РОСТ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВДОЛЬ ПРЯМОЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ МЕР РИССА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 12. № 2 (2020). С. 35-48.

УДК 517.574 : 517.547.22

РОСТ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВДОЛЬ ПРЯМОЙ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ИХ МЕР РИССА

А.Е. САЛИМОВА, Б.Н. ХАБИБУЛЛИН

Аннотация. Пусть и ф -той М ф —те — две субгармонические функции на комплексной плоскости С с мерами Рисса vu и ц,м соответственно, для которых u(z) ^ 0(|z|) и М(z) ^ О(И) при z ^ те, q — некоторая положительная непрерывная функция на вещественной оси R, a mes — линейная мера Лебега на R. Предположим, что имеет место ограничение на рост функции и вдоль мнимой оси Ж вида

1 {2ж

u(iy) ^^ М(гу + q(y)e%e) d0 + q(y) для всех у е R \ Е, ¿к J о

где Е С R некоторое малое множество, например, mes(Е П [—г, г]) ^ q(r) при г ^ 0.

При таких ограничениях на функцию и естественно ожидать, что мера Рисса vu в каком-то смысле тоже мажорируется мерой Рисса ц.м функции М или интегральными характеристиками функции М. Мы даем строгую количественную форму такого доминирования. Необходимость такого рода оценок естественным образом возникает в теории целых функций в связи с ее приложениями к вопросам полноты экспоненциальных систем, аналитического продолжения и пр. Наши результаты формулируются в терминах специальных «логарифмических» характеристик мер vurn ц.м, возникших ранее в классических работах П. Мальявена, Л.А. Рубела и др. для последовательностей точек, а также в терминах специальных «логарифмических» характеристик поведения функции М вдоль мнимой оси и функции q вдоль вещественной оси. Полученные результаты являются новыми и для распределения корней целых функций экспоненциального типа при ограничениях на рост таких функций вдоль прямой. Последнее проиллюстрировано новой теоремой единственности для целых функций экспоненциального типа, использующей так называемые логарифмические блок-плотности распределения точек на комплексной плоскости.

Ключевые слова: субгармоническая функция конечного типа, мера Рисса, целая функция экспоненциального типа, распределение нулей, теорема единственности.

Mathematics Subject Classification: 31А05, 30D20, 30D15

1. Введение

1.1. Основная задача. Истоки. Пусть и ф —той М ф — те — субгармонические функции конечного типа (при порядке 1) на комплексной плоскости С, что означает конечность типа

type[w] := limsup

z^-x IZ |

А.Е. Salimova, B.n. Khabibullin, Growth of subharmonic functions along the line and

distribution of their rlesz measures.

© Салимова A.E., Хабибуллин Б.Н. 2020.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 18-1100002).

Поступила 26 ноября 2019 г.

и типа type[M] < с мерами Рисса соответственно uu := -1 Au и ßM := AM, где A — оператор Лапласа, действующий в смысле теории обобщенных функция [1], [2]. Предположим, что рост функции u вдоль некоторой прямой L С С мажорируется функцией М или, более общо, некоторыми усреднениями функции М по окружностям с центрами на L, к тому же с определенными аддитивными добавками к М, а также не всюду на L, а вне некоторого исключительного множества Е С L. В таком случае естественно ожидать, что мера Рисса uu тоже должна в каком-то смысле мажорироваться мерой Рисса ßм в увязке с радиусами усредняющих окружностей, с характеристиками аддитивных добавок и степенью малости исключительного множества Е. Наша основная задача — дать количественные характеристики такого мажорирования меры uu мерой ßM в терминах специальных «логарифмических» характеристик/плотностей распределения мер vu и ßM-Полученная в этом направлении теорема 1, сформулированная ниже в подразделе 1,3, а также ее вариации (предложение 1, следствие 1, теорема 2 из раздела 3) — результаты новые и при специальном виде u = ln Ц | и М = ln |g| в случае целых фуикний экспоненциального типа (пишем ц.ф.э.т.) f = 0и g = 0 с type[ln |/1] < и typ e[ln |g|] < когда в роли мер Рисса ßM выступают последовательности нулей, или корней, Zero/ и Zerofl соответственно функций fug, перенумерованные каким-то образом с учетом кратности. Для ц.ф.э.т, и устанавливается заключительная теорема единственности 3.

В постановке именно для ц.ф.э.т. f и g версия нашей основной задачи рассматривалась в совместной работе П. Малья иона и Л. А. Рубела [3], в которой в качестве прямой L выбиралась мнимая ось Ж С С гДе R С С — вещественная ось. Такого выбора придерживаемся и мы. В [3] для произвольной ц.ф.э.т. g с нулями в правой полуплоскости Сгь := {z € С: Re z > 0}, лежащими исключительно на положительной полуоси R+ := {х € R: х ^ 0}, было дано законченное описание всех положительных последовательностей точек Z = }k=i,2,... С R+, для каждой из которых найдется своя ц.ф.э.т. f = 0 обращающаяся в нуль на Z и удовлетворяющая ограничению ln Ц(iy)l ^ ln |g{iy)l пръ всех у € R, Этой задаче посвящен один из основных разделов монографии Л. А. Рубела в сотрудничестве с Дж, Э. Коллиандром [4, раздел 22] 1996 г. В серии работ второго из авторов 1988-1991 гг. все эти результаты были перенесены на произвольные комплексные последовательности Z С С с ограничением сверху вида ln Ц(гу)| ^ М(гу) для всех у € R через специальную субгармоническую функцию-мажоранту М вместо ln |g|, а именно: со сколь угодно малым числом е > 0 для М(z) = e|z|, z € С, изначально в статье И. Ф, Красичкова-Терновского [5, теоремы 8.3, 8.5, следствие 5.6] только для последовательностей Z вблизи Ж, для любых Z С С в [6, основная теорема] с дополнением в [7, основная теорема, теорема 1], а также в гораздо более общей форме с мажорантой вида М(z) = ln lg(z)| + e|z|, где g = 0 — ц.ф.э.т., в [8, теорема 1] и в [9, основная теорема], или еще более общо и жестко, — с мажорантами вида М = ln Igl уже се = 0 но для последователь ноетей Z С С, отделенных какой-нибудь парой вертикальных углов от мнимой оси, — в [10, основная теорема]. Ситуация с субгармонической функцией-мажорантой М конечного типа при порядке 1, гармонической в паре вертикальных углов, содержащих Ж \ {0}, в определенной мере исследована в диссертации второго из соавторов [11, гл. II], но в научных журналах последние результаты с произвольной субгармонической мажорантой М конечного типа не публиковались. Большинство отмеченных выше результатов изложено в монографии-обзоре [12, 3.2] с подробными историческими комментариями.

1.2. Обозначения и определения. В данном подразделе приводится все, что использовано ниже для формулировки основной теоремы 1 нашей статьи. Так, зЬИ — множество всех субгармонические функции на С, бЬИ* := {и € эЬИ: и ^ —то}.

Одним и тем же символом 0 обозначаем, по контексту, число нуль, нулевую функцию, нулевую меру и т.п.; 0 — пустое множество. Положительность всюду понимается как ^ 0, а отрицательность — это ^ 0,

Meas+ — класс всех положительных борелевских мер на C, mes — линейная мера Лебега на 1, С(X) — класс всех непрерывных функций f : X ^ 1 на топологическом пространстве X. Для mes-нзмернмого подмножества X С 1 через L\oc (X ) обозначаем класс всех mes

1±го := { — те} U 1 U {+те}, где 1±те наделяется естественным порядком — те ^ х ^ +те, х G и порядковой топологией, или топологией конечной копактификации 1 с двумя

концами ±те. Аналогично определяется L]oc (Y) для Y С Ж,

Пусть X С 1±те. Функция f : X ^ 1±те возрастающая, если для любых xi,x2 G X из х\ ^ ж2 следует f (^i) ^ f (х2)\ f убывающая, если — f возрастающая.

Интервал — связное подмножество в 1±те. Интегралы Стилтъеса по ограниченному в 1 интервал у I с концами a := inf I < sup I =: b по функциям ограниченной вариации m : 1 ^ 1 на этом интервале I обычно, если не оговорено противное, понимаем как

/ ... dm := / ... dm, I = (a,b], —те <a<b< +те. (1,2)

J a J (a,b]

D(z,r) := {z' G C : |z' — z| < r} — открытый, D(z,r) := {z' G C : |z' — z| ^ r} — замкнутый круги, dD(z,r) := D(z,r) \ D(z,r) — окружность с центром z G C радиуса r G 1+; D(r) := D(0,r), D(r) := D(0,r), dD(r) := dD(0,r). Определим интегральные средние по окружности dD(z, г) от функции v : dD(z, r) ^ 1±те:

1

с2ж

Cv (z, r) :=: С (z, r; v):= — v(z + rel" ) d0, Cv (r) := C„ (0, r),

0

по кругуD(z, r) от фукции v : D(z,r) ^ R±œ:

2 Г

Bv (z, r) :=: В (z, r; v) := Cv (z, t)t dt, Bv (r) := B, (0, r),

(1.3C)

(1.3B)

а также верхнюю грань функции v: dD(z,r) ^ R±^ окружности dD(z,r):

MM(z,r):=: M(z,r; v) := sup v(z'), M^(r) := Mv(0,r), (1.3M)

z'€dD(z,r)

что при v G sbh совпадает с sup^^ v. Конечно же, в (1.3) для (1.3С) и (1.3В) подразумевается существование интегралов, что всегда имеет место для функций v G sbh* [2, определение 2.6.7, теорема 2.6.8], [1, 2.7], для которых

B^(z, г) ^ Cv(z, г) ^ M^(z, г) при любых z G С и г G R+, (1.4)

Во всех упомянутых выше в подразделе 1.1 результатах из [3]—[12] ключевую роль играли два объекта. Во-первых, это специальные интегралы по интервалам на вещественной или мнимой оси, часто называемые логарифмическими интегралами.

Определение 1. Для функции v G L]oc (R) полагаем

nR

JR(r, R; v) := —

2n

v(x) + v(-x)

X2

dx, 0 < r < R< +те,

(1.5r)

a для функции v G L]oc (Ж)

JivXr, R; v) := —

r-R

V(-iy)+ v(iy)

dy, 0 < r < R < +те.

(1.5i)

0

2

У

Второй объект — это логарифмические меры интервалов для последовательностей точек Ъ = {тк}к=1,2,... С С. Мы отождествляем каждую последовательность Ъ со считающей

мерой nz € Меas+, определяемой по правилу

^(З) := ^^ 1 для всех в С С, (1,6)

zfc ей1

и определим эти логарифмические меры сразу для произвольных мер из Меа5+,

Определение 2. Для меры ß € Меas+

(г, R) := I Re - dß(z), 0 <r <R< (1.7г)

^ Jr<\z\^R z

Re z>0

l* (r,R) := jr<iz^R Re (--) dß(z), 0 <r<R< (1.71)

Re ^<0

— правая и левая логарифмические меры интервалов (г, R] С R+ для меры ß соответственно. Они порождают логарифмическую субмеру интервалов

lß( г, R) := max{Zj (r,R),lf (r,R)}, 0 <r<R< (1.7m)

1.3. Основной результат.

Теорема 1. Пусть для функций

(i-i) 1

М € sbh*, typе[М] < ß := ßM := 77- AM € Meas+, (1.8M)

u € sbh*, type[u] < v := vu := -1 Au € Meas+, (l,8u)

qo: R ^ R+ U{+TO}, qo € L]oc(R), (1.8o)

q: R ^ R+, q€C (R), limsup^- < 1, (1.8q)

и некоторого mes-измеримого подмножества E С R+ с

Ег :=Е П [0, г], qE(r):=mes(^r) ln--— =: qE(-r), (1.9E)

ча\ j у , mes(Er) K ' y 1

имеют место неравенства

u(iy)+u(-iy) ^ Cм{гy, q(y)) + cm(-iy, q(-у)) (1.9C)

+ Q0(y) + Q0 (—у) для каждого числа у € R+ \ Е. Тогда, для любых чисел, г 0 > 0 и N € R+ найдется число C € R+, для, которого max{lv( г,R),Jzr(г, R;u)} ^ min{lf (г, R), §(г, R), Jr(r, R;M)} +CJR(r, R; q0 + qE) + CIn(t, R; q) + C при всex r0 ^ r < R <

где

(1.10)

rR

q( s ) + q(-s )

IN(r,R;q):= t sup-—- dt. (1.11)

ч 2+М

¿Г а

Замечание 1. Для функций из (1.8М) и (1,8и) их меры Рисса ^ и V конечного типа,

1

1уре[^] := Ишвир-—— < утаА(г) := ^(Б(0, г))^уре[и] < (1.12)

Замечание 2. В силу неравенств (1.4) в правой части условия-неравенства (1.9С) средние по окружностям См из (1.3С) можно заменить на средние по кругам Bм из (1.3В), но нельзя заменить на верхние грани по окружностям или кругам Мм из (1.3М).

2. Доказательство теоремы 1

При доказательстве теоремы 1 можно рассматривать любое, но фиксированное значение Го > 0, поскольку по определению 2 логарифмических мер интервалов (1.7г), (1.71), (1.7т) и определению 1 интегралов (1.5i), (1,5г) при изменении г0 > 0 в заключении (1.10) теоремы 1 может разве что увеличиться постоянная С G R+. Поэтому при доказательстве теоремы 1 при необходимости увеличиваем значение г0, не оговаривая это специально.

Если в условии (l,8q) рассматривать вместо функции q функцию q + 1, то ее свойство из (l,8q) не изменится, условие-неравенство (1.9С) сохранится, а на заключение (1.10) это не повлияет. Поэтому можем считать, что q ^ 1 на R. Рассмотрим регулярную для задачи Дирихле [1, теорема 2.11] область

D := Dq := {z G C: - q(Imz) < Rez < q(Imz)}. (2.1)

Для b G R+ используем обозначение

strb := {z G C: |Imz| <b}, strb := {z G C: |Imz| ^ b} (2.2)

для соответственно открытой и замкнутой полос ширины 2Ь со средней линией R. По предельному условию из (l,8q) при достаточно большом b > 0 часть D \ str^, области D состоит из двух односвязных областей, содержащихся внутри некоторой пары открытых вертикальных углов раствора не более чем ж вида

Z(a,n — a) := [z G C: а < argz <ж — а}, Z(—n + а, —а) с а G (0,^/2), (2.3)

Можно произвести классическое выметание функции М G sbh* из области D в два этапа. Сначала произведем выметание из этой пары односвязных областей, и выметенная функция останется субгармонической функцией конечного типа, поскольку она не превышает классического выметания рода 0 функции М из пары вертикальных углов (2.3) [13, 6.2, теоремы 7, 8]. На втором этапе осуществим классическое выметание из D логарифмического потенциала рода 0 появившейся меры с компактным носителем в замыкании D П str^ [14, гл. IV, § 1], [15, теорема 2.5.3.1], что может увеличить рост этого логарифмического потенциала разве что на величину порядка О(ln |z|), z ^ те. Таким образом, такая конструкция дает субгармоническую функцию

-р I M на дополне нии C \ D, .

M = < (2.4)

I гармоническое продолжение M внутрь Dm D

конечного типа, т.е. с type[MD] < +те. При этом по принципу максимума

См (iy,q(y)) ^ MD(гу) для всех у G R, М ^ М^та, С, а из условий-неравенств (1.9С) следует

u(iy) + u(-iy) ^ MD (гу) + MD (-гу) + qQ(y) + qQ(-y) для ее ex у G R \ Е. (2.5) Для меры v G Meas+ сужение меры v на S С С обозначаем как v

S'

Мера Рисса -1 A MD функции MD — это сумма ее сужений

:= ^^ Л М° Ic^sD = » I C\clos D < V, := ^^ △ MD \dD, (2.6)

где clos D и dD — замыкание и граница D. Интегрирование неравенства

(2.5) с множителем ^ в обозначении

Е* := Er \ Ег = Е П (г, R] (2.7)

дает при всех значениях г 0 2 г < К < +то> неравенства мг, Щи) 2 Ыг, К, М°)

+ 1 [ и(гу) + и(-гу) - М°(гу) - М°(-у) а + )

+ -2-¿У + Ыг,К; Яо). (2.8)

JE* У2

Лемма 1. Пусть г 0 > 0. Для любой функции и из (1,8и) существует такое число си Е Ш+, что для любого теъ-измеримого подмножества Е С в обозначениях (1.9Е) и (2.7) имеет место неравенство

[ |и|(2Ж) ¿х 2 си [ ^^ ^ + Си дм, всех г0 2 г < К< (2.9)

} ея х Ъ

где функция дЕ возрастающая и qE (г) 2 г при г Е

Доказательство. Функция

(х, у) I—>х 1п —, (х, у) Е (0, у] х Е+, х

доопределенная нулем при х = 0 возрастает по переменной у Е а также по х Е (0,у], достигая наибольшего значения при х = у, что дает свойетва функции цЕ. Далее 1Е —

Е

Согласно [16, теорема 8] существуют постоянные ё ,с Е для которых

Г 4х (1-9Е)

J 1е(г)\и\(г) ¿г 2 с'хтеэ(Ех) 1п 2 Ще(х)х (2.10)

для всех х ^ Го. Для левой части из (2.9) имеем

Г \и\(х) Г\ . >\(х) п [к 1 п Г . .. .. . л л

¿х = 1е(х)^^ ¿х = — а 1е(г)\и\(г) аг ¿х

О Е^ х ¿Г х ОГ х ог

= К / 1е(г)!и\(«)л+/ / 1е(«)М(г) а а(-1)

" Тсф + 2с Г®Мс1х2 с + 2с Г®Мск,

Кь ОТ х V т х

поскольку справедливо неравенство ( К) 2 К. Лемма 1 доказана. □

Четырежды применяя лемму 1 к интегралу по множеству Е^ из правой части (2.8), для некоторого числа с\ Е для всех г 0 2 г < К < +то> получаем

г, К, и) 2 г, К, М°) + аМг, К, дЕ + яо) + сь (2.11)

Лемма 2 ([17, предложение 4.1, (4.19)]). Пусть г0 > 0. Для любой функции и из (1,8и) существует число си Е для, которого при всех г 0 2 г < К < +то>

тах| | ЗгЖ(г, К, и) - Г*(г, К) |, | ,1гЖ(г, К; и) - $(г, К) | } 2 Си. (2.12)

Дважды применяя лемму 2 к функциям и и М° в (2.11), для некоторого числа с2 Е при всех г 0 2 г < К < +то> имеем неравенства

(2-6) к

I ? (Г, К) 2 (Г, К) + ъЫ Г, К, ЯЕ + д)+ С2

^ I(г, К) + г* (г, К) + С1мг, к, ЯЕ + + С2. (2.13)

Пусть выбраны углы и зафиксировано число Ь > 0 как в (2.1)-(2.3). Сужение меры ^о на замкнутую полосу — мера с компактным носителем, и для этого сужения логарифмические меры и субмера интервалов из (1.7) равномерно ограничены при всех 1"о ^ г < Я < Следовательно, не умаляя общности, можем считать, что носитель

меры ^о содержится в паре углов (2.3) и не пересекается с открытой полосой Обозначим ^о-меру замкнутой полосы ширины 2у € через

№о(У) := №), гДе №о(У) ^ ^У ПРИ вссх у € (2-14)

для некоторой постоянной С, те зависящей от у, а также (у) = 0 при у € [0, Ь).

Лемма 3. Пусть го > 0 и ^о € Меа— мера с носителем эирр ^о в замыкании (2.1)

И := Ид, где функция д из (1^), с функцией : ^ из (2.14). Тогда для некоторого числа С € справедливы, неравенства

I ип (г, Я) ^ [ фО (у) + С гари всех г0 ^ г < Я < (2.15) Л У2

где

Я(У) := Ч(У) + Ч(-У), У€ Е+. (2.16) Доказательство. Для всех Ь ^ г < Я < имеем

,rh / m [ ReZ A f \ ( [ g(ImZ)

Ln (г, Щ = T"¡r d/ío (z) í тт-

' Jr<\z\^R |z|2 W Jr<\z\^R |Im z|2

Rez>0 Rez>0

T f di(,)( f + f) d/í(,)

>/r sin а У \>/rsina Jr / У

T + ÍR Щ d/ífe) ( í Со + № d/ito), (2.17)

r sin2 a Л у2 Л y2

где С S R+ те зависит от b í r < R < □

По лемме 3 из неравенства (2.13) с постоянной С1 S R+ получаем

(2.6) rR O(v)

Iи (r,R) í If (r,R)+ dm(y) + ciJr(r,R; ^ + g0) + Cb (2.18)

где положено m(t) := /Q (í). По построению m найдется некоторая постоянная С S R+, с которой имеют место неравенства

(2.14)

m(t) í С, при всех í S R+, m(t) = 0 при í S [0, b) = 0. (2.19)

Лемма 4. Пусть возрастающая функция m: R+ ^ R+ удовлетворяет условиям (2.19), а непрерывная функция

O: R+ ^ R+ 'такова, что O(t) = O(t) при t^ (2.20)

Тогда, для любого числа N S R+ найдется число С2 S R+, для, которого

Г dm(í) í С2 Г tN sup O+)dt + C2 (2.21)

Л t2 Jr s>t s2+N

при всех b í r < R <

Доказательство. Для интеграла из левой части (2.21) имеем

Г í'RO(t) d (+) fRO(t) ,f N d ( ) . fR O(s) d Г N d ( ) I := dm(t) = d s dm(s) ^ sup d s dm( s).

Jr t J Г t t J r Jr S>t S Jr

Для подынтегрального выражения в последнем интеграле, являющегося убывающей функцией, ввиду (2,20) существует число С3, для которого

О(з) 8

Ти(I) := 8пр Ц+1 ^ Сз 8пр = СзГ1- при всех I е [Ь, +х>). (2.22)

з^ 82-1 82-1

Интегрируя этот последний интеграл по частям, получаем

¡•к г-к рг

12 тм(к) в1 ат(в) + в1 ат(в) а(-Т1 (г)). (2.23)

С учетом (2,19) оцениваем интеграл

sN d m(s) 2 m(t)tN 2 CtN+1,

что для правой части (2,23) с учетом (2,22) дает

pR pR

I2CC3 + С tN+1 d(-TN(t)) 2 CCs + ССз + С(N + 1) / TN

откуда при С2 := тах{2СС3, С(М + 1)} получаем в точности (2,21), □

Из (2,18) по неравенству (2,21) леммы 4 для некоторой постоянной С4 е К-

(2.6) fR П(ц)

If (r,R) 2 If (r,R) + Cj tN sup ^dt + ciJr(r,R; qE + + C (2.24)

s>t S

при всех > R > r ^ max{r0, b}, где величину max{r0, b} можно заменить на r0, увеличивая при необходимости постоянную C1; a Q — функция из (2,16),

Лемма 5. Пусть г0 > 0. Для, любой функции и из (1,8и) существует Cu Е R+, для которого при всех г 0 2 г < R < имеем неравенство

max(r,R),JtR(г,R;u)} 2 min{C(r,R), I*(r,R), JiR(r,R;u)} + Cu.

Доказательство леммы 5 сразу следует из леммы 2,

Применяя лемму 5 к функциям и и М с мерами Рисса соответственно v и ß, из (2,24) получаем (1.10), что завершает доказательство теоремы 1,

3. Вариации заключения (1.10) теоремы 1

3.1. Некоторые упрощения. Несколько громоздко выглядящие интегралы (1.11), участвующие в правой части заключительной оценки (1.10) теоремы 1, при очень незначительных дополнительных ограничениях на функцию

Qn(*):= Q+N, те Q(s)i2=)q(s) +q(-s), sE R+, (3.1)

можно включить в наш стандартный логарифмический интеграл JR вида (1.5г), уже участвующий в правой части оценки (1.10).

Предложение 1. Пусть существует некоторый интервал (А, = 0, на, котором, выполнено хотя, бы, одно из следующих двух условий:

(i) функция Qn из (3,1) убывающая на (А,

(ii) функция Q из (2,16) непрерывно дифферент,ируема на (А, со свойством,

lim sup ^^ < (3.2)

У^+Ж Q(y)

Тогда найдутся числа г 0 > 0 N е R+ и С е R+, для, которых

IN tN supQN (s)dt ^С/ ^ dt(=r) CMr,R;q). (3.3)

Jr S^t Jr t

В частности, последний интеграл, в (1.10) можно заменить на, JR(r,R;q), а, заключительную оценку (1.10) в теореме 1 можно записать как

max{lu(г, R), J,R(г, R; и)} ^ min{lf (г, R), (г, R), J,R(г, R; М)}

+ CJR(г, R; q0 + qß + q) + С при всex r0 ^ г < R < (3.4)

Доказательство. Если функция (3.1) убывающая на (А, то, очевидно,

N N

Q( ) Q( )

jN r\ í \ ' -Í

t sup Qn (s) = t t2+N t2

при всех t > А и при выборе r0 > А получаем в точности (3.3).

Для непрерывно дифференцируемой функции Q, удовлетворяющей условию (3.2), найдется такое С4 е R+, что sQ'(s) ^ C5Q(s) при всех s ^ b. Производная функции из (3.1)

_ Q'(ф — (2 + N)Q(s) ^ C5Q(s) — (2 + N)Q(s)

QN(S) = S3+N ^ S3+N '

при выборе N ^ C5 — 2 отрицательна, и функция QN из (3.1) убывающая. □

Из предложения 1 сразу получаем следующее очевидное

Следствие 1. Если, в условиях (i) или (ii) предложения 1 для, некоторого числа г0 > 0 имеет место соотношение

sup Jr(r,R; qo + qE + q) <

ro^r <R<+<x

то заключительную оценку (1.10) в теореме 1 можно записать как

max {lv (г, R), Jr (г, R; и)} ^ min {if (г, R), if (г, R), Jr( г, R; М)} + С при всех r0 ^ г < R <

При известной асимптотике функций q0, qE.t q при приближении к ±те> также можно упростить заключительную оценку (1.10) теоремы 1. Вариант —

Предложение 2. Пусть для функции Р: R+ ^ R+, ограниченной и интегрируемой по Риману на, каждом ограниченном интервале I С R+, выполнено условие

lim sup ^ = 0. (3.5)

t^+х t

Тогда, для любого числа г 0 > 0 найдется убывающая функция d: R+ ^ R+, для, которой

fR Р(t) R

lim d( R) = 0, —— di ^ d(R) ln — при вс ex r0 ^ r < R < (3.6)

Rh+X Jr t2 r

0, , E 0

у Q0(y) + q(y) + Qe (У) n Й .

lim sup-—:-= 0, sup q0 < для любого R е R+,

ЬИ+х \У\ [-R,R]

а также функция локально интегрируема по Риману, то заключительную оценку (1,10) в теореме 1 можно записать как

тах{/,(г, К), Мг, Д; и)} ^ тт{Г*(г, К), §(г, К), Мг, Д; М)}

Д

+ с1(Д) 1п--+ С при ееех го 2 г < К < ,

где с1 — убывающая функция, для, которой с1(Д) = о(1) при К ^

Доказательство. Сначала перейдем к убывающей к нулю ввиду (3,5) функции

Р(з) РП) [к рП) [к РП) , , ч

р(г) := вир —^ ^ , ге К-; — ^ -Аг . (3.7)

з^ 8 Ь ]г Ь Л

При каждом фиксированном числе К> 0 положим

1 п 1 [К Р&) п

¿(Д) := эир 1 . . . / ^ ¿г ^ 1 . . . / ^ ¿г го2г<к 1п( К/г) ]г г 1п( К/г) л г

(3-7) 1 [к Ри)

^ —— ¿1 при всех значениях г0 2 г < К < (3,8)

1п( К/г) Л V

что дает последнее соотношение-неравенство из (3,6),

Точная верхняя грань в (3,8) берется от функции с частными производными

д 1 [к рП) 1 [к рП) - р(г) ,

—, . . / — АЪ =-2/ , / ——^ ¿Ъ 2 0 при го 2 г < К,

дг 1п( к/г )Л, г Г1п2( к/г )Л г р 0 '

д 1 [к Р&) , 1 [к р(Щ - рШ ,

1 ¿г = 2 1 ч / ^ >- ^ > ^ 2 0 при г0 2 Г < К,

dR ln(R/r) Jr t Rln2(R/r) Jr t откуда эта функция убывает по г < R и по R > г. Следовательно,

1 fR pit)

d(R) =—- - dt — убывающая функция на [г0, (3,9)

ln(R/Го) Jro t

Пусть выбрано число a > 0 и p(t) 2 а при t ^ Ra. Тогда го (3,9) при R > Ra ^ г0 имеем

,(R) _ 1 ( [Ra + [R\ m d. 2 (sup[r0,Ra]P) ln(Rg/ro) + ln(R/Rg) d(R) ln(R/ro){Jr0 +JRJ t dt 2 ln(R/ro) +a ln(R/ro) .

Отсюда lim sup d(R) 2 a, что в силу произвола в выборе числа a > 0 дает соотношение d(R) _ о(1) при R ^ +ТО, □

3.2. Логарифмические меры и субмеры интервалов. Понятиям логарифмических мер интервалов (1.7г), (1.71) и логарифмической субмеры интервалов (1,7т) из определения 2 можно придать и иную форму.

Определение 3. Пусть ß Е Meas+. Введем в рассмотрение считающую функцию меры ß с 2тт-периодической борелевской положительной функцией-весом k: R ^ R+:

ß(r; к) :_ k(argz) dß(z), (3,10)

JD(r)

При к = 1, очевидно, ß(r; 1) ^ = ^ ßrAd(г) дая г Е R+,

В частных случаях к = cos±, т. е

к(в) := cos+ в := max{0, cos в}, к(в) := cos- в := max{0, - cos в}, 9 Е R,

(3.11)

из определений (1.7) в обозначениях (3,10)-(3,11) при 0 < г < Я < интегрированием по частям получаем

(1.7г) [К dц(í;cos+)

If (Г,R)

^(R; cos+) ^(r;cos+) fR ^(t; cos+)

H- I ~ d t,

(3.12r)

R

pR i

If (r,R)(=4 1 dfi(t; cos-)

t2

(3.121)

^(R; cos ) ^(r;cos ) + iR ^(t; cos ) ^

Положим

if (r .R)(-="

if (r ,R)(3=

R

rR v(t; cos+)

r ^

"R ^(t; cos-)

2

(1.7m)

2

dt, 0 <r < R < dt, 0 < r < R <

"rh/

if ( r, R) := max{/f (r, R), if (r, R)}, 0 <r <R<

(3.13r)

(3.131) (3.13m)

Предложение 3. Пусть ц Е МеаБ+

(1.12)

ного типа 1уре[ц] < число г0 > 0. Тогда,

мера конечной верхней плотности, или конеч-

| С (г ,Я) - I? (г ,Я)1 = 0(1)

| ^ (г, Я) - (г, Я)| = 0(1) для всех го ^ г < Я< 1 1?(г, Я) - 1?(г,Я)| =0(1)

Кроме того, для, любых фиксированных чисел, а Е (0,1], Ь Е [1,

I? (г,Я) - I

Т)\ ЛЬ/

(3.14)

| If (r,R) - If (ar,bR) \ = 0(1)

(3.15)

1 I?(г, Я) - I?(аг,ЬЯЦ = 0(1) для всех го ^ г < Я < 1 /Дг, Я) - 1?(аг, ЬЯ) | = 0(1)

Доказательство. Соотношения (3.14) следуют из (3.12), так как для г0 > 0 и меры ц конечной верхней плотности имеют место соотношения

^(R;cos±) ^(r; cos±)

R

|rad( R) + Hrad(r) = o(i) при гъ ^ r < R <

R

Соотношения (3.15) следуют из (3.14) и из неравенства

| If (a г, b R) - If (r, R) \ ^ sup J^M. ln 1 + sup J^M ln b,

t a r< t^bR

ar< t^r

□

Замечание 3. По предложению 3 согласно соотношениям (3.14) и замечанию 1 различные логарифмические меры и субмеры интервалов (1.7г), (1.71), (1.7т) из определения

которых используем ту же терминологию. Далее эти две эквивалентные с точностью до

аддитивной постоянной формы логарифмических мер и еубмер интервалов для мер конечной верхней плотности можем не различать и обозначать как в определении 1,7 без верхнего математического акцепта "над l .

Определение 4 ([18], развитие [3, определения 3.4, 3.5]). Пусть 0 < r0 Е R+, l — функция интервалов (г, R] С r0 + R+ со значениями в l(г, R) :_ l((г, R]). Определим

ln-dens(l) :_limsup--lim sup l(r, ar); (3.16-)

а^+Ж ln a Г^ + Ж

ln-dens(l) :_ liming--lim sup l( r,ar); (3.16-)

а^+ж ln a Г^+Ж

ln-densinf (l) :_ inf --lim sup l(r,ar); (3.16i)

a>i lna г^+ж

ln-densb(l) :_ inf { bE R+: sup (l(r,R) - bln < . (3.16b)

I, ro2r<R<+ж V T ) J

Функцию интервалов l ^ 0 называем логарифмической субмерой интервалов (вблизи

если для некоторого числа г0 > 0 выполнены два условия: [И] supr^ro l(г, 2г) < (логарифмический рост)'

[12] l(г1, r3) 2 l(i"1, r2) + l(r2, r3) для всех r0 2 r1 < r2 < r3 < (субаддитивность). Если в первом неравенстве из [12] для некоторого числа г0 > 0 эта к 2 можно заменить на знак _ для любых г0 2 ^ < т2 < г3 < (аддитивность), то функцию интервалов l называем логарифмической мерой интервалов (вблизи

Из определения 4 легко следуют

Предложение 4. Если с Е R+, a h и l2 — логарифмические субмеры интервалов, то ch, h + 12 и max{l 1, l2} — логарифмические субмеры интервалов.

Предложение 5. Для функций q0 из (1.80) при условии,

lim sup ^^ < (3.17)

|уН+ж М

а, также функций q из (l,8q) и qE из интегралы JR(г, R; q0), JR(г, R; q), JR(г, R; qE)

( , R] С R+ ß Е +

верхней плотности, то lf и lf из (1.7г) и (1.71), а, также lf и lf из (3,13г) и (3.131) — логарифмические меры интервалов, a, из (1,7т) и из (3.13т) — логарифмические субмеры интервалов.

Предложение 6 ([18, теорема 1]). Для, логарифмической, субмеры интервалов l ^ 0 все четыре логарифмические блок-плотности, из (3.16) конечны и совпадают, а верхний lim sup - lim inf -

а^+ж а^+ж

предел lim . Далее для логарифмической субмеры интервалов l ^ 0 все четыре логариф-

а^+ж

ln dens( )

ln dens

Теорема 2. Пусть выполнены условия (1.8) и (1.9) теорем,ы, 1, а, та,кже условие (3.17). Кром,е того, пусть для функции Q(y) :_ q(y) + q(—у) из (2.16), или, из (3.1), выполнено одно из условий (i) или (и) со свойством, (3.2) предложения 1, а также

ln-dens( Jr(■, ■, qo + q + qE)) _ 0. (3.18)

Тогда

1п-ёеш(/V) ^ ш1п{1п-ёеп8(/^), 1п-ёеш(/^)} ^ 1п-ёеш(/(3,19)

Доказательство. Заключение (1,10) теоремы 1 при дополнительных условиях (1) или (11) со свойством (3,2) из предложения 1 переходит в заключение (3,4) предложения 1, которое, в частности, для любого а > 1 можно записать как

(г, аг) ^ шт{Г^(г, аг), (г, аг)} + С^(г, аг; до + дЕ + д) + С при всех г ^ го.

Отсюда, устремив гк+ю, получаем

Ишвир (г,аг) ^ тт<Ит8ир Г^ (г,аг), Ишвир (г,аг)

г^+те ^ г^+те г^+те

+ С 11ш8ирС/к(г, аг; до + дв + д) + С,

г^+те

Поделив обе части последнего неравенства на 1па и устремив а к +<ю, в обозначениях определения (3.16-) получаем цепочку (не)равенетв

1паепв(/V) ^ шт{1п-аеп8(/^), 1п-аепв(/^)} + С 1п-аепв/к(-, до + дЕ + д)

(3=8) ш1п{1пёеп8(/^), 1п-аепв(/^)} ^ 1п-аепв(/м),

что по предложению 6 о совпадении всех четырех логарифмических блок-плотностей из определений (3,16) дает в точности (3,19), □

Для нулевой ц.ф.э.т. 0 то определению множество ее нулей 2егоо = С, а считающая

мера ^гегоо ($>) = для каждого 5 С С, В частноети, 1п-аеп8(/гего0) = Отметим вытекающую из теоремы 1 теорему единственности для ц.ф.э.т,:

Теорема 3. Пусть Ъ = {-к}к=1,2,... С С — последовательность комплексных точек конечной верхней плотности в смысле (1.12), т. е.

(1 6)

(г) := пг(Д(г)) = О(г) при г ^ +ю, с логарифмической субмерой интервалов

Iг(т, К) := шах < ^ Яе -1, ^ Яе (-— И 1пг(г, К).

I г<^Я — г<^к |<Д -к I

^ Яе zk>0 Яе zk<0 )

о

нуль на Ъ в том смысле, что пгего/ ^ пг, и для каждого у € Е+ \Е выполнено неравенство

1п | /(%)/(-%) | ^ Cм{гy, д(у)) + См(-гy, д(-у)) + до(у) + Яо(-У). (3.20)

Если, выполнено (3.18) и при этом, 1п-аепв(/г) > 1п^еш(7ж(-, ■; М)), то / = 0.

Доказательство. Предположим, что / = 0, и положим и := 1п |/|. Тогда имеет место (1,8и) с V := пг- Из (3,20) то предложению 1 при а > 1 из (3.4) имеем

Iг(г,аг) = 1пг(г,аг) ^ 7Ж(г,аг; М) + С/к(г,аг; до + дв + д) + С при г ^ го.

Устремляя здесь г к +<ю, затем, после деления на 1па, устремляя а к по предложению 5 и определению (3,16) ввиду (3,18) получаем

1паепв(/г) = 1п-аепв( 1г) ^ 1п-аепв(/ж(-, ■; М))

что по предложению 6 противоречит условию 1п-ёепв(/г) > 1п-ёеп8(7ж(-, ■; М)), □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.: Мир. 1980.

2. Th. Ransford Potential Theory in the Complex Plane, Cambridge University Press, Cambridge

(1995).

3. P. Malliavin, L.A. Rubel On small entire functions of exponential type with given zeros // Bull. Soc. Math. France. 89:2, 175-201 (1961).

4. L.A. Rubel (with J.E. Colliander) Entire and Meromorphie Functions, Springer-Verlag, New York

(1996).

5. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариант,ные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях // Матем. сб. 88(130):1(5), 3-30, (1972).

6. Хабибуллин Б.Н. О малости роста на, мнимой оси целых функций экспоненциального типа с заданным,и нулями // Матем. заметки. 43:5, 644-650 (1988).

7. Хабибуллин Б.Н. О росте целых функций экспоненциального типа с нулями вблизи прямой // Матем. заметки. 70:4, 621-635 (2001 ).

8. Хабибуллин Б.Н. О росте целых функций экспоненциального типа вдоль мнимой оси // Докл. Акад. Наук СССР. 302:2, 270-273 (1988).

9. Хабибуллин Б.Н. О росте целых функций экспоненциального типа вдоль мнимой оси // Матем. сб. 180:5, 706-719 (1989).

10. Хабибуллин Б.Н. О росте вдоль прямой целых функций экспоненциального типа с заданными нулями ff Analysis Math. 17:3, 239-256 (1991).

11. Хабибуллин Б.Н. Распределение нулей целых функций и выметание. Дисс. .. .доктора физ.-матем. наук (Украина, Харьков, ФТИНТ, 1993; РФ, Санкт-Петербург, ПОМИ РАН, 1994). Уфа. 300 стр. 1992. https://www.researchgate.net/publication/265455939

12. Хабибуллин Б.Н. Полнота систем экспонент и множества единственности, изд. 4-ое доп., Уфа: РИЦ БашГУ. 2012. https://www.researchgate.net/publication/271841461

13. Хабибуллин Б.Н. , Шмелева A.B. Выметание мер и субгармонических функций на систему лучей. I. Классический случай // Алгебра и анализ. 31:1, 156-210 (2019).

14. Ландкоф Н.С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука. 1966.

15. V.S. Azarin Growth Theory of Subharmonic Functions, Birkhäser: Basel-Boston-Berlin (2009).

16. Гришин А.Ф., Малютина Т.Н. Новые формулы для индикаторов субгармонических функций ff Матем. физ., анал., геом. 12:1, 25-72 (2005).

17. Хабибуллин Б.Н., Шмелева A.B., Абдуллина З.Ф. Выметание мер и субгармонических функций на систему лучей. II. Вы,мет,амия, конечного рода, и регулярность роста на, одном луче ff Алгебра и анализ. 32:1, 208-243 (2020).

18. Каримов М.Р., Хабибуллин Б.Н. Совпадение некоторых плотностей распределения множеств и полнота систем целых функций // Труды международной конференции «Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы». III. Анализ и дифференциальные уравнения. III. Ред. С.Г. Мерзляков. Институт математики с вц УНЦ РАН. Уфа. 29-34. 2000. https://www.researchgate.net/publication/291829910

Анна Евгениевна Салимова, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: anegorova94@bk.ru

Булат Нурмиевич Хабибуллин, Башкирский государственный университет, ул. Заки Валиди, 32, 450076, г. Уфа, Россия E-mail: khabib-bulat@mail.ru