CC BY
29
УДК 62-503.51
А.А. Вороненкова, В.В. Тютиков
Аналитический синтез и анализ вариантов системы управления объектом с запаздыванием
Выполнен синтез вариантов САУ объектом с запаздыванием. Проведены исследования параметрической грубости синтезированных САУ при вариациях параметров объекта управления и чувствительности к случайным внешним возмущениям. Определен наиболее рациональный вариант построения системы управления. Ключевые слова: запаздывание, синтез, система, регулятор, вариация, возмущение. doi: 10.21293/1818-0442-2016-19-4-108-111
Объекты, описываемые математическими моделями с запаздыванием, встречаются во многих отраслях промышленности. В частности, это характерно для теплоэнергетики. Традиционно в качестве управляющих устройств при создании САУ такими объектами применяются типовые ПИ-регуляторы. Их основные преимущества - простота реализации и настройки, а основным требованием к САУ является обеспечение параметрической грубости при вариациях параметров и качество отработки внешних возмущений.
С развитием микропроцессорных систем управления сложность управляющего устройства перестает быть сдерживающим фактором. Целью настоящей работы является исследование возможности снижения параметрической грубости САУ и повышение качества отработки внешних возмущений на основании использования более сложных регуляторов.
На рис. 1 представлена модель САУ объектом с запаздыванием (газовый тракт котла), состоящая из ПИ-регулятора и объекта управления (ОУ) в основном канале (расход пылеугольного топлива) и канала возмущения (расход воздуха). Здесь и - сигнал задания, ^Х1(х),ЛХ2(Т),Ку(т),/ъ/2 - сигналы возмущений, У - выходной сигнал. Коэффициенты регулятора соответствуют типовой настройке по критерию минимума интегрального квадратичного показателя (дисперсии).
В процессе эксплуатации более всего вариациям подвержены коэффициент усиления объекта К и время запаздывания тз. Графики переходных процессов У (/) в САУ при ступенчатом воздействии /2, равном 10% от номинального значения, для расчетных значений параметров ОУ и их изменений показаны соответственно на рис. 2, а, б.
Также в ходе моделирования исследовалось влияние случайных процессов (рис. 2, в) со следующими характеристиками: Д^СТ)=ЯХ2(Т) = (т) -дифференцируемые процессы с осциллирующей корреляционной функцией
Rx (т) =СТ
2 -а-Г
cos(o0 т)---sin(®0 т)
Ю0
при ст2 = 25; а = 0,15 1/с; ю0 = 0,35 рад/с и ст2 = 0,9; а = 0,08 1/с; ю0 = 0,15 рад/с соответственно; Яу (т) -
дифференцируемый Марковский процесс 2-го порядка с корреляционной функцией
Ry (т)=
а-1
ае
-Р-Н _ е a-ß-|T
при ст2 = 0,09; а = 3; р = 4 1/с.
Поскольку измерению подлежит только выходная координата, синтезируем астатический полиномиальный регулятор (ПР) [1-3] для заданного объекта (рис. 3). Для этого введем дополнительный интегратор по выходной координате.
Передаточная функция замкнутого контура САУ имеет вид
* B*(s) *
Нрег.(s) =
А (s)-C(s)
B (s)
14
B* (s)-R(s) А* (s)-C(s)+B* (s)-R(s) D(s)'
А (8)'С(8)
где А * (s), В * (5) - заданные полиномы объекта; -0(5) - желаемый полином, причем
£(5) = А* (5) • С(5) + В* (5) • Я(5).
Если degА (5) = п, то degЯ (5) = п — 1, degC(5)=degЯ(s), degD(s)=degA(s)+degC(5), где deg(*) - степень полинома.
В качестве желаемого полинома выберем стандартный полином Ньютона с известными нормированными коэффициентами а,, определяющими характер процессов в системе, и величиной среднегеометрического корня (СГК) ОД , задающей время протекания переходных процессов:
0(5) = + ап—1 •ОД • 5п—1 + ап—2 -п2 • 5п—2 +...+□£ ,
обеспечивающий апериодический переходный процесс.
Для получения коэффициентов ПР решается система алгебраических уравнений, получаемая из
0( 5) = А * (5) • С (5) + В * (5) • Я(5) приравниванием коэффициентов при соответствующих степенях 5.
2
|Ж|
Объект управления >
Рис. 1. Модель типовой САУ
Г,т/ч 7 =5,2 с
Т=7,5 с
....... Т=1 с
i \
/V ■ 1 '. ^
Vj \ ]
1' "
Г, с
50 100 150 200 250 300 350 400 450
а
50
100 150 200 250 300 350
б
400 450
2.0
1,5 1.0 0,5 0
-0,5
К,т/ч
/VvW^M/vy
С
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
в
Рис. 2. Результаты моделирования типовой САУ
H1(s)=1,2-
0,11
Y
, -s3 + 2,3-s2 -2,2-s + 0,85 I
54-s2 + 21-s+1 s3 + 2,3-s2 + 2,2-s + 0,85 s
Рис. 3. Модель САУ с ПР
Вариант 1. Для корректного синтеза ПР представим звено чистого запаздывания в виде отношения полиномов с помощью аппроксимации Паде 3-го порядка [4]:
Я„=э(.) =-
где тз - время запаздывания.
Для исходного объекта (тз= 5,2 с) получаем
следующие передаточные функции звена запаздывания и объекта:
12 2 60 120
+— - s 2--Т - s+—-
Хз Хз2 Хз3
12 2 60 120 :
+— s2 +--г-' s + —Т"
Хз Хз2 Хз3
He1(s) =
-s3 + 2,3 -s2 - 2,2 -s + 0,85 s3 + 2,3 -s2 + 2,2 -s+0,85 '
= -0,002 • .3 +0,006 • .2 _0,005 • .+0,002 В*(.) s6 + 2,69• + 3,11.4 +1,75• .3 + 0,37• .2 + 0,02•. Л*(.)' Степени полиномов регулятора и значение СГК будут следующими:
аея Л(.) = (.) = 5,аея В(.) = 11,001 = 0,4. Тогда
ад=7,24 • +10,62 • .4 + 5,33 • .3 +1,86 • .2 + 0,39 •. + 0,02,
С1(.)=+1,71 .4 +1,09 • .3 + 0,58 • .2 + 0,12 •.+0,03. Результаты моделирования САУ с астатическим ПР при изменении К, тз и влиянии случайных процессов показали, что колебательность и время переходных процессов значительно снизились при практически неизменном влиянии случайных процессов. При этом порядок регулятора получился высоким, что, очевидно, приведет к трудностям при его настройке в реальных условиях.
Вариант 2. Для решения проблемы высокой сложности регулятора уменьшим порядок при аппроксимации Паде звена запаздывания до первого:
H е2 (s) =
-2,6 • s +1
2,6 • 5 +1
Передаточная функция объекта при этом
.... , „ 0,11 —2,6 • 5+1 1
Н 2 (5) = 1,2 • ' '
54 • 52 + 215 +1 2,6 • 5 + 1 5 = —0,002 • 5+0,001
54 + 0,77 • 53 + 0,17 • 52 + 0,015'
Степени полиномов регулятора будут следующими:
deg Я(5) = 3^С (5) = 3^ 0(5) = 7,П2 = 0,28.
Полиномы регулятора примут вид Я2(5) = 27,55 • 53 + 21,76 • 52 + 4,96 • 5 + 0,25,
С2(5) = 53 +1,16 • 52 + 0,54 • 5 + 0,19.
Результаты моделирования САУ с таким регулятором показали, что она стала значительно более чувствительна к изменениям параметров объекта, а степень влияния случайных процессов несколько уменьшилась. При этом сложность регулятора осталась достаточно высокой.
Вариант 3. Оценим возможность дальнейшего
упрощения регулятора. Передаточная функция ОУ
Н ( ) 0,11__0,11
Н 0(5) =---=-
0 54 • 52 + 215 +1 (3^ 5 +1) • (18 • 5 +1)
имеет моды, значительно (в 6 раз) отличающиеся по величине. Отбросим «быструю» составляющую:
Н*( ) 0,11
Н 0(5) -7.
18^ 5 +1
Передаточная функция объекта со звеном запаздывания, представленная аппроксимацией Паде 1-го порядка, примет вид
гг , ч , „ 0,11 —2,6• 5 + 1 1 —0,015 + 0,003
Н3(5) = 1,2------=—---.
18^ 5 + 1 2,6 • 5 + 1 5 53 + 0,44 • 52 + 0,02 • 5
Степени полиномов и значения их коэффициентов будут следующими:
deg Я(5) = 2^ С (5) = 2^ 0(5) = 5,^3 = 0,28,
Я3(5) = 4,94 • 52 + 2,34 • 5+0,14,
С3(5) = 5 2 + 0,615+0,19.
На рис. 4 показаны графики переходных процессов, получившиеся в результате моделирования САУ исходным объектом с передаточной функцией Н0( 5).
Сравнение графиков переходных процессов, приведенных на рис. 4 и 2, показывает, что использование полиномиального регулятора второго порядка в сравнении с типовым ПИ-регулятором позволяет значительно повысить грубость САУ.
Так, при увеличении коэффициента усиления ОУ и времени запаздывания от номинального значения время переходного процесса в системе с ПР меньше, чем в системе с ПИ-регулятором, более чем в 2 раза.
Выводы
1. В работе исследованы возможности использования современных аналитических методов для
синтеза регуляторов объектами с запаздыванием, подверженным параметрическим и внешним возмущениям.
2. Применение полиномиального метода позволило аналитически синтезировать регуляторы различной степени сложности, выбирая порядки передаточных функций аппроксимации Паде звена запаздывания и объекта управления.
3. Повышение степени полинома числителя передаточной функции полиномиального регулятора, в сравнении с типовым решением практически не влияет на помехоустойчивость САУ.
4. Применение регулятора второго порядка (вариант 3) позволяет значительно повысить параметрическую грубость САУ в сравнении с типовым решением.
0 50 IÜ0 150 200 250 300 350 400 450
а
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
б
а,о:
.,5 1,0 0,5 0
-0,5
Кт/ч
Л
тв ш
i, с
О 50 100 150 200 250 300 350 400 450
в
Рис. 4. Результаты моделирования САУ (вариант 3)
Исследование выполнено за счет средств гранта Российского научного фонда (проект № 14-19-00972).
Литература
1. Волгин Л.Н. Оптимальное дискретное управление динамическими системами / под ред. П. Д. Крутько. - М.: Наука, 1986. - 240 с.
2. Тютиков В.В. Робастное модальное управление технологическими объектами / В.В. Тютиков, С.В. Тара-рыкин. - Иваново: ИГЭУ, 2006. - 256 с.
3. Гайдук А.Р. Теория и методы аналитического синтеза систем автоматического управления (полиномиальный подход). - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. - 360 с.
4. Аппроксимации Паде / Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис: пер. с англ. Е.А. Рахманова, С.П. Суетина; под ред. А.А. Гончара. - М.: Мир, 1986. - 502 с.
Тютиков Владимир Валентинович
Д-р техн. наук, профессор, проректор по НР ИГЭУ Тел.: (483-2) 38-57-75 Эл. почта: [email protected]
Voronenkova A.A., Tyutikov V.V.
Analytical synthesis and options' analysis of a control
system for an object with delay
Вороненкова Анна Алексеевна
Магистрант каф. электроники и микропроцессорных систем Ивановского государственного энергетического университета (ИГЭУ) Тел.: +7-920-358-02-88 Эл. почта: [email protected]
The synthesis of automated control systems (ACS) options for an object with delay is performed. Research of parametric roughness of ACS with the parameters variations of the controlled object and of its sensitivity to random external perturbations is carried out. The most rational variant of control system is defined.
Keywords: delay, synthesis, system, controller, variation, perturbation.
