CC BY
57
УДК 625.083
Тарарыкин Сергей Вячеславович, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой «Электроника и микропроцессорные системы» электромеханического факультета, ректор Ивановского государственного энергетического университета имени В.И. Ленина. E-mail: tsv@ispu.ru Область научных интересов: электронные управляющие и информационно-измерительные системы; высокоточное управление электроприводами; управляемая синхронизация многоканальных электромеханических систем промышленных агрегатов; автоматизация технологических процессов и производств в химической и текстильной промышленности, машиностроении и энергетике; информационно-измерительные микропроцессорные системы и приборы; компьютерные средства автоматизированного проектирования и отладки управляющих систем реального времени.
Аполонский Владимир Викторович, аспирант кафедры «Электроника и микропроцессорные системы» электромеханического факультета Ивановского государственного энергетического университета имени В.И. Ленина. E-mail:
vlad-apolonskiy@yandex.ru Область научных интересов: робастные системы автоматического управления, адаптивные системы управления.
ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
C.B. Тарарыкин, В.В. Аполонский
Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина E-mail: vlad-apolonskiy@yandex.ru
Решаются задачи повышения помехоустойчивости и робастности при одновременном снижении сложности систем автоматического управления с полиномиальными регуляторами «входа-выхода» на основе уменьшения степеней полиномов их передаточных функций. Выявляются возможности, определяются условия и разрабатываются методы редуцирования полиномиальных регуляторов путем формирования определённого распределения полюсов синтезируемых систем. Приводятся примеры эффективного управления объектами различной степени сложности с «быстрыми» и «медленными» нулями на основе использования редуцированных регуляторов.
Ключевые слова:
Система автоматического управления, полиномиальный регулятор, нули и полюсы, зона робастности.
Введение
Динамические полиномиальные регуляторы (ПР) «входа-выхода», формирующие управляющие воздействия на основе информации о регулируемой координате и её производных по времени, являются эффективными устройствами управления сложными линейными и линеаризованными объектами [1-3].
Общая структурная схема аналогового прототипа системы автоматического управления (САУ) с одним входом и одним выходом на базе ПР приведена на рис. 1, где приняты следующие обозначения: уз и y - заданное и действительное значения регулируемой координаты; u - управляющее воздействие; s - комплексная переменная Лапласа; ^(s) и B(s) - характеристический полином (ХП) и полином воздействия передаточной функции (ПФ) объекта управления (ОУ); R(s) и C(s) - полиномы ПФ регулятора.
Рис. 1. Общая структурная схема САУ с ПР
Традиционная процедура синтеза ПР состоит в составлении и решении относительно коэффициентов полиномов Л(я) и С(^) полиномиального уравнения вида
Ж^ОД + = ОД, (1)
где А(я) = я" + ап-1я"-1 +... + а+ а0; В(я) = Ътят + Ът-1ят- +... + Ъ1я + Ъ0;
Я(я) = гкяк + г -1 +... + гя + Го; С (я) = с/ + сV-1 +... + с^ + сй;
О(я) = яр + йр_х8р~х +... + + - желаемый ХП САУ, определяющий заданное распределение её полюсов; п, т, к, I, р - степени полиномов.
Если рассматривать получение «минимальных» регуляторов, характеризующихся наименьшими степенями полиномов Л(я) и С(^), обеспечивая требования «технической реализуемости» ПР при к > I путём перехода от его аналогового прототипа к цифровой форме одним из методов численного интегрирования, то при составлении (1) необходимо соблюдать следующие условия:
\т -1 при т > 0, к = п -1, р = п +1, I = \
[ 0 при т = 0.
В этом случае общий порядок N полиномов Л(я) и С(^) определяется как N = аев Я(у) + аев ф) = к + I = п - 1, т. е. оказывается достаточно высоким.
Существенным недостатком САУ с «минимальными» (к > /), т. е. дифференцирующими ПР, является их большая чувствительность к высокочастотным помехам.
Для повышения помехоустойчивости и улучшения робастных свойств таких систем дополнительно увеличивают степень полинома С(6), принимая deg С(6) > 1. Однако в этом случае общий порядок полиномов ПР достигает степени ОУ или превышает её:
N = аее ад + аее Ф) > п.
Таким образом, в условиях высокой сложности и дифференцирующего характера ПР актуальным является повышение помехоустойчивости и обеспечение робастных свойств САУ не путем повышения степени С(^), а за счет возможного снижения степени полинома Л(5) и соответствующего исключения из управления высших производных выходного сигнала ОУ.
Предпосылкой для такого редуцирования ПР является то, что, как было показано в [4] при реализации робастного полиномиального управления, коэффициенты полиномов ПР могут менять знаки при относительно небольших вариациях среднегеометрического корня (СГК) ^о = ^^ желаемого ХП системы и, следовательно, могут принимать нулевые значения при
определенном выборе СГК.
Это указывает на возможность понижения порядка полинома Л(5) при вариациях О0, а также при изменениях вида распределения полюсов САУ с учетом особенностей конкретного ОУ.
Постановка задачи
Поставим задачу выявления возможностей, определения условий и разработки методов понижения порядка (редуцирования) динамических ПР путем формирования определенного распределения полюсов синтезируемой САУ в рамках требуемых показателей качества.
Основная идея редуцирования регуляторов и методы её реализации
На рис. 2 показан общий вид семейства переходных характеристик САУ, полученных при вариациях СГК О0 и расположенных в так называемой «зоне робастности» (заштрихована), характеризующейся наличием положительных значений коэффициентов полиномов ПР.
1.2 1
О.о 06 04
02
h(t)
kDJU.1 :
■ - - ^vviyi^iiivvv^^
hjjg( t .1
pvyyvyVyvy 1 l/////У/УУ 1
Y/УУУУл 1 1
r s У- 1 1 t с
Рис. 2. «Зона робастности» САУ
На границах hm(t), hD2(t), разделяющих указанную «зону робастности» и «зоны риска», характеризующиеся появлением отрицательных значений одного или нескольких коэффициентов полиномов ПР, происходит обнуление (переход через ноль) значений этих коэффициентов. Очевидно, что условия такого обнуления могут достигаться подбором значений СГК Q0 ХП принятого вида или изменениями самого вида ХП D(s).
Наибольший интерес представляет левая граница «зоны робастности» - hD\(t), соответствующая более высокому быстродействию САУ в отличие от правой границы - hD2(t), отражающей темп процессов исходного ОУ.
Если при совпадении переходной характеристики САУ с левой границей «зоны робастности» происходит обнуление коэффициента при старшей степени s полинома R(s), а вид и темп процесса соответствует требуемому качеству системы, то принятые выражение ХП D(s) и СГК Q0 обеспечивают решение поставленной задачи.
Если на левой границе «зоны робастности» указанные условия не выполняются, то можно попытаться обеспечить их изменениями выражения желаемого ХП D(s) и его СГК, оставаясь в пределах заданных требований к качеству САУ.
Вычисление необходимого значения Q0 в рамках принятого распределения полюсов САУ, определяемого выражением D(s), может быть организовано путем многократного расчета параметров полноразмерного (нередуцированного) ПР при вариациях Q0 и фиксации границ перехода САУ из «зоны робастности» в «зону риска» с соответствующим обнулением коэффициентов полиномов регулятора. Искомое значение Q0 будет соответствовать обнулению коэффициента при старшей производной, формируемой полиномом R(s).
Редуцирование регуляторов при управлении объектами с «быстрыми» и «медленными»
нулями
Проведем исследование возможности редуцирования регулятора при синтезе системы управления двухмассовым электромеханическим объектом (ЭМО) с вязкоупругой кинематической передачей. Его структурная схема представлена на рис. 3, где и, и - управляющее и выходное напряжение силового преобразователя (СП); I - ток якорной цепи электродвигателя (ЭД); М, Му - электромагнитный момент и момент упругости; 0.2 - угловые скорости первой и второй масс; С - конструктивный параметр ЭД; Та, Яа - постоянная времени и сопротивление якорной цепи; ^ - моменты инерции первой и второй масс; С12 - коэффициент жесткости; Кд, Кт - коэффициенты трения, Ксп - коэффициент передачи СП.
Исходные параметры ЭМО приведены в табл. 1.
Рис. 3. Структурная схема двухмассового электромеханического объекта Таблица 1. Исходные параметры двухмассового электромеханического объекта (ЭМО)
Ксп Яа, Ом Та, с С, Вб Л С12, Нм Кд Кт
кг-м2 кг-м2/с
22 3,15 0,5 0,16 0,5 0,85 1,5 0,25 4,5
Передаточная функция ЭМО от входа к выходу определяется выражением
Н ( 5 ) =
и ( 5 )
1,325 + 7,92
4 3 2
5 + а3я + а25 + а15 + а0
54 + 8,0885 +19,6252 + 30,895 + 31,82
ЭМО имеет один ноль 50 = -6 и четыре полюса: ^ = -5,25, 52 = -1,99, 534 = -0,42 ± 1,69/. Расположение нуля относительно полюсов указывает на его «быстрый» характер. Размеры областей положительности коэффициентов различных типов ПР к/1, обеспечивающих управление данным объектом при задании биномиального ХП Ньютона, представлены в табл. 2 в виде соответствующих интервалов значений СГК О0 и времени переходного процесса -
Таблица 2. Области параметрической грубости САУ с ЭМО с минимальным ПР
Передаточная функция минимального ПР «Зона робастности»
в корневой области - 00, с 1 во временной области - с
+ Г^2 + + Г С0 (2,9; 9,2) (2,6; 0,8)
В табл. 3 приведены результаты синтеза аналоговых прототипов регуляторов полного порядка ПР 3/0 и редуцированного ПР 2/0 для управления рассматриваемым объектом.
Переход к цифровым реализациям ПР здесь и далее осуществляется с использованием метода численного интегрирования Эйлера путем подстановки s = (1-7-1)/Т0, где Т0 - такт квантования времени.
На рис. 4, а представлена переходная характеристика 1 для САУ с «минимальным» регулятором ПР 3/0 при величине ^ = 0,9 с (00 = 8,2 с-1) и такте квантования Т0 = 0,001 с, расположенная внутри «зоны робастности», на которой видно значительное влияние аддитивной помехи в канале обратной связи в виде белого шума мощностью 5-10 Вт/м2.
Таблица 3. Результаты синтеза регуляторов ПР 3/0 и ПР 2/0 для различных значений СГК ХП и времени переходного процесса_
Тип регулятора Время переходного процесса с СГК ^о, с-1 Гз Г2 Г1 Г0 С0
ПР 3/0 (2/0) 0,8 9,2 0,00 21,78 239,58 900,16 1,00
0,9 8,2 0,59 19,98 182,38 567,41 0,22
Упрощение регулятора при сохранении высокой помехоустойчивости САУ (график 1 , рис. 4, б) можно получить (табл. 3) приведением «минимального» ПР 3/0 к редуцированному виду ПР 2/0 при задании времени переходного процесса ^ = 0,8 с и значения СГК 00 = 9,2 с-1.
Рис. 4. Графики переходных процессов САУ с: а) ПР 3/0; б) ПР 2/0 (1 - при исходных параметрах ЭМО, 2 - при увеличении С12 и J2 на 40 %)
Важно отметить, что такое редуцирование регуляторов не придает им неминимально-фазовый характер, не выводит синтезируемые САУ за пределы «зоны робастности» и не вызывает существенных изменений их показателей параметрической грубости. Это наглядно иллюстрируют соответствующие переходные характеристики 2 на рис. 4, а, б, полученные при увеличении параметров J2 и С12 ЭМО на 40 % от их исходных значений.
Следует отметить, что в отличие от известных [5] методов более кардинального редуцирования линейных регуляторов, предполагающих группировку полюсов системы в некоторой области комплексной плоскости с использованием сложных численных расчетов, разработанный подход основывается на модификации классического метода модального управления и сохраняет для разработчика возможность формирования качества переходных процессов на стадии синтеза САУ.
Заключение
Рациональным путём повышения помехоустойчивости при сохранении робастных свойств и снижении сложности САУ на базе дифференцирующих ПР «входа-выхода» является редуцирование регуляторов, позволяющее понизить степень полиномов их ПФ и исключить из управления высшую производную выходного сигнала ОУ.
Такое редуцирование основывается на учете особенностей конкретного объекта и реализуется определенным выбором распределения полюсов синтезируемой САУ, обеспечивающего расположение её переходной характеристики на левой границе «зоны робастности» и обнуление коэффициента при старшей степени s полинома числителя R(s).
Наряду с упрощением ПР это позволяет сохранить робастные свойства САУ, характерные для области положительности коэффициентов полиномов регулятора («зоны робастности»).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Крутько П.Д. Полиномиальные уравнения и обратные задачи динамики управляемых систем // Изв. РАН. Техническая кибернетика. - 1986. - № 1. - С. 125-133.
2. Гайдук А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (Полиномиальный подход). - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 418 с.
3. Тарарыкин С.В., Тютиков В.В. Системное проектирование линейных регуляторов состояния // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1995. - № 4. - С. 32-46.
4. Тарарыкин С.В., Тютиков В.В. Робастное модальное управление динамическими системами // Изв. РАН. Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 5. - С. 41-55.
5. Вороной В.В. Краткий обзор методов синтеза регуляторов пониженного порядка // Сб. научных тр. НГТУ. - 2010. - № 4 (62). - С. 25-34.
Поступила 03.06.2013 г.
