CC BY
29
-□ □-
В роботi представлено пiдхiд до и)ен-тифжащг параметрiв математичног моделi руху судна i збурень при руЫ в умовах переходу. Для визначення параметрiв моделi i статичного збурюючого моменту запропо-новано використати спектральний аналiз сигналу кутовог швидкостi. Запропонований пiдхiд дозволяв визначити параметри моделi судна i амплтуду статичного збурен-ня з точтстю, достатньою для синтезу и налаштування регулятора автостернового
Ключовi слова: iдентифiкацiя моделiруху судна, iдентифiкацiя параметрiв збурення, спектральний аналiз, обмеження при руЫ судна
□-□
В работе представлен подход к идентификации параметров математической модели движения судна и возмущений в условиях перехода. Для определения параметров модели и статического возмущающего момента предложено использовать спектральный анализ сигнала угловой скорости. Предложенный подход позволяет определить параметры модели судна и амплитуду статического возмущения с точностью, достаточной для синтеза и настройки регулятора авторулевого
Ключевые слова: идентификация модели движения судна, идентификация параметров возмущения, спектральный анализ,
ограничения при движении судна -□ □-
1. Вступ
Одним з методiв забезпечення оптимального керу-вання судном в процес руху е використання адаптивного автостернового [1]. Осюльки в процеа плавання судна умови його руху постшно змшюються, то ви-никае проблема переналаштування автостернового в залежносп вщ умов руху. Один з пiдходiв до переналаштування автостернового полягае у змж його параметрiв в залежносп вщ щентифжованих параме-трiв моделi судна та збурення. Таким чином, виникае проблема щентифжацп параметрiв моделi судна тд час руху.
Як правило, параметри математично! моделi судна визначають при ходi судна зигзагом великою амплитудою вщхилення вщ курсу. Такий тдхщ до щентифжа-цii параметрiв моделi судна, на жаль, придатний лише при його ходових випробуваннях або при рус у вщ-критому мор^ коли нема обмежень у виглядi фарватеру або коридору для руху суден. При плаванш в умовах переходу - в рамках визначених коридорiв мiжнарод-них трас та в обмежених нав^ацшними небезпеками фарватерах - такий тдхщ непридатний. Отже, iснуе необхiднiсть у пiдходi до iдентифiкацii параметрiв ма-
УДК 681.5.015.4 + 681.5.015.87
|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.42139|
1ДЕНТИФ1КАЦ1Я ПАРАМЕТР1В МАТЕМАТИЧНОТ МОДЕЛ1 СУДНА ДЛЯ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ АВТОМАТИЧНОГО КЕРУВАННЯ В УМОВАХ
ПЕРЕХОДУ
С. В. I в а н о в
Кандидат техшчних наук, завщувач науково-дослщного вщдту* E-mail: [email protected] П. Б. О л i й н и к Кандидат техшчних наук, науковий ствроб^ник*
E-mail: [email protected] В. М. Теут* E-mail: [email protected] *Науково-дослщний шститут телекомунiкацiй Нацiональний технiчний унiверситет УкраТни «КиТвський полiтехнiчний шститут» пр. Перемоги, 37, м. КиТв, УкраТна, 03056
тематично1 моделi судна, придатному до застосування в умовах переходу.
2. Аналiз лггературних даних i постановка проблеми
Бшьшшть iснуючих методiв щентифжацп параме-трiв моделi судна орiентованi на використання зигзагу або циркуляцп.
Наприклад, авторами [2] запропоновано розра-хунок параметрiв моделi за дiаграмою керованостi i результатами виконання зигзагу. А. 6. Пелевш в [3] для моделi Номото другого порядку отримав ствввд-ношення мiж параметрами моделi при застосуваннi активного управлшня. Визначення параметрiв моде-лi судна автор [3] пропонуе виконувати чисельними методами, шляхом мiнiмiзацii запропонованого ним критерт. Стльним недолiком цих робгт е те, що для визначення параметрiв моделi судна потрiбно засто-совувати рух зигзагом з амплгтудою вiдхилення вiд початого курсу мжмум ±5°, що недопустимо при руа в обмеженнях, накладених мiжнародним коридором.
Мануель Касадос i Рамон Ферейро в [4] пропону-ють тдхщ до визначення параметрiв моделi Номото з
©
нелшшним членом (модель Вагнера-Смиа) за результатами циркуляци, що встановилась. Процедура за-снована на зворотно-ступiнчастому алгоритмi щенти-фiкацii моделi та методовi пiдстроювання параметрiв моделi, i також е достатньо складною для використан-ня в умовах рейсу.
На основi аналiзу перехiдного процесу в систе-мi «автостерновий-судно» запропоновано проводити щентифжащю параметрiв моделi Номото в [5]. Недоль ками такого пщходу е те, що для щентифжаци потрiб-но по-перше, використати циркулящю судна, а по-дру-ге, точшсть визначення коефiцiенту пропорцiйностi складае б^ьше 10 %, що недостатньо для застосування при синтезi регулятора автостернового.
1дентифжащю моделi Номото в частотнш областi на основi аналiзу реакци судна на перемiщення стерна таким чином, що кут вщхилення серна змшюеться за законом синусоiди з лшшною розгорткою частоти (чiрп) запропоновано в [6]. Принциповим недолжом такого тдходу е неможлившть його практично реаль зацii внаслiдок ряду особливостей стернових машин (шерцшшсть, а також часто неможливкть керування кутом вщхиленя стерна в динамiцi - можна задати лише бажаний кут вщхилення).
Роботи шших авторiв (зокрема i рання робота авто-рiв даного дослщження [7]) також орiентованi в основному на використання зигзагу, i запропоноваш методи або дають низьку точнiсть визначення параметрiв, або достатньо складш для застосування в умовах рейсу i бiльше пщходять для використання в умовах ходових випробувань.
Спроби виршити задачу iдентифiкацii параметрiв моделi судна при русi в умовах переходу були i рашше, зокрема А. К. Шейхот в [8] запропонував методику щентифжаци параметрiв моделi Номото другого порядку за допомогою методу швидкiсного градiенту. Недолiком цього методу е те, що з хоча його допомогою i можлива щентифжащя пiд час руху (в т. ч. без активного керування), при значному рiвнi збурень метод стае непрацездатним.
Габрiель Ел^м застосував до iдентифiкацii моделi руху катамарану Atlantis метод щентифжаци дина-мiчноi моделi в просторi сташв за допомогою калма-нiвського спостертча (Observer Kalman IDentification method, OKID) [9]. Цей метод спираеться лише на вхщш i вихiднi даш та дозволяе отримати псевдокал-машвський оцiнювач, що iдентифiкуе рiвняння стану. На основi iдентифiкованих даних було створено лшш-но-квадратичний гаусiвський регулятор, який про-демонстрував хорошу точшсть витримування шляху (вщхилення не б^ьше 1 метра). Недолiком цього тдходу е висока обчислювальна потужшсть, необхiдна для iдентифiкацii моделi, а також вщносно високий порядок моделi (четвертий i вище), що створюе певнi труднощi при практичнiй реалiзацii.
Таким чином, пiдходу до щентифжаци параметрiв математичноi моделi судна, придатному до застосування в умовах переходу, наразi немае.
3. Мета i задачi дослщження
рення, що дie на нього, в умовах обмежень, накладених на рух судна при переходь
Для досягнення поставлено! мети були поставлен таю завдання:
- розробити пщхщ до щентифжаци моделi судна, що враховуе накладен на рух обмеження;
- провести моделювання та виробити практичнi рекомендаци по застосуванню пiдходу;
- провести випробування запропонованого тдходу на практищ.
4. Опис запропонованого тдходу до щентифжаци моделi судна
Проведення щентифжаци параметрiв моделi судна можна забезпечити при стащонарних чи хоча б квазштащонарних 1х значеннях протягом перюду iдентифiкацii (фактично, протягом часу проведення вимiрювань вхiдних та вихщних величин системи «ав-тостерновий-судно»).
Як зазначено в [10], при регулярному хвилюванш моря збурення, що дie на судно, носить гармошчний характер. Тому судно в процеа руху внаслiдок дГ! збурення (в першу чергу - збурювального моменту) буде риска-ти за курсом, i шлях його буде зигзагоподiбним. Таким чином, рiвняння руху судна при ди постшно! складово! збурення та регулярного хвилювання мають вид:
¥ = ю,
ю = -цю + |mk8c + md + mds sin(wt)
8 = -ug8 +mgu,
(1)
де у - курс судна зi знаком «-», ю - кутова швидюсть рискання, 8с - кут перекладки стерна, ц = 1/Т- величина, обернена сталш часу судна, к - коефвдент передачi, ц - величина обернена сталш часу привода, и - задавальна дiя, та - стала частина приведе-ного збурювального моменту, тА - уявна амплггуда приведеного збурювального моменту за рахунок регулярного хвилювання, w - уявна частота регулярного хвилювання.
Спочатку розглянемо спрощений випадок щентифжаци при збуренш: стала частина приведеного збурювального моменту та вщсутня, i рух судна пщ дieю збурення вiдбуваeться в межах заданого коридору змши курсу, внаслщок чого керуюча дiя вiдсутня, тобто 5с = 0. Визначивши частоту w за допомогою застосування до сигналу прокомпаса перетворення Фур'е та вимiрявши кут ¥ i кутову швидкiсть ю в моменти часу ^ та ^ , що вiдрiзняються на величину 3Р
At = t2 - ^ =- (тобто зсув фази хвилювання в щ мо-
2w
менти часу дорiвнюe 3я / 2 ), i пiдставивши вiдповiднi даш в (1), отримаемо систему рiвнянь, розв'язавши яку легко можна отримати формули для тА та ц :
т = (Ю1+ Ю2 )(^2(2¥о -¥1 -¥2 )(¥ -¥2) + ю2 -ю2) ^ 2w(¥1 -¥2)2
Метою даноi роботи е розробка пщходу до щенти-фiкацii параметрiв математичноi моделi судна та збу-
m=
-^2
(2)
де , ю1, ю2 - курс судна зi знаком «-» i кутова
швидKiсть судна в моменти часу ^ i ^ вiдповiдно.
Таким чином, можна визначити амплгтуду гармо-нiчного збурювального моменту i сталу часу. Оскiльки активне управлшня судном у вказаному випадку вщ-сутне, то визначити коефщент передачi к неможли-во - у системi рiвнянь (1) при 5с = 0 коефiцiент переда-чi к вiдсутнiй. Для щентифжацп коефiцiента передачi судна слiд застосувати активне управлшня рухом.
Внаслщок дп збурень, зокрема через наявнiсть квазштащонарного збурювального моменту та, судно майже завжди буде виходити за межi встановленого коридору, а тому розглянутий випадок на практищ зустрiчаеться рiдко.
Розглянемо повну систему рiвнянь (1) за вщсутно-стi керуючо! дii (и = 0), причому будемо розглядати рух судна, що встановився. Початковi умови руху судна: ^(0) = ^0, ю(0) = 0, 8(0) = 0.
Для того, щоб визначити коефвдент передачi к, можна скористатись перетворенням Фур'е, дискре-тизувавши сигнал i проаналiзувавши сталу складову спектра. Стала складова спектра сигналу при вщсут-
т,
носи керування дорiвнюе ю10 =—- , а сигналу при по-дачi ир на вхщ стерна - ю20 = кир +т- . Тому, знаючи
параметри моделi (1), необхiднi для синтезу регулятора автостернового - k, T i md. На вщмшу вщ вщомих пiдходiв до щентифжацп (див., наприклад [11]), запро-понований тдхщ не вимагае застосування вхiдноï дiï типу бiлого шуму та визначення амплиудно-частот-ноï характеристики (АЧХ) судна, що зменшуе об'ем необхщних обчислень. Слiд також вiдзначити, що осюльки в формули (3), (4) та (6) не входять параметри збурення, цей тдхщ можна застосовувати i при нерегулярному хвилюванш моря, тобто в умовах, коли у спектрi збурення немае чiткоï домiнуючоï гармошки, i хвилювання слщ розглядати як випадковий процес з вщповщними характеристиками, що неможливо при застосуванш iнших пiдходiв.
Певним ускладненням при застосуванш запропо-нованого пщходу е те, що для щентифжацп потрiб-но забезпечити точне вимiрювання кутiв та кутових швидкостей. Крiм того, процедура iдентифiкацiï може в залежност вiд сталоï часу судна потребувати певного часу (це пов'язано з затуханням перехщного процесу в системi «автостерновий - судно» та тим, що для отримання результату слщ проводити вимiрювання протягом мжмум одного перюду задавальноï дiï), а також потребуватиме застосування бшьш потужного контролера, здатного виконувати швидке перетворен-ня Фур'е.
up, можна отримати, що
k = Ш20 -wio
(3)
Якщо вiдома стала часу судна T або ж величина m = 1/T , для визначення необхщного для розрахунку системи управлшня квазктащонарного збурювально-го моменту можна застосувати формулу
md = mw1o = Wo/T.
(4)
Для того, щоб визначити сталу часу судна, можна знов-таки скористатись активним управлшням рухом судна i спектральним аналiзом. При цьому, щоб виключити з аналiзу вплив динамжи приводу стерна (рульово! машини), доцiльно вимiрювати не задаваль-ну дж , а безпосередньо сигнал датчика кута перекладки стерна 8с.
Якщо змшювати 8с за гармошчним законом, тобто 8с = 8с1шз^т(^ + ф0), то амплiтуда коливань кутово! швидкостi ютах пiсля затухання перехщних процесiв буде виражатись формулою
кТ8____
Vt2q2+1
(5)
З (5) легко отримати формулу для визначення ста-лоï часу моделi судна:
t=а
QAI ш
k2s2
—1.
(6)
Таким чином, застосувавши запропонований пщ-хiд з активним управлшням за дп природних збурень, за допомогою спектрального аналiзу можна отримати
5. Моделювання пщходу до щентифшацц моделi судна
Для моделювання пщходу в [12] було запропонова-но методику випробувань, що реалiзуе запропонований пщхщ Запропонована методика мае вид:
1. Виставити стерно в дiаметральну площину i тс-ля затухання перехiдного процесу за кутовою швидкь стю вимiряти вибiрку з N значень кутово! швидкостi судна ю . Розрахувати амплиудний спектр, запам'ята-ти кутову частоту w , на якш амплiтуда збурення максимальна, i значення стало! складово! ю10 («нульова лiнiя» спектру).
2. Перекласти стерно задавальною дiею ир так, щоб судно поверталось на заданий курс, i тсля затухання перехiдного процесу за кутовою швидюстю вимiряти вибiрку з N значень кутово! швидкосп судна ю . Розрахувати амплгтудний спектр, запам'ятати значення стало! складово! ю20 («нульова лiнiя» спектру).
3. Подати на вхщ стерново! машини гармонiчну або iншу перюдичну дiю з заданим перiодом, не рiвним 1/w, i, коли в системi встановляться коливання (пройде час, рiвний часу затухання перехщного процесу за п. 1), вимiряти вибiрки з N значень кута вщхилення стерна 8с та кутово! швидкостi судна ю (наприклад, сигнал неузгодження слщкуючо! системи транслятора курсу прокомпаса). Розрахувати спектри та визначити на частот^ де амплиуда спектра управлiння максимальна, значення 8стах та ютах.
4. Розрахувати за формулами (3), (4) та (6) оцшки к, Т i гпа.
Для моделювання процесу щентифжацп було створено модель судна з автостерновим. Збурення на вхщ системи було подано у видi iмпульсу, штервал дискре-тизацп при вимiрюваннях складав At = 0,01с (частота дискретизацп 100 Гц). Максимальний рiвень збурювального моменту вщповщае вiдхиленню стерна на 2°.
u
p
На рис. 1, а, б наведено результати вдентифжацп стало! часу Т та квазктащонарного збурювального моменту та за рiзних значень амплiтуди задавально! дil ир у виглядi синусо!ди та прямокутних iмпульсiв перiодом 32 с. 1дентифжоване значення коефiцieнта передачi складае в обох випадках к = 0,0779 с-1, вщнос-на похибка £к =-2,65 %.
3.5 3 2.5
2 1.5
г 1
0.5 0
циклах, i завершеннi iтеративного процесу при досяг-неннi заданого значення рiзницi.
6. Випробування запропонованого пiдходу
Для перевiрки теоретичних положень статтi було проведено випробування автостернового, що реалiзуе запропонований пiдхiд, на суховантажному теплоходi змiшаного плавання проекту 1565 «Волго-Дон макс».
Випробування проходили в Чорному мор^ умо-ви плавання: судно навантажено, швидюсть ходу 6-9 вузлiв, бальнiсть моря - 3 бали. Як задавальну дш було вибрано iмпульс тривалiстю 20±0,1 секунд, ампль туда iмпульсу задавалась шляхом автоматично'! змши заданого курсу судна автостерновим з кроком 0,5°. Пе-рюд хитавицi при випробуваннях складав близько 10 с.
Результати щентифжацш параметрiв математич-но'1 моделi судна у рiзних умовах руху та ощнки мате-матичного сподiвання й дисперсп цих параметрiв при вимиканнi зони нечутливост автостернового наведено в табл. 1.
Оцiнку математичного сподiвання х параметра моделi х та п середньоквадратичного вiдхилення (с.к.в.) sx обчислено за формулами [13]:
-
х = -Хх. ,
(7)
Рис. 1. Похибка щентифкаци (за модулем): а — сталоТ
часу ет ; б — збурюючого моменту ета; — задавальна -В-
д|я — синусоща, ^^ — задавальна дт — прямокутш iмпульси
Як видно з рис. 1, а, б, точшсть щентифжацп при застосуваннi прямокутного iмпульсу i синусо'1ди вщ-рiзняеться незначно. Б^ьш того, достатня для практичного застосування тдходу точнiсть (< 5 %) до-сягаеться вже при задавальнш дii в 1°. Отже, при застосуванш запропонованого тдходу, на вщмшу вiд iдентифiкацii за методикою для ходових випробувань з використанням зигзагу, кут ввдхилення стерна мож-на брати малим (порядку градуса), i так само малим залишиться вщхилення судна вiд заданого курсу внас-лiдок керуючо'1 ди. Згiдно вимог 1МО таке вiдхилення судна пiд управлiнням автостернового не повинно перевищувати 1° при бальност моря до 3 балiв i не бiльше 3° - при бальносп до 6 балiв. Щоб забезпечити вiдхилення судна вiд заданого курсу в межах норми, прямокутш iмпульси задавально! дii слiд задавати симетричними не вщносно нуля, а вщносно значення и0, при якому стерно повшстю компенсуе дт збурювального моменту та . Значення и0 можна пiдiбрати експериментально або визначити з сигналу датчика кута перекладки до початку процесу щентифжацп.
При практичному застосуванш запропонованого тдходу можна запропонувати визначати досягнення задано! точноси вдентифжацп за допомогою ощнки рiзницi значень, iдентифiкованих у двох послвдовних
Sx = «'^
Х (х,- х)2
п -1
(8)
де п - юльюсть циклiв iдентифiкацii, х, - щентифь коване значення в ьму циклi.
Таблиця 1
Результати щентифкацп
Параметр Швндкють руху, вузл1в
6 8 9
Т, с Мат. спод1вання 24,647 19,731 17,778
с.к.в. 1,000 0,791 0,680
к, с-1 Мат. спод1вання 0,0130 0,0135 0,0140
с.к.в. х10-4 2,470 1.619 2,573
та х 10-6 с-2 Мат. спод1вання 10,107 10,124 10,114
с.к.в. 0,312 0,291 0,267
За результатами випробувань алгоритм щентифь кацп досягав задано! точносп в 5 % при =1,5°-4,0°, що е допустимим при ру« в рамках обмежень, накладе-них мiжнародним коридором. С.к.в. визначено! стало! часу складае не б^ьше 1 с, що е достатшм для синтезу регулятора автостернового за тдходом, запропонова-ним в [14, 15]. Таким чином, описаний в робот тдхвд до щентифжацп е придатним для застосування в ре-альних умовах.
2
3
4
5
и
Р
а
2
3
4
5
и
Р
7. Висновки
В робот запропоновано пщхщ до щентифжацп параметрiв моделi судна i збурень, заснований на застосуванш спектрального аналiзу. На вщмшу вщ шнуючих, запропонований пiдхiд дозволяе отримати параметри математично! моделi не проводячи обчис-лення повно! оцiнки передатно! функцп, причому за результатами випробувань за малих значень кута вщ-хилення стерна. Математичне моделювання пщходу
показало, що достатню для практичного застосування точшсть (<5 %) можна отримати навиь при малих кутах вщхилення стерна (порядку 1-3°) i вщхиленш вiд заданого курсу. Випробування запропонованого пщходу на судш довели його працездатшсть; точнiсть в досягнуто в 5 % при вщхиленш вщ заданого курсу 1,5°-4,0°.
Подальшi дослiдження будуть присвяченi вивчен-ню особливостей практичного застосування запропо-нованого пщходу до щентифжацп.
Лiтература
1. Roberts, G. N. Trends in marine control systems [Text] / G. N. Roberts // Annual Reviews in Control. - 2008. - Vol. 32, Issue 2. -P. 263-269. doi: 10.1016/j.arcontrol.2008.08.002
2. Юдин, Ю. И. Метод расчёта параметров математической модели судна [Текст] / Ю. И. Юдин, А. Н. Гололобов, А. Г. Степах-но // Вестник МГТУ. - 2009. - Т. 12, № 1. - С. 5-9.
3. Пелевин, А. Е. Идентификация параметров модели морского подвижного объекта при периодическом движении с активным управлением [Текст] / А. Е. Пелевин // Гироскопия и навигация. - 2008. - № 4 (63). - С. 29-44.
4. Aisjah, A. S. An Analysis Nomoto Gain and Norbin Parameter on Ship Turning Maneuver [Text] / A. S. Aisjah // IPTEK: The Journal for Technology and Science. - 2010. - Vol. 21, Issue 2. - P. 60-66. doi: 10.12962/j20882033.v21i2.31
5. Casado, M. H. Identification of the nonlinear ship model parameters based on the turning test trial and the backstepping procedure [Text] / M. H. Casado, R. Ferreiro // Ocean Engineering. - 2005. - Vol. 32, Issue 11-12. - P. 1350-1369. doi: 10.1016/ j.oceaneng.2004.11.003
6. Banazadeh, A. Frequency domain identification of the Nomoto model to facilitate Kalman filter estimation and PID heading control of a patrol vessel [Text] / A. Banazadeh, M. T. Ghorbani // Ocean Engineering. - 2013. - Vol. 72. - P. 344-355. doi: 10.1016/ j.oceaneng.2013.07.003
7. Олшник, П. Б. Побудова математично! модел1 системи керування судном на основ! ¡дентифжацп параметр1в судна з метою визначення закошв керування [Текст] / П. Б. Олшник, В. М. Теут // Системи управлшня, нав1гацп та зв'язку. - 2010. -№ 1 (13). - С. 28-36.
8. Шейхот, А. К. Совершенствование систем управления морскими подвижными объектами на основе идентификации и адаптации [Текст]: автореф. дисс. ... канд. техн. наук / А. К. Шейхот. - ФГОУ ВО «Морской государственный университет им. адм. Г. И. Невельского». - Владивосток, 2008. - 24 с.
9. Elkaim, G. H. System identification-based control of an unmanned autonomous wind-propelled catamaran [Text] / G. H. Elkaim, // Control Engineering Practice. - 2009. - Vol. 17, Issue 1. - P. 158-169. doi: 10.1016/j.conengprac.2008.05.014
10. Справочник по теории корабля: в 3-х т. Т. 3. Управляемость водоизмещающих судов. Гидродинамика судов с динамическими принципами поддержания [Текст] / под. ред. Я. И. Войкутинского. - Л.: Судостроение, 1985. - 544 с.
11. Гроп, Д. Методы идентификации систем [Текст] / Д. Гроп. - М., «Мир», 1979. - 302 с.
12. Ivanov, S. V. Identification of ship model and disturbance parameters using spectral analysis [Text] / S. V. Ivanov, V. M. Те^, P. B. Oliynyk // Journal of Chinese Inertial Technology. - 2013. - Vol. 3. - P. 341-346.
13. Дорош, А. К. Теор1я ймов1рностей та математична статистика: навч. поаб. [Текст] / А. К. Дорош, О. П. Кохашвський. -К.: НТУУ «КП1», 2006. - 268 с.
14. 1ванов, С. В. Модифжащя методики синтезу адаптивного автостернового з заданою динашчною похибкою [Текст] / C. В. 1ванов, П. Б. Олшник, В. М. Теут // Схщно-бвропейський журнал передових технологш. - 2012. - Т. 6, № 4 (60). -С. 22-26. - Режим доступу: http://journals.uran.ua/eejet/article/view/5678/5108
15. 1ванов, С. В. Дослщження робастност та стшкост спроектованого автостернового [Текст] / C. В. 1ванов, П. Б. Олшник, В. М. Теут // Вюник Черкаського державного технолопчного ушверситету. - 2012. - № 4. - С. 18-25.
