рис. 4. Кривi ймовiрнiсних характеристик захисно!' арматури за умови змши коефщieнта к4 в межах граничних значень

На рис. 5 подано «мейство ймовiрнiсних кривих для захисно! арматури за умови змши коефвденпв k2 та k3. Оскiльки запобiжнi клапани однаков^ то вважаемо, що k2=k3. Коефiцieнти k2 i k3 вказують, наскiльки зростае iнтенсивнiсть зношування запо-бiжних клапанiв у перевантаженому режимi вiдносно номiнального режиму. Цi коефвденти набувають значень у межах ввд 1 до œ.

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

x 10'

4

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x104

Рис. 5. Кривi ймовiрнiсних характеристик захисно!' арматури за умови змши коефщieнтiв k2 i k3 в межах тестових значень

Омейство сущльних кривих вщповвдае ймовiр-ностi вiдмови системи, внаслщок непрацездатностi запобiжних клапанiв та клапана граничного тиску, зо-крема крива 1 побудована для k2=1, крива 2 — для k2=2, крива 3 — k2=5, крива 4 — k2=10, крива 5 — k2=20, крива 6 — k2=50 i крива 7 — k2=100, за умови, що k1=0.4 та k4=0.2 для всiх випадюв. Штрихова крива 7 вiдповiдае ймовiрностi вiдмови системи, спричинено! непрацез-датшстю трьохходового крана та клапана граничного тиску для уах значень k2 та k3, за умови, що k1=0.4 i k4=0.2.

6. Обговорення результаив дослщження моделi надiйностi захисно! арматури

За результатами обчислювальних експериментiв дослщжено вплив коефiцiентiв k1-k4 на ймовiрнiснi характеристики захисно! арматури.

На рис. 4 показано, що iз зб^ьшенням k4 в граничних межах для сталих значень k1, k2 i k3 ймовiрнiснi характеристики причин вщмови системи лiнiйно зро-стають. Крок зростання ймовiрнiсноï характеристики, яка вщповщае вiдмовi запобiжних клапанiв та клапана граничного тиску, е бшьшим за крок зростання ймовiр-шсно! характеристики, яка вiдповiдае вiдмовi трьохходового крана i клапана граничного тиску.

Аналiзуючи амейство ймовiрнiсних характеристик, яю подано на рис. 5, робимо висновок, що iз зро-станням k2 i k3 для сталих значень k1 i k4 ймовiрнiсна характеристика, яка вщповщае вiдмовi запобiжних клапанiв та клапана граничного тиску, зростае iз ло-

1

4

гарифмiчним кроком. У цьому ж дослда ймовiрнiсна характеристика, яка вiдповiдаe B^MOBi трьохходового крана i клапана граничного тиску, нечутлива до змши коефвденпв k2 i k3.

Окрiм того, дослщжено вплив коефiцieнта ki на ймовiрнiсть вiдмови системи в граничних межах для сталих значень k2, k3 i k4. Аналiз результапв цього експерименту показав, що для прийнятих у моделi значень параметрiв елементiв системи впливом коефь щента ki можна знехтувати.

Дослiдження показуе, що залежно ввд значення ко-ефiцiентiв перерозподiлу навантаження, змiнюеться домшуюча причина вiдмови захисно! арматури. Зокре-ма, для k4 = 0 або k2 = k3 = 1...2 домiнуючою причиною вiдмови е ввдмова трьохходового крана та клапана граничного тиску, а за шших значень цих коефщенпв — ввд-мова запобiжних клапанiв та клапана граничного тиску.

Одержана у робот марковська модель е жорсткою. Така властившть моделi зумовлена розкидом пара-метрiв процесiв напрацювання та ремонтування, особливктю алгоритму розщеплення простору сташв та впливом коефвденпв перерозпод^у навантаження k2, k3 i k4. Пiд час побудови сiмейства кривих для значень k2 = k3 > 10 жорсткiсть моделi зростае настшь-ки, що для уникнення спотворення ймовiрнiсних характеристик флуктуащями, необхiдно застосовувати спецiалiзованi чисельнi методи.

У моделi надiйностi не враховано явища взаемодii мiж захисною арматурою та власне посудиною, яка працюе тд тиском. Побудова тако! моделi надiйностi е метою подальших дослщжень.

7. Висновки

У стати розроблено математичну модель надш-HOCTi захисно! арматури для посудини, яка працюе тд тиском, призначену для юльюсного аналiзу причин вiдмови тако! системи. Надiйнiсть системи ма-тематично описано динамiчним деревом вiдмов, в якому задано лопчш умови змши навантаження у трьохходовому краш, запобiжних клапанах та кла-панi граничного тиску. Ймовiрнiснi характеристики системи визначено за марковською моделлю, в якш на основi тензорних виразiв розщеплення простору сташв, враховано вплив перерозпод^у навантаження мiж елементами захисно! арматури, тривалшть напрацювання до вщмови яких розподiлена за законом Вейбулла. За допомогою цiеï моделi проаналiзо-вано як впливае перерозпод^ навантаження у кожному iз елементiв захисно! арматури на ймовiрнiснi характеристики усiеï системи. Показано, що зi змiною коефiцiентiв перерозподiлу навантаження змшюеть-ся найiмовiрнiша причина вщмови захисно! арматури. Кiлькiсний аналiз тако! властивостi системи не можна адекватно виконати ш на основi застосування логiко-ймовiрнiсного аналiзу, нi шляхом використан-ня звичайно! однорiдноï марковсько! моделi надш-ностi.

Подальшi дослщження скерованi на розроблення уточнено! математично! моделi надiйностi захисно! арматури для посудини, яка працюе тд тиском, в якш адекватно враховуватиметься взаемодiя мiж елемен-тами арматури та власне посудиною.

Лiтература

1. Landucci, G. Release of hazardous substances in flood events: Damage model for horizontal cylindrical vessels [Text] / G. Landucci, A. Necci, G. Antonioni, A. Tugnoli, V. Cozzani // Reliability Engineering & System Safety. - 2014. - Vol. 132. - P. 125-145. doi: 10.1016/j.ress.2014.07.016

2. Chookah, M. A probabilistic physics-of-failure model for prognostic health management of structures subject to pitting and corrosion-fatigue [Text] / M. Chookah, M. Nuhi, M. Modarres // Reliability Engineering & System Safety. - 2011. - Vol. 96, Issue 12. - P. 1601-1610. doi: 10.1016/j.ress.2011.07.007

3. Khakzad, N. Risk-based design of process systems using discrete-time Bayesian networks [Text] / N. Khakzad, F. Khan, P. Amyotte // Reliability Engineering & System Safety. - 2013. - Vol. 109. - P. 5-17. doi: 10.1016/j.ress.2012.07.009

4. Codetta-Raiteri, D. Integrating several formalisms in order to increase Fault Trees' modeling power [Text] / D. Codetta-Raiteri // Reliability Engineering & System Safety. - 2011. - Vol. 96, Issue 5. - P. 534-544. doi: 10.1016/j.ress.2010.12.027

5. Noh, Y. Risk-based determination of design pressure of LNG fuel storage tanks based on dynamic process simulation combined with Monte Carlo method [Text] / Y. Noh, K. Chang, Y. Seo, D. Chang // Reliability Engineering & System Safety. - 2014. - Vol. 129. -P. 76-82. doi: 10.1016/j.ress.2014.04.018

6. Munoz Zuniga, M. Adaptive directional stratification for controlled estimation of the probability of a rare event [Text] / M. Munoz Zuniga, J. Garnier, E. Remy, E. de Rocquigny // Reliability Engineering & System Safety. - 2011. - Vol. 96, Issue 12. -P. 1691-1712. doi: 10.1016/j.ress.2011.06.016

7. Zamalieva, D. A probabilistic model for online scenario labeling in dynamic event tree generation [Text] / D. Zamalieva, A. Yilmaz, T. Aldemir // Reliability Engineering & System Safety. - 2013. - Vol. 120. - P. 18-26. doi: 10.1016/j.ress.2013.02.028

8. Zamalieva, D. Online scenario labeling using a hidden Markov model for assessment of nuclear plant state [Text] / D. Zamalieva, A. Yilmaz, T. Aldemir / Reliability Engineering & System Safety. - 2013. - Vol. 110. - P. 1-13. doi: 10.1016/j.ress.2012.09.002

9. Mandziy, B. Mathematical model for failure cause analysis of electrical systems with load-sharing redundancy of component [Text] / B. Mandziy, O. Lozynsky, S. Shcherbovskykh // Przeglad Elektrotechniczny. - 2013. - Vol. 89, Issue 11. - P. 244-247.

10. Shcherbovskykh, S. Failure intensity determination for system with standby doubling [Text] / S. Shcherbovskykh, O. Lozynsky, Ya. Marushchak // Przeglad Elektrotechniczny. - 2011. - Vol. 87, Issue 5. - P. 160-162.

11. Щербовських, С. В. Математичш модел1 та методи для визначення характеристик надшност багатотермшальних систем ¡з урахуванням перерозподшу навантаження [Текст] : монограф1я / С. В. Щербовських. - Льв1в: Вид-во Льв1всько! пол^ех-шки, 2012. - 296 с.