CC BY
30
Уфимский математический журнал. Том 1. № 1 (2009). С. 77-83.
УДК 517.538.2
ПОЛНОТА СИСТЕМ ЭКСПОНЕНТ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ НА ЛУЧЕ И ХАРАКТЕРИСТИКА КОРЕНБЛЮМА-СЕЙПА
Б.Н. ХАБИБУЛЛИН
Аннотация. Пусть {А&} - последовательность точек в правой полуплоскости комплексной плоскости. В терминах характеристики Коренблюма-Сейпа, возникшей при описании распределения нулей функций из равномерных пространств Бергмана в единичном круге, даются достаточные условия полноты экспоненциальной системы {e-Afcx} в пространстве функций на положительной полуоси, интегрируемых в p-ой степени со степенным весом.
Ключевые слова: положительная полуось, весовое пространство интегрируемых функций, экспоненциальная система, полнота, единичный круг, пространство Бергмана.
В статье приводятся некоторые достаточные условия полноты системы экспонент в весовых пространствах функций, интегрируемых со степенным весом на положительной полуоси R+ := {x £ R: x > 0} вещественной оси R комплексной плоскости C. В основном мы используем сведения и придерживаемся терминологии, определений и соглашений из книг А.М. Седлецкого [1] - [4], его обзора в соавторстве [5], совместной монографии К. Жу, Б. Коренблюма, Х. Хеденмальма [6], а также нашего обзора по полноте экспоненциальных систем [7].
Пусть а £ R и 1 ^ p < Весовое нормированное пространство Lpa := La(R+)
состоит из всех измеримых по мере Лебега на R+ функций f с почти всюду определенными значениями1 в C и с конечной нормой
1/р
|f (x)|pxa dx
Легко показать, да и известно (см. [3], п. 9.4.1), что при p > 1 (топологически) сопряженное к Lpa пространство (топологически) изоморфно пространству L^ с
р,а
11 p aq а —I— = 1, т. е. q := -, и р :=--
р д р — 1 р 1 — р
в том смысле, что действие (линейного непрерывного) функционала, отождествленного с функцией д £ Ьв, на / £ Ь^, задается интегралом ^ /(х)д(х) ёх. Его конечность и непрерывность относительно / £ Ьра обеспечиваются неравенством Гельдера.
Khabibullin B.N. Completeness of exponential systems in spaces of functions on a ray and the Korenblum-Seip's characteristic. © ХАБИБУЛЛИН Б.Н. 2009.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 06-01-00067a, а также программы господдержки ведущих научных школ РФ, проект НШ-3081.2008.1. Поступила 9 марта 2009 г.
1Как обычно, почти всюду совпадающие функции отождествляются.
Нам потребуется и пространство LP := Цр?(М+) с в G R, состоящее из измеримых на R+ функций д с конечной нормой
||g|U,e := SUP ess {g(t)te: t G R+},
где операция sup ess - существенная верхняя грань относительно меры Лебега на R. Так, сопряженное к Lla отождествляется с пространством с в = —а и таким же действием функционала с функцией-представителем g G LP на f G Lla в виде интеграла, как и выше. Конечность и непрерывность здесь гарантируются уже элементарными оценками сверху модуля интеграла с "вынесением" за его знак величины ||g|P,e.
Пусть N = {1, 2,... } - множество всех натуральных чисел, Л = (Лк} С C, k G N - пустая, конечная или счетная последовательность точек (чисел) Лк на (из) C, порождающая экспоненциальную систему или систему (кратных) экспонент
ЕхрЛ :={zn-1eXz : Л G Л, 1 ^ n ^ Л(Л), n G N} , z G C,
где Л(Л) — число вхождений точки Л G C в последовательность Л.
Очевидно, что для каждого p G [1, включение Ехрл С Lpa имеет место, если и
только если для всех Лк G Л справедливо неравенство Re Лк < 0. Система Ехрл полна в La, когда замыкание в Lpa линейной оболочки системы Ехрл совпадает с Lpa.
Приведем ряд известных достаточных условий полноты экспоненциальной системы Ехр_л, Л С C+, —Л := { —Лк}, в пространствах вида U^. Далее D(z,t) — открытый круг радиуса t > 0 с центром в точке z G C.
1. Полнота системы Ехр_л в L\ эквивалентна условию (теорема Мюнтца-Саса)
Re Лк
(2)
Е
1 + À |
2
2. При 1 < р < и — 1 < а ^ шт{0,р — 2} условие (2) достаточно для полноты системы Ехр_л в Ьра (см. [1] - [3], Теорема 9.6.3, [4]). Это же условие достаточно для полноты системы Ехр_л в Ьра при любых р Е [1, и а Е (—1, если для Л выполнено дополнительное условие (см. [3], Теорема 9.4.6)
,т£ 1Хк — гу|
к . + 2 ¿У< + (3)
J_ж 1 + У2
3. Пусть 1 ^ р < и —1 < а < а <р: ^ — убывающая функция и
Если
КеЛк / , Ке Лк
^ Re Àk ( ,
^ÎTjÀkF n- log1 + |Àk |2
= +œ,
то Ехр_л полна в Lpa (см. [1],8.3, Теорема 1, [3], 9.4).
4. Пусть 1 < p ^ 2 up — 2 < а < а N_(x) — число точек последовательности Л в круге ü(x,\/x2 — 1 ), x > 1. Если
NX(x) а — (p — 2) lim sup —-- > -,
x^+œ x log x p
то система Ехр_л полна в Lpa (см. [1], 8.3, Теорема 8, [3], 9.5, Теорема 9.5.4).
5. Пусть 1 < p ^ 2 и p — 2 < а < +œ. Если при некотором h > 1
lim sup —-- V
„ . . n - псг 1" r j
Re (Àk — x) > а + 2 — p
— l0g x x<Rtlk<hx 1 + 1 — x|2 2p
то система Exp_л полна в Lpa (см. [8],Теорема 3).
По-видимому, А.М. Седлецкий был первым, кто привлек пространства Бергмана A_Y в круге [6] для доказательства теорем о полноте экспоненциальных систем в Lpa из пп. 3 -5. Все эти результаты А.М. Седлецкого в том или ином смысле точны [1] - [5], [8]. В настоящей статье также используется описание нулей голоморфных функций из равномерных пространства Бергмана A_Y, для которых в этом направлении известны весьма точные и глубокие результаты (см. [6], гл. 4).
Через C+ := {z £ C: Re z > 0} обозначаем правую полуплоскость в C. Для формулировки основного результата определим одну характеристику конечной последовательности точек S, лежащей на расширенной мнимой оси ¿[-то, +то]. Пусть {In} — система дополнительных к этой последовательности интервалов на ¿[-то, +то]. Величину |In| определим1 как раствор угла, под которым виден интервал In из точки 1 £ C, деленный на п. Через нее определяется характеристика Берлинга-Карлесона последовательности S (относительно правой полуплоскости)
х(S):= £ |In| ln(l/|In|). (4)
n
Пусть Л = {Afc} — последовательность точек в C+. С каждой точкой ¿y, y £ [-то, +то], свяжем дугу гiy £ C+ окружности с центром на мнимой оси, соединяющую точки 1 и ¿y. Очевидно, при y £ R \ {0} центр этой окружности — пересечение серединного перпендикуляра к отрезку [1, ¿y] с мнимой осью ¿R. В крайних же ситуациях г^0 = (0,1], Гг-(±те) = [1, +то). Затем положим rs = U {riy: ¿y £ S} и
rs):=1 ^ (1 -
1 - Ak
1 + Ak
2 V (5)
+ Ak |
7 А^е^д
— характеристика Коренблюма-Сейпа последовательности Л относительно подмножества Б С ¿[-то, (для правой полуплоскости). Будет доказана
sup (Е(Л, rs) - К(S) - 2 ^^ log х(S)) = +то, (6)
s v p p /
Теорема. Пусть 1 ^ p < +то и -1 < а < +то. Если
1 + а 01 + а
-к(S) - 2-
s V p p
где sup берется по всем конечным подмножествам S расширенной мнимой оси, то система Ехр_л полна в La.
Случай а = 0 был ранее схематично рассмотрен в нашем обзоре (см. [7], Пример 2.1.1).
Следствие. Пусть 1 ^ p < +то и -1 < а < +то. Если
1 ^ Re Ak 1 + а lim sup ^ . ) --г—рг > —— , (7)
К(S) 1 + |Ak|2 2p
то система Ехр_л полна в Lра. Доказательство Теоремы
Через const. обозначаем постоянные из R+. Будем исходить из известного факта (см. [3], Лемма 9.4.1)о том, что неполнота системы Ехр_л в Lpa влечет за собой существование голоморфной в правой полуплоскости ненулевой функции F, обращающейся в нуль в каждой точке A £ C+ с кратностью не ниже Л^), вида
г
G(z) := / e_zig(t)dt, Re z> 0, g £ Lq0, (8)
1Это гармоническая мера интервала In для C+ в точке 1.
2
о
где (см. (1) и ниже)
(P - 1 ( а 1 - при p> 1, -- при p> 1,
P ' P , в := < 1 - P то при p = 1, [-а при p = 1.
При p > 1 из представления (8) и неравенства Гельдера для всех z Е C+ получаем (см. [3], Доказательство теоремы 9.4.1) неравенство
/г те \ 1/p
|G(z)|i ЫЫ/ e-p,R"tadt
' = 7Mqfe fe-x« dx = (9)
(Re z) p Jo (Re z) p
При p =1 такое же неравенство с q = то следует из элементарной оценки интеграла с "вынесением" из под модуля интеграла.
Замена F(z) := G (j+Z), z Е D, определяет голоморфную в единичном круге D := {z Е C: |z| < 1} ненулевую функцию F, которая обращается в нуль на последовательности точек A = {ßfc} С D с кратностью не ниже A(a) в каждой точке а Е D, где
ak := Щк, а (9) дает
11 i2 1+а
const. const. 1 + z p , . |2ч-
2 - p
|F (z)| ^ ----= , _ 1+a < const. (1 - |z|
Re
1 - z\ p (1 - |z|2) p
1 +
Иначе говоря, supzею (г)|(1 — |)(1+а)/р < +то. Это означает, что функция F принадлежит классическому равномерному пространству Бергмана
:= {/ Е Нс1(О): ||/1|_7 := sup(1 — |/(г)| < +то}
1 + а
при 7 = - (см. [6], 4.3), где Нс1(Б) — пространство голоморфных в области Б С С
р
функций. Известны тонкие необходимые условия для (под)последовательностей нулей функций из таких пространств, полученные К. Сейпом (см. [9], Теорема 1), которые мы используем в модификации (см. [6], Теорема 4.24). Для конечной последовательности Б точек на единичной окружности дО введем обозначение (для О)
:= (гг Е 0: 0 ^ г< 1,г Е Б}, (10)
которое выше использовалось для правой полуплоскости (см. абзац перед (4)). Здесь уже через |/га| обозначим длины дополнительных к Б дуг на дО, деленные на 2п, а затем по правилу (4) определим характеристику Берлинга-Карлесона последовательности Б (относительно О).
Пусть А = (йк} — последовательность точек в О. Характеристика Коренблюма-Сейпа последовательности А относительно конечной последовательности Б Е дО (для единичного круга) определяется как
E(A,rs) :=1 — |ak|2).
ak&s
Для любой подпоследовательности нулей A = (ak} ненулевой функции F G A-Y справедливо неравенство (см. [9], [6], Теорема 4.24)
12
E(A, rs) ^ - К(S) + - log К(S) +const., (11)
pp
где const. не зависит от выбора конечной последовательности S С дD. После "пересадки" этого результата в правую полуплоскость посредством конформного дробно-линейного отображения z ^ , z £ D, левая часть (11) преобразуется в характеристику Коренблюма-Сейпа последовательности Л для правой полуплоскости относительно последовательности, являющейся образом S С дD при нашем дробно-линейном отображении и по-прежнему обозначаемой той же буквой S С ¿[-то, +то], т. е. совпадает с (5). При этом радиальные интервалы из (10) переходят в дуги окружностей гiy £ C+, проходящих через точки 1 (образ нуля) и ¿y £ S С ¿[-то, +то] ортогонально мнимой оси в силу конформности дробно-линейного отображения и "хороших" границ круга и полуплоскости. Очевидно, центры этих окружностей лежат на мнимой оси. Таким образом, характеристика Берлинга-Карлесона конечной последовательности S С дD относительно D преобразуется в характеристику Берлинга-Карлесона ее образа на ¿[-то, +то] из (4) относительно правой полуплоскости. Отсюда при условии неполноты системы Ехр_л в пространстве Lpa из (11) получаем
Е(Л, rs) ^ y К(S) + 2ylog К(S) +const.,
где const. не зависит от конечного подмножества S С ¿[-то, +то]. Это противоположное к (6) неравенство и доказывает теорему.
Замечание 1. В отличие от условия расходимости ряда (2) условие полноты (6) уже тесно связано со значениями показателей p и а.
Замечание 2. Теорема содержательна лишь в двух случаях:
1) при p =1 для любого а > -1;
2) при 1 < p < +то, но а > min{0,p - 2}.
Действительно, выполнение условия (6) обеспечивает по определению (5) расходимость ряда
Re Ak
Е
k |1 + Ak|2'
вследствие чего неравенство
Re A Re A Re A ^ Л „
^ -ГТТ7Т, Re A > 0
|1 + А|2 1 + 2Б,е А + |А|2 1 + |А|2
влечет за собой выполнение условия расходимости ряда (2). А тогда уже "работает" утверждение 2 после (2). Из того же утверждения при выполнении условия Ладыгина (3) наша Теорема "проигрывает" условию (2) при всех р £ [1, и а £ (-1,
Замечание 3. Возможны и другие версии характеристик Берлинга-Карлесона и Коренблюма-Сейпа, а как следствие, и иные формы Теоремы (см. [6], Теорема 4.25), [9], Теорема 1).
Доказательство Следствия Из условия полноты (6) Теремы и определения (5) характеристики Коренблюма-Сейпа следует, что условие
1 ^ ^ Ак ^ 1 +а пш вир ^ . ) --—гт > —— (12)
х(Б) |1 + Ак|2 2р ^ ;
достаточно для полноты экспоненциальной системы Ехр_л в в ограничениях Теоремы или Следствия. Случай существования предельной точки в С+ для последовательности Л тривиален (система полна) и вписывается в условие (6), поскольку левая часть этого условия в такой ситуации равна Поэтому далее предполагаем, что у последовательности Л нет предельных точек в С+. Из условия полноты (12) следует, что для доказательства
Следствия достаточно установить следующий факт: при любом достаточно малом е > 0 неравенство
1 1 >
|1 + Afc|2 " (1 + e)(1 + |Afc|2)
выполнено для всех номеров к, исключая, быть может, конечное число их. Другими словами, достаточно установить неравенство
(1+ e)(1 + |A|2) ^ |1 + A|2, VA g C+ \ Ke, (13)
где K£ — некоторый компакт в C+. В полярной форме это неравенство приобретает вид
e(1 + r2) ^ 2rcosA = rei^, r = |A|, ^ g R.
При r < e/2 и r> 2/e справедливы, соответственно, неравенства
e(1 + r2) ^ e ^ 2r ^ 2r cos ^ при r ^ - ,
и
e(1 + r2) ^ er2 ^ e— r = 2r ^ 2r cos ^ при r ^ - .
-Кроме того, при cos ^ < e имеем
e(1 + r2) ^ e ■ 2r ^ 2r cos Следовательно, в качестве компакта K£ в (13) можно выбрать множество
e2
K£ := {z = re^ : - ^ r ^ - , cos ^ ^ e}
— компакт в C+. Следствие доказано.
Замечание 4. Гораздо более сложный вопрос о необходимых условиях полноты системы Ехр_Л в Ьра в терминах характеристик Берлинга-Карлесона и Коренблюма-Сейпа предполагается рассмотреть позже.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sedletskii A.M. Fourier transforms and approximation. An Internat. Ser. Monogr. Math. Amsterdam: Gordon and Breach Science Publisher. 2000. 261 p.
2. Седлецкий А.М. Аналитическое преобразование Фурье и экспоненциальные аппроксимации.
I. Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 5. M.: МАИ. 2003. 152 с.
3. Седлецкий А.М. Аналитическое преобразование Фурье и экспоненциальные аппроксимации.
II. Современная математика. Фундаментальные направления. Т. 6. M.: МАИ. 2003. 162 с.
4. Седлецкий А.М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физматлит. 2005. 503 с.
5. Моисеев Е.И., Прудников А.П., Седлецкий А.М. Базисность и полнота некоторых систем элементарных функций. М.: Вычислительный центр РАН. 2004. 146 стр.
6. Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces. Graduate Texts in Mathematics. V. 199. N. Y.: Springer-Verlag. 2000. x+289 p.
7. Хабибуллин Б.Н. Полнота систем экспонент и множества единственности. Уфа: РИЦ БашГУ. 2006; издание второе, дополненное, 2008. xvi+172 с.
8. Седлецкий А.М. Аппроксимация типа Мюнца-Саса в весовых пространствах Lp и нули функций классов Бергмана в полуплоскости, // Известия вузов. Математика. 2008. № 5. С. 92-100.
9. Seip K. On Korenblum's density condition for the zero sequences of A-a //J. d'Analyse Math. 1995. V. 67. P. 307-322.
Булат Нурмиевич Хабибуллин,
Башкирский государственный университет,
ул. З. Валиди, 32,
450074, г. Уфа, Россия
Институт математики c ВЦ УНЦ РАН,
ул.Чернышевского, 112,
450077, г. Уфа, Россия
E-mail: [email protected]
