Управление синхронизацией сетей с нелинейностями и запаздывающими связями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобаче вского, 2013, № 1 (3), с. 265-271

УДК 519.7

УПРАВЛЕНИЕ СИНХРОНИЗАЦИЕЙ СЕТЕЙ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ И ЗАПАЗДЫВАЮЩИМИ СВЯЗЯМИ

© 2013 г. А.А. Селиванов

Санкт-Петербургский госуниверситет

antonselivanov@gmail.com

Псступило к нидикцию 14.11.2012

Рассматривается задача асимптотической синхронизации сети нелинейных объектов с помощью консенсусной обратной связи по запаздывающим выходам. С помощью метода пассификации, теоремы Агаева-Чеботарёва и метода функций Ляпунова-Разумихина выведены достаточные условия синхронизации сети гипер-минимально-фазовых агентов с нелинейностями, удовлетворяющими условию Липшица. Структура сети предполагается фиксированной и такой, что орграф связей имеет входящее остовное дерево.

Ключикыи слски: сетевые системы, синхронизация, запаздывание, пассифицируемость.

Введение

В последние годы наблюдается повышенный интерес к задачам управления сетевыми системами. Опубликовано множество обзорных статей [1, 2], монографий [3-7], издаются специальные выпуски журналов и проводятся конференции, посвящённые сетевому управлению. Такая популярность сетевых систем обусловлена прежде всего широтой области применения: сети роботов, формации летающих и подводных объектов, управление промышленными, электрическими и производственными сетями и т. д.

Одной из задач сетевого управления является синхронизация: обеспечение согласованного во времени поведения подсистем. Простейшим и наиболее распространённым законом управления в задачах синхронизации является так называемое «консенсусное управление», при котором управляющий сигнал для каждого узла строится как взвешенная сумма разностей состояний или выходов соседних узлов [2, 8-10]. При этом в случае сближения состояний узлов со временем говорят о достижении в сети консенсуса. В случае сетей агентов с динамикой произвольного порядка в большинстве известных работ строятся обратные связи по состоянию объекта. В [10] были выведены достаточные условия синхронизации линейных систем с помощью обратных связей по выходу, но без учёта запаздываний, возникающих из-за конечной скорости передачи информации между агентами сети. В [7] рассматривается задача синхронизации полупассивных систем при наличии запаздываний.

В настоящей работе результаты [10] обобщаются на случай нелинейных сетей с запаздываниями в связях. Регулятору подсистемы доступны выходы соседних узлов, приходящие с запаздыванием. В отличие от [7] подсистемы предполагаются гипер-минимально-фазовыми, что позволяет рассматривать гораздо более широкий круг задач. На основе теоремы о пассификации, теоремы Агаева-Чеботарёва и метода Ляпунова-Разумихина получены условия асимптотической синхронизации.

В работе используются стандартные обозначения. Евклидово пространство размерности п обозначено через К" (Ж > 0 - множество неотрицательных вещественных чисел); С - поле комплексных чисел, через С+ обозначена открытая правая полуплоскость; I - единичная матрица подходящей размерности; АТ - транспонированная матрица А. Положительная определённость симметричной матрицы Н (Н >0) означает положительную определённость соответствующей квадратичной формы; (Н) и

Лит (Н), соответственно, наибольшее и

наименьшее собственные числа симметричной матрицы Н. Все нормы евклидовы.

1. Предварительные сведения

1.1 Скидикия иг тисрии грофск Приведем необходимые сведения из теории графов, в частности определение лапласовской матрицы и некоторые ее свойства (см. [5, 1114]).

Рибсти кыпслкики при псддиржки Фидирильксй циликсй прсгроммы «Ниучкыи и коучкс-пидогсгичискии кидры ик-кскоцискксй Рсссии» ки 2009-2013 гг. (ксктрикт №14.В37.21.0247)

Ориентированным графом д называется пара 0 = (у,£), где V - множество вершин, а о'сУх V - множество дуг. Пусть N - число вершин (мощность множества V). Здесь и далее рассматриваются графы без петель, т. е. для любой вершины а є V выполнено («.«) й £.

Путём длины у из вершины ах в вершину а называется упорядоченное множество «(|. где (« !.« ) є <5 для каждого г = 2,...,у и все вершины а различны. Вершина а достижима из вершины /, если а = / или в орграфе существует путь из вершины Р в вершину а . Если для каждой вершины графа существует путь в любую другую вершину, то ориентированный граф называется силънс скяг-ным. В этом случаях компонента связности у графа будет одна. Орграф называется кхсдящим дириксм, если в каждую его вершину, кроме одной, называемой корнем, входит ровно одна дуга. Входящим остовнъш деревом орграфа О называется входящее дерево, составленное из дуг этого орграфа, такое, что в нем существует путь из корня в любую другую вершину с, Аналогично вводится более общее понятие: остовнъш входящий лес. Остовный входящий лес Т орграфа <3 называется максимальным входящим лесом, если в О нет остовного входящего леса с числом дуг, большим, чем в Т . Очевидно, что каждый максимальный входящий лес содержит минимально возможное число корней; это число называется лесной размерностью орграфа (по входящим деревьям) и обозначается через V. Число дуг в любом максимальном входящем лесе равно, очевидно, N — V. Отметим, что лесная размерность по исходящим деревьям может, вообще говоря, отличаться от V.

Орграф называется взвешенным, если каждой паре вершин «,/?єУ сопоставлено число

w(а,/)> 0 такое, что м(а,/)> 0, если («,/?)є<5, и \м(а,0} = 0, если Матрица смежности А (д) = ^ представляет со-

бой (N х N) -матрицу, і, у -й элемент которой равен w(а,а). Для вершины а введем пслу-стипикъ исхсди

N

d ,(а\ = ^а .

out \ і / у

У=1

Введем (N х N) -матрицу

D(g) = diag {dout («j), (а2),..., («„)}.

Лапласовской матрицей орграфа Q называется матрица

L(g)=D(g)-A(g).

Обозначим через 1^ вектор-столбец размерности N, состоящий из единиц. Как известно [5, 11-16], введенная матрица L обладает следующими свойствами:

1) матрица f(G) имеет нулевое собственное число, которому соответствует правый собственный вектор 1Д : I {G) 1. =0;

2) нулевое собственное число лапласовской матрицы L имеет единичную кратность, если соответствующий орграф сильно связен;

3) все собственные числа лапласовской матрицы принадлежат множеству С + ^){0} .

Важный результат был получен Р.П. Агаевым и П.Ю. Чеботаревым в 2000 г. [14], см. также [8].

Теорема 1 (Агаева-Чеботарева [14]) Ранг лапласовской матрицы графа д равен N — v, где v - лесная размерность графа по входящим деревьям. В частности, rankL = N —1, т. е. нулевое собственное число матрицы L имеет единичную кратность тогда и только тогда, когда орграф Q имеет входящее остовное дерево.

1.2. Метод пассификации Приведём необходимые сведения о пассификации линейных систем [17, 18].

Рассмотрим линейную систему с одним входом и несколькими выходами (single-input-multiple-outputs - SIMO):

х = Ах + Ви, z = Cx, (1)

где x = x(/) e 3" - вектор состояния;

м = м (f) e Ж. - управляющее воздействие (вход);

z = z(t')eRI - измеряемый вектор выходов; А.

B, C - постоянные вещественные матрицы размеров n х n, n xl, l х n соответственно.

Задача пассификации для системы (1) понимается как нахождение (lx l) -матрицы K такой, что система, замкнутая обратной связью u = -Kz + v, строго пассивна по отношению к

вспомогательному выходу и = GT z (G - вектор размерности I): для некоторого р> 0 и любых

T

T > 0 неравенство j(&v — р | х |2 )dt > 0 выпол-

0

нено вдоль траекторий системы (1) с начальным условием х (0) = 0. Как следует из леммы Яку-

(2)

(3)

бовича-Калмана-Попова и из свойств пассивных систем [19-22], пассифицируемость системы эквивалентна существованию матрицы ^ обеспечивающей строгую положительную вещественность (SPR) замкнутой системы: ее передаточная функция

Ж (5 ) = вТС(< - А + ВКС) —В

от входа V к выходу а = ОТг удовлетворяет соотношениям

ЯеЖ(1б})> 0 УоеМ, /'2 = — 1,

Нт ог Яс1¥ (/«) > 0.

й)^+м

Важность свойств пассивности и пассифи-цируемости в теории управления определяется их тесной связью с устойчивостью и стабилизи-руемостью (см. [19-21, 23]).

Определение 1. Система (1) называется минимально фазовой по выходу а = Отг, если многочлен

- з1п - А - В ОТС 0

гурвицев (все его корни имеют отрицательные вещественные части), и гипер-минимально-фазовой (ГМФ), если она минимально-фазовая и ОтСВ > 0.

Если передаточная функция системы (1) от входа u к выходу а = От г имеет вид Ж (5 ) = Ь (5 ) / а (5 ), где Ь (5 ), а (5) - многочлены степеней к п соответственно, к < п, то система гипер-минимально-фазовая, если и только если Ь (5) - гурвицев многочлен, к = п — 1 и

Ь (0)> 0 .

Теорема 2. (Теорема пассификации [17, 18])

Следующие утверждения эквивалентны:

Al. Существуют положительно-

определенная (п х п) -матрица H и (1х I) -

матрица K такие, что выполняются соотношения:

Н (А + БКС) + (А + ВКС)ТН < 0, НВ = СТ О; (4)

Bl. Система (1) гипер-минимально-фазовая по отношению к выходу а = Отг;

Cl. Существует обратная связь

и = Кг + V, (5)

делающая замкнутую систему (1), (5) строго пассивной по отношению к выходу а = Отг.

При выполнении условия В1 матрица К в (4) может быть найдена в виде К = —мОт, где ус —

достаточно большое положительное число.

При этом нижняя граница ус0 для к имеет вид [18; 23]:

ус > = эир Яе(ОтЖ(/о))-1. (6)

Очевидно следующее следствие.

Следствие 1. Если система (1) гипер-минимально-фазовая по отношению к выходу сг = От г, то существуют положнтельно-определетая (п х 77) -матрица Н и числа ус> 0, е > 0 такие, что выполняются соотношения: НА + АТН - 2хСтСОтС < -е1, НВ = СтО. (7)

Обобщение теоремы 2 на случай нескольких входов (М1МО) можно найти в [18]. Для нескольких входов в определение гипер-минимально-фазовости включается дополнительное требование симметрии

(ОТСВ)Т = ОТСВ. Центральной частью теоремы является эквивалентность А1 и В1, которая для М1МО систем была установлена в [17].

1.3 Теорема Ляпунова-Разумихина

При доказательстве устойчивости систем с запаздываниями, как правило, используется либо метод функционалов Ляпунова-Красовского, либо метод функций Ляпунова-Разумихина. Здесь будет использована теорема Ляпунова-Разумихина.

Теорема 3 (Ляпунова-Разумихина [24]) Пусть /:Мх(С—отображает

К х (ограниченные множества в С) в ограни-

читыи мксжистки

и р,и,\’,м!:\

киприрытыи киубыкиющии, пслсжитилъкыи для 5 > 0 фуккции, р (5 )> 5 для 5 > 0 и

и (0) = V (0) = 0. Нуликси ришикии урикнинuя

х (ґ) = / (ґ, х,) равномерно асимптотически устойчиво, если существует непрерывная функция V: М х М" —» М0, которая положи-тилъкс спридилики

и 014 )^ к ^х)^V 0 4) > (8)

такая, что

если

V ^ + в, х (і + в))< р (V ^, х (і ))), (9)

У в є [— й,0].

Если к тсму же їіт^ти (5) = да, тс скс глс-билъкс рикнсмирнс исимптстичиски устсйчикс.

2. Постановка задачи

Рассмотрим сеть, состоящую из N подси-

п

стем, каждая из которых описывается уравнением:

*, (0 = А (О+Щ (О+<р(и х, (0), у,( О =Сх,(0’

где V/ = 1.....Л' х е А" - состояние /-й подси-

(10)

D /

стемы, м.еК - управление, у. е к - вектор измерений, постоянные матрицы A, B, C имеют соответствующие размерности, время

? е [0, +х>~).

Предположение 1. Функция (р(у, х) для всех ? е[0, +да) удовлетворяет глобальному условию Липшица по второму аргументу с постоянной Ьу, т. е. \/?е[0,-нх>) \/х',х"ё1"

\ф{*, х') ~ *")|| ^ ^ ||*' - х"\\ •

Рассмотрим орграф Я = (у,£), где V -множество вершин, а ^сУхУ - множество дуг. Для каждого г = 1,...,Н вершина у е V ассоциирована с г-й подсистемой. Будем считать, что дуга (V, V ) принадлежит множеству

дуг £, если информация поступает от г-й подсистемы к у-й. Предполагается, что в орграфе

нет петель, т. е. й £ для всех / = 1..... Л'.

Орграф Я будем называть орграфом связей. Множество соседей /-го узла обозначим через М1 = {£ = 1..... Л' | (у . V’, ) е £). Будем предполагать, что информация от у-го узла доходит до и го узла за время т > 0 . Тогда можно построить регулятор вида:

мД0=кИ{у^-т)-Уу(1-т)) ’ (п)

./- Л:

где К е М1хг - вектор-строка коэффициентов усиления.

Далее будет рассмотрена задача асимптотической синхронизации агентов по состояниям. Задача состоит в том, чтобы найти такой вектор-строку К, что для любого решения замкнутой системы (10), (11) выполнено:

Нш (х (?) — х (?)) = 0, /, у = 1,..., N. (12)

3 Основной результат

Обозначим = С(я/ - А)1 В ,5 е С. По-

ставленная задача будет решена при выполнении следующих предположений.

Предположение 2. У орграфа связе Я существует входящее остовное дерево.

Предположение 3. Существует вектор g е Ш1 такой, что функция gTW(5) - гипер-минимально-фазовая.

Первое предположение налагает условие на структуру сети. Второе предположение накладывает условие на линейную часть локальной динамики подсистем. Из следствия 1 можно сделать вывод, что существуют матрица Н = НТ > 0 и числа >2Т > 0 , s > 0 такие, что выполняются соотношения (7) с G = g . Значение величины е играет ключевую роль при оценке нелинейности cp(t, х) .

Теорема 4. Пусть существуют Lv > 0 и gel* такие, что выполнены предположения 1, 2 и 4, причём 2Lv < еХп a (н), где е , H удовлетворяют (7). Тогда, если k > 0 достаточно велико и кт достаточно мало, управление (11) с вектором коэффициентов усиления K = —kgT обеспечивает выполнение цели (12).

Доказательство.

Пусть L - матрица Лапласа, соответствующая орграфу связей Я. Используя обозначения:

х(t)= col(х (t),...,Xn (t)), u(t) = col(ui (t),...,Un (t)), p(t, x) = col (p(t, x ),., p(t, Xn )) , систему (10) можно записать в виде

x(f) = (lN ® A}x(t} + (IN ®В^и + ^>(f,x), (13) а регулятор (11) в виде

u (t ) = ( L ® KC ) х (t -т), (14)

где A ® B означает произведение Кронекера матриц A и B. Подставляя (14) в (13), получаем уравнение замкнутой системы

x(t) = (lN <8>A)x(t) +

+ (Z® BKC)x(t - т) + q>{t ,x).

Рассмотри (N x N )-матрицу вида

(15)

Г1 0 0 0 "

1 -1 0 0

M = 1 0 -1 . . 0

V1 0 0 . • -1

(16)

Заметим, что М 1 = М.

Кроме того, поскольку Ь - матрица Лапласа,

то

(0 * 0

МЬМ =

л

V

где Л е ть' л' ''|Л 1 , а символом * обозначены элементы, значения которых в дальнейшем нам будут не важны.

Проверим, что Л + ЛТ > 0.

Действительно, спектр матрицы Лапласа Ь лежит в По предположению 2 у ор-

графа связей существует входящее остовное дерево, а значит, в силу теоремы 1, нулевое собственное число матрицы Ь имеет единичную кратность. Очевидно, что спектры матриц Ь и МЬМ совпадают и

<М (МЬМ — XI) = —Хс1е1 (Л — XI) .

Таким образом, если ёе! (Л ) = 0, то Х = 0 -

собственное число второй кратности, что противоречит предположению 2. Итак, все собственные числа матрицы Л лежат в С+, а значит, Л + ЛТ > 0 . Сделаем замену переменной:

2 (0 = (М® 1п)х(0. (17)

Поскольку М1 = М, то

х (X )=(М ® 1п)г (X). Система (15) может быть записана в виде

2 (I) = (^ ® А)г ^) +

+ (МЬМ ® ВКС) г (X — т) + (18)

+ (М ® 1п )р((, х).

Поскольку для г = 2,..., N г = х1 — х, достаточно исследовать устойчивость решения с г = 0 V/ = 2,..., N. Обозначим

:(1 ) =

г2(()

Л

(О

Ф (X, г, г) =

-г2)

~2м)

Тогда

А) г + (Л ® ВКС) г (X — т) +

+Ф (X, г, г ).

По предположению 3 существует g е

(20)

такой что ,ЦТ Ж (я) - гипер-минимально-

фазовая, а значит, существуют Н и такие, что выполнены соотношения (7). Рассмотрим функцию:

V ( г ) = г (X)(4—1 ® Н ) г (X).

Условие (8) выполнено с и (5 ) = 52Хт(л(Н) и V(5) = 52Хтш.(Н) . Кроме того, выполняется равенство Нш^ти(5) = да. Проверим, когда выполняется условие (9). Производная в силу системы равна

К = *г (1)(1м_1®{АтН+НА})2(1) +

+22т (X) (Л ® НВКС) г (X— т) +

+2гТ (X)(^—1 ® Н)Ф(X,Ц,г) =

= / (X) (® {АТН + НА + (21)

+2 яСт88тС})2(()~

-2кгт (t)(^h®CтggтC}z(t - г) + +22т(()(1м_1®Н)Ф((,11,2), где К = , А = А->^BgтC.

(19)

I

Подставим в (21) -г) = - | ск :

Х-Т

V = гт (?) (V, ®{£Н + НА,}) 7 (?) +

+/ (?)({2х/ЛГ_1 --^[Л + Л7]}®{С7яя7С})г(?)+ (22)

X

+2кгТ (X)(Л ® CTggTC) | 7. (5) сЬ +

Х~Т

+2гТ (X)(^—! ® Н)Ф(X,г,г).

В силу (7) первое слагаемое меньше, чем —е||г (X)||2. Поскольку Л + ЛТ > 0 , второе слагаемое можно сделать неположительным, выбрав к > 2ж / ХШп |^Л -ь ЛГ . Четвёртое слагаемое удовлетворяет неравенству:

2| г (X)(4—1 ® Н ) Ф (X, г, г )|<

< 2Хшах (Н ) Ь,|| г\\2.

Теперь оценим третье слагаемое:

х х

1^(5) <*= | (V!® А)г(^)-

(23)

X —т

т,

(24)

к ( Л ® BgTC) г (5 — т) + Ф (X, г, г ) сЬ.

Воспользуемся условием (9) с р > 1, р (5) = р5, к = 2т. Если V (г (X + #)) < рУ (г (X)) для V0е[— 2т,0], то |г(X + $)|< <?|г(X)| c

q =

-U (H) т

' -Ж). Тогда

| z(s) ds

<дт||г(?)||(^ + kXlXBXc+L(p),{25)

где

-a = — (ATA) , -1 = —(Лл) -B =4BFB, - =—(cTggTc),

Таким образом,

t

2fer (?)(Л® CrggrC) jz(s) tfc <

(26)

< 2кХ1ХС2цт(ХА + ^^с + Ь)||г(X)||2.

Итак,

'>(<)М2'1-(«)1,-е)1И')1Г+

+г (1)({2^ -*[л + Лг]} 8 {СГЖГС))г(<) + (27)

+2 к^Х^т (ХА + к\ХвХс + Ь )|| г (X )||2 ■

Из условий теоремы следует 2 Хх ( Н ) Ь„ — е < 0. Как видно, если

к > 2и / ХтШ [Л + ЛГ ]

что

и

0 < кт < ■

е — 2-max (H) Lp

2Х1Х(2Ч (ХА + кХ1ХВХС + Ьр)

то выполняются условия теоремы Ляпунова-Разумихина (9). Следовательно, г(X) = 0 глобально равномерно асимптотически устойчиво,

а, значит, синхронное решение системы (10),

(11) глобально равномерно асимптотически устойчиво, т. е. достигается цель управления

(12).

Заключение

Рассмотрена задача асимптотической синхронизации сети нелинейных динамических систем с помощью консенсусной обратной связи по запаздывающим выходам. Требуется чтобы линейная часть локальной динамики была гипер-минимально-фазовая, т. е. система была пассифицируема. Нелинейность, входящая в уравнение локальной динамики объекта, удовлетворяет условию Липшица. При этом чем «более устойчивой» можно сделать линейную часть подсистемы, тем большее значение может принимать постоянная Липшица. Структура сети предполагается постоянной и такой, что орграф связей имеет входящее остовное дерево.

Рассмотренный регулятор обладает рядом

преимуществ. Во-первых, используются только выходы соседних узлов, размерность которых может быть меньше размерности вектора состояний. Более того, учитывается время, которое необходимо на передачу информации между агентами сети. Во-вторых, управление является скалярной функцией и не требуется, чтобы оно входило во все уравнения локальной динамики.

При помощи метода пассификации, теоремы Агаева-Чеботарёва и теоремы Ляпунова-Разумихина выведены достаточные условия асимптотической синхронизации. Оказывается, что при достаточно большом коэффициенте усиления и достаточно малом произведении запаздывания на коэффициент усиления наступает синхронизация.

Работа выполнена при поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг (контракт N 14.B37.21.0247) и при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №11-08-01218.

Список литературы

1. Olfati-Saber R., Fax J.A., Murray R.M. Consensus and cooperation in networked multi-agent systems // Proceedings of the IEEE. 2007. V. 95, № 1. P. 215-233.

2. Ren W., Beard R., Atkins E. Information consensus in multivehicle cooperative control // Control Systems, IEEE, 2007. P. 71 -82.

3. Wu C. Synchronization in complex networks of nonlinear dynamical systems. Singapore: World Scientific, 2007.

4. Ren W., Beard R. Distributed consensus in multivehicle cooperative control: Theory and applications. London: Springer, 2007. P. 319.

5. Bullo F., Cortes J., Martinez S. Distributed control of robotic networks: a mathematical approach to motion coordination algorithms. Princeton University Press, 2009. P. 336.

6. Cohen R., Havlin S. Complex networks: structure, robustness and function. Cambridge University Press, 2010. P. 248.

7. Steur E. Synchronous Behavior in networks of coupled systems. Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven, 2011. P. 188.

8. Чеботарёв П., Агаев Р. Согласование характеристик в многоагентных системах и спектры лапласовских матриц орграфов // Автоматика и телемеханика. 2009. №. 3. С. 136-151.

9. Li Z., Duan Z., Chen G. et al. Consensus of multiagent systems and synchronization of complex networks: A Unified Viewpoint // IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers, 2010. V. 57. №

1. P. 213-224.

10. Джунусов И.А., Фрадков А.Л. Синхронизация в сетях линейных агентов с обратными связями по выходам // Автоматика и телемеханика.2011, №. 8.

t-Т

t-Т

С. 41-52.

11. Mohar B. Some applications of Laplace eigenvalues of graphs // Graph symmetry: algebraic methods and applications / Ed. by G. Hahn, G. Sabidussi. Kluwer Academic Publ, 1997. P. 225-275.

12. Ren W., BeardR. W. consensus seeking in multiagent systems under dynamically changing interaction topologies // IEEE Transactions on automatic control. 2005. V. 50, № 5. P. 655-661.

13. Olfati-Saber R., Murray R.M. consensus problems in networks of agents with switching topology and time-delays // IEEE Transactions on automatic control. 2004. V. 49, № 9. P. 1520-1533.

14. Агаев Р., Чеботарёв П. Матрица максимальных исходящих лесов орграфа и её применения // Автоматика и телемеханика. 2000. №. 9. С. 15-43.

15. Агаев Р., Чеботарёв П. Лапласовские спектры орграфов и их приложения // Автоматика и телемеханика. 2005. №. 5. С. 47-62.

16. Агаев Р., Чеботарёв П. Остовные леса орграфа и их применение // Автоматика и телемеханика. 2001. №. 3. С. 108-133.

17. Фрадков А.Л. Квадратичные функции Ляпунова в задаче адаптивной стабилизации линейного динамического объекта // Сибирский математиче-

ский журн. 1976. Т. 17. №. 2. С. 436-445.

18. Fradkov A. Passification of Non-square Linear Systems and Feedback Yakubovich-Kalman-Popov Lemma // European journal of control. 2003. №. 6. С. 573-582.

19. Willems J.C. Dissipative dynamical systems part II: Linear systems with quadratic supply rates // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1972.

20. Willems J.C. Dissipative dynamical systems part I: General theory // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1972.

21. Полушин И.Г., Фрадков А.Л., Хилл Д.Д. Пассивность и пассификация нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 2000. №. 3. С. 3-37.

22. Yakubovich V.A., Fradkov A.L., Hill D.J., ProskurnikovA.V. Dissipativity of T-periodic linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2007. V. 52. № 6. P. 1039-1047.

23. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Метод пас-сификации в задачах адаптивного управления, оценивания и синхронизации // Автоматика и телемеханика. 2006. №. 11. С. 3-37.

24. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1956. Т. 20. С. 500-512.

CONTROL OF SYNCHRONIZATION FOR NETWORKS WITH NONLINEARITIES AND DELAYED INTERCONNECTIONS

A.A. Selivanov

The task of asymptotic synchronization for a network of nonlinear systems with consensus feedback by delayed output is considered. With the help of the passification method, Agaev-Chebotarev theorem and Lyapunov-Razumikhin method sufficient conditions for synchronization of a network of hyper-minimum-phase objects with Lipschitz nonlinearities were obtained. The network structure is assumed to be fixed and such that there exists an incoming spanning tree.

Keywords: networks, synchronization, time-delay, passification.