Робастная синхронизация динамической сети с переключающейся структурой Текст научной статьи по специальности «Математика»

X информационно-управляющие системы

УДК 519.7

робастная синхронизация динамической сети с переключающейся структурой

И. Б. Фуртат,

канд. техн. наук, доцент

Астраханский государственный технический университет

Получен алгоритм робастного управления динамической сетью с переключающейся структурой, когда измерению доступны только выходы локальных подсистем, но не их производные. Предполагается, что математические модели подсистем сети описываются линейными дифференциальными уравнениями, подверженными действию внутренних и внешних неконтролируемых возмущений. Полученная схема управления обеспечивает синхронизацию сети с требуемой точностью. Работоспособность полученной схемы проиллюстрирована на численном примере сети, состоящей из четырех узлов.

Ключевые слова — динамическая сеть, орграф, граф, синхронизация сети, компенсация возмущений.

Введение

В последнее время наблюдается рост интереса к проблемам управления динамическими сетями [1-6], вызванный появлением новых задач в биологии, физике, робототехнике, энергетических и телекоммуникационных сетях и т. п. Одним из способов управления динамической сетью является консенсусное управление, цель которого состоит в поиске управляющего устройства, способного синхронизировать подсистемы сети, в которой нет лидера. При этом траектории локальных объектов стремятся к некоторой общей величине, зависящей от их параметров и межузловых связей.

На сегодняшний день уже предложено достаточное количество решений по проблеме управления динамическими сетями. Так, для обеспечения консенсуса в мультиагентных системах с измеряемыми векторами состояния локальных объектов предложен статический закон управления [1]. При измерении выходов локальных подсистем вводится наблюдатель, на базе оценок которого формируется динамический закон регулирования. Получены условия расчета настраиваемых параметров в регуляторе, учитывающие топологию графа и орграфа сети. На базе подхода Н-оптимизации предложен способ синхронизации сети в предположении, что измерению доступны векторные входы и выходы каждой подсистемы [2]. Однако для расчета регулятора необходимо решить матричное уравнение Риккати,

зависящее от параметров параметрически неопределенных локальных объектов. Было впервые исследовано статическое консенсусное управление по выходу сетевыми объектами произвольного порядка [3]. Для решения задачи использовалась теорема о пассификации [7] и результаты работы [1].

Особый интерес представляет управление сетью, топология которой может изменяться в процессе ее функционирования. Такие задачи возникают, например, при управлении группой мобильных роботов [6], связь между которыми ограничена, или при управлении электроэнергетической сетью [8], где связь между электрическими генераторами зависит от параметров линий передачи и нагрузки. Так, в работах [4, 5] консенсус в сети, состоящей из интеграторов или устойчивых линейных дифференциальных уравнений, предложено осуществлять с использованием статического закона регулирования и в предположении, что граф сети сбалансированный. В статье [6] описано решение для сети интеграторов при условии, что орграф, ассоциированный с сетью, содержит ориентированное остов-ное дерево. Под ориентированным остовным деревом понимается ориентированное дерево, составленное из ребер орграфа и такое, что в нем существует путь из корня в любую другую вершину [6, 9]. Стоит отметить, что многие результаты, касающиеся свойств орграфа с ориентированным остовным деревом [6], были получены ранее [9].

Как правило, в вышеперечисленных работах не рассматривались вопросы управления сетью неидентичных объектов, когда измерению доступны только скалярные выходы подсистем. На практике задачи управления неидентичными объектами возникают, например, при управлении сетью электрических генераторов различных мощностей. Возможность измерения только скалярных выходов подсистем сети связана с отсутствием соответствующих измерительных устройств. Так, авторы работы [8] отмечают, что при управлении сетью электрических генераторов устойчивыми измерениями, особенно в аварийных ситуациях, являются измерения только относительных угловых скоростей вращения роторов генераторов.

В настоящей статье предложено робастное управление динамической сетью с переключающейся структурой, где каждая ее подсистема описывается линейным дифференциальным уравнением, подверженным действию внутренних и внешних неконтролируемых возмущений. Предполагается, что измерению доступны только выходы локальных подсистем. При решении задается орграф, каждая вершина которого ассоциирована с соответствующей подсистемой сети. Для компенсации неконтролируемых возмущений используется подход [10], основанный на введении вспомогательного контура, позволяющего выделить неконтролируемые возмущения в замкнутой системе. Полученный алгоритм обеспечивает синхронизацию сети с требуемой точностью. Показано, что результаты, предложенные для сети, ассоциированной с орграфом, справедливы и для сети, ассоциированной с графом.

Постановка задачи

Рассмотрим орграф Г = (V, Е1), ассоциированный с сетью 5, где каждой вершине орграфа Гг соответствует подсистема в;, I = 1, ..., V = = {и1, ..., vk} — множество вершин; Е1 с V х V — множество ребер. Пусть С = (с) е Як — взвешенная матрица смежности орграфа Г1 такая, что с^ > 0, если ) е N1, иначе с) = 0, N1 = {V) е V:

(V;, V) е Е} — множество смежных вершин для узла vi. Запись (р;, V) е Е1 означает, что информация поступает от подсистемы в) к подсистеме

[11]. Считается, что в процессе функционирования системы структура связей орграфа может изменяться. Обозначим Г = {Г1: I = 1, ..., т} — множество возможных значений топологий орграфа сети.

Например, при решении задач управления сетью электрических генераторов предполагается, что в каждом узле сети расположен генератор. При введении орграфа, ассоциированного с се-

тью, полагается, что каждый узел сети (электрический генератор) ассоциирован с вершиной орграфа. Линии связи между генераторами сети ассоциированы с дугами орграфа.

Рассмотрим подсистему в;, соответствующую ¿-й вершине орграфа Г1 сети 5, динамические процессы в которой описываются следующим уравнением:

XI (Ю) = Лх; (Ю) + В;и; (t) + Dí/í (t),

У1 Ю = Ьх; (Ю), X; (0) = Хо;, I = 1,..., ^ (1)

где xi(t) е Я п — вектор состояния ¿-й подсистемы; щ^) и у^) — скалярные вход и выход, доступные измерению; fi(t) — неконтролируемое внешнее ограниченное возмущение; элементы матрицы A е Яп х п и векторов Bi е Яп, Di е Яп — неизвестные числа; L = [1, 0, ..., 0] — матрица соответствующей размерности; x0i — неизвестные начальные условия. Так, при описании электроэнергетической сети модели электрических генераторов могут быть представлены уравнениями (1). Например, в работе [8] Xi(t) = [5;С^), ю$), Р()] т, где 8$) — угол поворота ротора ¿-го генератора относительно синхронной оси вращения [рад]; ю^) — относительная скорость ротора ¿-го генератора [рад/с]; Р1(Ь) — разность электрической входной мощности, поступающей на ¿-й генератор, и входной механической мощности ¿-го генератора [отн. ед.].

Требуется синтезировать непрерывный закон управления, обеспечивающий е-синхронизацию [12, 13] сети в с заданной точностью, т. е. необходимо обеспечить выполнение условия

\у; (Ю) - Уj (Ю)| < е (2)

по истечении времени t = Т, где е — заданное число. При управлении электроэнергетической сетью целевое условие (2) является условием синхронизации сети генераторов. Решим сформулированную задачу при следующих предположениях.

1. Орграфы Г1; I = 1, ..., т содержат ориентированное остовное дерево.

2. Неизвестные элементы матриц A, Bi, Di и C

зависят от вектора неизвестных параметров д е Е, где Е - известное множество. Пары Bi) управляемы и пара A) наблюдаема.

3. Выполнены условия: A = AN + BNhT(g), Bi = = BN + BNTi(q), Di = BNki(g), где AN е Япхп, BN е Яп — известные номинальные постоянные матрицы, причем AN - гурвицева; ^д) е Яп, т¿(д) е Я, ^¿(д) е Я — неизвестные вектор и числа.

4. Локальные подсистемы (1) сети в — минимально фазовые объекты.

метод решения

Принимая во внимание предположение 3, составим уравнение для ошибки

х;(Ю) = ^ сц (х;(Ю) - хj(Ю))

в виде

х; (Ю) = ANX; (Ю) + BN ^ С;; [и; (Ю) + ф;ц (Ю)],

j£Ni

У; (Ю) = Ьх; (Ю), (3)

где Фг)(^> = ^(д)^) - xj(t)) + ^(д)и^) - (т)д) + 1) х х и() + ki(g)fi(t) - к)д))) — функция, содержащая в себе неопределенности ¿-й подсистемы и смежных ей подсистем.

Чтобы выделить данные неопределенности [10], введем вспомогательный контур

ха;(Ю) = ЛNха;(Ю) + aBNui(t), уа;(Ю) Ьха;(Ю), ха;(0) ха;о, (4)

;=1,..., k.

Принимая во внимание уравнения (3) и (4), составим функцию рассогласования Г; (Ю) = х; (Ю) —

- ха; (Ю) в виде

Г; (Ю) = ЛNСТ; (Ю) + BN У; (Ю), С; (Ю) = Ьст; (Ю). (5)

Здесь V; (Ю) = ^ С;; |и; (Ю) + ф;ц (Ю)] — аи; (Ю) - но-

Ц^;

вая функция возмущения, содержащая в себе неопределенности ¿-й локальной подсистемы и смежных ей подсистем, а также неопределенности связей между ними. Преобразуем уравнение рассогласования (5) к форме вход-выход

QN (Р)С; (Ю) = ^ (Р)У; №, (6)

где QN(p), ЯN(p) — линейные стационарные дифференциальные операторы, полученные при переходе от (5) к (6), deg QN(p) = п, deg Я^р) = т, р = d / dt — оператор дифференцирования. Ради простоты положим QN{p) = Qm(p) Я^р)-

Из уравнения (6) видно, что сигнал (^(0 содержит информацию о возмущениях, которые присутствуют в функции у$). Если бы производные входа и выхода каждой локальной подсистемы были доступны измерению, то закон управления и^) = -1/а;Ят(РШ^) = -1/а;у^), I = 1, ..., к обеспечил бы точную компенсацию возмущений. Однако из постановки задачи производные сигналов у() и и() не доступны измерению. Поэтому управляющее воздействие и¿^) сформируем в виде

и;(Ю) = —а-^(р)С;(Ю), ; =1,..., ^ (7)

Здесь С; (Ю) — оценка функции С$). Принимая во внимание идеальное управление и() = = -1/аiQm(p)Zi(t) и реальное уравнение (7), перепишем (3) в виде

х;(Ю) = ЛNх;(Ю) + BNА;(Ю), г/;(Ю) = Ьх;(Ю), (8)

где А; (Ю) = С; (Ю) — С; (Ю). _

Для оценки производных сигнала С; (Ю) в (7) рассмотрим наблюдатель [14]

4i (t) = Go£; (t) + Do (Ci (t) - Ci (t)) Ci (t) = L4i (t), i = 1, — , k,

0 IY

(9)

где ^(t) є Ri, y = n - m; G0 =

y—1 0 0

L - і — еди-

ничная матрица порядка у - 1; D0 = -[^1ц -1, ¿2ц-2, ..., dyц -^]т, коэффициенты d1, d2, ..., dy выбираются так, чтобы матрица G = G0 - DL была гурвицевой, D = [d1, d2, ..., dy]T, ц > 0 — достаточно малая величина.

Введем вектор (#) = D(|; — 9; (#)), который

характеризует точность оценки производных

сигнала С;(0, где D = diаg{цY - *, ц - 2, ..., ц, 1}, • м уг

'(*) = Ci(*),С&),■■■,Сгу (^) . Продифференциро-

вав ц(t) по времени с учетом уравнения (9), полу-

чим ^1(t) = ц 1^(t) + ЬС(У)(t); А;(#) = цу ІL^;(t), где Ь =[0;...;0,1] . Преобразуем предпоследние уравнения в эквивалентные относительно выхода А; (Ю):

ЧуЬ

Цi (t) = ц XGц ( t) + bCi (t); Äi (t) = Цу-1Ьц (t).

(10)

Здесь П;(0 є Д7, причем первые компоненты векторов пДО и равны Ь = [1, 0, ..., 0]т.

Принимая во внимание (10), перепишем (8) как

Хі (#) = А мїі (^ + цї-1 В^Т Аі (t);

Уі (^ = ЬХі (t), (11)

т

где А; (i) =

п1 М, ті1 (t),•••, (n1 (t))Y)

; g — вектор,

составленный из коэффициентов оператора QN(p), записанных в обратном порядке.

Утверждение. Пусть выполнены предположения 1-4. Тогда система управления (4), (7), (9) при ц < обеспечивает выполнение е-синхронизации (2), где ц0 > 0 и

Ц0 < min] ||Q2

-1| |Hb| І2;

Y ^0,125(k-1)-1pc-1c|QU

PBN g

, (12)

наймень-

где p = min {^2 (L(rz))}, X2(L(rz)) —

l=1, •••, m

шее ненулевое собственное число (алгебраиче-

ская связность [11]) нормированного симметризо-ванного лапласиана L(Гl) орграфа Гг, матрицы P и H являются решением уравнений

ANP + PAn =-Qi, GtH + HG = -Q2, Qi = QT > 0, Q2 = QT > 0.

(13)

Под нормированным симметризованным лапласианом понимается симметризованный лапласиан, соответствующий орграфу Гг, у которого ctj = 1, если j e Nt, иначе сj = 0. Понятие симме-тризованного лапласиана L(D и его свойства подробно рассмотрены в работе [11].

Следствие. Утверждение справедливо, если Гг, l = 1, ..., m — графы, у которых есть остовное дерево. Причем параметр ц0 можно выбирать из условия

ц0 < min j IIQ2|| 1 IlHblI2;

Y ^0,125(k-1)-1pc-1c||Qi||

PBNg

-2

(14)

где р = Х2 ^(Ггз)), Г18 — любой подграф из множества графов Гг, содержащий остовное дерево и состоящий из & вершин и & - 1 ребер.

Пример

Рассмотрим орграфы Гг, I =1, ..., 6 (рис. 1), описывающие информационные связи сети 5, состоящей из четырех подсистем в1, I =1, ..., 4.

Рассмотрим подсистему которая описывается следующим уравнением:

f (t);

Класс неопределенности Н задан неравенствами: 1^1 < 10; ] = 1, 2; 0 < Ь < 10; ^ < 10; 1Г()1 < 10;

0,1 < с11 < 10.

ч

Цель управления состоит в синтезе алгоритма, обеспечивающего выполнение е-синхрониза-ции (2).

0 1 0 0'

Xi(t)= Xi (t) + U (t)+ d.

ai a2 bi

Уі (t) = = [1 0]xi (t) , і = 1,... 4.

■ Рис. 1. Орграфы Гг сети S

0 1 0'

Выберем в (4) а = 1, AN = -1 -2 , BN = 1

и сформируем вспомогательный контур в виде

0 1 0'

Xai(t)= -1 -2 xai(t) + 1

Vai(t) =[1 0]xai (t)’ xai (0) = 0 i = 4

Пусть в (9) D = [2 1]T. Для выбора параметра ц в (9) воспользуемся условиями (12) и (13). Пусть в (13) Q! = Q2 = 0,1I2. Из структур орграфов сети S (см. рис. 1) наименьшая алгебраическая связность р соответствует орграфу Г1 и равна 1,708. Из условий (12) и (13) определим интервал для ц^: цо < 0,05. Выберем ц = 0,01. Тогда уравнения наблюдателя производных сигнала Zi(t) примут вид

H(t) = $ (t) - 2100(l(t) - С; (t));

42 (í)=-1002 (|1(Í) - c (t)),

^ (0) = 0, i = 1,..., 4.

В результате закон управления (7) можно сформировать как

Ui(í) = -(• + 2|2 + ф, i = 1,..., 4.

Рассмотрим пример [2-5], где каждый узел сети S задан двойным интегратором, т. е. а1 = = а2 = 0. Остальные параметры для каждой подсистемы Si, i =1, ..., 4 сети S выберем следующими:

S1: b1 = 1, d1 = 1, f1(t) = 1 + sin t, x1(0) = [1 1]T;

S2: b2 = 2, d2 = 3, f2(t) = 2 + sin 2t, x2(0) = [-1 2]T;

S3: b3 = 3, d3 = 2, f3(t) = 1 + 2sin 1,2t, x3(0) = = [-2 3]T;

S4: b4 = 2, d4 = 5, f4(t) = 1 + 3sin 0,8t, x4(0) = =[3 4]T.

Пусть в процессе функционирования системы топология сети S (см. рис. 1) изменяется последовательно каждые 0,3 с. Элементы взвешенной матрицы смежности C зададим в виде с^ = 0,4у(0,2 + + 0,1 sin(ijt)). На рис. 2, а—е представлены результаты переходных процессов по ошибкам V12 (t) = Vi(t) - V2 (t), V13 (t) = Vi(t) - V3 (t), V14 (t) = = Vl(t) -V4 (t), V23 (t) = V2 (t) -V3 (t), V24 (t) = V2 (t) -V4 (t) и V34 (t) = V3 (t) - V4 (t) соответственно.

Результаты моделирования показали, что предложенная система управления обеспечивает условие е-синхронизации с заданной точностью. Причем с уменьшением числа ц в наблюдателе (9) уменьшается значение е в целевом условии (2), что подтверждает результаты аналитических расчетов.

а)

2

1,5

1

0,5

0

-0,5

-1

-1,5

-2

і

г)

0,5

0

-0,5

-1

0

н

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

t, с

Г

б)

0,5

0

-0,5

-1

-1,5

-2

9)

2

1 О

-1

-2

-3

-4

н

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

t, с

б)

5

4

3

2

1

0 -1

е)

1 О

-1

-2

-3

-4

-5

1 1 1 1 . _ 1 _ _| _ 1 1 і і і і _ 1_ _ Т - 1 1 1 1 1 1 _1 _ _ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 1 - “ ■ 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 _ |_ _ 1 1 1 1 1 1 1 _1 _ _ 1_ 1 1 1 1 1 1 _ L _ J _ 1 1 1 1 1 _ 1 _ _ . 1 1

К : і і 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

t, с

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

t, с

■ Рис. 2. Переходные процессы: а — по y12(t); б — по yls(t); в — по y14(t); г — по y^t); д — по (t); е — по y34(t)

0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

t, с

О 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

t, с

Заключение

Предложен алгоритм робастного управления динамической сетью с переключающейся структурой. Каждая подсистема сети описывается линейным дифференциальным уравнением, подверженным действию внутренних и внешних неконтролируемых возмущений. Предполагалось, что измерению доступны только выходы локальных подсистем, но не их производные. При решении рассматривался орграф, вершины которого ассоциированы с соответствующими подсистемами сети. На базе метода вспомогательного контура [10] синтезирован алгоритм, позволяющий обеспечить синхронизацию сети с заданной точностью е, которая зависит от выбора параметров в системе управления.

Получены условия, позволяющие выбирать параметр ц в наблюдателе производных (9) с учетом топологии орграфа сети. Алгоритм обобщен на случай, если узлы сети ассоциированы с вершинами графа.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Доказательство утверждения

Для доказательства утверждения рассмотрим две вспомогательные леммы.

Лемма 1. Пусть задан орграф Гг, у которого есть ориентированное остовное дерево. Рассмотрим квадратичную форму

k т

W(t) = ^ ^ (xi (t) - хj (t)) (xi (t) -xj (t))=

i=1 jeNi

= 0,5xT (t)(BT ® In )(B® In )x(t), (П1)

где xi(t) є Rn; x(t) = xl (t), x| (t),..., xl (t)] є Rkn; B — лапласиан орграфа Гг; ® — произведение Кронекера (прямое произведение). Тогда для k > 1 квадратичную форму (П1) можно оценить снизу и сверху:

W(t) > 0,25(k-1)-1 Х2 (L(rz))х

XJ2(x(t)-xj(t))T (x(t)-xj(t));

i=1 j=1

W(t) <J2 J2 (xi (t) - Xj (t))T (xi (t)-x j (t)). (П2) i=1 j=1

Понятия лапласиана, произведения Кронеке-ра и их свойства подробно рассмотрены в работах [6, 9, 11, 15].

Доказательство леммы 1: Докажем сначала оценку снизу. Для этого осуществим преобразование

W (0 = 0,5хт (0 (вт ® I п )(В ® I п )x(t) =

= 0,5хт ^)(.ЦГг) ® 1п )хф.

Известно [6, 9, 11], что симметризованный лапласиан L(Гl) = BTB — неотрицательная матрица. Так как орграф L(Гl) содержит ориентированное остовное дерево, то 0 = ^^(Г)) < ВДГ,)) < ... <

< ^^(Ц)), т. е. наименьшее собственное число ^^(Ц)) = 0 имеет единичную кратность [6, 9, 11]. Тогда последнее выражение для W(t) оценим снизу как

0,5хт (^(Г) ® 1п )хф >

> 0,5^2 (L(ГІ ))хт (t)x(t). (П3)

Для к > 1, воспользовавшись неравенством хт (t)x(t) > 0,5(к -1)-1 х

X II] (х;(t) - хj (t))T (х; М -хj (t))

1=1 j=l

и подставив его в (П3), получим оценку снизу (П2) для квадратичной формы (П1).

Оценка сверху очевидна, так как это равносильно введению в орграфе дополнительных ребер, которые соединяют все пары вершин, т. е. орграф Г1 дополнен до полного орграфа.

Лемма 2. Пусть орграф Г1 содержит ориентированное остовное дерево. Рассмотрим квадратичную форму

W(¿) = 11 с(х; (#) - ху (#) )т К (х; (#) -ху (#)), (П4) ;=1

где K = KT; 0 < с < с7 < с. Тогда для к > 1 справедливы следующие оценки снизу и сверху:

W (t) > 0,25с(к -1)-1 Х2 (L(ГZ)) х

X11 (х; (t) - хj (t))T К (х; (t) - хj (^);

1=17=1

W (t) < с 12Ц (*; № - х 7 №)т к(х; (t) - х 7 (^). (П5) 1=17=1

Доказательство леммы 2: Докажем оценку

снизу. Введем преобразование х; (t) = К 2 wí (t) и подставим его в (П4):

W (*)=1к2сч (* ^ - * (1:)) х 1=17=1 _1 _1

х К 2 КК 2 (те- (#) - * ($) =

к к Т /

= сч (*(г)- wj(#)) (*(#)- *7(#)}-

1=17=1

Тогда с учетом (П1) и (П2)

I I с7 (t) - w7 (t))T (w;(t) - w7 (/:))>

1=1 7ЕМ;

> с£ I (те; (^ - w7(^)т (wí (t) - w7 (t))>

;=1

> 0,25с(к-1)-1 Х2 ^(Г ))х

х I I (^ - w7 (t))T (t) - w7(/:)).

;=17=1

Осуществив в последнем выражении обрат-

1

ную замену wi(£) = К2х;(£), получим 0,25с(к-1)-1Х2 ^(Г ))х

к к т 1 1 ,

хЕЕ(х;(t)-х7и) К2К2 (х;(t)-х7(^)>

;=17=1

> 0,25с(к-1)-1Х2 (L(ГZ ))х

х I I (х; (t) - х7 (^)т К (х; (t) - х7 (^) .

;=17=1

Как и в лемме 1, оценка сверху следует из того, что орграф дополнен до полного орграфа.

Перейдем теперь к доказательству утверждения. Рассмотрим систему, составленную из уравнений (10), (11) и записанную в виде

X; (#) = А^ х ; (#) + ц2-1В^ gTA; (#),

М-1 Л;(^ = СП;(t) + М2ЬС; (П6)

Для исследования поведения ее решений воспользуемся первой леммой [16]. Согласно [16], положим в (П6) ц2 = 0. Очевидно, что в этом случае система (П6) асимптотически устойчива в силу матриц AN и G. Следовательно, векторы х; (t), п^) ограничены вместе со своими первыми производными. Тогда в (П6) ограничены сигналы Щ£), 4; (t) [16]. Из ограниченности Д^) следует, что в (9) &@)| < “, а значит из (7) |м^)| < да. Однако необходимо определить ц,, при котором исходная система будет диссипативной. Пусть ц1 = ц2 = ц^. Выберем функцию Ляпунова

к к

V (П = £ хТ (t)PXL£ (О + £ х{[ (t)H (П7)

1=1 1=1

Принимая во внимание (13), возьмем от (П7) производную по времени вдоль траекторий (П6):

к

= £ [-хТ (t)Q1ix; (t) + 2^0-1хТ ^)РВМ ёт А; (0| +

¿=1

к

+ Е[-^о 1пт (t)Q2nг № + пт (t)Hbí4; (t)j. (П8)

1=1

Для оценки первого и второго слагаемых в (П8) воспользуемся (П5):

к к

-£ хТ (^хі Ф = -£ £ (í)Qxi^ (¿) <

І=1 І=1 ]ЄМі

к к

< - 0,25с(к-1)-1р££хТ (*^у (#), і=17=1

где Xj (t) = Xi (t) - x j (t);

2ц0-1 £XT (f)PB^g% (t) £ 2ц

Y-l .

i=1

i=1

£ ixT (t)PB^gTgBT,Pixi (t) + |A; (t)|

£

£ 2ц01 £ £ cijxTj (t)pBNgTgBNPxij(t)+

i=1 jENi

k

+ 2ц0-1 £ | Ai (t)|2 £ 2c ц0-1 £ £ xT (t)PBNgT

i=1

i=1 j=1

k

: gBNPX ij (t) + 2ц0-1 £| Ai (t)|2.

i=1

Четвертое слагаемое в (П8) оценим в виде

£ пт (#)НЬС г (Ю £

І=1

<Е

г=1

ц-V (f)HbbTH,1; (f) + Цо ІС г (f)|2

Примем X — зир{2Мо 21^г(^12 +і(^| }• Тогда выражение (П8) можно переписать как

к к

V(і) <-££хТ (і )(о, 25с (к -1)-1 pQl -і=1 у=1

- 2с Ц0-1РВ^^В£ ?уц (і) -

к

1 £ ПТ (*)(% - нььт н) Пі (і)+кцох-

-Mo

£=1

Очевидно, если выполнено условие (12) и Q2 -

- ^ЬЬ^ > 0, то V (^ <—PV (t) + кц0Х, Р > 0. Пусть

0,25с(к - 1)-1рQ1 - 2сц0-1 х

х РВN gт gBN р = Ка > 0

и Q2 - ^Ь^ = К<2 > 0. Перепишем последнее неравенство как

к к

V(t) < -£ £ хТ (t)R1 X^ (/:) - Цо1 X ¿=1 ¡=1

к

х£ ПТ (*)К2Ч£ (#) + кМоХ- (П9)

ї=і

В силу (П5) оценим функцию (П7) в виде

VV = Е Е ХТ (#)Р*ц (#) + ЕЧЇ (#)НЛ; (#) <

і=1 jєNi і=1

< с Е Е Х Т (#)РХ ц(і)+Е пТ (*)Н]ъм- (П10)

г=17=1

г=1

Выберем число ß из условия

ß = min {cXm1ax (p)Xmin (Ri), Mo 1^max (H )^min (R2,

Тогда, с учетом (П9), перепишем (П10) как

V (#) <- РУ(#) + кцоХ- Решив последнее неравенство, получим V(t) < ^0)е- р + (1 - е- ^йцоХ, откуда для фиксированного значения времени 4 = Т следует оценка величины є в целевом условии (2):

<

8 <VXmln(P)F(T) _

< ^XmL(p)[V(0)e-pT+(i-e-pT)k^0x

(П11)

Оценки (12) и (П11) достаточно грубые. Но из них видно, что уменьшением числа можно получить требуемую точность є в (2).

Доказательство следствия: Действительно, граф, у которого есть остовное дерево, можно ассоциировать с симметричным орграфом, у которого есть ориентированное остовное дерево. Поэтому система управления (4), (7), (9), (11) с расчетом параметра ц в (12) справедлива в случае, если сеть ассоциирована с графами Гг, I = 1, ..., т.

Известно [11], для того чтобы граф Г1, состоящий из £ вершин, содержал остовное дерево, необходимо, чтобы он содержал как минимум £ - 1 ребер. Пусть Г11, ..., Г1г — подграфы графа Г1, содержащие £ вершин, £ - 1 ребер и остовное дерево графа Г1. Лапласианы, а значит и симметризо-ванные лапласианы подграфов Г11, ..., Г1г — симметричные матрицы, отличающиеся только расположением соответствующих строк. Следовательно, их характеристические многочлены идентичны, т. е. они имеют одинаковые собственные числа. Причем алгебраическая связность графов Г11, ..., Г1г не превосходит алгебраических связностей любых подграфов графа Г1, которые содержат остовное дерево, £ вершин и более чем £ - 1 ребер (лемма 13.6.1 [11]). Следовательно, для расчета числа можно воспользоваться выражением (14).

0

2

X

X

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт проблем машиноведения РАН (г. Санкт-Петербург) при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 09-08-00237, 10-08-90707) и при поддержке Федеральной целе- вой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 гг., проводимой в Российском государственном университете нефти и газа им. И. М. Губкина (г. Москва).

Литература 8. Dib W., Barabanov A., Ortega R., Lamnabhi-Lagar-rigue F. On transient stability of multi-machine power systems: a «globally» convergent controller for structure-preserving models // Proc. of the 17th World Congress IFAC. Seoul, 2008. P. 9398-9403. 9. Агаев Р. П., Чеботарев П. Ю. Матрица максимальных исходящих лесов орграфа и ее применения // Автоматика и телемеханика. 2000. № 9. С. 15-43. 10. Цыкунов А. м. Алгоритмы робастного управления

1. Yoshioka C., Namerikawa T. Observed-based consensus control strategy for multi-agent system with communication time delay // 17th IEEE Intern. Conf. on Control Applications. San Antonio, 2008. P. 1037-1042. 2. Liu Y., Jia Y., Du J., Shiying Y. Dynamic output feedback control for consensus of multi-agent systems: an H“ approach // American Control Conf. St. Louis, 2009. P. 4470-4475.

3. Джунусов И. А., Фрадков А. Л. Синхронизация по выходам в сетях линейных объектов // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления: Сб. докл. XI Междунар. конф. / ИПУ им. В. А. Трапезникова. М., 2010. С. 1-2. 4. Scardovi L., Sepulchre R. Synchronization in networks of identical linear systems // Automatica. 2009. Vol. 45. P. 2557-2562. 5. Xie G., Liu H., Wang L., Jia Y. Consensus in net- с компенсацией ограниченных возмущений // Автоматика и телемеханика. 2007. № 7. С. 103-115. 11. Godsil C., Royle G. Algebraic graph theory. - N. Y.: Springer-Verlag, 2001. - 232 p. 12. Фрадков А. Л. Кибернетическая физика: принципы и примеры. - СПб.: Наука, 2003. - 208 с. 13. Фрадков А. Л., Андриевский Б. Р., Андриевский А. Б. Оценивание состояния пассифицируемых нелинейных систем при коммуникационных ограниче-

worked multi-agent systems via sampled control: switching topology case // American Control Conf. St. Louis, 2009. P. 4525-4530. 6. Ren W., Beard R. W. Consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies // IEEE Trans. on Automatic Control. 2005. Vol. 50. N 5. P. 655-661. 7. Фрадков А. Л. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта // Сиб. мат. журн. 1976. № 2. С. 436-446. ниях // Информационно-управляющие системы. 2011. № 1. С. 28-33. 14. Atassi A. N., Khalil H. K. A separation principle for the stabilization of class of nonlinear systems // IEEE Trans. on Automatic Control. 1999. Vol. 44. N 9. P. 1672-1687. 15. Ланкастер П. Теория матриц. - М.: Наука, 1973. -280 с. 16. Брусин В. А. Об одном классе сингулярно возмущенных адаптивных систем. 1 // Автоматика и телемеханика. 1995. № 4. С. 119-127.

_у