CC BY
101) В (13) положим д = 2. Тогда Ь2'в ^ Ьра, если 1 ^ р < 2 и в/2 > а/р + (1/р - 1/2). Значит, если последнее условие выполнено, то полнота системы е(Л) в Ь2'в влечет ее полноту в Ьр'а. По теореме 1 полнота системы е(Л) в Ь^ влечет ее полноту в Ьа.
Пусть выполнено условие (4). Фиксируем в таким, чтобы ¿(Л) > в/2 > а/р + (1/р -1/2). Тогда в > 0, и по теореме А система е(Л) полна в Ьв. Следовательно, она полна и в ЬЬа. Утверждение 1 доказано.
2) В (13) поменяем местами р и д, а также а и в и положим д = 2. Тогда если р > 2 и
в/2 < а/р + (1/р - 1/2), (14)
то Ьр'а ^ Ь2'в. По теореме 1 неполнота системы е(Л) в Ьв влечет ее неполноту в ЬО*.
При заданном е > 0 фиксируем в > 0 таким, чтобы вместе с (14) выполнялось условие
а/р + (1/р - 1/2) - е/2 < в/2. (15)
По теореме А найдется последовательность Л1, такая, что
¿(Л1) > в/2 - е/2 (16)
и система е(Л1) неполна в Ьв. Значит, она неполна и в Ьа. Из (15) и (16) видно, что условие (5) для плотности ¿(Л1) выполнено. Утверждение 2 также верно. Теорема 2 доказана. Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 13-01-00281-а.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Седлецкий А.М. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физ-матлит, 2005.
2. Седлецкий А.М. Аппроксимация типа Мюнца-Саса в прямых произведениях пространств // Изв. РАН. Сер. матем. 2006. 70, № 5. 179-198.
3. Седлецкий А.М. Аппроксимация типа Мюнца-Саса в весовых пространствах Lp и нули функций классов Бергмана в полуплоскости // Изв. вузов. Матем. 2008. № 5. 92-100.
4. Хабибуллин Б.Н. Полнота систем экспонент в пространствах функций на луче и постоянная Коренблюма-Сейпа // Уфим. матем. журн. 2009. 1, № 1. 77-83.
Поступила в редакцию 07.02.2013
УДК 511
ОЦЕНКИ ПОЛНЫХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ С ПРОСТЫМ ЗНАМЕНАТЕЛЕМ
А. Н. Васильев1
В работе получены верхние оценки полных рациональных тригонометрических сумм специального вида с простым знаменателем.
Ключевые слова: верхние оценки, полные рациональные тригонометрические суммы.
Upper bounds are proved for special complete rational exponential sums with a prime denominator.
Key words: upper bounds, complete rational exponential sums. Мы будем рассматривать полные рациональные тригонометрические суммы с простым знаменателем S = S (/) = Yl е 71 р г, где / (ж) = а\Х + агж2 + ... + апхп — многочлен с целыми коэффициентами,
x=1
1 Васильев Антон Николаевич — преп. каф. математики и информатики Казахстан. филиала МГУ (г. Астана), e-mail: antonvassilyev@mail.ru.
р ^ 3 — простое число, р > п. Такие суммы можно оценить тривиально: \ ^ р. Поэтому встает задача нетривиальной оценки 5, т.е. оценки вида \ ^ рА, где А — понижающий множитель, А < 1. Здесь самой известной оценкой является классический результат А. Вейля [1]: если (ап,р) = 1, то
SI = |S (f )| =
Е
x=1
о f(x) ■
e p
n — 1
Vp
Несколько ранее И. М. Виноградовым [2] была получена аналогичная оценка для сумм Гаусса: если (а,р) = 1, 6 = (п,р — 1), то
' р '
Е
x=1
ep
< (5 - 1) у/р.
В случае, когда на п и коэффициенты / (х) наложены некоторые дополнительные условия, можно получить оценки, улучшающие оценку Вейля. Это сделано, например, А. А. Карацубой в работе [3].
Теорема (А.А. Карацуба [3]). Пусть / (х) = ах + Ьхп, (а,р) = (Ь,р) = 1, 2 ^ п ^ р — 1. Тогда имеем
IS I = \S (f )| =
E
x=1
о-j- ax + bxn
e P
13
^ (n — l)4 pi.
В работе [4] Н. М. Акулиничевым были получены следующие оценки.
Если р ^ 3 — простое число; А, В, п — натуральные числа; р > п; 6 = (п,р — 1); (А,р) = (В,р) = 1,
то
Е
x=1
2-7Г Ах" + Вх J ep
<
p
Если p ^ 3 — простое число; a,b,k,n — натуральные числа; n\('p — 1); (n,k) = 1; 5 = (k,p — 1); (a,p) = (b,p) = 1, то
E
x=1
2жахП+Ьхк', ep
< -^= + (¿-1)^1.
n
Если (a,p) = (b,p) = (c,p) = 1; ni \(p — 1); n2\(p — 1); (ni,n2) = 1; (k,p — 1) = 1; (k,ni) = 1, то
p
E
x=1
2тГ -
e
-nl+bxn2+cx
< y/2-
p
Приведенные выше результаты из работ [3] и [4] натолкнули автора на мысль о получении оценок для более широких классов тригонометрических сумм схожими методами. В этом смысле теорема 1 опирается на работу [3], а теорема 2 — на работу [4]. Теорема 3 представляет результат, в специальном случае улучшающий оценку Вейля-Виноградова гауссовой суммы.
Теорема 1. Пусть 1 ^ к < п ^ р — 1, (к + 1) \п, / (х) = а\х + а2х2 + ... + акхк + апхп, (а\,р) = (а2,р) = ... = (аи,р) = (ап,р) = 1. Тогда
ISI = \S (f )| =
Е
x=1
о f(x) ■ ep
<
к\пр2к+1)2к+2 .
Доказательство. Рассуждениями, аналогичными проведенным при доказательстве теоремы 1 в [3],
ici2fc+2^ pk+1N p2k+2 at
получаем, что ^ p-i--p-i ' Г1П,е — число решении системы сравнении
'Ж1 + Х2 + ... + xk+i = yi + У2 + ... + Ук+1 (mod p), x2 + x2 +... + xk+i = y2 + y| +... + y|+i (mod p),
xk + xk + ... + xk+1 = yk + yk + ... + yk+1 (mod p), хП + + ... + x1+1 = уП + уП + ... + y1+1 (mod p), { 1 ^ x1, x2, . . .,xk+1,Уl,У2, . . . , Ук+1 ^ p.
p
Зафиксируем У1,У2,... ,Ук+1 (таких наборов рк+1 штук). По формулам Ньютона [5, с. 225] выражаем через них 51 (хь... , Хк+1) = Х1 +...+ Хк+1, ..., Бк(х1,... , Хк+1) = Ж1 ...Хк +...+ Х2 .. .Хк+1. Далее, также пользуясь формулами Ньютона, нетрудно показать, что у?+у?+.. .+У?+1-(х? +х?+.. .+х?+1) при (к+1) \п есть многочлен степени относительно 8к+\{х\^..., Хк+{) = Х\.. .Хк+\ со старшим коэффициентом ±(к + 1). Следовательно, для мы имеем не более значений, далее по 5*1, ¿>2,..., ц значения
Х1,Х2,...,Хк+1 определяются однозначно с точностью до перестановки. Отсюда получаем оценку N ^ Рк+1ТШ)(к + = Рк+1пк\. Следовательно, \8\2к+2 < р2*У - ^ < пк\р2к+1 при пк\ < р, откуда 15*1 ^ (пк\р2к+1) 2к+2 при пк\ ^ р. Но при р < пк\ имеем |5| ^ р < (пк\р2к+1) 2к+2. Итак, в любом случае
1 1 1
15*1 ^ (пк\)2к+2р 2к+2. Теорема доказана.
Теорема 2. Пусть р ^ 3 — простое число, а к,П1,П2,...,Щ — такие натуральные числа, что р - 1 ^ пг > к и (пг, к,р - 1) = 1 при 1 ^ г ^ I. Пусть / (х) = а1 Х + а2Х2 + ... + акХк и д (х) = Ь1ХП1 + Ь2ХП2 + ... + Ь^х?1 — такие многочлены с целыми коэффициентами, что (ак,р) = 1. Тогда справедлива оценка
Е
x=1
2жгПх)+9(х)
e p
.1 _i -Л
к - 1\ 2«
VP
где ¿r = (nr ,p — 1).
t = 1
p
£
x=1
Доказательство. Обозначим 8 = £ е р ■ Доказательство проведем индукцией по При
f (ж) + g (ж) = a1x + a2x2 + ... + akxk + b1xni,
P а1х + а2х2 + ... + акхк+Ь1х"1
5 = Ee 5 •
x=1
Обозначим Y = {y : 1 ^ y ^ p, yni = 1 (mod p)}. Тогда \Y\ = (n1,p — 1) = ¿1, откуда
¿15 = EE e
y£Y x=1
2ni
1 2 2 1 1 к к | l Щ1 Щ1
а1ху + а2х у +... + akx у +bix 1 у 1
e
x=1yeY
2ni
2 2 1 1 к к I l щ
"lig+дг1 У +--- + gfc3: У 1
Имеем
¿1 \S\ < E
x=1
e
yeY
2ni
а1ху + а2х2у2 + ...+акхкук+Ь1хгг1
E
x=1
2 2 к к
. У +--- + akx У
Ee
yeY
Далее воспользуемся неравенством о среднем арифметическом и среднем квадратическом:
2
p
¿1 \s\2 < pE
x=1
Е
yeY
а1хУ+а2х2У2 + --- + акх"У
е р
кк
p
pe x=1 yi,y2eY
2ni
a1x(y1-y2) + a2x2(yJ-y%) + ... + akxk(yl{-y%)
<
< p E
yi,y2eY
P / \ 2/ 2 2ч , к/ к к\
Е<
x=1
и
2тгг-
Теперь заметим, что если У1,У2 £ У и у1 = у2, то (ук - ук,р) =1 (в силу условия (т,к,р - 1) = 1). Разобьем К2 на два множества:
Y2 = У х К = (Г2)' и (К2)",
где (У"2)' = {(У1,У2): У1,У2 £ У,У1 = У2} и (У2)'' = {(уьу2): У1,У2 £ У,У1 = У2} . Тогда |(У2)'| = ¿1 и |(У2)'' | = ¿2 - ¿1. Имеем
¿2 \s\2 < p Е
Е
2тгг-
yi,y2eY x=1
yi =y2
+
p
p
p
+p Е
V1,V2€Y
У1=У2
Р а1х(у1-у2) + а2х2(у'1-у'%) + ... + акхк(у\-у^)
Е'
x=1
2тгг-
^p25l+p{52l-5l){k-l)^p
(здесь мы применили известную оценку Вейля к каждой из сумм), откуда (б*! ^ + р2 (к — 1), следовательно, 15*1 ^ + р~*у/к — 1 = р + (^г)^ • Для ^ = 1 оценка доказана. Пусть теперь она доказана
для некоторого Ь — 1, Ь ^ 2. Докажем ее для Ь. Пусть, как и ранее, У = {у : 1 ^ у ^ р, уп1 = 1 (шоё р)}, \У\ = (п\,р — 1) = 61. Аналогично рассуждая, получаем
5i \S\
x=1
e
yev
2ni
a1xy + a2x2y2 + ... + akxkyk+b2xn2yn2+...+btxntynt
откуда
52 \S\2 < p Е
yi,y2ev
Е'
x=1
2ni
a1x(y1-y2) + a2x2(yj-y2) + ... + akxk(yk-yk) + b2xn2(y^2_y«2)+^^hxnt(ynt_ynt)
P
<
(1 1 1 / h — Л \ 2p
Следовательно,
Отсюда получаем
Г)2 / _I _I 1
к - 1\ 2«
к - 1\ 2«
Теорема доказана.
Теорема 3. Пустър ^ 3 — простое число, п — натуральное число, п\(р — 1), ^ нечетно и (а,р) = 1.
Тогда
Ее р
x=1
^ л/2-
Доказательство. Имеем
Е
a=i
Е
x=1
ep
p p p ЕЕЕ e
a=1 xi = 1 Х2 = 1
„ . a(xi>-xn) p p p a(xn —хЦ)
p = p =pN
xi=1Х2=1a=1
где N — число решений сравнения xП = xП (mod p), т.е. N = 1 + n(p — 1). Получаем
p-i
p
a=1
E2m3^L-
e p
x=1
= p(1 + n(p — 1)) — p2 = (p2 — p)(n — 1)
Пусть g — первообразный корень по модулю p, и пусть a = gnh+t (mod p), где h — целое число, t £
{0,1,... ,n — 1}. Обозначим S(a) = p , fl = 1, — 1- При одинаковых значениях t (и разных
x=1
значениях h) суммы S(a) одинаковы. Суммы S(a) и S(—a) одинаковы по модулю, и у a и (—a) разные значения t (так как из сравнения —1 = gnh' (mod р) следует, что (—l)^- = (mod р), откуда
— 1 = 1 (mod p) — противоречие). Тогда
n- 1
n
t=i
p atxn
2m
ep
E
x=1
( p2 — p )( n — 1)
(p
—¡^-= pn(n — 1),
p
1
1
2
2
2
n— 1
2\S(а)|2 = \S(a)|2 + \S(-a)|2 < £
t=i
e
x=1
p
откуда
Теорема доказана.
ic/ м ^ Рп(п-1) Пу/р №)1 < \1—2— <
= pn(n — 1),
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Weil A. On some exponential sums // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1948. 34, N 5. 204-207.
2. Виноградов И.М. Избранные труды. М.: Изд-во АН СССР, 1952.
3. Карацуба А.А. Об оценках полных тригонометрических сумм // Матем. заметки. 1967. 1, № 2. 199-208.
4. Акулиничев Н.М. Оценки рациональных тригонометрических сумм специального вида // Докл. АН СССР. 1965. 161, № 4. 743-745.
5. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Физматлит, 2004.
Поступила в редакцию 22.10.2012
2
УДК 511
ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ РАЗНЫХ МЕТРИК ДЛЯ КЛАССОВ ФУНКЦИИ С ДОМИНИРУЮЩИМ СМЕШАННЫМ МОДУЛЕМ ГЛАДКОСТИ
Т. Ф. Исмагилов1
В работе доказываются теоремы вложения в смешанной норме для классов функций с доминирующим смешанным модулем гладкости, являющихся обобщениями хорошо известных классов Никольского.
Ключевые слова: доминирующий смешанный модуль гладкости, теоремы вложения, смешанная норма.
Embedding theorems in a mixed norm are proved in the paper for classes of functions with a dominanting mixed modulus of smoothness being extentions of well-known classes of Nikol'skii.
Key words: dominanting mixed modulus of smoothness, embedding theorems, mixed norm.
Хорошо известны классы функций Никольского H^'р^ и SH^^ и теоремы вложения для них (см., например, [1-8]). В работе [9] введены в рассмотрение классы функций SH(p1,p2,a1,a2,@1 ,в), являющиеся обобщениями этих классов, и рассмотрены теоремы вложения разных метрик, доказаны условия, при которых SH(p1,p2, а1, а2,в1 ,в2) С SH(q1, q2, а\, а*2,@1,@2), 1 ^ pi < qi ^ го, i = 1, 2, в случае, когда и
А > 777 — 777. и /52 > ---—. В настоящей работе рассматриваются для этих же классов функций теоремы
вложения в случае, когда одно из этих условий заменяется условием 0 < [3i ^ — ф .
Будем писать, f £ LpipP2, если f (ж1,Х2) — измеримая на [0,2п]2 функция двух переменных, 2п-периодическая по каждому из них и такая, что \\f||pi,P2 ^ C < го, где 1 ^ pi ^ го; \\f||pi p2 =
Ilpi}\\p2; \\F\\Pi = (/02n\F\Pidxi)1/Pi, если 1 ^ pi < го; \\F\\p. = sup vrai \F\, если pi = го.
x^[0 ,2n)
Обозначим через
Wfcx (/A)P1 ,p2 = sup \hi |
Efcl=o (—1)'1 CH/(xi + vihix)
P1,P2
1 Исмагилов Тимур Фаритович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tismagilov@mail.ru.
