РОЗРОБКА МЕТОДИКИ іДЕНТИФіКАЦії ПАРАМЕТРіВ МОДЕЛі РОЗРЯДНОї ЛАМПИ ВИСОКОГО ТИСКУ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

В статтi приведенорозроблену методику визначен-ня параметрiв складног математичног моделi шляхом мiнiмiзацii функционалу суми квадратiв вiдхилень мiж модельними та експериментальними даними. Пошук виЫовидних значень nараметрiв розбито на двi части-ни: визначення чутливостi математичног моделi до змти значень кожного параметру та пошук м^муму функцюналу розходження

Ключовi слова: iдентифiкацiя, визначення, модель, параметр, розряд, лампа, високий, мiнiмiзацiя, чут-лив^ть

□-□

Приведена методика определения параметров сложной математической модели путем поиска минимума функционала суммы квадратов отклонений, в котором сравниваются экспериментальные и модельные данные. Поиск значений параметров модели разбит на два этапа, это определение степени влияния изменения каждого параметра на выход модели и непосредственно поиск минимума функционала отклонений

Ключевые слова: идентификация, определение, модель, параметр, разряд, лампа, высокий, минимизация, чувствительность

УДК 681.5.015:621.327.5

|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.43443|

РОЗРОБКА МЕТОДИКИ 1ДЕНТИФ1КАЦП ПАРАМЕТР1В МОДЕЛ1 РОЗРЯДНОТ ЛАМПИ ВИСОКОГО ТИСКУ

О. А. Я к у н i н

1нженер

Кафедра електропостачання мют Хармвський нацюнальний уыверситет мюького господарства iM. О. М. Бекетова вул. Маршала Бажанова, 17, м. Хармв, УкраТна, 61002 E-mail: Yakuinin AA Kh@mail.ru

1. Вступ

При створенш математичних моделей важливо за-безпечити точшсть опису моделлю необхщних об'ек-тiв та процесiв, що протiкають в них. Це можна забез-печити двома шляхами:

1) дослщити якомога бiльшу кiлькiсть об'екпв та визначити вiдповiднi (середньостатистичнi) набори коефвденпв (параметрiв) моделi;

2)створити методику (та програму) визначення параметрiв моделi для якiсного опису даною моделлю конкретного об'екту.

При цьому слщ мати на увазi, що в об'ектах вщбу-ваються неповоротш процеси «старшня», при чому змшюються не тiльки 1х показники, а й поведшка - ре-акщя на впливи. Наприклад поширенi джерела свила - розрядш лампи (РЛ), не лише «старжть» (зно-шуються електроди), а й мають деякий люфт параме-трiв вiд партii до партп, та мiж однотипними лампами рiзних виробникiв, в тому числi завдяки конкуренцп, бо кожний виробник намагаеться покращити техш-ко-економiчнi показники своеi продукцii (при цьому вносячи змши), тому навiть у одного виробника лам-пи одного типу та потужносп, що мають рiзну дату випуску (наприклад 5 роюв), та навиь не експлуату-вались дещо вiдрiзняються за характером поведiнки в мережь

При розробцi систем керування необхщним е iх тестування на наявшсть вузьких (проблемних) мiсць. Для такого тестування якнайкращим пiдходом е ви-користання математичних моделей (ММ). Крiм того сучаснi системи керування можуть мштити в собi модель керованого об'екту для визначення характеру та величини керуючих сигналiв, подальшоi ощнки iх вiдповiдностi, та якостi керування.

Так, при використанш ММ комплекту «розрядна лампа - пускорегулюючий апарат» («РЛ - ПРА»), та розробщ вiдповiдного приладу керування, е висока Bi-рогiднiсть виникнення помилок, осюльки технологiя виготовлення РЛ змiнюеться, при чому однотипш РЛ рiзних виробниюв мають не однаковi характеристики, зокрема РЛ одше1 партii мають деяку розбiжнiсть в характеристиках.

2. Аналiз лггературних даних та постановка проблеми

Дослвдники придiляють достатньо уваги створенню та покращенню моделей рiзних об'ектiв. Створенню моделей РЛ, в тому чи^ розрядних ламп високого тиску (РЛВТ) (англшською - HPD lamps, тобто High Pressure Disharge lamps, що входять у HID lamps, тобто High Intensity Discharge lamps - розрядш лампи висо^ штен-сивносл), присвячено ряд щкавих роби. Це обумовлено ix високою ефектившстю, надiйнiстю та тривалим стро-ком експлуатацп. Так можна видiлити два основш тдхо-ди до створення моделей РЛ (що в подальшому впливае на можливост ix уточнення та покращення якостi моде-лювання): по-перше - це моделi, що базуються на досль дженнi процеав, що вiдбуваються в робочiй колбi лампи (розрядноi дуги, процесiв, що протжають в нiй; процесiв в робочш колбi лампи близько електродiв), а по-друге створення моделi лампи в результат аналiзу величин на вxодi та виxодi «чорного ящика», яким е лампа (складний елемент мережi - навантаження з нелшшною вольт-амперною характеристикою (ВАХ), який слвд описати).

В статтях [1-2] використовуеться перший тдхщ. В стати [1] описуеться спрощена модель, що базуеться на фiзичниx законах розрядноi плазми. Ця модель не потребуе знання точних характеристик ламп (ввд ви-

робника), передбачаеться визначення параметрiв при низькш (звичайнiй) частотi роботи лампи. Визначеш параметри моделi для двох титв ламп. Пiсля аналiзу залишились питання стосовно унiверсальностi моде-лi, щодо яко! наголошуеться в назвi роботи, - завжди шнують обмеження. В стати [2] освилюеться створен-ня моделi розрядно! лампи високого тиску, шляхом опису процеав, що вщбуваються близько електродiв: розподiл щiльностi струму та енергетичш процеси в катодь При цьому зазначаеться, що така модель не потребуе розгляду процеав, що проходять безпосеред-ньо в плазмi дуги мiж електродами.

Другий пщхщ до моделювання РЛ освилюеться в статтях [3, 4]. Стаття [3] висувае модель розрядно! лампи високого тиску, що базуеться на аналiзi провщносп лампи, термшолопчно це вiдрiзняеться, але де-факто вщповщае пiдходу, на якому базуеться модель [4], де модель Грунтуеться на диференщальнш апроксимацii ВАХ лампи. Саме для визначення параметрiв моделi приведено! в публжацп [4] створена методика щен-тифiкацii параметрiв, що освилюеться в данiй роботi.

Розгляд пiдходiв до створення та вiдмiнностей мiж моделями е важливим, так як пщхщ та реалiзацiя щен-тифжацшних методiв (вiдповiдних рiвнянь) залежить вщ безпосередньо! реалiзацii моделi iдентифiкованого об'екту.

Безпосередньо параметричнш iдентифiкацii моделей розрядних ламп присвячено розглянуп пращ [5-7]. В першш роботi [5] приведено оптимiзацiю математично! моделi розрядно! лампи, що базуеться на опии фiзичних процесiв в розряднш дузi. Пропонова-на методика (алгоритм) визначення параметрiв моделi, розроблена авторами на базi моделi [1] експонуеться як така, що може вщнайти коефвденти моделi опису !! роботи як на звичайнш (низькiй), так i високiй частотi. Публiкацiя [6] розширюе можливостi моделi розрядно! люмшесцентно! лампи низького тиску, освилю-еться можливiсть опису моделлю не лише провщносп лампи, а й шдльноси електронiв та електронну температуру в ламт. Стаття [7] представляе пщхщ до щен-тифжацп параметрiв методом пошуку оптимальних варiантiв серед скупчення точок оптимальностi. Дана методика прикладаеться до нелшшного елементу -розрядно! лампи низького тиску.

Стосовно розробки питань створення методики параметрично! щентифжацп моделi (приведено! в [4]) розглянуто ряд публжацш [8-10] та книги [11, 12]. Так стаття Авдеенко Т. В. [8] мае яюсний аналiз лиерату-ри, що допомк при виборi шших публiкацiй стосовно теорп параметрично! щентифжацп. Дослiдження [9] проведене професором Новосибiрського державного технiчного унiверситету, освiтлюе етапи побудови ма-тематичних моделей за експериментальними даними, вид^ено основнi проблеми параметрично! щентифь кацп, що можуть привести до створення неяюсно! модель

Слщ зазначити, що використання ряду припущень при створеннi математичних моделей РЛ, базуючись на фiзицi процеав в стовпi розряду (в плазм^, може спричинити значнi похибки при опии РЛ. Тому пер-спективним вважаемо створення та покращення моделей другого пщходу, а саме тих, що базуються на розглядi РЛ як нелшшного навантаження зi складною ВАХ (складним характером провщносп). Враховуючи

все вище викладене завдання визначення параметрiв унiфiкованих моделей керованого об'екту, зокрема РЛ, е актуальним.

3. Мета та задачi дослщження

Проведет дослщження ставили за мету створення методики параметрично! щентифжацп (визначення параметрiв модел^ розрядно! лампи високого тиску за даними з фiзичних експерименпв.

Для досягнення зазначено! мети було поставлено наступнi задачi:

1) дослщити лiтературнi джерела стосовно щен-тифжацп параметрiв моделей, обрати перспективну модель розрядно! лампи високого тиску;

2) створити модель чутливост математично! моде-лi до змiни значень параметрiв;

3) створити функцiонал розходження модельних та експериментальних даних, мiнiмiзуючи який визнача-еться вiдповiдний набiр параметрiв;

4) створити методику iдентифiкацii параметрiв мо-делi, протягом дослiджуваного перюду часу;

5) створити таку методику щентифжацп параме-трiв моделi, яку можна легко реалiзувати в програмах математичних розрахунюв;

6) реалiзувати методику в пакет комп'ютерних математичних обчислень та провести пробний обчис-лювальний експеримент, для пщтвердження дiевостi отримано! методики.

4. Матерiали та методи визначення параметрiв математично! моделi розрядно! лампи за даними фiзичного експерименту

Визначення параметрiв моделi за даними фiзич-ного експерименту розбито на два основних етапи: це створення моделi чутливостi та формування функщо-налу, що в подальшому пiдлягае мiнiмiзацii.

Пiд моделлю чутливостi розумiемо систему рiв-нянь, розрахунок яко! повинен надати вщомосп стосовно реакцп вихiдних величин математично! мо-делi комплекту «розрядна лампа високого тиску (РЛВТ) - ПРА» [4] на змшу кожного коефiцiенту. Система рiвнянь чутливостi утворена шляхом диферен-цiювання рiвнянь моделi комплекту «РЛВТ - ПРА» [4] окремо по кожному коефвденту.

Пропонуемий функщонал, що в подальшому тдля-гае мiнiмiзацii, базуеться на розрахунку суми квадра-тiв вiдхилень експериментальних та модельних даних за приведених початкових умов; вщштовхуючись вщ попереднього значення параметрiв моделi проходить розрахунок вихiдних величин, масив яких порiвню-ються з масивом, отриманим в результат фiзичних експериментiв.

Значення даного функцiоналу вщповщае якостi моделi, тобто чим менше його величина, тим кращий набiр значень параметрiв моделi знайдено.

Дослщження i проведення iдентифiкацii параме-трiв моделi, при синусоiдальнiй напрузi зовшшнього живлення, протягом всього комплексу основних режи-мiв, що протiкають послiдовно, - запалення (пусковi процеси), розгорання (перехщш процеси), стабiлiзацii

(сталi процеси) i загасання припускав опис початкових умов, вщповщних включенню лампи при початковш температурi лампи, piBHrn температурi навколишньо-го середовища.

Пропоновану методику реалiзовано в пакетi комп'ютерних математичних розрахункiв та моделю-вання MATLAB (подробищ планувться освiтити в подальших публiкацiях), де розрахунок проходить за наступними етапами:

1) розрахунок чутливосп моделг,

2) розрахунок першого стартового значення мшГмь зувмого функщоналу;

3) визначення нового (пробного) набору значень параметрiв моделi;

4) розрахунок математично! моделi та моделi чут-ливостi з новими значеннями параметрiв;

5) розрахунок функцiоналу суми вщхилень;

6) оцiнка якостi опису моделлю лампи з новими параметрами;

7) якщо необхщно - визначення нового набору значень параметрiв моделi.

Експериментальш данi отримано в результатi проведення експерименту за методом планування експерименив [10], на експериментальному стендi [11], з використанням сучасного цифрового осцило-графа [12].

Розробка методики вдентифжацп (визначення) па-раметрiв моделi велась згвдно теорп iдентифiкацiï систем керування [13, 14].

Ал - коефвдент, що залежать вiд типу лампи та ïï потужностi.

З врахуванням введених вище величин модель комплекту «РЛВТ - ПРА» [4] в скалярнш формi отри-мув вигляд:

dxt_ 05Х12 [(Х3/(Х1Х2 + е))2 -1]

dt [ 1 + 01 (^/Х^+бДх^ + е) -1)]

dx2 "dt"

02 + 03 U x2 + 8/(Х1Х2 + е)

(2)

1 + 01 (^/(x^ + е) — 1) — Х2

dXf = Lp" [ U»US — РсКХ3 - U0 Хз /(Х1Х2 + е) ].

Модель виходу у векторно-матричнш формi: У = h(x), (3)

де h(x) = (h1... hm)T е Rm - вектор правих частин. Модель виходу в скалярнш формк

У1 = h1(x1,x2,x3) ; У2 = h2(Х1 ,Х2,Х3 ) ,

(4)

х

5. Методика визначення napaMeTpiB математично!' моделi розрядно!' лампи за даними фiзичного експерименту

5. 1. Розрахунок чутливоси моделi до змiни значень ïï параметрiв

Модель освiтлювального комплекту, отримана в [4] у векторно-матричнш формi мае наступний вигляд:

£ = f(x,t, 0), (1)

dt

де f = (f1 f2 ... fn )T е Rn - вектор правих частин. Введемо наступш величини та позначення: x = (x1 x2 ... xn )T е Rn - вектор змшних стану модел^ n - кiлькiсть змiнних стану моделг,

8 = (8102 ... 0p)T е Rp - вектор оцшюваних параме-тр1в моделi, p - юльюсть оцшюваних параметрiв моделi;

У = (У1У2... ym)T е Rm - вектор вихщних змшних, m = 2 , ( У1 - струм в ланцюгу; У2 - напруга на лампi);

Уе = (Уе1Уе2...Ует)Т е Rm - вектор експериментальних значень вихщних змшних;

[t0;tk] - вщрГзок часу спостереження; за t0 - початок ввдлжу часу tk - кшець вщлжу часу;

Т0 - характерний час (перюд напруги зовшшнього живлення промислово! частоти f0), Т0 = 1/f0; R та L - параметри баласту; 8 та е - позитивш параметри регуляризацп; U0 - номiнальна напруга лампи; P0 - номiнальна потужшсть;

де

h1(x1,x2,x3)= Х3'; h2(x1,x2,x3) =Х^(Х1Х2 + е). (5)

ВвГвши промГжш розрахунковi величини:

F =Х1Х2 + е; А = xj [ (X3/F)2 -1] ; G = 7x378 ; (6)

B= G/F; C = B -1; D = 1+ 61C; E = D - x2, (7)

отримано наступш р1вняння моделi стану (2) (перетворена модель освилювального комплекту) ТодГ вектор правих частин моделi освiтлювального комплекту «РЛВТ - ПРА»визначаеться вiдношеннями:

f1 = 65A/D; f2 = (02 + 83B04 )E ;

f3 = Lp(U2W-P0RX3 -U0X3). (8)

Параметр регуляризацiï е вiдображав невра-ховану в початковш моделi складову повноï про-вщност лампи = У1/У2, обумовлену наявшстю додаткових електродiв для РЛВТ-ку типу ДРЛ та результуючий (запалюючий) вплив не врахованого в математичнш моделi Гмпульсного запалюючого пристрою (1ЗП) для РЛВТ типу ДНаТ i втрат. Спочатку прийнятезначення е = 10-6 параметру регуляризацп коректуеться, виходячи з середньоï iнтегральноï оцшки AG0 вщхилень модельних значень повноï провщност лампи вщ розрахованих за експери-ментальними даними, яка визначаеться сшввщно-шенням:

да=-

V Уе2 + 8

dt,

(9) ^ =

Эх1

„ТТЦоХХз . _ Т0и22х1хз

LPF2

Эх,

LPF2

де для стабiлiзацii обчислень використаний позитив-ний параметр регу-ляризацii 8.

Вважаеться £ = ДО0, а поим методом тдбору близь-ко даного значення визначаеться прийнятне значення параметру регуляризацii £. Якiсть пiдбору оцшюеться вiзуальним порiвнянням графiкiв модельних i експе-риментальних значень вихiдних змшних у1 (струм в ланцюзi), у2 (напруга на лампi) i повноi провiдностi лампи

To(PoRF + и2)

Эхч

LPF

Матриця Якобi ЭЬ/Эх eRmxn похiдних правих ча-стин системи рiвнянь виходу по змшним стану визна-чаеться ствввдношеннями:

дЬ1 = 0; дЬ. = 0; = 1;

Эх1

Эх,

Эхч

О = хх,

л 12

оскiльки вказанi величини мають очевидний фiзич-ний сенс i легко пiддаються експертнiй оцiнцi.

Модель чутливостi складаеться з матриць Якоб^ похiдних правих частин системи рiвнянь стану по параметрах (коефвдентах) та по змiнним (вихщним величинам) математичноi моделi комплекту «РЛВТ - ПРА».

Матриця Якобi Э£/Э8 е Rnxp похiдних правих частин системи рiвнянь стану по параметрах визначаеть-ся ствввдношеннями:

= -£СЮ; = 0, j = 2,4; = АЮ;

эе1 11 эej 3 эе5 '

^=-(е2

эе1 v 2

-езВе

)С;

(11)

^ = Е; ^ = Ве'Е; ^ = езВе'ЕЬВ;

эе

эе,

эе„

= 0; = 0, j = 13.

эе эе,

(12)

ЭЬ

ЭЬ,

ЭЬ,

(10) ^ = -^; = -^; = _

Эх1

Эх,

Эхч

1

(20)

Оскiльки вектор правих частин Ь системи рiвнянь виходу не залежить ввд параметрiв, то матриця Якобi ЭЬ/ ЭeеRmxp похщних правих частин системи рiвнянь виходу по параметрах - нульова:

эь/ эе=0.

(21)

Нехай Хе = Эх/ЭeеRnxp - матриця чутливост змш-них стану, а Уе = Эу/ЭeеRmxp - матриця чутливостi вихщних змiнних.

Модель чутливостi (у формi завдання Кошi) у про-сторi станiв (у векторно-матричнiй формi запису): а) Модель стану

~ ° эе,

dt Эх

£ = ^ е).

(22)

Матриця Якобi дf|Эх еRnxn похiдних правих частин системи рiвнянь стану по змшним стану визначаеться стввщношеннями:

Э^ е1АВх2 - 2Dx1F

— = е с-о-;

Эх1 5 FD2

(13)

б) Початковi умови (якi залежать вщ вектора пара-метрiв е )

Хе(0)=эх„/эе, х(0)=х,(е);

в) Модель виходу

(23)

=е е1АВх1х3-2Dx3F Эх2 = 5 хи3Е2^32

= е х 2DFG-е1Ах2 ;

эх, = 5хз х^роо2 ;

^= -£1 Ге3е4ве'Е+(е2 + е3в

Эх1 F

4) е1в];

Эх2 F

!т=[езе4ве4 -1е+(е2+езВе* )е1 ];

(14)

(15)

(16)

[е3е4ве* х1Е+(е2+е3ве*) (е1х1в+F)]; (17)

Уе = д"Ь Хе,

е Эх е

У = Ь(х).

(24)

Модуль j-го стовпця матрицi чутливостi Уе вщо-бражае ступшь впливу варiацiй j-го параметру ej на вихiднi змiннi модель

5. 2. Формування набору початкових значень величин для розрахунку моделi чутливост

При дослщженш чутливост i проведеннi пара-метричноi щентифжацп на сталих режимах, при постшнш або синусоiдальнiй напрузi зовнiшнього живлення, початковi умови розраховуються, виходя-чи з експериментальних значень вихщних змшних

(18) Уеуст = (Уе1уст Уе2уст )Т при вiДПOвiДHOMУ Pежимi в деякий

фiксований момент часу. Ввдповщш розрахунковi фор-

1

2

мули витжають з початково! диференцiальноi моделi порядку !х нумерацii. Модель чутливосп у векторнiй

та мають вигляд:

У,

е1уст

У

е1уст

Уе2уст Х2уст Уе2уст [1 +01(|Уе2уст1 -1)] Х02 = Х2уст = 1 +®1(| уе2уст| -1) > Х03 = Х3уст = Уе1уст .

-; (25)

(26)

Тут х1уст , х2уст , х3уст - вщповщш значення змiнних стану.

Матриця Якобi Эх0/Э8еЯ"хр похiдних початкових умов по параметрах визначаеться спiввiдношеннями:

Эх,

_01.

эе1

Уе1уст (1 Уе2уст I 1) Уе2уст [1 +е1(|Уе2уст| -1)] '

ЭХ -

= о, j = 2,5;

эе,

(27)

формi мае вигляд: а) Модель стану

dvecXе ( Э f ^ у Э f -е = 1 1р ®— vecXе+ vec—,

dt I р Эх) е Эе

I='<Х,',е).

б) Початковi умови Э Х

vecXе (0) = vec—0,

' эе

х(0)= Х0(е).

в) Модель виходу

vecY =1 1р ® — | vecXе. р Эх i

(32)

(33)

Эх02 = |У 2 |-1; Эх2 = 0, j = 2,5;

эе1 '•Уе2уст1 эе, -1

ЭХ —

ЭХз = 0, , = 1,5.

эе

(28)

Отримаш на етапi досмдження сталих режимiв оцiнки параметрiв е,, , = 1,р приймаються як почат-ковi на етапi дослiдження всього комплексу нестащо-нарних режимiв.

5. 3. Початковi умови щентифжацп параметрiв моделi

Початковi умови параметрично! щентифжацп ви-значаються, спираючись на експериментальш ощн-ки безрозмiрноi провiдностi Gе0 "холодно!" лампи i теоретичнi розрахунки безрозмiрного коефiцiента пропорцiйностi р = х2 при нульовш напрузi на лампi. Початковий струм при включенш "холодно!" лампи приймаеться нульовим. Вщповщш розрахунковi фор-мули витiкають з початково! диференщально! моделi i мають вигляд:

Х01 = Geо/(1 -е1); Х02 = 1 -е1; Х03 = 0.

(29)

Матриця Якобi Эх0/ЭееЯ"хр похiдних початкових умов по параметрах визначаеться стввщношеннями:

=GJ(1 -е1)2; ЭХ01 = 0, , = 2,5; эе1 ^ 1 эеj -1

= -1. ^ = 0, , = 2,5; ^ = 0, , = 1,5. эе1 эе, эе,

(30)

(31)

Тут ® - знак прямого (кронекерiвського) множен-ня, 1р - одинична матриця розмiру р х р.

Векторне представлення моделi чутливостi дозво-ляе безпосередньо застосувати стандартш математич-т пакети вирiшення систем ОДУ

5. 4. Основш етапи проведення параметрично! щентифжацп

Обчислення значень квадратичного функщоналу якостi моделювання i вектора коефвденпв чутливо-стi - градiента функщоналу якость Критерiем якостi моделi, яка тдлягае мiнiмiзацii, служить зважений функщонал квадратiв вiдхилень (нев'язок) модельних значень У вихщних змiнних вiд !х експериментальних значень у.:

^е) =Г1(У - у.)т Л (У - У.^, (34)

де ['0 ;'к] - вiдрiзок часу спостереження;

Л = diag(X1, Х2,..., Хт)

- дагональна матриця ваги спостережень > 0, i = 1,т . Прийнято X! = 1, i = 1,т.

Ступiнь близькостi оцiнок параметрiв моделi е = (е1 е2 ... ер)т до !х дiйсних оптимальних значень визначаеться величиною градiента VS(е) квадратичного функцiонала S(е) - вектору коефiцiентiв чутливостi розмiру р х 1:

vs(е)=2 |(Эу/ эе)т л (у - УеМ'.

(35)

Для представлення моделi чутливостi у векторнiй формi проводиться векторизащя матрицi чутливо-стi Хе, Уе та матрицi Якобi Э^Эе. При цьому кожна матриця М замiнюеться блоковим вектором vec М, компонентами якого служать стовпщ матрицi М в

Враховуючи, що коефiцiенти е2 и е3, що визна-чають абсолютну величину право! частини другого рiвняння диференщально! системи простору станiв, на два-три порядки б^ьше останнiх, адекватнiшою мiрою близькостi служитиме вектор Я (е) вiдповiдних вiдносних величин:

Ri(0) = VSi(0)/|ei|, i = 1,m,

(36)

де II¡(е) - вщносний коефiцiент чутливостi для параметра е!, який характеризуе напрям i ступiнь вщхи-лення параметра е! вiд його дiйсного оптимального значення.

Вщповщно сумарним критерiем близькостi оцiнок параметрiв моделi е = (е1 е2 ... е[))Т до '¿х дiйсних опти-мальних значень е модуль вектора I¡(е):

(e)| = П=1 RR 2(e)/ e?.

(37)

Параметрична iдентифiкацiя за методом наймен-ших квадратiв

Критерiем якостi моделi служить зважений ква-дратичний функцiонал S(e). Проте диференщаль-на система простору сташв е сингулярно-збуреною, оскiльки значення похщно' dx2/dt у другому рiв-няннi, що враховуе iнерцiйнiсть змши електронноi температури, iстотно перевершують значення dx1/dt и dx3/dt. Це обумовлено тим, що коефвденти е2 и ез, що визначають абсолютну величину правоi частини другого рiвняння, на два-три порядки б^ьше останнiх. Тому при пошуку оптимальних значень параметрiв е = (е1 е2 ... е1))Т необхiдно проводити регуляризацiю за Тихоновим функцiоналу S( ), що враховуе рiзномасш-табшсть коефiцiентiв е = (е1 е2 ... е[))Т. Регуляризова-ний функцiонал, що мiнiмiзуеться, мае вигляд:

^(е)= Гк(у Уе)Тл(у Уе)dt+£г(е-ее)TWe(е-ее), (38) -1 '0

де £г - параметр регуляризацii;

^ = diag(wel,we2,...,wep)

- дiагональна матриця ваг параметрiв wei > 0, 1 = 1^. Прийнято

Вказанi обмеження параметрiв e1, e4, e5 та режи-мнi змiннi x1, x2 дозволяють звузити зону пошуку в процедурах параметричноi iдентифiкацii.

Градiент VSr(e) регуляризованого функцiоналу Sr(e) визначаеться стввщношенням:

vsr(e)=vs(e)+2erwe (e-ee).

(40)

Для вирiшення завдання параметричноi щенти-фiкацii використовуються iтерацiйнi методи, де на кожнш iтерацii проводиться мiнiмiзацiя локальноi квадратичноi апроксимацii Sl(e) регуляризованого функцюналу Sr(e):

minS (e) = min e H e.

(41)

Тут Н - симетрична позитивно визначена матриця Гессе других похщних функцiонала Sr(e) по параметрах розмiру p x p. е - вектор початкових ощнок параметрiв моделi.

Для вирiшення вказаного завдання лояльно' оптимiзацii застосовуються наступш два iтерацiйнi квазiньютонiвськi методи iз загальною розрахунко-вою схемою кроку мiнiмiзацii:

ek+1 = ek -PkH-1vsk,

(42)

де k - номер ггерацп; ek - оцiнка вектора параме-трiв; pk - довжина кроку (визначаеться допомiжною процедурою одновимiрноi оптимiзацii на основi па-раболiчноi iнтерполяцii); Hk - оцiнка матрицi Гессе; VSk - оцiнка градiента функцiонала Sr(e).

а) В пакетi MATLAB реалiзована модифiкацiя методу зв'язаних градiентiв - PCG (Preconditioned Conjugate Gradients). Ощнки зворотноi матрицi перера-ховуються по формула

Hk+1 = Hk1 -a^VS^1,

(43)

wei =W|e0

!, i = 1,p; er = o,oo1S(e0).

(39)

Тут е0 = (е01 е02 ... e0p)T - вектор початкових оцiнок параметрiв моделi; ю1, 1 = 1,p - позитивнi постшт ко-ефiцiенти, призначенi для завдання вщносному ступе-ню «прив'язки» шуканих значень параметрiв моделi до '¿х початкових оцiнок. Велике значення ю! стабiлiзуе вiдповiдний параметр е!, що дозволяе оргашзувати пошук локального оптимуму поблизу спочатку вибра-ного (з урахуванням фiзичних передумов) значення параметру е!0.

Слiд зазначити, що з фiзичних мiркувань х1 > 0 и х2 > 0, тому параметр е1 задовольняе умовi 0 <е1 <1. Параметр е5 виражаеться через експериментально визначувану для даного типу лампи усереднену величину Ал, дiйсне значення яко' для конкретного екземпляра лампи схильне до статистичного розкиду та дещо зб^ьшуеться в процесi и старшня. Тому параметр е5 задовольняе нерiвностi 0,5е50 <е5 <1,5е50.

Перший ствмножник е2 +ез(^х3 + 8/(х1х2 + £)) у

другому рiвняннi диференцiальноi системи вщповщае добре вiдомому у фiзицi електричних процеив емпi-ричному закону «ступеню три других», тому показник ступеню е4 задовольняе умовi 1 <е4 <2.

де ak = (VSTH-1VSk) , gk = VSk -VSk-1, H-1 = Ip.

б) В пакетi Matlab реалiзований квазшьютошв-ський метод BFGS (по прiзвищаx його авторiв: Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno). Оцiнки матриц Гессе Hk перераховуються по формула

Hk+1 = Hk + bkgkgT -YkHkqkqTHk, (44)

gk = VSk - VSk-1; qk = ek -ek-1; bk = (gTqk)-1; Yk = (qTHkqk)-1; Ho = ip.

де

Умови зупинки розрахунку щентифжацп значень коефiцieнтiв

Призначенi для виключення можливост безкшеч-ностi часу розрахунку та досягнення необхвдно' точ-ностi при вiдносно низькiй тривалост розрахунку.

Процес розрахунку зупиняеться при виконанш хоча б однiеi з наступних умов:

1) виконання максимально допустимого числа ие-рацш ктах ;

2) досягнення задано! точносп по функцюналу: $г(9к)<ef, де ef >0 - заданий рiвень точность,

3) досягнення задано! точностi по градieнту: | VSk | < ^ , де еg > 0 - заданий рiвень точностi.

Сформовано наступну методику (послщовшсть) визначення параметрiв моделi:

1) визначення початкових умов за даними експе-рименпв для розрахунку моделi лампи та моделi чут-ливостi, формування масивiв характерних величин лампи, що далi порiвнюються з розрахованими;

2) розрахунок моделi лампи (8) та чутливосп моде-лi (11)-(20);

3) розрахунок стартового значення мiнiмiзуeмого функцюналу (34);

4) визначення вщносного коефвденту чутливоси по параметрам, який характеризуе напрям i ступiнь вiдхилення кожного параметра вщ його дiйсного оптимального значення (36);

5) визначення нового (пробного) набору значень параметрiв модели

6) розрахунок математично! моделi та моделi чут-ливостi з новими значеннями параметрiв;

7) розрахунок функцюналу суми вщхилень (38);

8) ощнка якостi опису моделлю лампи з новими параметрами;

9) якщо необхщно - визначення нового набору значень параметрiв моделi та запуск розрахунку модел1 (зациклення на етапах 2-8), поки не будуть досягнуп умови зупинки.

5. 5. Реалiзацiя методики та пробний обчислю-вальний експеримент

Методика iдентифiкацi! параметрiв моделi роз-рядно! лампи високого тиску реалiзована в пакет математичних розрахунюв та моделювання MATLAB. З використанням мови програмування МА^АВ створено серт пiдпрограм:

1) програму формування даних для розрахунку;

2) програму формування початкових даних для розрахунку математично! моделi з масиву експеримен-тальних даних;

3) програму формування початкових даних для розрахунку моделi чутливостi;

4)програму розрахунку математично! моделi та моделi чутливосп;

5) програму параметрично! iдентифiкацi!.

Над уйма тдпрограмами е головна - «сцена-рiй» - «Сценарiй параметрично! щентифжацп параме-трiв модель».

Попередньо проведене порiвняння ефективност математично! модел^ при розрахунку моделi лампи ДРЛ-250 з початковим набором значень параметрiв моделi ( 91=0,6, е2=300, е3=600, е4=1,5, е5=45), показало, що похибка опису моделлю падшня напруги на ламт ДРЛ-250 складае 4.7 %.

Значення похибки нижче за 5 % достатньо для технiчних розрахунюв, але для проведення наукових дослщжень слiд мати кращий математичний опис до-слiджуваного об'екту.

Проведений розрахунок програми щентифжа-цi! параметрiв моделi привiв до наступного набору параметрiв моделi: е1 =0,154, е2 =212.56, е3 =613.38, е4=6,32, е5 =41.16 (рис. 1). При цьому похибка опису

моделлю лампи ДРЛ склала 3.6 %, що на 23 % нижче за попередню ощнку (якщо 4.7 вщсотки прийняти за 1).

200 -

150

100 --

50 -

11 т в

1 1 1, с 1

1 1 0,01 1 * 1 0,02

—

-50 -

-100 -

-150

-200

Рис. 1. Порiвняння падшь напруги на ламп ДРЛ-250 и^) тсля уточнення значень параметрiв моделi: червоним кольором — за фiзичним експериментом; сишм — розраховане за моделлю.

В результат порiвняння розрахованих похибок 4.7 % та 3.6 % можна сказати що досягнуте 23 % знижен-ня похибки опису моделлю лампи типу ДРЛ (вщносно пробного розрахунку) обнадшливе. Сподiваемось в подальшому досягти б^ьш значущого покращення якостi опису моделлю об'екту.

6. Обговорення створено! методики визначення параметрiв моделi та передумов подальших дослщжень

При створеннi методики iдентифiкацi! (визначення) параметрiв моделi використовувалась теорiя щен-тифiкацi! керованих систем [12, 14], та розроблена рашше математична модель [4]. Прикладення даних пiдходiв до конкретно! моделi та направлешсть на подальший розвиток отриманих моделей показуе щ-леспрямованiсть та наукову впевнешсть дослiдника.

Вiдкрите освiтлення проведених дослщжень (роз-роблено! методики) сприяе поширенню iнформацi!, знань, та дае можлившть перевiрки зроблених виснов-юв та припущень.

Використання сучасних комп'ютерних програм ма-тематичного розрахунку та моделювання надае широкий спектр можливостей по дослщженню моделей, вибiр методiв вирiшення систем рiвнянь та функцш пошуку мiнiмуму.

Приведенi математичнi викладки та розроблена методика щентифжацп стали передумовами створен-ня комп'ютерно! програми визначення параметрiв мо-делi. В подальших публжащях плануеться привести етапи створення програми, алгоритм роботи та де-тальний аналiз отриманих даних, з ощнкою ступеню вiдповiдностi знайдених коефiцiентiв необхщному рiвню якостi опису об'екту. В першу чергу в подаль-

шому ставимо собi завдання вирiшення двох завдань: уточнення вщомих параметрiв модел^ для кращого (з меншою похибкою) опису нею РЛВТ-ку типу ДРЛ; та визначення набору параметрiв для опису РЛВТ-ку типу ДНаТ. Не виключаемо виникнення необхщност в подальшому покращеннi моделi та (або) методики щентифжацп параметрiв моделi й програми вдентифь кацii параметрiв моделi.

Приведена в стати методика реалiзована в пакет комп'ютерних математичних розрахунюв та моделю-вання MSTLАB. Реалiзацiя розрахунку з використан-ням пакету математичних розрахунюв та моделювання MATLAB надае широкий спектр функцш та можливо-стей для розробки та аналiзу математичних моделей.

Для пiдтвердження приведених викладок проведено пробний обчислювальний експеримент, що показав що методика працюе, досягнуто 23 % зниження похиб-ки опису моделлю РЛВТ типу ДРЛ, ввдносно ощнки опису моделлю з початковими значеннями параметрiв.

При аналiзi даних математичного моделювання та параметрично' щентифжацп виникло питання сто-совно обгрунтування фiзичного сенсу коефвденпв моделi, так як припущення стосовно незначно' змiни параметрiв не виправдалось стосовно е1 та е4 яю про-грама параметрично' iдентифiкацii пропонуе змшити не на декiлька вщсотюв, а в рази.

Освiтлення етатв створення вiдповiдноi програми розрахунку, подальшого покращення моделi, методики параметрично' iдентифiкацii плануеться проводи-ти в подальших публiкацiях.

7. Висновки

Актуальшсть задач iдентифiкацiï коефiцieнтiв мо-делi обумовлюеться необхiднiстю якомога найточ-

шшого опису моделлю дослiджуваного об'екту, що дозволить проводити дослщження з високою якiстю, якiсть моделi також впливае на яюсть роботи керую-чих приладiв, робота яких базуеться на розрахунку моделi керованого об'екту, та в кшцевому випадку на яюсть роботи об'екту керування.

Проведений аналiз лiтератури показав, що кну-ють рiзнi пiдходи до моделювання РЛ. Перспектив-ним вважаемо використання модел^ що базуються на представленнi РЛ як нелшшного навантаження, що характеризуеться складною ВАХ. Така модель загалом охоплюе весь спектр процеив що проходять в ламт не вдаючись в опис подробиць горiння дуги мiж електро-дами.

Створена модель чутливост виходу математичноï моделi РЛВТ до змши значень параметрiв, що побудо-вана шляхом диференцiювання моделi лампи по параметрах використовуеться при розрахунку мжмуму розходження.

Створено функщонал розходження модельних та експериментальних даних, який доповнено вщносним коефвдентом чутливостi та градiентом функцiоналу.

На базi розроблених виразiв сформульовано методику визначення параметрiв моделi, основою якоï е ггерацшний пiдбiр функцiею мiнiмiзацiï таких значень параметрiв моделi, що ввдповвдають поставленим вимогам.

Приведенi формули легко реалiзувати в програмах комп'ютерного математичного розрахунку, для виклю-чення зациклення програми сформульовано умови зупинки розрахунку. Приведена в стати методика реалiзована в пакетi MATLAB.

Пробний експеримент показав що приведена методика дiева: якiсть опису моделлю за новими коеф^ентами краще вiд попередньоï ощнки майже на 23 %.

Лиература

1. Yan, W. A universal PSpice model for HID lamps [Text] / W. Yan, S. Y. R. Hui // Industry Applications, IEEE Transactions on. -2005. - Vol. 41, Issue 6. - P. 1594-1602. doi: 10.1109/tia.2005.857458

2. Botticher, R. Numerical modelling of a dynamic mode change of arc attachment to cathodes of high-intensity discharge lamps [Text] / R. Botticher, W. Botticher // Journal of Physics D: Applied Physics. - 2001. - Vol. 34, Issue 7, - P. 1110-1115. doi: 10.1088/0022-3727/34/7/313

3. Anton, J. C. An Equivalent Conductate Model for High Intensity Discharge Lamps [Text] / J. C. Anton, C. Blanco, F. Ferrero, P. Roldan, G. Zissis // Industry Applications Conference, 2002. 37th IAS Annual Meeting. Conference Record. - 2002. - Vol. 2, Issue 3. - P. 1494-1498. doi: 10.1109/ias.2002.1042753

4. Харченко, В. Ф. Модификация модели комплекта «ДРЛ-ПРА» для пусковых режимов [Текст] / В. Ф. Харченко, А. А. Якунин // Проблеми перспективи та нормативно правове забезпечення енерго-, ресурсозбереження в житлово-комунальному господарствг Матер1али V м1жнародно1' науково-практично!' конф. - Алушта: ХО НТТ КГ та ПО, ХНУМГ ¡м. О. М. Бекетова, 2013. - C. 123-127.

5. Yan, W. Genetic algorithm optimised high-intensity-discharge lamp model [Text] / W. Yan, S. Y. R. Hui, H. Chung, X. H. Cao // Electronics Letters. - 2002. - Vol. 38, Issue 3. - P. 110-112. doi: 10.1049/el:20020080

6. Lin, D. Methodology for developing a low-pressure discharge lamp model with electron density variation and ambipolar diffusion [Text] / D. Lin, W. Yan, G.Zissi, S. Y. R. Hui, // IET Science, Measurement & Technology. - 2012. - Vol. 6, Issue 4. - P. 229-237. doi: 10.1049/iet-smt.2011.0146

7. Tlili, M. Conductivity Polynomial Model Parameters identification based on Particle Swarm Optimization [Text] / M. Tlili // Journal of Control Engineering and Applied Informatics. - 2013. - Vol. 15, Issue 4. - P. 58-65.

8. Бабенко, В. О. Задача щентифжацй параметр!в модел! управляння шновацшними процесами переробних пщприемств АПК [Текст] / В. О. Бабенко // Модел! менеджменту та маркетингу. - 2013 - № 1(79) - С. 43-50.

9. Авдеенко, Т. В Проблемы параметрической идентификации в математическом моделировании процессов [Текст] / Т. В Ав-деенко // Образовательные ресурсы и технологии. - 2014. - № 1(4). - С. 115-124.

10. Володарский, Е. Т. Планирование и организация измерительного эксперимента [Текст] / Е. Т. Володарский, Б. Н. Малиновский, Ю. М. Туз. - К.: Вища шк. Головное изд-во, 1987. - 280 с.

11. Харченко, В. Ф. Розробка експериментального стенду та планування дослщжень осв^лювального комплекту [Текст] / В. Ф. Харченко, О. А. Якунин, В. Г. Воропай // Комунальне господарство мют: науково-техшчний збiрник. - 2014. -№ 116. - С. 81-88

12. Якушн, О. А. Сучасш осцилографи: особливост роботи, переваги та недолжи [Текст] / О. А. Якушн // Комунальне господарство мют: науково-техшчний збiрник. - 2014. - № 118. - С. 183-186.

13. Мелса, Дж. Л. Идентификация систем управления [Текст] / Дж. Л. Мелса, Э. П. Сейдж. - М.: Наука, 1974. - 248 с.

14. Штейнберг, Ш. Е. Идентификация в системах управления [Текст] / Ш. Е. Штейнберг. - М.: Энергоатомиздат, 1987. - 80 с.

-□ □-

У данш статтi розроблено математичну модель систе-ми управлтня мобЫьним роботом на основi нечтких алго-ритмiв. Математичну модель створено з використан-ням математичного апарату алгебри предикатiв у виглядi системи алгебропредикатних рiвнянь. На основi отрима-них рiвнянь було створено АП-структури, ят, у свою чергу, реалiзовано у виглядi асоцiативно-логiчних nеретворювачiв. Побудовано АП-структури розniзнавачiв нечтких тдмно-вхГдних i вихГдних лтгвктичних змтних

Ключовi слова: нечтк алгоритми, алгебра предикатiв, алгебропредшатш структури, асоцiативно-логiчнi пере-творювачi

□-□

В данной статье разработана математическая модель системы управления мобильным роботом на основе нечетких алгоритмов. Математическая модель создана с использованием математического аппарата алгебры предикатов в виде системы алгебропредикатных уравнений. На основе полученных уравнений были созданы АП-структуры, которые, в свою очередь, реализованы в виде ассоциативно-логических преобразователей. Построены АП-структуры распознавателей нечетких подмножеств входных и выходных лингвистических переменных

Ключевые слова: нечеткие алгоритмы, алгебра предикатов, алгебропредикатные структуры, ассоциативно-логические преобразователи -□ □-

УДК 004.825

|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.4453в|

РАЗРАБОТКА НЕЧЕТКОЙ ЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ МОБИЛЬНЫМ РОБОТОМ

В. И. Булкин

Кандидат технических наук, доцент Кафедра общеэкономических дисциплин и информационных технологий Макеевский экономико-гуманитарный институт ул. Островского, 16, г. Макеевка, Украина, 86157 E-mail: bulkin01@mail.ru

1. Введение

При решении задач искусственного интеллекта возникают проблемы, связанные с технологией обработки данных традиционными универсальными компьютерами фон Неймановского типа. На современном этапе развития вычислительной техники наблюдается трудности, связанные со спецификой архитектуры и принципов действия неймановских компьютеров с использованием последовательных алгоритмов работы и исключительно двоичного кодирования данных. Эти проблемы требуют разработки новых принципов организации архитектуры вычислительных систем, в том числе и систем искусственного интеллекта (ИИ). Ведь согласно одному из основных законов кибернетики, закону необходимого разнообразия (сложности) для нормальной работы управляемой системы, при которой обеспечивается полное использование ее потенциала, необходимо, чтобы сложность (другой синоним термина «разнообразие») управления соответствовала слож-

ности системы. [1]. Исходя из выше сказанного, можно утверждать, что двузначная элементная и структурная база не отвечает по сложности задачам ИИ и должна быть дополнена универсальной к-значной элементной и структурной базой, которая по своей сложности (разнообразию) стоит значительно выше [2].

Системы искусственного интеллекта (СИИ) условно можно разделить на два вида: реальные СИИ и виртуальные СИИ. Полагают, что реальные СИИ имеют материальный носитель интеллекта, а виртуальные СИИ материального носителя интеллекта в своем составе не имеют. Реальные СИИ делят на биологические интеллектуальные системы (человек и высшие животные) и интеллектуальные системы на основе сетевых структур, в частности - искусственных нейронных сетей (ИНС). К виртуальным СИИ относятся интеллектуальные системы, построенные на основе компьютеров фон Неймана. Для создания СИИ используют три метода: алгоритмический, структурно-функциональный и функцио-