CC BY
43
УДК 519.17 Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2008, вып. 3
В. А. Буслов, М. С. Богданов, В. А. Худобахшов
О МИНИМАЛЬНОМ ОСТОВНОМ ДЕРЕВЕ ДЛЯ ОРГРАФОВ С ПОТЕНЦИАЛЬНЫМИ ВЕСАМИ
1. Введение. Проблема поиска минимального остовного дерева хорошо знакома как исследователям в области теории графов, так и программистам, имеющим дело с прикладными задачами. Для неориентированного взвешенного графа хорошо известен целый ряд алгоритмов, таких как алгоритм Прима [1], алгоритм Крускала, алгоритм Борувки и др. Для ориентированных графов также существует несколько решений данной проблемы [2-4]. Кроме того, некоторые эффективные алгоритмы используются как для неориентированного, так и для ориентированного случая [5].
Однако в настоящей работе предлагается взглянуть на возможность применения достаточно простых в реализации алгоритмов для неориентированных графов, например алгоритм Прима, для поиска минимального остова для орграфов, веса которых удовлетворяют некоторому специальному соотношению.
Непосредственно применять алгоритмы для неориентированных графов в ориентированном случае нельзя, поскольку минимальное остовное дерево ориентированного графа может не содержать дуги минимального веса (рисунок).
Рассмотрим ориентированный граф, веса которого удовлетворяют следующему соотношению:
Яц = (рц ~ (ри1 (1)
причем матрица (р - симметричная матрица весов некоторого неориентированного графа. В п. 2 рассмотрены задачи, приводящие к графам с весами данного типа. Будем считать, что веса - высоты потенциальных барьеров, которые нужно преодолеть, чтобы попасть из точки г в точку j. Таким образом, <рц представляет собой локальный минимум потенциала ямы г, а - седловая точка между ямами г и ]. Поэтому веса, удовлетворяющие соотношению (1), будем называть потенциальными.
В п. 5 докажем, что для орграфов с положительными весами, удовлетворяющими соотношению (1), минимальное остовное дерево может быть найдено с помощью любого алгоритма, дающего минимальный остов с заданным корнем и примененного к неориентированному графу с весами
Ориентированный граф, веса дуг которого обозначены соответствующими числами.
Минимальное остовное дерево такого графа не содержит дугу минимального веса, равного 1.
© В. А. Буслов, М. С. Богданов, В. А. Худобахшов, 2008
2. Марковские процессы. В теории случайных процессов особую роль играют марковские процессы, а в них, в свою очередь, выделяются, в силу многочисленных приложений в физике, химии, биологии, экономике и т. д., - диффузии. Реализации такого процесса подчиняются стохастическому дифференциальному уравнению
dQ. = aj(£t.)dwj + bl(it)dt , 1 г г . (2)
з
Здесь Ь(х) = (61(х), 62(х),..., Ьг(х)) - поле сноса в r-мерном пространстве, где происходит процесс, а(х) - вещественная квадратная матричная функция, a wt - r-мерный ви-неровский процесс (первообразная от белого шума). С переходной функцией P(t,x, Г) (вероятность того, что процесс, стартовавший в точке х, через время t окажется в множестве Г) связаны два сопряженных семейства операторов, которые удобно обозначать одинаково Р4, образующих полугруппу (Pt+S = ptps, р° - единичный оператор):
Pbf(x) = j P(t, х, dy)f(y) = Мж/(&), (3)
где / - ограниченная, измеримая числовая функция; М.,. - математическое ожидание,
соответствующее марковскому процессу £t, стартовавшему в точке х. Второе семейство действует на счетно-аддитивные функции множества (обобщенные меры или меры со знаком) v
рР1(Т) = J v(dx)P(t, х, Г) = Р„ {6 G Г} , (4)
в котором Р„ - мера марковского семейства с начальным распределением р. То есть
эта полугруппа описывает эволюцию одномерных распределений с течением времени.
Инфинитезимальный оператор А полугруппы (3), определяемый как правая производная в нуле и действующий по правилу
Af = \imt-1(Ptf-f),
представляет собой дифференциальный оператор Л = —С второго порядка в частных производных (знак минус поставлен для удобства)
_£/(х) = 1 £ + Е Ъ'Чт1- ’
2 дхгдхЗ дхг
г,3 г
где аг->(х) = ак(х)ак(х)■ Плотность распределения и марковского процесса (2) удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка
di = ~c" <3>
В (5) С* - оператор, формально сопряженный производящему оператору диффузии £,
действие которого определяется как
1 Я2 8
—С*и(х) = - Е q-q-(aij(x)u(x) - Е д-(Ь{(х)и(х)). (6)
i,j
Он также генератор полугруппы (4). В случае, если поле сноса b является потенциальным (Ь = —¥(р, где (р - скалярное поле), диффузионный оператор С самосопряжен в пространстве с весом и решение уравнения Фоккера-Планка (5) может быть разложено в ряд по собственным функциям Vi и v* операторов С и С*
СО
и(х, t) = Е e^Xit(u0, vi)v* (х) . (7)
i
С точностью до нормировки v*(x) = e_<p(æ^j(x), а собственные числа Aj не отрица-
фА ТТ1_ и т т
X t/J IJbJtlJbl «
3. «Почти» вырожденные матрицы. Если диффузия в том или ином смысле мала - собственно малая диффузия или диффузия в сильных полях, то это отвечает введению малого параметра е при старших производных в производящем операторе диффузии и соответственно множителя е1/2 при матрице а в стохастическом уравнении (2). При этом в спектре диффузионного оператора появляется серия экспоненциально малых собственных значений Aj ^ e^Ki^e,Ki > 0, число N которых совпадает с числом локальных минимумов потенциала. Суженный на подпространство младших собственных функций, он представляет N х N матрицу L с экспоненциально малыми элементами. Его внедиагональные элементы порядка и имеют четкий физи-
ческий смысл. Это величина потенциального барьера, который нужно преодолеть, чтобы из области притяжения П* (фундаментальной области) локального минимума х* динамической системы (5) попасть в соседнюю с ней область притяжения Qj локального минимума ху Qij = <р(жу ) — (p(xi), где ху - точка перевала рельефа потенциала между фундаментальными областями i и j. В случае диффузии на многообразии без края (диффузия без убивания на границе области) диагональные элементы этой матрицы есть сумма внедиагональных элементов строки, взятая со знаком минус. Тем самым, эволюция (7) при больших временах определяется лишь низкочастотным спектром и становится в существенном конечномерной. Вектор и (щ = /п. u(x,t)dx) частей распределения по ямам потенциала эволюционирует согласно уравнению
ù = —L* и.
Матрица L оказывается взвешенной матрицей Кирхгофа (матрицей передних проводимостей) ориентированного взвешенного графа без петель с экспоненциально малыми весами смежностей a,j =
L = D~ -А. (8)
В (8) А - матрица весов некоторого ориентированного графа G, a =
diag(dï, cÇ,..., d^¡) - взвешенная матрица полустепеней исхода вершин графа: dг = j a-ij ■ Спектральный анализ подобных матриц с малыми элементами разного порядка весьма проблематичен, если пользоваться стандартными методами. Однако справедливо беззнаковое представление характеристического полинома матрицы Кирхгофа в терминах древовидной структуры графа [6, 7]:
N
det(AJ-L) = (-l)iVE(-A)fe[ Е Ч’ (9)
к=0 F€Tk(G)
Данная матрица известна также как взвешенный лапласиан.
здесь Tip = Tl(i j)£F av ~ продуктивность графа F, т. e. произведение весов ay всех его дуг, а Tk(G) - множество остовных лесов графа G, состоящих из к деревьев.
В силу знакопостоянства членов при степенях Л формулы (9), ассимптотика (по малому параметру) коэффициентов характеристического полинома определяется минимальными остовными лесами ориентированного графа G с матрицей весов Qij. В частности, коэффициент при первой степени Л определяется минимальным остовным деревом графа G.
4. Вазовые обозначения. В зависимости от задачи ориентированные деревья можно задавать различными способами. Наиболее распространенный способ задания ориентированных деревьев - предположение, что полу степень захода любой вершины id(v) 1. Однако в рассматриваемом случае из-за того, что веса задают потенциал, удобнее полагать ориентированным деревом такое, при котором полу степень исхода od(v) 1, причем od(v) = 0 тогда и только тогда, когда вершина является корнем. Ориентированный граф обозначим G(V, A,oj), где V - множество вершин, А - множество дуг, аш - веса, ассоциированные с элементами А. Неориентированный граф будем обозначать аналогично, только со штрихом: G'(V,E,ip), здесь Е - множество ребер.
5. Задача о минимальном остовном дереве. Рассмотрим неориентированный граф G'(V, Е, (р) с заданной симметричной матрицей весов (р с положительными элементами, причем с не обязательно нулевыми диагональными элементами, но такими, что 4>ы < '-pik для любого к ф i. Сопоставим графу G' ориентированный граф G(V,A,Q) с матрицей весов Q, для которой выполнено соотношение (1). Из этого следует, что если существует дуга из вершины i в вершину j, то также есть и обратная ей дуга. Для графа G необходимо найти такое дерево Т, что общий вес
w(T)= Е Qij (Ю)
(i,j)€T
был бы минимален . Такое дерево называется минимальным остовным деревом для ориентированного взвешенного графа G. Аналогично можно определить минимальный остов для G' .
Для данного класса взвешенных ориентированных графов может быть сформулирована следующая теорема:
Теорема. Пусть Т - ориентированное дерево, полученное заданием корня в минимальном остове неориентированного графа G' в вершине к, для которой щи минимально. Тогда
1) Т - минимальное остовное дерево ориентированного графа G,
2) любое минимальное остовное дерево может быть получено таким способом.
Доказательство. Минимум для выражения (10) с учетом свойств весов Q
может быть записан следующим образом:
min w(T) = min > (¡рц — юц).
ТCG К > ТCG ^ 3 Г >
а,лет
Поскольку количество дуг в остовном дереве Т равно |F| — 1, очевидно, что данная величина не превосходит
Е Vij- (И)
(г,Лет ' 1фк
а так как члены первой и второй сумм независимы, то имеем точное равенство.
*) Здесь корень изначально не фиксирован, т. е. корневая вершина также является объектом поиска.
Заметим также, что (pij - веса ребер неориентированного графа G'. Следовательно, первое слагаемое в выражении (11) совпадает с минимальным весом для остова неориентированного графа G':
min V' (pij - maxS^ (ри . (12)
Т CG' ¿—і J к ^
{i,j}er іфк
Выражение (12) можно переписать так:
Таким образом, минимальное остовное дерево графа С может быть получено из минимального остова С путем фиксирования корня в вершине к с минимальным значе-
6. Заключение. Полученный результат является частным случаем значительно более сложной задачи - поиска минимальных остовных лесов, необходимых для определения коэффициентов характеристического полинома (9). В отличие от описанного случая, общая проблема не может быть решена с помощью простых алгоритмов для поиска лесов неориентированного графа и требует разработки специальных методов даже для случая потенциальных весов.
Buslov V. A., Bogdanov М. S., Khudobakhshov V. A. On the minimum spanning tree for directed graphs with potential weights.
This work examines the problem of searching the minimal spanning tree for oriented weighted graph with positive weights which look like Qij = tpij — (fin, where ip is a symmetric matrix satisfies condition of positive weights Qij. Should be proved that for concrete class of graphs the problem of searching the minimal spanning tree is equal to the same problem for an indirected graph with weights ifiij.
Литература
1. Prim, R. C. Shortest connection networks and some generalizations // Bell System Technical Journal. 1957. Vol. 36. P. 1389-1401.
2. Chu Y. J., Liu Т. H. On the shortest arborescence of a directed graph // Science Sinica. 1965. Vol. 14. P. 1396-1400.
3. Bock F. An algorithm to construct a minimum spanning tree in a directed network // Developments in Operations Research. Vol. I / Ed. by B. Avi-Itzhak. New York; London: Gordon and Breach, 1971. P. 29-44.
4. Edmonds J. Optimum branchings // J. Research of the National Bureau of Standards. 1967. Vol. 71B. P. 233-240.
5. Gabow H.N., Galil Z., Spencer Т., Tarjan R.E. Efficient algorithms for finding minimum spanning trees in undirected and directed graphs // Combinatorica. 1986. Vol. 6, Issue 2. P. 109122.
6. Fiedler М., Sedlacek J. О w-basich orientirovanych grafu // Casopis Pest. Mat. 1958. Vol. 83. P. 214-225.
7. Buslov V. A. Application of Tree-like Structure of Graph to Matrix Analysis: Preprint. 2000 // http://arxiv.org/abs/math/0001163.
Статья рекомендована к печати проф. К. В. Чистяковым.
НИЄМ (ркк-
□
Summary
Статья принята к печати 21 февраля 2008 г.
