CC BY
45
Резонанс в линейной стационарной динамической системе с п входами и одним выходом
Ключевые слова: резонанс формы, парциальные импульсные характеристики, матричный резонатор, векторная совокупность входных сигналов, внешнее состояние системы.
Показана возможность существования резонанса формы в линейной стационарной динамической системе с входами и одним выходом при действии на её входах векторной совокупности сигналов со сложными конструкциями. Особенностью такого резонанса как свойства внешнего состояния системы является возможность его обнаружения при отсутствии признаков частотного резонанса в системе. Эта особенность весьма существенна при поиске в системе резонансных явлений, связанных с их возможными негативными последствиями.
Зельманов С.С., ВВФ МТУСИ, zelmanss@yandex.ru
Постановка задачи
Попытка решения задачи обобщения резонанса в линейной стационарной динамической системе, как дальнейшего развития традиционного подхода к этому явлению, привело к его представлению в виде резонанса формы сигнала [1].
Более широкое обобщение частотного резонанса, основанное на рассмотрении бихевиоральной, т.е. поведенческой модели системы, позволило выяснить возможность существования в ней многопараметрического резонанса для сигнала с многомерным параметром [2]. Для того, чтобы приблизиться к реализационным моментам решения этой задачи, необходимо привести некоторые доказательства возможности такого резонанса.
Динамическая система любой физической реализации и известной структуры может быть представлена как система с п входами и одним выходом. На её входы подаются внешние воздействия, а на выходе возникает экстремальная ответная реакция. При таком подходе, основная задача — это поиск некоторой комбинации управляющих воздействий определенной формы, обеспечивающих экстремальную реакцию системы на её выходе.
При этом резонанс рассматривается как свойство системы с внешним описанием типа «вход-выход». Это свойство альтернативно традиционному резонансу системы с внутренним описанием.
Практическая ценность такой задачи состоит в том, что реальные системы действительно могут содержать много точек внешнего воздействия. При действии на эти точки определенного сочетания внешних сил в системе может возникать резонанс, которого не ждут и который может привести к непредсказуемым последствиям. При этом иные сочетания автономных воздействий внешних сил на отдельные входы системы экстремального отклика на выходе системы не вызывают. При традиционном обследовании таких систем частотным методом резонансы в них не обнаруживаются. К таким системам могут относиться мостовые конструкции, отрезки железнодорожных путей с движущимися но ним составам и другие системы с ограниченной базой, находящиеся под воздействием внешних сил в разных точках.
Такой вид резонанса, конечно, будет резонансом формы, и мы определим его как матричный резонанс формы. При этом необходимо показать, что в случае векторной совокупности входных сигналов при определенной их параметризации на выходе системы может иметь место экстремальный отклик, величина которого в некоторый момент времени больше, чем для любой иной комбинации входных сигнал
Решение задачи
Теорема
«Для любой линейной стационарной динамической системы, имеющей п входов и один выход, существует сочетание (различных) сигналов с фиксированной энергией.
подаваемых каждый на свой вход, только при одновременном возбуждении которыми п входов системы, имеет место экстремальный отклик на выходе, т.е. резонанс в системе».
Доказател ьство
Теорема констатирует, что резонанс в линейной системе при вариации формы единственного входного сигнала не является исключительным видом резонанса формы. Системный анализ явления резонанса предполагает дальнейшее развитие и совершенствование данного вида резонанса.
Рассмотрим явление резонанса в линейной стационарной динамической системе с постоянными параметрами, в которой имеется п входов и один выход. Пусть сигнал имеет п-мерное пространство состояний и вектор пространства состояний в момент / :
*(/) = [*,(/),...*„ (/)]Г (О
Тогда модель /?х1 системы в матричном виде может быть представлена уравнениями вида:
^х^) = Ах(1) + Вй(1)
у(1) = Сх(г) + 0й(г)',х(0) = х{) (2)
Здесь А - ихи матрица переходов состояния, удовлетворяющих условиям устойчивости; В—матрица входов, С-матрица выхода. Положим О = [*/|,с/;>,..Д,] = [0,0,...0].
что соответствует случаю отсутствия прямого прохождения сигнала с входа на выход для упрощения. Известно, что (2) имеет решение в плоскости комплексных переменных:
х(р) ви(р),
СО 00
где х<(р)= \х,(1)ер'Ж и и,(р)=
о о
где при нулевых начальных условиях:
х{р) = (р1-А) ' В-й(р)
/ - единичная матрица. Для выхода будем иметь:
00
Г(Р)= 1у(1)е р1Ж = С(р/-А)~' В 0(р) <3>
О
Матрица С(р1 — А) ■ В = К(р) - имеет смысл матричной передаточной функции:
(4)
Легко видеть, что
г(р)='£,к‘{р)и>(р)' (5)
/=1
где К/(р) - передаточная функция с / входа на выход; К;(р) - представляют собой дробно-рациональные функции многочленов, стоящих в числителе и знаменателе и зависящих от коэффициентов матриц А, В и С.
Полюса К,(р) определяются соответствующими числами матрицы А .
Если обозначить соответствующие оригиналы:
< о+«с
I к\р)е''^р'
2 К/ Л
то можно считать, что этот набор функций определяет матричную импульсную характеристику системы (6), т.е.
с(')=[М'М-(')] (6)
а функции /?,-(/) считать парциальными импульсными характеристиками по I - входу.
Можно обобщить эту модель на все линейные стационарные системы, в том числе описываемые не только обыкновенными дифференциальными уравнениями, поскольку для всех них также можно представить связь п входов и одного выхода через парциальные передаточные функции, образующие матричную импульсную характеристику (6). Только в этом случае К,(р) не будут дробно - рациональными функциями переменной р.
Покажем, что когда на входах системы действуют сигналы 5|(/)^,(/)..■?„(/). которые связаны с парциальными им-
пульсными характеристиками соотношением
иДО-АДГ-ОКЗ"-/), / = 1,2...и, (7)
то на выходе будет иметь место экстремальный отклик, т.е. будет иметь место матричный резонанс в том смысле, который сформулирован в теореме о матричном резонансе.
Решение может рассматриваться как решение вариационной задачи на множестве всех функций входных сигналов при фиксированной энергии каждого из них. При этом вариация должна осуществляться как формой каждого сигнала, так и числом ненулевых сигналов, добиваясь уникального сочетания сигналов на п входах, обеспечивающего появление непредсказуемого резонансного значения сигнала на выходе системы. Выражение для сигнала на выходе системы при этом будет иметь вид:
X ju,(T)hs(T - T)dr'
(8)
Физический смысл этого коэффициента обычно связывают с временем интегрирования в системе, те с длительностью импульсной характеристики. Этот коэффициент будет присутствовать и в равенствах содержащих ВКФ и АКФ.
Нетрудно видеть, что максимальное значение сигнала на выходе линейной системы с одним входом и одним выходом при резонансе формы будет:
у(Т) = — \uh(o)dco = kE >У(0 Для / ^ Г
2 я J
(Ю)
где и,(/)м2(/).м„(/)- входные сигналы, а ЛД/)—импульс-
ные характеристики.
Для любой парциальной системы можно записать:
т.е. в том случае, когда сигнал описывается функцией, являющейся зеркальной во времени функции импульсной характеристики парциального канала. Тогда парциальный выходной сигнал воспроизводит во времени сдвинутую АКФ входного сигнала, причем так, что максимум на выходе достигается в момент Т. - По определению АКФ сигнала
конечной длительности имеет размерность энергии в точке Ti и равна энергии сигнала. Это определяет максимально
возможное пиковое значение в канале.
Если входные сигналы окажутся такими, что для каждого парциального канала будут выполнены условия (10) для одного и того же момента времени Т, то, на выходе образуется сигнал с пиковым значением равным сумме пиковых значений каждого из парциальных каналов, пропорциональный сумме энергий входных сигналов:
Г
y(T) = kBmn=Yj\u,(t)hSidt^ma\[ukmn(T)\ (||)
(=1 о
где индекс k max относится к максимальному входному сигналу одного из каналов.
Очевидно, что большего, чем пиковое значение, указанного в выражении (11) на выходе данной линейной системы при фиксированной энергии входных сигналов, получить невозможно.
Заключение
В линейной стационарной динамической системе с п входами (при п>1) и одним выходом, возможен матричный резонанс формы сигнала. При этом значение выходного сигнала в момент отсчета будет больше или равно значению самого максимального из входных сигналов. Это означает, что матричный резонанс в линейной системе с многополюсным входом и одиночным выходом — возможен.
где В (/) — взаимнокорреляционная функция сигнала
"А/'
и:(1) и импульсной характеристики любого канала системы,
характеризующая их взаимную энергию, к > 1 это коэффициент пропорциональности.
1. Зсльманов С.С. Исследование явления резонанса формы сигнала в согласованном фильтре // Электросвязь, 2011, №1.
2. Зельманов С.С. Обобщение понятия частотного резонанса на поведенческую модель линейной динамической системы с внешним описанием // Т-Сотт - Телекоммуникации и транспорт, 2012, №5.
RESONANCE IN THE UNER STATIONARY DYNAMIC SUSTEM WITH INPUTS AND ONE OUTPUT
Zelmanov Samuel Solomonovich, assistant professor, candidate of technical sciences, assistant proferssor of Moscow university of communication and information ( Volgo-Vya tsky branch of MTUCI), chair of general technical and professional subjects, zelmanss@yandex.ru
Abstract
The possibility of the resonance lorm existence in the liner stationary dynamic system with n inputs and one output by the action of the vector signal totality with the composite designs is presented in this article. The peculiarity of such resonance as the characteristic of the external system state is its reality by the absence of the frequency resonance signs in the system. This peculiarity is extremely sensational by the search in the system of the resonance phenomenon's which are connected with its possible negative consequences. Keywords: resonance forms, partial impulse characteristics matrix resonator, vector total combination of input signals, external state of the system.
References
1. Zel'manov S.S. The investigation of the resonance signal in the form of a matched filter // Electrosyaz, 2011, No1.
2. Zel'manov S.S. A generalization of the frequency resonance on a behavioral model of a linear dynamic system with external description // T-Comm -Telecommunications and Transport, 2012, No 5.
