РОЖДЕНИЕ БОЗОНА ХИГГСА И -КВАРКОВОЙ ПАРЫ В ПРОИЗВОЛЬНО ПОЛЯРИЗОВАННЫХ -СТОЛКНОВЕНИЯХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.12

DOI: 10.21779/2542-0321-2021-36-1-63-72 М.Ш. Годжаев

Рождение бозона Хиггса и tt -кварковой пары

_ +

в произвольно поляризованных e e -столкновениях

Бакинский государственный университет; Азербайджан, AZ 1148, Баку, ул. Акад. З. Халилова, 23; m_qocayev@mail.ru

Недавно коллаборациями ATLAS и CMS в Большом адронном коллайдере (LHC) открыт бозон Хиггса массой около 125 ГэВ. Для изучения его физических свойств необходимо исследовать различные процессы. В работе в рамках Стандартной модели исследуется процесс совместного рождения бозона Хиггса и tt -кварковой пары в электрон-позитронных столкновениях: e_e+ ^ Htt . Подробно изучен механизм излучения бозона Хиггса tt -кварковой парой. С учетом произвольных поляризаций (продольных и поперечных) электрон- позитронной пары и продольных поляризаций t -кварка и t -антикварка получено аналитическое выражение для дифференциального сечения процесса. Определены лево-правая и поперечная спиновые асимметрии и степень продольной поляризации t -кварка. При энергии встречных электрон-

позитронных пучков л/s = 1 ТэВ изучена зависимость эффективного сечения, асимметрий и степени продольной поляризации t -кварка от энергий и углов вылета частиц.

Ключевые слова: спиральность, константа связи, корреляционные функции, асимметрия.

Введение

Стандартная модель (CM), основанная на локальной калибровочной теории с группой симметрии SUC (3) х SUL (2) xUY (1), удовлетворительно описывает физику

сильных, электромагнитных и слабых взаимодействий между кварками, лептонами и калибровочными бозонами. В физике элементарных частиц пока не проведено ни одного эксперимента, результаты которого не согласуются со СМ. Недавно открыт недостающий кирпичик в здании СМ. Это скалярный бозон Хиггса, открытый коллаборациями ATLAS и CMS [1; 2] (см. также [3-5]) в Большом адронном коллайдере.

Определение физических характеристик бозона Хиггса H является основной задачей Большого адронного коллайдера, а также будущих высокоэнергетических электрон-позитронных коллайдеров. Отметим, что столкновение электронов и позитронов при высоких энергиях является эффективным методом изучения механизмов взаимодействия элементарных частиц. Это обусловлено главным образом следующими двумя обстоятельствами. Во-первых, взаимодействие электронов и позитронов описывается электрослабой теорией Вайнберга-Салама, поэтому полученные результаты хорошо интерпретируемы. Во-вторых, поскольку электроны и позитроны не участвуют в сильных взаимодействиях, существенно улучшаются фоновые условия экспериментов по сравнению с исследованиями, проводимыми с адронными пучками. Последнее обстоятельство является особенно существенным при изучении процессов с малыми сечениями.

В настоящее время уже спроектировано строительство нового поколения элек-

трон-позитронных коллайдеров ILC (International Linear Collider), CLIC (Compact Linear Collider), FCC (Future Circular Collider), CEPC (Circular Electron Positron Collider) [6]. Эти коллайдеры в будущем позволят изучать физические свойства стандартного бозона Хиггса.

В работах [7; 8] исследован процесс рождения бозона Хиггса и легкой фермион-ной пары в произвольно поляризованных электрон-позитронных столкновениях. В работе А. Джуади в рамках СМ рассмотрено рождение бозона Хиггса H и тяжелой tt -кварковой пары. В [9; 10] исследован электромагнитный механизм процесса

e + e+^ (у*) ^ H + f + f с учетом произвольных поляризаций электрон-позитрон-ной пары и спиральностей тяжелого фермиона и антифермиона.

В настоящей работе в рамках СМ исследуется процесс совместного рождения стандартного бозона Хиггса H и тяжелой tt -кварковой пары в произвольно поляризованных электрон-позитронных столкновениях:

e~ + e+^ (у*; Z*) ^H +1 +1 . (1)

Вычислено дифференциальное сечение процесса с учетом произвольных поляризаций электрона и позитрона (продольные и поперечные поляризации) и продольных поляризаций кварка и антикварка.

Квадрат матричного элемента реакции е е+ ^ ИИ

В рамках СМ процесс (1) описывается двумя видами диаграмм Фейнмана, приведенных на рис. 1, где в скобках записаны 4 импульса частиц. Диаграммы а) и б) соответствуют излучению бозона Хиггса й -кварковой парой.

Рис. 1. Диаграммы Фейнмана реакции ее + ^ ИИ

В рамках СМ матричный элемент, соответствующий диаграммам а) и б), может быть записан следующим образом (отметим, что диаграмма в) подробно изучена в работе [9], поэтому здесь она не рассматривается):

Ыг ^, = Ы™, + Ы^, (2)

2

м»,=■ (3)

• 2

Ы",=ТЫ! ^'. (4)

Здесь Qe = —1 ( Qt = 2/3 ) - электрический заряд электрона (t -кварка) в единицах е;

^ =öe ( p2)yßue ( А),

J V = u Ы

q1 + к + (q + к)2 - то

2 УV УV

q2 + к - mt (q2 + к)2 - m2t

»t( q2).

) = Ve (Р2)У«[^F (e) + У5g A (e)]Ue (PiX

(5)

J V ) = u ( qi) 2 Ум[ gF (t ) + У5 gA (t )] -

I (qi + k) - mt

(6)

q2 + к - mt

( q2 + к )2 - <

-УЛ gF (t ) + У5 gA (t " 12 \°t Ы

- электромагнитные (слабые) токи электрон-позитронной и tt -кварковой пары;

2 2 — + ^ = p = (p1 + p2) - квадрат суммарной энергии e e -пары в системе центра масс; mt

- масса t -кварка; g^tt - константа связи бозона Хиггса с tt -кварковой парой; Mz -масса Z0-бозона; gy (e) и gA (e) (gy (t) и gA (t)) - векторная и аксиально-векторная

константы связи электрона (t -кварка) с Z0 -бозоном. Они приведены в [10]. Квадрат матричного элемента (2) выражается формулой

M

i-f

2 e

= ^g2Hu\QeQt l • Hl + 2QeQtXzL% • иЦ + X2Ll • И™]. (7)

5

f

L Z^vv

Здесь Xz =

1 -

M

2 Л-1

, L(lV HV), LlV (Hl)) и LV (HlV) - электромагнит.

L(ZV(H(V)

lv

(i )

^¡iiv "vv

(i h 'iv " vv >

ный, слабый и интерференционный тензоры электрон-позитронной ( tt -кварковой) пары. Вследствие сохранения электрон-позитронных токов 1(У и i1) вклад в сечение дают только пространственные компоненты тензоров

L(aV • H (V = • (m, r = 1,2,3; a = y, i, Z).

Электрон-позитронные тензоры легко вычисляются на основе токов ¿У и il),

и в случае произвольно поляризованной е е -пары имеют следующую структуру:

т(у) = р(г)р*(г) = ±шг -ш т

= 2[(1 -ЛА)(ётг - NmNr) + <А -A)ismrAs + (Wl2)(0mr - NmNr) - hmhr-rtlrrhm L

LI = 4y)i*r(Z) = gF(e)lLyy)r + 5gA(e)[(^2 - 4)(<W - NmNr) + (1 - W^rA ],

(8)

LS = %)i*(Z) = [g2(e) + gA(e)YLnr + f • 2gF(e)gA(e)[(^2 - \)(ömr - NmNr) +

2 2 S

+ (1 - AiÄ2)iSmrsNs] + [gF(e) - gA(e)]2[(|1r2)(^«r - NrnNr) -lhmr2r -rhrrh.m ],

4

S

где \ и (г}х и ц2) - спиральности (поперечные компоненты спиновых векторов)

электрона и позитрона; N - единичный вектор, направленный по импульсу электрона.

Из выражений тензоров (8) следует, что продольно поляризованные электрон и позитрон должны обладать противоположными спиральностями Л1 = — ^ = ± 1 (электрон левый, а позитрон правый - е—еили электрон правый, а позитрон левый - е—е+ ). Это связано с сохранением полного момента в переходах е— + е+ ^ у * и е + е+ ^Z*.

Что касается кварковых тензоров Ит), то отметим, что они имеют громоздкий вид, поэтому здесь не приводятся.

Угловые корреляции частиц в процессе ее + ^ ИП

В случае неполяризованных частиц дифференциальное сечение процесса (1) может быть представлено в виде:

d V

«KEDNC g 2

d%d (cos^)dX1dX2 128^2 s

gmtGA (V + 2<3 )(1 + «0 )[1 + «1 C0S 0 +

+ «2 sin2 0 cos 2% + «4 sin2 0 sin 2% + «7 cos 0 + «8 sin 0 cos %\, (9)

где 0 - полярный угол между осью Z и направлением электронного пучка; % - азимутальный угол между плоскостью рождения частиц q + q2 + k = 0 и плоскостью, определяемой осью Z и электронным пучком; « (i = 0,1, 2, 4, 7, 8) - коэффициенты угловых распределений частиц, определяемые выражениями:

GC V + 2<3

Ga

V + 2v3

1

1 + «0

v1 — 2v3 GC V — 2<3

V + 2v3

G л

v1 + 2v3

1

1 + «0

2V2 V + 2v3

- + -

Ge Ga

2V2

V + 2v3

1

1 + «0

2V4 V + 2v3

- + -

Ge Ga

2VA

V + 2v3

(10)

«7 =

GB

2v7

1 + «0 GA v + 2V3

«8 =

GB

4v8

1 + «0 Ga v + 2V3

2 E1

V7

2 E2

4~s

и XH =■

2Eh Я

= 2 — x1 — x2 - скейлинговые энергии t -кварка и t ■

антикварка и бозона Хиггса соответственно. Здесь

Ga = QQ + 2QeQtgv (eg (f)Xz + [g2(e) + g\(e)\[g2v(t) + g\ (t)\XZ,

GB = 2 gA (e) gA (t )[QeQt + 2 gF (e) gF (t) Xz \ Xz ,

(11)

V

Ge = [ gy(e') + g 2(e)\g 2(t) XZ; V , V3, v4 , V, <r¡, v3 , V , <4 - так называемые корреляционные функции, зави-

сящие только от скейлинговых энергий xx и x2.

«0 =

«2 =

«4 =

1

1

x1 =

Х2 _

Проведем оценки коэффициентов угловых распределений ак (к = 1, 2,4,7,8) в координатной системе, где импульс более энергичного антикварка t направлен по оси 2, а импульс второго энергичного бозона Хиггса в плоскости рождения обладает положительной х-проекцией кх > 0 (рис. 2). В этой системе корреляционные функции равны:

2 xH

V =

(1 — x,)(1 — x2)

• (2 — 4).

<2 =

(1 — X1 )(1 — x2)

23'

<3 =

2 xH

(1 — X1 )(1 — x2)

• (1 — 4),

V4 = +

2x

H

(1 — X1 )(1 — x2)

• V с

23 23

(12)

V7 — 2 Xh

1 — x 2

"(С23 — 1) —

x1

1 — x1

-( С 23 c21)

<8 = + XH

1 — x 2

'S23 +

X1 1—x

"(S23 + S21 )

V = —4(1 + Xh ) (2 — 4 ), <2 = —2(1 + XH ) 4

V = —4(1 + Xh ) (1 — 4 ), <4 = ±4(1 + XH ) • ЗД3.

Здесь приняты обозначения s¿j = sin 0¿j и c¿j = cos 0¿j, где 0¿j (i, j = 1,2,3) - угол между направлениями импульсов частиц i и j. Эти углы зависят от скейлинговых

энергий частиц

sin 0 =

2J(1 — Xj )(1 — X2)(1 — Xh )

^ cos0 1 2(X + x-—1)

cos 0ij = 1----.

На рис. 3 представлена зависимость коэффициентов угловых распределений от переменной х2 при фиксированной скейлинговой энергии х1 = 0.9. Как видно, коэффициент а1 ( Щ, а8) отрицателен и уменьшается (увеличивается) с ростом энергии х2. Коэффициент угловых распределений а2 положителен и медленно увеличивается с ростом переменной х2. Что касается коэффициента углового распределения а4, то отметим, что в начале энергетического спектра он отрицателен, с ростом х2 увеличивается и в конце энергетического спектра становится положительным.

2

x

2

H

2

x

х

2

2

Рис. 3. Зависимость коэффициентов угловых распределений от х2

Лево-правая и поперечная спиновые асимметрии и степень продольной

поляризации X -кварка

При аннигиляции продольно-поляризованной электрон-позитронной пары дифференциальное сечение реакции (1), интегрированное по углам 0 и %, имеет вид:

С2&(А1,А2) С2о{)

Сх-у Сх 2

Сх-у Сх 2

[1-АА2 - (А- А)Аш ].

(13)

Здесь

С _ «КЕБ ^

СХ1СХ2

12да

ёиЛТ \ &А

х

и

(1 - х1)(1 - х2)

- 2[ £(е) + ёА (е)]^ )(1 + Хи ) X

(14)

- дифференциальное сечение данного процесса в случае неполяризованных частиц, а

Аья _

ОаХи - 4 ёу (е ) Еа (е ) ё А)(1 + хи )(1 - Х1 )(1 - Х2)хг Опх2и - 2[ёУ (е) + ёА (е)]ёА (X)(1 + Хи )(1 - Х1 )(1 - х2)

(15)

- лево-правая спиновая асимметрия, обусловленная продольной поляризацией электрона. Введено обозначение

_ (е)ёу(X)Х2 + 2ёу(е)ёА(е)Ш) + ёА(0X2.

Лево-правая спиновая асимметрия Ат при х2 _ 0.95 составляет примерно 17.6 % и слабо увеличивается с ростом х1, оставаясь почти постоянной.

Благодаря слабому взаимодействию в рассматриваемом процессе, X -кварк и X -антикварк могут рождаться продольно поляризованными. С учетом продольных поляризаций XX -кварковой пары дифференциальное сечение, проинтегрированное по углам

вылета частиц, имеет вид:

С2о(И1,И2) _ 1 С2а0

Схх Сх2 4 Схх СХ2

[1 + ЬЛН2 + (^ + И2)Р{].

2

Здесь

P = {QeQtgv (e) g, (e) Xz + [ (e) + (e)g (t ) g, (t ) X2} x

x {(1 - Xj)[ xHx2c23 + 3(1 - x1)]-(l- x2)[ хнхх (с2зс21 - ^3 521) + 3(1 - x2)]} x

(17)

x {GÂxH - 2(1 - x )(1 - x2)[gV (e) + g^ (e)]g, (t)(1 + xh )X2Z }-1

- степень продольной поляризации t -кварка или t -антикварка.

На рис. 4 приведена зависимость степени продольной поляризации t -кварка от переменной х1 при фиксированной скейлинговой энергии антикварка х2 = 0.9 и х2 = 0.95 . Из графиков следует, что при фиксированной энергии антикварка увеличение энергии кварка х1 приводит к спаду степени продольной поляризации t -кварка. Однако при фиксированной энергии кварка х1 с ростом энергии антикварка х2 величина степени продольной поляризации увеличивается.

9

8 -

7 -

Pf, %

6 -

5 -

4 -

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

Рис. 4. Зависимость степени продольной поляризации t -кварка от переменной x1 при фиксированной x2

Отметим, что степень продольной поляризации t -кварка уже измерено детектором ATLAS в процессе адронного рождения пары tt на Большом адронном коллайдере.

Рассмотрим распределение частиц по углам 0 и ç : ç - азимутальный угол между плоскостями рождения и поперечной поляризации электрона. В этом случае сечение аннигиляции поперечно поляризованной электрон-позитронной пары, проинтегрированное по азимутальному углу %, имеет вид:

d V(^2) _ d V0

dçd (cos0)dx1dx2 dçd (cos0)dx1dx2

-[1 + A1r/lr/2COs2ç],

(18)

3

x

i

где

(4ап

_ «КЕБ Е 2

ёцх!(со$,в)(х1(х2 128^ ^

Ен;^СА (°"1 + 2°"з )(1 + «О )(1 + «1 С08 в)

(19)

- дифференциальное сечение данного процесса в случае неполяризованных частиц;

А±_

Д аи2 в р 1 + Д еоБ2 в ' РА

(2О)

- поперечная спиновая асимметрия, обусловленная поперечными поляризациями элек-трон-позитронной пары. Здесь введены обозначения

Д

ст1 + 2ст3

Ра _ &а

X,

2(1- х)(1- Х2)

-[ &(е) + ЕА (е)]Е 2а Ц )(1 + хн ) X2

Рв _

Хн (&2&2 + 2а&Х2Еу(е)Еу(О + Х2^)-(е)][^(0 + ЕА(0]}- (21)

2(1- х)(1- Х2)

-Х2[ Е2(е)-Е А (е)^А(' )(1 + Хн).

На рис. 5 представлена угловая зависимость поперечной спиновой асимметрии (20) при х1 _ 0.95 и различных значениях переменной х2. С увеличением угла в поперечная спиновая асимметрия увеличивается и достигает максимума при угле в =90°, а затем асимметрия уменьшается и обращается в нуль в конце углового спектра. Рост переменной х2 приводит к уменьшению поперечной спиновой асимметрии.

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

30 60 90 120 150

в, градус

180

Рис. 5. Зависимость поперечной спиновой асимметрии от угла в

1

0

0

Заключение

Таким образом, мы обсуждали процесс совместного рождения хиггсовского бозона Н и продольно поляризованной tt -кварковой пары при аннигиляции произвольно поляризованной электрон-позитронной пары. Получено аналитическое выражение дифференциального сечения процесса, исследованы особенности поведения угловых корреляций частиц, лево-правой спиновой асимметрии ALR , степени продольной поляризации t -кварка Pt и поперечной спиновой асимметрии A±. Результаты вычислений иллюстрированы графиками.

Литература

1. ATLAS Collaboration. Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the LHC // Phys. Lett. B. - 2012. - Vol. 716. - Pp. 1-29.

2. CMS Collaboration. Observation of a New Boson at a Mass of 125 GeV with the CMS Experiment at the LHC // Phys. Lett. B. - 2012. -Vol. 716. - Pp. 30-61.

3. Рубаков В.А. К открытию на Большом адронном коллайдере новой частицы со свойствами бозона Хиггса // УФН. - 2012. - Т. 182, № 10. - С. 1017-1025.

4. Ланев А.В. Результаты коллаборации CMS: бозон Хиггса и поиски новой физики // УФН. - 2014. - Т. 184, № 9. - С. 996-1004.

5. Казаков Д.И. Хиггсовский бозон открыт: что дальше? // УФН. - 2014. -Т. 184, № 9. - С. 1004-1016.

6. Щильцев В.Д. Коллайдеры частиц высоких энергий: прошедшие 20 лет, предстоящие 20 лет и отдалённое будущее // УФН. -2012. - Т. 182. - С. 1033-1046.

7. Абдуллаев С.К., Годжаев М.Ш., Насибова Н.А. Рождение скалярного бозона и фермионной пары на произвольно поляризованных ее-пучках // Известия вузов. Физика. - 2018. - Т. 61, № 1. - С. 87-93.

8. Khalil-zade F.T. The production of the Higgs boson on electron-positron linear colliders // Azerbaijan Journals of Physics. - 2018. - V. XXIV, № 1. - Pp. 8-17.

9. Abdullayev S.K., Gojayev M.Sh. The production of Higgs boson and heavy fermi-on pair in electron-positron collisions // Azerbaijan Journals of Physics. - 2018. - Vol. XXIV, № 4. - Pp. 11-21.

10. Абдуллаев С.К., Годжаев М.Ш. Совместное рождение хиггс-бозона и тяжелой фермионной пары в ее-столкновениях // ВМУ. Сер. 3: Физика. Астрономия. -2019. - № 1. - С. 23-30.

Поступила в редакцию 7 октября 2020 г.

UDC 539.12

DOI: 10.21779/2542-0321-2021-36-1-63-72

— _ +

Production of the Higgs Boson and tt -Quark Pair in Arbitrarily Polarized e e -

Collisions

M.Sh. Gojayev

Baku State University; Azerbaijan, AZ 1148, Baku; ул. Акад. З. Халилова, 23; m_qocayev@mail.ru

Recently, the Higgs boson with a mass of about 125 GeV was discovered by the ATLAS and CMS collaborations in the Large Hadron Collider (LHC). To study the physical properties of this boson, it is necessary to study various observables in processes involving the Higgs boson. In the present work, in the framework of the Standard Model, we study the process of the joint production of

the Higgs boson and tt -quark pair in electron-positron collisions: e~ e+ ^ Htt. The mechanism of

Higgs boson emission by a tt -quark pair has been studied in detail. Taking into account arbitrary polarizations (longitudinal and transverse) of the electron and positron pair and the longitudinal polarizations of the t -quark and t -antiquark, an analytical expression is obtained for the differential cross section of the process. The left-right and transverse spin asymmetries and the degree of

longitudinal polarization of the t -quark are determined. With the energy of -fs = 1 TeV counterpropagating electron-positron beams, the dependence of the effective cross section, asymmetries, and the degree of longitudinal polarization of the quark on the energies and angles of particle escape has been studied.

Keywords: helicity, coupling constant, correlation functions, asymmetry.

Received 7 October 2020