Робастные системы модального управления с полиномиальными регуляторами Текст научной статьи по специальности «Медицинские технологии»

функциональные модели очень удобны для исследования сложных распределенных систем.

Эти и другие особенности последних двух представленных методов анализа и синтеза РМС управления СИО делают их привлекательными для анализа сложных объектов управления и использования в задаче формализации процесса проектирования распределенных микроконтроллерных систем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Волкович В. Л., Волошин А. Ф., Горлова Т. М. и др. Методы и алгоритмы автоматизированного проектирования сложных систем управления. - Киев: Наук. Думка, 1984. -216с.

2. [Ценников Ю. Ф. и др. Проектирование управляющих вычислительных комплексов для АСУ ТП. - М.: Энергоатомиздат, 1986. - 184 с.: ил.

3. Прангашвши И. В. Микропроцессоры и локальные сети микро-ЭВМ в распределенных системах управления. - М.: Энергоатомиздат, 1985. - 272 с., ил.

4. Рубцов Ю. Ф. методологические и теоретические основы процесса проектирования автоматизированных систем обработки информации и управления.// Приборы и системы управления. 2000, №2. С. 1-4.

УДК 62-83:62-503.53

С. В. Тарарыкин, В. В. Тютиков

РОБАСТНЫЕ СИСТЕМЫ МОДАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПОЛИНОМИАЛЬНЫМИ РЕГУЛЯТОРАМИ

Использование полиномиальных регуляторов (ПР) входа-выхода в рамках метода модального управления (МУ) позволяет расположить заданным образом полюса передаточной функции (ПФ) замкнутой линейной стационарной системы. Этот подход имеет хорошо проработанный математический аппарат и детально описан в научной литературе [1,2, 3]. В [4] показано, что ПР обладают рядом преимуществ по сравнению с безынерционными регуляторами состояния: они требуют минимального набора измерительных устройств, позволяют легко варьировать фильтрующие свойства регулятора, обеспечивают меньшую статическую ошибку т.д.

Однако, с практической точки зрения, полученные решения часто могут быть неприемлемы из-за отсутствия у замкнутой системы (ЗС) свойства робастности, поэтому интерес представляет оценка возможности получения робастных решений, которую можно было бы сделать на ранних этапах проектирования, а именно при определении математической модели объекта управления (ОУ) и задании технических требований к замкнутой САУ.

Под робастной будем понимать систему МУ с гурвицевым характеристическим полиномом (ХП), в которой отсутствуют неминимально-фазовые звенья в

Г1Р входа-выхода, поскольку их наличие делает систему значительно более чувствительной к вариациям параметров как объекта, так и регулятора.

При отсутствии нулей в ПФ по управляемой координате робастные решения можно получить на основе выбора рациональной размерности вектора состояния математической модели ОУ [5], учитывая только те переменные состояния (ПС), изменение которых происходит в темпе, соизмеримом или более медленном, чем темп, определяемый назначенным ХП.

Однако достаточно часто можно встретить динамические объекты, ПФ которых имеют нули. Значения последних, как будет показано ниже, оказывают значительное влияние на результаты синтеза ПР. Типичными ОУ такого рода являются многомассовые упругие электромеханические системы, управляемые по скорости (углу) одной из промежуточных масс, например, ротора электродвигателя.

Поэтому практический интерес представляет определение условий синтеза робастных систем МУ на основе ПР, при наличии нулей в передаточной функции объекта управления

_ B(s) _ bmsm +... + bji + b0

rio —----Г' ~-------------------»

A(s) ansn + ajS + a0

Метод полиномиальных уравнений не накладывает ограничений на увеличение порядка ПФ регулятора, однако для последующей технической реализации целесообразным является синтез наиболее простого управляющего устройства. Поэтому результаты получены для минимальных регуляторов, то есть регуляторов, имеющих минимально возможные по условиям разрешения уравнения синтеза степени полиномов числителя и знаменателя.

Для замкнутой системы, изображенной на рис. 1, уравнение синтеза имеет

вид

A(s)C(s) + B(s)R(s) = D(s), где- R(s) = r¡csk -к..+i^s+ro и C(s) = c|sl+... + c¡s + Co - полиномы регулятора, D(s) = dpsp +... + d]S + d0 - желаемый характеристический полином. Условия получения минимального решения будут следующими:

deg C(s) = deg B(s) - 1,

deg R(s) = deg A(s) --1 , (1)

degD(s) = degA(s) + degC(s).

Рис. 1

Решение поставленной задачи будет состоять как в аналитическом исследовании результатов синтеза САУ минимально-фазовыми объектами низкого порядка, так и в распространении этих результатов на системы более высокого порядка.

1. Особенности синтеза полиномиальных регуляторов для объектов первого порядка

Проанализируем влияние нулей ПФ на результаты синтеза ПР для минимально-фазового объекта первого порядка с ПФ

B(s) b]S + b(j A(s) s + a o

Hn

(2)

Согласно (1) примем C(s) ••••• c0. R(s) = r() и D(s) = s + d0. Тогда Г1Ф замкнутой системы будет иметь вид

H(s) = fys+bp__________= bls + bo

s(c0+r0bl) + a0cU+r0b0 S + do Разрешив систему уравнений

|c0 +r0b| =

l.aOcÜ +r0b0 = ^0 b

относительно r0, c0 и обозначив -a0 = Пі,

- H, -d0 = Пж, где ГІЬ Н, П*

полюс и ноль ПФ объекта управления и полюс замкнутой САУ соответственно, найдем ПФ регулятора

•м.,-*- п“п*

со Ь](ПЖ-Н)

Для получения положительных ненулевых значений параметров регулятора должны выполняться условия

Н < Пж < П при Н < П (3)

или

ГІ < Пж < Н при П < Н . (4)

Из условий (3) и (4) становится очевидным, что полюс желаемого ХП должен располагаться между нулем и полюсом ПФ объекта управления.

а б

Рис. 2

На рис. 2 приведены графики, иллюстрирующие возможность выбора Пж для случая минимально-фазового объекта. Очевидно, что при использовании отрицательной обратной связи (ОС) в случае Н < П(рис. 2, а) процессы в САУ можно ускорить относительно темпа их протекания в объекте, а в случае П < Н (рис. 2.1,6) использование отрицательной ОС позволяет их только замедлить. Характер кривых показывает, что при этом САУ имеет робастные свойства. В тех

случаях, когда <0. при небольшом изменении коэффициента усиления в ОС с0

можно получить значительное изменение значения желаемого полюса, то есть САУ становится очень чувствительной к изменениям параметров регулятора. То же самое можно сказать и в отношении вариаций коэффициента усиления ОУ.

Вывод очевиден - наличие нуля в ПФ по управляемой координате ОУ первого порядка серьезно ограничивает возможность выбора желаемого быстродействия ЗС при требовании обеспечения робастных свойств.

Пример. Синтезируем минимальный ПР для минимально-фазового объекта

с ПФ

B(s) s + 1

11 о — ;— —------.

A(s) s + 2

В этом случае П = -2, Н = -1, поэтому для выполнения условий робастности (4) примем Пж = -1.5. Передаточная функция регулятора при соблюдении (2)

имеет вид HD(s) = — = 1 . Оценим робастные свойства ЗС. Ее ПФ имеет вид с0

H(s)=S"'

в +1,5

Если предположить, что коэффициент усиления ОУ с течением времени может увеличиться в <7 раз (ст = \'аг, с > 0), то ПФ объекта управления и замкнутой системы можно соответственно представить в виде

Н0М = 2Й±1», нм, -М?±Ц—,

” ї + 2 а(| + <0 + (1 + 2с0

Очевидно, что при любом изменении коэффициента усиления объекта управления система остается устойчивой.

Выберем Пж за пределами зоны (4), например, Пж = -10. Регулятор примет г —8

вид Нп(8) = —= — . Замкнутая система при номинальных значениях параметров с0 9

объекта имеет ПФ

в + 1

s + 10

является устойчивой и обладает заданными динамическими свойствами.

Введем вариацию а коэффициента усиления объекта. Г1Ф САУ примет вид

H(s) =-------?-S + l)-----.

s(9 - ст8) + (18- а8)

Теперь при достаточно небольшом (о > 1,125) увеличении коэффициента усиления объекта САУ становится неустойчивой, тогда как «запас устойчивости» (значение действительной части ближайшего к мнимой оси корня) второго варианта САУ значительно (в 6 раз) больше, чем первого.

2. Синтез полиномиальных регуляторов для объектов второго порядка Проанализируем аналогичным образом результаты синтеза САУ для минимально-фазового объекта второго порядка

B(S) _ b]S + Ьд

A(s) -f ¿ijS -i- Uy

^0 = Т7ГТ = — . (5)

Согласно (1) примем C(s) = Cq, R(s) — Г] S -г I"q (с последующей

реализацией в цифровой форме) и D(s) = s + dTs + d0 .

ПФ замкнутой системы в этом случае будет иметь вид

bjS + Ьд bjS + Ьд

Н(8) = —----------------

8^(со + Ь^) + б^сц +Ь0Г[ +Ь]1о) + а()Со + Гоьо 8 +й|5 + ё0

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в, получим систему уравнений

с0 + Ь]Г1 = 1, а1с0 + ЬоП + Ь|Г0 = dj, аосо +r0b0 =d0-

Разрешив ее относительно с(Ь г(), г() и обозначив - —= Н , получим

bi

r _ H(a¡ — d[) + (а0 -d0) _ _ Н(ац -do) + (aQd| -a^dp)

‘ b,(H2 +a]H + a0) ’ 10 b,(H2+a,H + a0)

с H2+diH + d<) m

со - —т—-т--------------------------------• w

Н + a j Н н- и q

Предположим, что ХП объекта управления имеет различные корни П, и П2. Так как объект устойчив, согласно теореме Виета

(s - n,)(s - П2) = s2 - (П i +■ П2)5 + П,П2 и Зо = П1П2, —а i =(П i + П2).

Принимая распределение корней желаемого ХП по Ньютону с кратным корнем Пж, получим

(s - Пж)2 = s2 - 2n;Ks +ПЖ2 и d0=n*2, -d^Il*. С учетом принятых обозначений перепишем (6) в виде

r Н^-П.-П.ЖП^-П2)

1 Ь^Н-П^Н-Пз) '

г _ Н(П)П2 -П2 ) + ((П! +П2)П^- -2П;П2Пж)

П Ь^Н-П^Н-П;,) ’ v }

0 (Н-П,)(Н-П2)

Для того, чтобы регулятор был минимально-фазовым звеном, необходимо выполнение условий: г0 > 0 , r¡ > 0 и с0 > 0 .

Знаменатель выражений (7), (8) и (9) одинаков и при кратных или комплексно-сопряженных корнях ХП ОУ всегда принимает положительные значения. Значит, для положительности коэффициентов IIP числители (7), (8) и (9) также должны иметь положительные значения.

Анализ числителей (7), (8) и (9) для кратных и комплексно-сопряженных полюсов объекта (П12 =a±jP) дает следующее условие получения робастных решений

Н-^(Н-а)2 +р2 <ПЖ <H + V(H-ct)2 + p2 , (11)

определяя границы диапазона допустимых значений желаемого среднегеометрического корня (СГК). Очевидно, что значение нуля и полюсов ОУ однозначно определяет эту область.

В случае различных действительных корней знаменатель выражений (8), (9), (10) принимает отрицательные значения при

П, < Н < П2, ГЬ < Н <ПЬ т.е. когда нуль ПФ объекта расположен между полюсами. При этом возникает положительная обратная связь (с0 < 0), а значит не выполняются принятые условия робастности замкнутой системы.

Анализ (7), (8) и (9) в случае расположения нуля вне зоны полюсов показывает, что для оценки предельных значений СГК желаемого ХП можно использовать выражение

н - V(H - П, )(Н - П2) < Пж < Н+V(H - П, )(Н - ri¡j . (12)

Следует отметить, что и при выборе других распределений полюсов (Бат-терворта, Бесселя и т.п.), принципиальная возможность использования (11), (12) остается, поскольку коэффициенты этих полиномов близки (при невысоких степенях) к коэффициентам полиномов Ньютона. Разумеется численные значения допустимых корней желаемого ХП в этих случаях будут несколько отличаться от полученных по (11) и (12).

Таким образом, и для объектов вида (5) значения нуля и полюсов ПФ ограничивают возможный, с точки зрения обеспечения робастных свойств, темп процессов в замкнутой системе.

Для передаточных функций вида

B(s) b2s2 + b¡s + b0

Xi Q — -- — ——Г— --------

A(s) s +a|S + ao

аналитическое решение уравнения синтеза очень трудоемко, поэтому целесообразнее выполнить его численно для характерных случаев расположения нулей и полюсов ПФ объекта управления.

Анализ полученных результатов свидетельствует, что и в этом случае взаимное расположение на комплексной плоскости нулей и полюсов ПФ объекта управления четко очерчивает область допустимых, с точки зрения обеспечения робастных свойств, значений СГК замкнутой системы.

Этот вывод оказывается справедливым н для систем более высокого порядка, однако в этом случае положительности коэффициентов полиномов регулятора уже не достаточно для утверждения о его минимально-фазовости.

Таким образом, оценка взаимного расположения нулей и полюсов ПФ объекта управления дает возможность сделать вывод о предельном, с точки зрения обеспечения робастных свойств, быстродействии систем с минимальными полиномиальными регуляторами при наличии нулей в передаточной функции объекта управления.

Результаты данного исследования могут быть использованы при выборе места установки измерительного устройства. Так, например, в случае многомассового упругого электромеханического объекта, измерители могут быть установлены на одной из промежуточных масс. Оценка взаимного расположения нулей и полюсов полученных ПФ позволит судить о допустимом с точки зрения обеспе-

чения робастных свойств быстродействии САУ и, соответственно о целесообразности измерения той или иной выходной переменной объекта управления при построении САУ и выполнении заданных технических требований.

ЛИТЕРАТУРА

1. Волгин Л. Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.-240 с.

2. Воронов А. А. Синтез минимальных регуляторов, действующих от измеримых входа и выхода линейного объекта// Автоматика и телемеханика. -1993. -N2. С.-34-51.

3. Крутъко П. Д. Полиномиальные уравнения и обратные задачи динамики управляемых систем //Техническая кибернетика. -1986. -N1. -С. 125-133.

4. 'Гарарыкин С. В., Тютиков В. В. Элементы структурной оптимизации следящих электромеханических систем с модальным управлением // Изв. вузов. Электромеханика. -1994. N1-2. -С. 25-31.

5. Тарарыкин С. В., Тютиков В. В. Определение размерности вектора состояния при синтезе управляемых динамических систем // Изв. вузов. Электромеханика. -1995. N1-2. -С. 69-74.

УДК 681.07

В.В.Васильев

СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОНИТОРИНГА В

ЭНЕРГЕТИКЕ

Введение

Интенсивное развитие информационных технологий и их применение к задачам управления сложными человеко-машинными системами привели к увеличению роли моделирования поведения систем и сопровождающего мониторинга. На заре создания таких систем и по мере их усложнения существовали и существуют сейчас задачи контроля состояния системы, оценивания его соответствия установленным требованиям целенаправленного управления [19]. Простейшими примерами таких задач являются: контроль и регулирование температуры производственных и жилых помещений, измерение температуры, влажности, химического состава атмосферы в зернохранилищах и поддержание их в определенных примерах, контроль напряжения и частоты электрического тока в системах энергоснабжения и т.д. Весьма часто человек непосредственно или с помощью автоматических регуляторов управляет процессами и объектами по внутренней своей природе неустойчивыми, склонными к самопроизвольному выходу из стационарного режима (удержание на курсе парусного судна, стабилизация толщины металлического листа или диаметра проволоки в прокатных станах, поддержание устойчивого горения дуги при сварке и др.). Нели количество параметров и переменных состояния динамической системы увеличивается, быстро достигается предел физиологических возможностей человека по восприятию и оперативному оцениванию поступающей информации и принятия правильных управленческих